广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测7

**基本信息** 融合数学文化（如《九章算术》方亭）与实际应用（如小船速度测量），梯度覆盖复数、向量、解三角形、立体几何等核心知识，注重直观想象与逻辑推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|复数运算、斜二测画法、向量共线|基础概念辨析，如复数模的计算| |多选题|2/12|直三棱柱侧面积与体积、三角形外接圆|多维度能力考查，如动态点体积定值分析| |填空题|3/15|方亭体积（数学文化）、向量垂直与模|文化传承与符号运算结合，如方亭体积计算| |解答题|3/43|复数方程、解三角形、仿射坐标系|综合应用与创新情境，如仿射坐标系下向量夹角及最值探究|

2025-2026学年度高一第二学期数学周测7 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知复数z满足，则（   ） A． B． C．10 D． 2.如图，四边形ABCD的斜二测画法的直观图为等腰梯形，已知，，则下列说法正确的是    A. B. C. 四边形 ABCD的周长为 D. 四边形 ABCD的面积为 3．已知平面上不共线的四点，若，则（    ） A．2 B． C． D． 4．为测出湖面上小船的速度（假设小船保持匀速），现采用如下方法:在岸边设置相距30米的两个观察点，当小船在处时，测得，，经过5秒后，小船直线航行到处，测得，，则该小船的航行速度是（    ） A．米/秒 B．米/秒 C．米/秒 D．米/秒 5．已知中，，，且的最小值为，则（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．锐角中，角、、所对的边分别为、、，若，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7.如图，直三棱柱中，，，，侧面中心为O，点E是侧棱上的一个动点，有下列判断，正确的是(    ) A. 直三棱柱侧面积是 B. 直三棱柱体积是 C. 三棱锥的体积为定值 D. 的最小值为2 8．如图，在中，，为边上的中点，，，且，则（    ） A．外接圆的半径为 B． C．的最大值为3 D．的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9．《九章算术》中将正四棱台体棱台的上下底面均为正方形称为方亭.如图，现有一方亭，其中上底面与下底面的面积之比为，，方亭的四个侧面均为全等的等腰梯形，已知方亭四个侧面的面积之和为，则方亭的体积为          . 10．已知平面向量，，若且，则______. 11．已知菱形的边长为，E为直线上的一点，，则的值为__________. 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12．已知复数是关于的方程的一个根，其中． (1)求的值； (2)若复数满足，求的最小值。 13．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知，D为边BC上一点，且． (1)求角A的大小； (2)若，且，求a的值； (3)若AD为角平分线，求的最小值． 试卷第1页，共3页 3 学科网（北京）股份有限公司 14．如图，设、是平面内相交成的两条射线，、分别为、同向的单位向量，定义平面坐标系为仿射坐标系，在仿射坐标系中，若，则记． (1)在仿射坐标系中，若，求； (2)在仿射坐标系中，若，，且与的夹角为，求； (3)如图所示，在仿射坐标系中，、分别在轴、轴正半轴上，，，、分别为、中点，求的最大值。 答案第10页，共10页 4 学科网（北京）股份有限公司 $《2025-2026学年度高一第二学期数学周测7》参考答案 题号 2 3 4 5 6 7 8 答案 ACD BC 56 9. 3 10.(3,1)或(-3，-1) 11.3“或-a2 6a2-i+ae=0,即0-(a+c2-2 c）+ac=0,化简得2 acosB--c+a=0 由正弦定理边角互化思想得2 sin Acos B-sinC+sinA=0, .2sin Acos B-sin(A+B)+sin A=0 ,所以，sin Acos B--cos Asin B+sinA=0 ..sin A=sin Bcos A-cos Bsin A=sin(B-A) 04号.08<受受<B-4号 2’ 2’B-A=A’B=2A' 0<A< 2 是锐角三角形，且 ，所以 0<2A< 2 △ABC C=π-A-B=π-3A 0<-3M<号 解得君<4 <cos4 2 sin A sin A 4,则2 2,所以，sinB sin24 2cosA 3’2 (52 sin A 因此，simB的取值范围是32， 故选B 1因为菱形ABCD的边长为。：∠DH8=60,所以丽.D=02, 当C-20时，正-号0+D,丽-丽-而 c.丽（得丽+而小(a-D)-西+号D.B=女 当EC=-2DE时，D为EC的中点，则AE=BD=AD-AB,DB=AB-AD, 1 AE.DB-(AD-AB)(AB-AD)=-AB-AD+2AD.AB--a' 1 所以AE,DB的值为3a或-a2 12.(1)由实系数方程的虚根成对的特点，可知方程的另一根为z=1-i, 由韦达定理p=-(2+2)=-（1+i+1-i)=-2,9=2z=(1+i0-i)=2…6分 (2)因复数满足w-2=1 则复数w对应的点W的集合表示以C(0,2)为圆心、r=1为半径的圆， .8分 而2=1+i,在复平面内表示点ZL,而m-表示点甲与点Z,的距离，…10分 因点2D与圆心c02的距离为d=0-0+0-2=5,放w-n=d-r=2-L…13分 13.(1)由已知 a(3sin B+cos B)=b+c 由正弦定理，可得in4N5sinB+c0osA)=simB+sinC 1分 又因为sinC=sin(M+B)=sin Acos B+cos Asin B,代入上式， 化简得：V3 sin Asin B=sinB+sin Bcos A, 2分 因为△MBC中， ,所以血B≠0，从而 B∈(0，) 3sin A-cos A=1 装2可4-引-四为e@.房段4-香 4分 4D-14B+24C (2)因为BD=2CD,所以 3 3 ,5分 由)知，4=， 2 新而-传+号cj-+号C+号co4-+gC号0， 由己知0=2，所以4=。C+g6+g0c,即4h2+c2+2bc=36,…7分 9 又后5-1，联立两式解得，6=6，c=35-6, 8分 由余弦定理，可得=+c-c=36-185,即0=35-3 9分 ∠BAD=元，sin /BD4=sinB+ (3)若AD为角平分线，则 6 、6, AD BD AB 在△ABD中，由正弦定理，得sin Bsin.∠BAD sin∠BDA, 2= BD AB 即sinB sin sinB+π 10分 6 6 2sinB+元】 所以AB 6,BD= 1 11分 sin B sin B 2simB+刀+3 所以AB+3BD= 6 √5simB+cosB+3 sin B sin B Cos2B -V30s2-sin 2 +sin2B +3 cos2B 2 2 4cos2B +2sin2B 2=V3+ 2sin cos 2 BB 2sin 2 cos B+3BD=3+2 B 即 B+tan 2 tan- 13分 2 2π B B∈0, AB+3BD≥V3+2 2 B .tan=3+22 从而 B tan 2 2 14分 当且仅当tan =5e0时，等号成， 3 所以1B+3BD的最小值为 3+2√2 15分 3π 14.(1)由题意可知，、e,的夹角为4， 由平面向量数量积的定义可得9~6=：c0 s3-2 4-2, 1分 因为a-(5.,则a=2g+6, 则=2g+e=2g+22g6+g=2-25.5, 2+1=1 所以同=i=1 3分 (2由i=(13),6=(3,别，得0=-g+36,6=3g+6,且9-g=1x1xosa=cosa 所以a=(-g+36)=6-6g6+96=10-6cosa, B=(-3g+e=9g2-6gg+g=10-6cosa, +2 则l同=5l=i0-6cosa 5分 a.万=(-g+36)38+6)=3g2+3g2-10g·62=6-10c0sa,6分 πa.b6-10cosa1 因为后与方的夹角为号，所以心写可间10-6cma立，解得oa=号 ，14V3 又sin2u+cos2a=1,0<u<π，所以 na=v1-cos'a= 7； …8分 ()依恩愈，设0)、C0则(m>0,>0),且2B0C=号，cC-1. 3,BC=1, -oc- 因为F为BC的中点，则 F-oc+o丽-+e 2 2 2 D B市 因为E为0点，可得0E-00+号丽-+8G，9分 7 2 2 所以 由题意知e2=6=1,g6-1P×cos= 32 则 石x3 .-+r++归r+ ,10分 在△OBC中，依据余弦定理得m2+n2-mn=1,所以mn=m2+n2-1, 代入上式得，0EOF=8m +号r名5g 5 19m 76 11分 BC OB OC 在 中，由正弦定理得sin nπsin∠COB sin∠BCO △OBC 设∠BC0=0,则 nZCB0=sm9+3,且0<0<2红 3 2 m= 所以 -sin n=- sino+π 12分 sino++32 8m+5n2-20 3 '0=201c0s2042 03.321-c0s20 3 3 2 3 2 =80-w20--29n20 11 5 ,则p<20-9暂p, 因为0<0<2π 故当20-0=” 时，8m+5n取最大值子03+7刃-=0， 3 匹.r-s0完09名0 15分 6