广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测三

**基本信息** 聚焦向量与三角核心内容，通过奔驰定理文化情境、物理功计算等创新设计，考查数学抽象与运算推理能力，适配高一阶段性周测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/30|命题否定、向量共线、解三角形|第6题以奔驰定理为载体，渗透数学文化，考查几何直观| |多选题|2/12|向量性质、三角形内角判断|第8题结合三角关系，考查推理意识| |填空题|3/15|三角计算、物理情境应用|第10题关联物理功的计算，体现数学应用意识| |解答题|3/43|向量表示、三角函数图像变换、周长最值|第13题综合三角函数性质与图像变换，考查运算能力与逻辑推理|

2025-2026学年度高一第二学期数学周测三 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B A D ACD BCD 9. 或，10． 11． 6．D 【详解】由奔驰定理 . 结合已知 ，得 . 因为 是内心(到各边距离为内切圆半径 )， 所以 ， ， ， 因此边长 . ，，半周长 ， 由海伦公式， ， 又 ，， 由余弦定理， ， 代入正弦定理: ， . 故选：D 7．ACD 【详解】对于A选项，当时，，故A选项正确； 对于B选项，当时，，故B选项不正确； 对于C选项，若，在上的投影向量为， 于是在上的投影向量的模为，故C选项正确； 对于D选项，若，则，所以，所以D选项正确． 8．BCD 【详解】， 又因为，所以，故角为锐角， 故选：BCD. 11． 【详解】解法一：， 所以，或， 所以为直角三角形， 当时， ，其中， 所以当，的最大值为； 当时，同理可得的最大值为； 当时，． 综上的最大值为． 解法二：先降次再用和差化积，由题知， 所以．进而， 所以， 即． 化简得，于是为直角三角形． 下同解法一． 12．(1)，． (2) 【详解】（1）为中点， ，． …………………….2分 …………………….3分 ． …………………….6分 （2）， …………………….8分 …………………….9分 ． …………………….10分 与共线， ∴存在实数m，使得， 即， 即． …………………….11分 ，不共线，， …………………….12分 解得． …………………….13分 13．(1) (2) 【详解】（1），…………………….1分 ， ， …………………….2分 因为相邻的对称轴之间的距离为，所以的最小正周期为， …………….3分 所以，得，所以， …………………….4分 令, …………………….5分 则， …………………….6分 所以的单调递减区间为; …………………….7分 （2）由（1）知，将图象上所有点的横坐标缩短为原来的，得到函数， …………………….9分 再向左平移个单位得，………………….10分 令，则， 所以， …………………….12分 因为在上只有一个解， …………………….13分    由的图象可得，或， …………………….14分 所以的取值范围是 …………………….15分 14．(1)， (2) 【详解】（1）由，则，……………….2分 所以， …………………….4分 由，而，即， …………………….5分 所以，而，故； …………………….6分 （2）由（1）知，则 …………………….7分，当且仅当时取等号， …………………….10分 所以，即时取等号， …………………….13分 所以周长的最大值为. …………………….15分 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度高一第二学期数学周测三 一、单选题：本题共6小题，每小题5分，共30分。每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．命题“”的否定是（   ） A． B． C． D． 2．已知向量，.若，且方向相反，则（    ） A． B． C．2 D．5 3．已知，且，则（    ） A． B． C． D． 4．在中，，，，则等于（    ） A． B． C． D．15 5．已知，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 6．奔驰定理：已知是内的一点，若、、的面积分别记为、、，则.“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的内心，AB=8，且满足，设△ABC的内切圆半径为，外接圆半径为，则（   ）    A． B． C． D． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分。 7．已知向量，，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则在上投影向量的模为 D．若，则 8．在中，若，则角不可能是（   ） A．锐角 B．钝角 C．直角 D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 9．计算：__________. 10．一个重20N的物体从倾斜角为，长为1m的光滑斜面顶端下滑到底端，若重力做的功是10J，则= ． 11．已知的三个内角分别为A，B，C，且，则的最大值为_____________． 四、解答题：本题共3小题，共43分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12．（13分）已知中，延长到C，使，D是将分成的一个分点，和交于点E，设，， (1)用，表示向量，； (2)若，求实数的值． 13．（15分）已知向量，，函数，相邻对称轴之间的距离为． (1)求的单调递减区间； (2)将函数图象上所有点的横坐标缩短为原来的，再向左平移个单位得的图象，若关于x的方程在上只有一个解，求实数m的取值范围． 14．（15分）已知的内角的对边分别为，且，. (1)求边长及角的大小； (2)求周长的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $