广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测二

**基本信息** 聚焦向量与三角函数核心知识，通过基础题巩固概念，创新题（如极化恒等式应用、伴随函数定义）培养数学思维与创新意识，适配高一学情的周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量运算、三角函数定义|注重概念辨析（如直线与函数交点判断）| |多选题|3/18|基底判定、正八边形向量（文化情境）|考查知识综合应用（如结合传统文化素材）| |填空题|3/15|向量投影、平行四边形顶点坐标|强调计算准确性（如投影向量求解）| |解答题|5/77|菱形向量表示、创新定义应用|体现数学语言表达与逻辑推理（如伴随函数充要条件证明）|

2025-2026学年度高一第二学期数学周测二 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 C D C A A B D A AB ACD AC 12．/ 13. 或或． 14．4 15．（13分）(1)， (2)1 【详解】（1）因为，，所以； 2分 因为，，所以， 4分 所以． 6分 （2）由题知，，，的夹角为， 8分. 10分 13分 16．（15分）【详解】（1）因为∥，，则，解得，即， 2分 可知，即，可得 4分 所以 6分 （2）由（1）可知：，，可得，， 8分 则，， 10分 可得， 12分 且，（没写范围扣一分）则． 14分 所以向量与夹角为 15分 17．（15分） 【详解】（1）由，可得， 1分 因，则有， 2分 又与有公共点，故A、B、D三点共线. 4分 （2）依题意，设，则得，解得， 5分 当时，，， 6分 此时显然有，符合题意； 7分 当时，，， 8分 此时显然有，符合题意. 9分 故时，和 共线. 10分 （3）因，，则. 11分 由题意，可得且与不共线， 由，即， 12分 故，解得或； 13分 又由与共线可得，即，解得， 故与不共线，即. 14分 综上，λ的取值范围为. 15分 18．（17分） 【详解】（1） 3分 所以的最小正周期 4分 （2），由，则 则 6分 则； 8分 （3），，， 10分 所以，则， 11分 ， 13分 由，， 15分 所以，则， 16分 所以的取值范围是 17分 19．（17分） 【详解】（1）由，得， 1分 ， 2分 当且仅当，即时，取得最大值2. 4分 （2）由题，可得， 5分 所以函数的“伴随向量”. 6分 （3）由题，设，， 7分 ①因为，所以， 8分 ， 9分 所以 ， 10分 因为，所以的取值范围为. 11分 ②因为， 所以 ， 故， 12分 先证明充分性：由，得， 即， 所以，故， 所以； 14分 必要性：当时，可得， . 16分 综上，向量的充要条件是. 17分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度东华高级中学高一第二学期数学周测二 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在平面直角坐标系中，直线与函数的图象的交点个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．无法确定 2．已知，，则（   ） A． B． C． D． 3．已知，则与的夹角为（    ） A． B． C． D． 4．已知角终边上一点，则（    ） A． B． C． D． 5．在中，，是上一点，若，则实数的值为（    ） A． B． C．1 D．3 6.已知向量，若，且，则的值为（ ）． A． B． C． D． 7．在平面四边形中，，点M在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．若函数恰有3个零点，则正实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 9．设，是平面内所有向量的一组基，则下列四组向量中，不能作为基底的是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．我国传统文化中有许多具有对称美的形状，如图1为《周易》中的“八卦”，图2为园林建筑中的八角窗．它们均可抽象为正八边形，如图3，O为其中心．记，，且，则（   ） A． B． C． D．在上的投影向量为 11.阅读以下材料，解决本题：我们知道①；②．由①②得，我们把最后推出的式子称为“极化恒等式”，它实现了没有夹角参与的情况下将两个向量的数量积化为“模”的运算．如图所示的四边形中，，，点为的中点，且，则（    ） A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．计算：__________. 13．已知平行四边形的三个顶点的坐标分别是．则第四个顶点的坐标为__________. 14．若向量满足，向量在向量上的投影向量为，则__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分）如图，已知菱形的边长为，，为的中点，点在对角线上，且，设，． (1)用向量，表示，； (2)求的值． 16．（15分）设，向量，，，且∥，． (1)求； (2)求向量与夹角的大小. 17．（15分）设是夹角为的两个单位向量，如果. (1)求证: A、B、D三点共线; (2)试确定λ的值，使和 共线； (3)若与 的夹角为锐角，试求λ的取值范围. 18．（17分）已知向量，，设函数. (1)求函数的最小正周期： (2)若，且，求的值; (3)在中， 若，求的取值范围. 19．（17分）定义向量的“伴随函数”为；函数的“伴随向量”为. (1)写出的“伴随函数”，并直接写出的最大值； (2)已知向量，，函数，求函数的“伴随向量”的坐标； (3)已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设（，），且的伴随函数为，其最大值为p. ①若，求p的取值范围； ②求证：向量的充要条件是 答案第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $