广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测9

**基本信息** 高一数学周测聚焦立体几何与向量应用，以冰激凌组合体体积、球挖正方体截面等情境考查空间观念与运算能力，解答题综合空间四边形证明与解三角形外心问题，体现直观想象与逻辑推理素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|向量夹角、球与正方体截面、圆台圆锥体积|结合生活情境（冰激凌体积）考查空间几何体计算| |多选题|2/12|空间直线位置关系、正方体动点问题|通过正方体中点与动点探究线面关系，培养几何直观| |填空题|3/15|空间角、小球外切、正方体截面|以四个小球外切问题提升空间想象，正方体截面考查数学眼光| |解答题|3/43|空间四边形共面证明、线面平行、解三角形外心|综合空间几何证明与解三角形，发展逻辑推理与数学语言表达|

2025-2026学年度高一第二学期数学周测9 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知，，则（     ） A． B． C．2 D． 2．已知向量，若，则向量与的夹角为（    ） A． B． C． D． 3．如图所示，几何体为一个球挖去一个内接正方体得到的组合体，现用一个过球心的平面截它，所得截面图形不可能是（    ） A． B． C． D． 4．市面上出现某种如图所示的冰激凌，它可以看作是由下方的圆台和上方的圆锥组成的组合体，经过测量，圆台上底面的半径为，下底半径为，深为，上方的圆锥高为，则此冰激凌的体积为（     ）. A． B． C． D． 5．函数（）的值域为（    ） A． B． C． D． 6．在中，，为边上一点，且，，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7．已知是空间中的三条直线，下列说法中正确的是（    ） A．若，则 B．若与垂直，与垂直，则与可能相交、平行或异面 C．若，分别在两个相交平面内，则这两条直线可能平行、相交或异面 D．若与相交，与异面，则与异面 8．如图，在棱长为的正方体中，分别是，，的中点，是线段上的动点，则（    ） A．存在点，使四点共面 B．不存在点，使平面 C．若为线段上的一个动点，则三棱锥的体积为 D．经过四点的球的表面积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9．已知空间中的两个角和，若，则_____ 10．空间中有四个半径为的小球，每个球都与其它三个球外切．现另有一小球与这四个球均外切，则该小球的半径为______． 11．已知正方体的棱长为6，､分别是､的中点，平面截正方体所得的截面为多边形，则此多边形的边数为___________，截面多边形的周长为___________. 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12．（本题13分）如图，已知空间四边形，，分别是，的中点，，分别在和上，且满足. 求证： (1)，，，四点共面； (2)，，三线共点． 13．（本题15分）如图所示，已知点是平行四边形所在平面外一点，、、分别为、、的中点，平面平面. (1)求证：平面； (2)判断直线与的位置关系并证明. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 14．（本题15分）已知在锐角中，内角所对的边分别为，，为的外心，、、的面积分别记、、满足 (1)求证：； (2)若，求的最小值； (3)若，求的最大值. 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 《2025-2026学年度高一第二学期数学周测9》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A B D D B B ABC ACD 9． 10． 11．五； 5．B 【详解】，且， 令，则， 又的图象开口向上且对称轴为，且， 所以. 6．B 【详解】设，则，， 由，则，， 在中，由正弦定理可得， 由，则，故， 由，故，故，即， 则 ， 则，即. 10．【详解】由题意可知:连接四个球的球心，得到一个棱长为4的正四面体, 设正四面体为，设四面体的外接球球心为，半径为， 设的延长线与底面的交点为， 则为正四面体的高，底面，且， 棱长为4，所以， 所以， 在中，，, 所以，即, 解得． 所以与4个球都外切的小球的球心也在处，所以小球的半径 11.【详解】延长交的延长线于,连接交于, 延长与的延长线相交于点,连接交于,连接, 则五边形即为平面截正方体所得的截面. 则有, 又因为与相似，所以，解得, 所以，， 同理可得：，， 所以，， 又因为， 所以五边形的周长为， 12.【详解】（1）因为，分别为，的中点，所以.……………………………………2分 又因为，所以.……………………………………………………………………………4分 所以，所以，，，四点在同一平面内， 即，，，四点共面．…………………………………………………………………………………5分 （2）因为，分别为，的中点，所以，. 由题意知＝，，，所以四边形为梯形， ………………………7分 故直线和必相交，设交点为，即，………………………………………………8分 因为平面，所以点平面， 因为平面，所以点平面. 又因为平面平面，所以点直线，………………………………………………12分 所以直线，，三线共点．………………………………………………………………………13分 13.【详解】（1）取中点，连接、，…………………………………………………………1分 因为、分别为、的中点，所以且，………………………………………2分 因为四边形为平行四边形，所以且， 因为为的中点，所以且，………………………………………………………3分 所以，故四边形为平行四边形，………………………………………………4分 所以，又因为平面，平面，所以平面.………………………8分 （2）.………………………………………………………………………………………………………9分 证明如下：因为四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，则平面，……………………………………………12分 又平面平面，平面，所以.………………………………………………15分 14.【详解】（1）因为O为锐角的外心，所以外接圆半径，圆心角为圆周角的两倍，所以：， ， 由于， 所以，………………………………………………2分 因为三角形为锐角三角形，且，所以，则， 所以，………………………………………………………………………4分 所以由化简得： ，所以.…………………………………5分 （2）如图：延长至，使得，则，以为邻边作矩形， 则，且，……………………………6分 延长至，使得，则， 所以，…………………………………………………7分 所以当三点共线时， 取最小值，最小值为，………………9分 （3）因为，且点为的外心，所以， 即，，…………………………………………………………………………………10分 因为，所以， 所以，……………………………………………………………………………11分 设三角形的外接圆的半径为，则， 由得， 所以，所以，……………………………………………………………12分 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，即，得， 解得或.…………………………………………………………………………13分 因为三角形为锐角三角形，其外心必在三角形内， 由可知， 再由可知，………………………………………………………………14分 所以应舍去，所以， 所以的最大值为.…………………………………………………………………………………15分 1 学科网（北京）股份有限公司 $