精品解析：广东东莞市东华高级中学2025-2026学年第二学期学习效率检测（一）高一数学试题

东华高级中学2025-2026学年第二学期学习效率检测（一） 高一数学 本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算化简. 【详解】由题意得，. 故选：B 2. 若，则为（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 【答案】B 【解析】 【详解】由题知，， 若是第一象限角，则，，故，不满足题意； 若是第二象限角，则，，故，满足题意； 若是第三象限角，则，，故，满足题意； 若是第四象限角，则，，故，不满足题意. 综上，为第二或第三象限角. 故选:B. 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用余弦定理即可直接求解. 【详解】由余弦定理得． 因为为的内角，所以． 故选：C 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基底表示即可求出. 【详解】因为，所以， 则， 因为，所以，即， 则. 故选：C 5. 已知两个非零向量．若，则锐角（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为两个非零向量．且， 所以，因为不为0， 所以,则锐角， 故选:A 6. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西，且与甲船相距的处的乙船.那么的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定信息作出图形，利用余弦定理、正弦定理列式求解. 【详解】如图，在中，， 由余弦定理，得， 由正弦定理得. 故选：A 7. 若，，并且、均为锐角且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由同角关系，以及，利用两角差的余弦公式求角． 【详解】，，， ，， ， ，， ， ， ． 8. 在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，点是圆上及内部的动点，设，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等和线的性质求解即可. 【详解】如图所示，显然是等和线， 当动圆圆心是点时，直线是距离最近的等和线． 易知点到这两条等和线的距离比为，从而此时的； 而当动圆的圆心在点时，直线是距离最远的等和线， 易知点到直线与直线的距离比为， 从而此时的．综上， 故选：C 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 对应的点位于复平面的第三象限 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用复数的模长公式可判断A选项；利用复数的概念可判断B选项；利用复数的几何意义可判断C选项；利用复数的减法可判断D选项. 【详解】因为，则. 对于A选项，，A错； 对于B选项，的虚部为，B对； 对于C选项，对应的点的坐标为，位于第三象限，C对； 对于D选项，，D对. 故选：BCD. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. C. 若为单位向量，则 D. 向量可以作为平面内的一个基底 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用平面向量共线定理判断A，D，根据平面向量线性运算法则判断B，根据数量积的运算律判断C. 【详解】对于A：由，存在实数，使得， 由，存在实数，使得，则，故，A正确； 对于B：由，故B正确； 对于C：由， ，则，故C正确； 对于D：由，所以，即， 故向量不可以作为平面内的一个基底，D错误. 故选：ABC. 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（ ） A. 角的大小为 B. 若为的角平分线，则 C. 若，则线段的长度的取值范围为 D. 若，则的周长的最大值为 【答案】ABC 【解析】 【分析】结合正弦定理与两角和的正弦公式，可求，判断角的大小，从而判断A的真假；结合三角形的面积公式，可判断B的真假；结合A的结论，利用正弦定理，可判断C的真假；结合A的结论，利用面积关系，得到，再结合余弦定理，得到，用表示三角形周长，结合基本不等式可求周长的最小值，判断D的真假. 【详解】选项A：若， 即，， 故， 因为为三角形内角，所以，所以，.故选项A正确. 选项B：根据题意，由于， 即.故选项B正确. 选项C：若，则. 在中，由正弦定理得：，， 由于，则的长度的取值范围为.故选项C正确. 选项D：若，根据等面积法有，即. 由余弦定理得：，整理可有， 故，的周长. 又因为（当且仅当时取等号），解得， 故的周长，周长的最小值为.故选项D错误. 故选：ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为单位向量，且，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据向量数量积的性质列方程求解即可. 【详解】因为为单位向量，所以. 由可得， 解得. 故答案为：1. 13. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【详解】. 14. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则边上的高的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】先用正弦定理把边化角，约去 后化简等式，得出，然后设 边上的高为，通过面积公式把 和边 联系起来，最后根据锐角三角形的条件确定角 C 的范围，再用正弦定理转化为边 的范围，最终得到高的取值范围 . 【详解】在中，由正弦定理，可得，由可得：，所以，所以， 又因为，所以，所以， 又因为三角形ABC为锐角三角形，所以， 所以，在中，由正弦定理可得： ，即， 故有， 因为，所以，， 所以，所以， 又因为AC边上的高，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量、满足：， （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若向量与共线，求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先算出的坐标，再用模长公式计算 （2）利用公式，求出向量、的夹角； （3）由（1）可知，向量、不共线，则存在实数，使得，利用平面向量的基本定理可得出关于、的方程组，即可解得的值. 【小问1详解】 ，, ， 【小问2详解】 ，，， . 【小问3详解】 、不共线， 因为与共线，所以存在实数，使得， 即，所以，解得. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知且. （1）求； （2）点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理将换掉，求得，再利用余弦定理即可求出； （2）求出，在中利用余弦定理即可求出答案. 【小问1详解】 因为， 由余弦定理得， 即，解得， 所以， 又，所以. 【小问2详解】 将，代入得， 因为点是线段BC上靠近点的三等分点， 所以， 在中，， 所以. 17. 设复数． （1）若，求、的值． （2）若与复数是互为共轭复数，求； （3）当时，若，求． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法结合复数相等可得出、的值； （2）利用共轭复数的定义和复数的乘法可得出的值； （3）利用复数的运算结合复数的概念可求出，结合复数的模长公式可求出的值. 【小问1详解】 因为，故，. 【小问2详解】 因为与复数是互为共轭复数，则，故. 【小问3详解】 因为，， 则， 故， 因为，故，所以. 18. 如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，，. （1）化简：； （2）求证：为定值； （3）设的面积为，的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 证明：设 于是 又，，， ， 根据向量的运算法则可知 三点共线 整理可得：，即 故为定值，定值为. （3） 【解析】 【分析】（1）利用向量的运算法则求解； （2）设，利用向量的运算法则可知， ，然后利用三点共线可知. （3）利用三角形的面积公式可计算求得，然后根据，可求出的取值范围. 【小问1详解】 解：由题意得： 是边的中点，是线段的中点 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设 19. 已知的三边分别为，，，面积为，，. （1）求； （2）若，点，是边上的两个动点，. （Ⅰ）当时，求面积的最小值； （Ⅱ）设，，则是否存在常数和，对于任意满足题意的，都有都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 【答案】（1） （2）（Ⅰ）；（Ⅱ）存在，且， 【解析】 【分析】（1）借助三角形面积公式与余弦定理计算即可得； （2）（Ⅰ）设，借助正弦定理与三角形面积公式可表示出，再结合三角恒等变换公式与的范围计算即可得；（Ⅱ）由题意可得为定值，则可借助三角恒等变换公式将等式变形成含有相关角的形式，再令含变量的系数为计算即可得解. 【小问1详解】 ，则， 则； 【小问2详解】 （Ⅰ）由，则， 则， 又，则，，有， 故，， 不妨设更靠近，如下图，设，则， 则，， 在中，有，即， 在中，有，即， 则 ， 由，则，故， 故； （Ⅱ） ， 由 ， 则， 故可变形为： ， 即， 由，，，故， 则当为常数时，为定值，又为常数， 则需满足， 则， 即，又，故， 则， 故存在，且，，使得对于任意满足题意的，， 都有恒成立. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东华高级中学2025-2026学年第二学期学习效率检测（一） 高一数学 本试卷共19题，满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知，则（ ） A. B. C. 1 D. 2. 若，则为（ ） A. 第一或第二象限角 B. 第二或第三象限角 C. 第二或第四象限角 D. 第三或第四象限角 3. 在中，，则（ ） A. B. C. D. 4. 如图，已知，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个非零向量．若，则锐角（ ） A. B. C. D. 6. 位于某海域处的甲船获悉，在其正东方向相距的处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把消息告知位于甲船北偏西，且与甲船相距的处的乙船.那么的正弦值为（ ） A. B. C. D. 7. 若，，并且、均为锐角且，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 在边长为2的正六边形中，动圆的半径为1，圆心在线段（含端点）上运动，点是圆上及内部的动点，设，，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知复数，为虚数单位，其共轭复数为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的虚部为 C. 对应的点位于复平面的第三象限 D. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 若非零向量满足，则 B. C. 若为单位向量，则 D. 向量可以作为平面内的一个基底 11. 在中，角，，的对边分别为，，，若，点在线段上，且，则（ ） A. 角的大小为 B. 若为的角平分线，则 C. 若，则线段的长度的取值范围为 D. 若，则的周长的最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 设为单位向量，且，则______． 13. 已知，则______． 14. 在锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则边上的高的取值范围是____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量、满足：， （1）求； （2）求与夹角的余弦值； （3）若向量与共线，求实数的值. 16. 在中，内角所对的边分别为，已知且. （1）求； （2）点是线段BC上靠近点的三等分点，求. 17. 设复数． （1）若，求、的值． （2）若与复数是互为共轭复数，求； （3）当时，若，求． 18. 如图所示，在中，是边的中点，是线段的中点.过点的直线与边，分别交于点，.设，，，. （1）化简：； （2）求证：为定值； （3）设的面积为，的面积为，求的取值范围. 19. 已知的三边分别为，，，面积为，，. （1）求； （2）若，点，是边上的两个动点，. （Ⅰ）当时，求面积的最小值； （Ⅱ）设，，则是否存在常数和，对于任意满足题意的，都有都成立？若存在，求出和的值；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $