广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测四

**基本信息** 高一数学周测试卷聚焦向量与解三角形，以圣·索菲亚教堂高度估算情境题和正三角形动态问题设计，考查数学抽象、几何直观与运算推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|向量线性运算、解三角形应用|第5题结合建筑情境考查仰角问题，体现数学眼光| |多选题|2/12|向量基底、三角形命题判断|第8题多命题辨析，培养逻辑推理思维| |填空题|3/15|向量投影、三角形中点计算|第11题中点连线问题，考查空间观念| |解答题|3/43|向量综合运算、解三角形证明与范围|第14题锐角三角形证明与取值范围递进，体现分层设计|

2025-2026学年度高一第二学期数学周测四 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．如图，在平行四边形ABCD中，点E是BC的中点，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．已知向量，，，若，则（    ） A． B． C．3 D．0 3．已知向量，满足，且，则的值为（   ） A．4 B．2 C．8 D． 4．若在中，“”是“”的（    ）条件 A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 5．圣·索菲亚教堂是哈尔滨的标志性建筑，其中央主体建筑集球、圆柱、棱柱于一体，极具对称之美，某同学为了估算圣·索菲亚教堂的高度，在圣·索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物，高约为，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A、教堂顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得教堂顶C的仰角为，则估算圣·索菲亚教堂的高度约为（   ） A． B． C． D． 6．在边长为1的正三角形中，分别在边上，且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7．下列各组向量中，可以作为所有平面向量的一个基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 8. 已知中，角，，的对边分别为，，，则以下四个命题正确的有（ ） A．当，，时，满足条件的三角形共有个 B．若则这个三角形的最大角是 C．若，则为锐角三角形 D．若，则为等腰三角形 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9．已知向量，，若在上的投影向量的模为3，则______. 10．在中，=30°，=2，=2，则B=______. 11. 在△ABC中，．取BC边中点D， 连接AD，设E为AD中点，连接BE 并延长与△ABC交于点F，则EF 的长为______． 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12．已知向量． (1)分别求出的值； (2)若，求实数的值； (3)若，求实数的值． 13．记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 ． (1)求B； (2)若，的面积为，求的周长． 14．在锐角中，设边所对的角分别为，且． (1)证明： (2)若，求的取值范围. 试卷第1页，共3页 试卷第3页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第10页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $《2025-2026学年度高一第二学期数学周测四》参考答案 题号 2 3 4 6 8 答案 A C 0 A CD ACD 616 9.3或-4.5 10.60°或120° 11.2/2 6.如图，以BC的中点为坐标原点O,BC所在直线为x轴，BC的中 垂线为少轴，建立平面直角坐标系 因正三角形ABC的边长为1，则102b-.C0 因P,Q分别在边AB,AC上，不妨设 --子马4en刚 可+ 2 2+ 2’.则 2 又P阳分则-++-=+-=则+( 时即-0-90-西-a--马u-m 则丽.项-0-u-)-0-u-)=*4-加-， 将内代入上式，可得丽.项=+2+(a+0言+-3+0+学， 由(*)可得 0-a-古.R42 1 == 2时取等， 由0写女+时-方4可以旷1，流盖，高-天：期e号 丽.0-君-+学-0-+上年酒溢减.收即0西 故选：A 11.作EH/IFC交BC于点H, 因为点E为AD中点，所以点H为DC中点，即HD=HC, 又因为D为BC中点，即BD=DC, BH 又因为HD=HC,所以H =3,即BE=3EF, B 在6MBC:由余弦定理可得cos∠ABD=AB+BC2-AC_4+82-6 2ABx BC 2×4×816 在。4BD中，E-(aA+BD), 则-a+B丽+2BaBD)B+B丽+2 cos∠ABD ++2448- 所以=36 F=BEG 2,则 32 6 故答案为：2· 12.(1因为0=3,6=(6,4 所以月=P+子=V0 2 分 =v32+4=5 4分 (2)因为0=，3,6=6,4，c=(1,-2) 所以由=ma+6→-2)=mL)+n(3,4)→0-2)=(m,3m)+(6n4n） 6分 →亿-2）=(m+3%,3m+4n→m+3”三m=-2 1-2=3m+4nn=1, 所以m=-2,n=1 8分 (3)图为0=1,3,6=(6,4，c=1,-2 所以a-b=(-2,),b+kc=(3,4)+(k,-26)-(3+k,4-2) ..10 分 因为a-1(-b+⊙ 所以2(4-2k)=-(3+)→k=-1 13分 sinc→simB3 +sin 4= 1. sin(π-A-B) 2 5sim Bcos4+sin AsinB sin(+B) 2 2 2分 sin Bcossinsn 2 -sin Acos B+5。 -cos Asin B 3分 sin Asin么3 2sin Acos 分 因为4，Be(0,刊，所以inA0, 所以由2 in Asin=5 1 sin Acos B→sinB=V3cosB→tanB=V3→B=、 ..6分 (2)由上可知B=7 3 因为4ABC 5 的面积为 15 所以2c·2 =33→ac=12 9分 所以申余弦定理可知682=2+e2-2ac60s背→36=d+c2-ac→36=(a+o-3ac…1分 3 →(a+c)}2=36+3ac→a+c=V36+3x12→a+c=√36+36=62 ....14 分 所以△ABC的周长6+6W2 15分 14.(1)因为a2-b2=bc, 所以cosA= b2+c2-a2 c2-be c-bsinc-sinB 2be 2bc 2b 2sin B 整理得2 sin Bc0SA=SinC-SinB,2 分 又C=-(M+B）,所以sinC=sin[π-(4+B]=sim(4+B, 2sin Bcos A=sin(A+B)-sin B=sin Acos B+cos Asin B-sin B 所以 整理得SnB=sin cos--cos4sin,所以nB=Sin(A-B) 4 分 因为△ABC为锐角三角形，所以0<B<”,0<A< 2 所乃<B<0所以A仁B<3 分 （元π 因为函数y=sinx在(2'2上单调递增， 所以B=A-B,即A=2B6 分 (2)由(1)可知，A=2B,C=π-3B, 1 b 因为a=1)所以由正弦定理可得，Sin2 Bsin B,即2 sin Bcos Bsin B,7 分 1 因为B∈(0，，sinB>0,所以b=2c0sB, 8 分 又。-行=c,所以6+纪=即b+e=石 1 所以2b+c=b+c+b=5+b=2CosB+日 2C0SB’10 分 0<B<π 因为 为锐角三角形，所以0<2B 2 ,解得 0<-3B<号 <B<I △ABC 6 4 2 则2 cosB< 2 12 分 i记1=2sB,则2b+e=1+片1e小55) 由对勾函数可知，y=1+在(2，)上单调递增，14 分 3V24V3 所以2 3,即2b+c的取值范围为2’3 ..15 分