广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测10

**基本信息** 高一数学周测聚焦空间几何与复数，以正四棱锥体积、正方体截面、云星塔测量等情境，融合《九章算术》阳马文化，分层考查空间想象、逻辑推理与运算能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|正四棱锥体积、复数运算、空间线面关系|正方体截面周长计算，考查空间几何直观| |多选题|2/12|圆台结构、正方体动点轨迹|圆台侧面最短路径，体现空间转化思想| |填空题|3/15|解三角形（仰角）、复数模最值、阳马异面直线成角|阳马结合《九章算术》，渗透文化传承| |解答题|3/43|三棱台线面平行、四棱锥证明与体积、正方体截面体积比|四棱锥多问证明，综合考查逻辑推理与运算|

2025-2026学年度高一第二学期数学周测10 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．某正四棱锥的底面边长为2，侧棱与底面的夹角为60°，则该正四棱锥的体积为（    ） A． B． C． D． 2．若复数z满足，则（   ） A． B． C． D． 3．已知m，n是两条不重合的直线，，是两个不重合的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若m，n是异面直线，，，，，则 4．如图，在正方体中，，，分别是棱，的中点，则正方体被平面所截得的截面周长是（    ） A． B． C． D． 5．一个底面边长和侧棱长均为4的正三棱柱密闭容器，其中盛有一定体积的水，当底面水平放置时，水面高为.当侧面水平放置时（如图），容器内的水形成新的几何体.若该几何体的所有顶点均在同一个球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 6．如图，在中，为的中点，，与交于点， 若，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7．（多选）某工厂生产出一种机械零件，如图所示，零件的几何结构为圆台，在轴截面中，，则下列说法正确的有（    ） A．该圆台的高为 B．该圆台轴截面面积为 C．该圆台轴截面面积为 D．一只蚂蚁从点C沿着该圆台的侧面爬行到的中点，所经过的最短路程为 8．如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，是侧面内（含边界）的一动点，且满足平面，则下列说法正确的是（    ）   A．点的轨迹是一条长为的线段 B．平面截正方体所得截面的面积为 C．直线与平面所成角的正弦值的最大值为 D．过点作正方体外接球的截面，所得截面面积的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9．某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 10．已知复数z满足，则（是虚数单位）的最小值为______． 11.在《九章算术》中，将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为“阳马”.如图，四棱锥为阳马，侧棱底面ABCD，，E为棱PA的中点，则异面直线CE与PB所成角的余弦值为__________. 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12．（13分）如图，在三棱台中，平面，为中点.，N为AB的中点， (1)求证：//平面； (2)求点到平面的距离． 13．（15分）如图，在四棱锥中，底面是正方形，平面，且，点为线段的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面； (3)求三棱锥的体积. 14．（15分）如图，在棱长为4的正方体中，为的中点，经过，，三点的平面记为平面，点是侧面内的动点，且. (1)设平面，求证：； (2)平面将正方体分成两部分，求这两部分的体积之比（其中）； (3)当最小时，求三棱锥的外接球的表面积. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 《周测10》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A A D B A A CD ACD 9．60 10．4 11． 12.（1）连接.由分别是的中点， 根据中位线性质，//，且，……………….2分 由棱台性质，//，于是//，由可知，四边形是平行四边形，则//，……………………………………………4分 又平面，平面，于是//平面……………………….7分 （2）设点到平面的距离为………………………………………………………8分 ，………………………………………….10分 ……………………………………………12分 由，即……………………………………………………..13分 13． （1）连接交于点，连接，……………..1分 由底面是正方形，故为中点， 又点为线段的中点，故，………………..2分 又平面，平面， 故平面；………………………………………5分 （2）由点为线段的中点，，故…6分 由平面，平面，故，………………………………….7分 又底面是正方形，故，……………………………………………………8分 又、平面，，故平面，…………………………9分 又平面，故，…………………………………………………………10分 又、平面，， 故平面；…………………………………………………………….……………11分 （3）由点为线段的中点，故点与点到平面距离相等， 故.……………….……………15分 14．（1）连接，因为且，所以为平行四边形，所以， 平面，平面，所以平面，…………………….3分 又平面，平面，所以………………………………………5分 （2）在正方形中，直线与直线相交， 设，连接，设，连接， 由为的中点，得为的中点，， 所以平面即为平面，……………………..7分 因为为的中点，所以为的中点， 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 因为正方体的棱长为， 所以 ，…………………………………………8分 另一部分几何体的体积，…………………………………………………9分 两部分的体积．…………………………………………………………………10分 （3）取的中点，的中点， 连接、、、， 显然，，所以，平面，平面，所以平面， 又为的中点，所以且，又且，所以且， 所以为平行四边形，所以， 平面，平面， 所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又点是侧面内的动点，且， 所以在线段上，又， 即为等腰三角形，所以当为的中点时最小，………………………..13分 因为为等腰直角三角形，所以其外接圆的圆心为斜边的中点，设为， 令，则为的中点，连接，则，所以平面， 所以球心在上，设球心为，连接、、， 设外接球的半径为，，则， 又，， 所以，，解得，则， 所以外接球的表面积……………………………………………………15分 学科网（北京）股份有限公司 $