广东东莞市东华高级中学2025-2026学年高一下学期数学周测1

**基本信息** 聚焦高一数学核心内容，通过函数零点问题、销售数据建模等试题，考查抽象能力、推理能力与模型意识，实现基础巩固与能力提升的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|集合运算、向量投影、函数奇偶性|第7题函数零点问题，结合数形结合考查推理能力| |多选题|3/18|向量共线、三角函数性质|第11题三角函数图像变换，考查空间观念| |填空题|3/15|三角求值、向量共线参数|第14题三角恒等变换，强化运算能力| |解答题|5/77|向量表示与共线证明、三角函数解析式、销售建模|第18题选择函数模型描述销售数据，体现模型意识；第19题几何与三角综合，发展创新意识|

2025-2026学年第二学期高一数学周测1 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知集合，，则        A. B. C. D. 2.已知A，B，C，D为同一平面内的四点，则        A. B. C. D. 3.若命题“”为假命题，且，则        A. 的最小值为 B. 的最大值为 C. 的最小值为 D. 的最大值为 4.已知为单位向量，它们的夹角为，则向量在向量上的投影向量为        A. B. C. D. 5.已知偶函数在上单调递减，且，则不等式的解集为        A. B. C. D. 6.已知幂函数的图象过点，则函数的定义域为         A. B. C. D. 7.已知函数，若方程有个相异实根，则实数的取值范围        A. B. C. D. 8．已知的值域为为的一个零点，且对任意实数，都满足，且函数的周期为所有可能周期中的最大值，当符合条件的正数取最小值时，的值为（   ） A．2 B． C． 5 D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.下列说法错误的是        A. 若，，则 B. 若，则 C. 对任意非零向量，是和它共线的一个单位向量 D. 零向量没有方向 10.已知向量和满足，，，下列说法中正确的有        A. B. C. 与的夹角为 D. 11.已知函数，且，，则        A. 若，则对称轴方程为， B. 若，则函数向左移动得到 C. 函数周期为， D. 若在区间上单调，则最大值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.求值：          . 13.已知向量，不共线．若与共线，则实数          . 14.已知，则的值是          . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.本小题13分 如图，在平行四边形中，点为中点，点在上， 设，，用，表示向量，，； 求证：三点共线. 16.本小题15分 已知函数的最大值为，且最小正周期为. 求函数的解析式及其对称轴方程； 若求的值. 17.本小题15分 已知函数为奇函数. 求实数的值； 设函数，若对任意的，总存在使得成立，求实数的取值范围. 18.本小题17分 某工艺品售卖店，为了更好地进行工艺品售卖，进行了销售情况的调查研究．通过对每天销售情况的调查发现：该工艺品在过去一个月以天计，每件的销售价格（单位：元）与时间第天的函数关系近似满足，日销售量单位：件与时间第天的部分数据如下表所示： 10 15 20 25 30 50 55 60 55 50 已知第天的日销售收入为元． 求的值； 给出以下三个函数模型：①；②；③根据上表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数模型来描述在过去一个月内日销售量与时间第天的变化关系，并求出该函数解析式及定义域； 设在过去一个月内该工艺品的日销售收入为单位：元，求的最小值． 19.本小题17分 在平面直角坐标系中，圆心在坐标原点的单位圆与轴正半轴、轴正半轴分别交于点，锐角的终边与单位圆交于点，过作轴的垂线交轴于点，延长至点，使得为的中点． 若，求； 设的面积为，四边形的面积为. 若，求和； 当时，求的取值范围. 第4页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年第二学期高一数学周测1参考答案 一、单选题和多选题 题号 1 2 3 4 5 6 ) 8 10 11 答案 B D B A D D C ABD AD ACD 二、填空题 √2 12.5 13.±2 14.10 三、解答题 15.解：四由己知四边形ABCD是平行四边形，且D=ā，AB=b, 4AC-AB+4D-d+6.DB-AB-AD--a+6 4 分 由点N在BD上，3BN=BD, 得花=丽+c-8+而-a+列a-号a+5: 7分 (2证明：由已知点M为4B中点，则=远+N=0-号05-6-a+6列-写a+之5，…10 所以而-号C,又你与NC有公共点N ....12 分 所以M,N,C三点共线… ..13 分 16.解：(0f)=2 asin xx+2V5cos2or-V5 3 -asin 20x+3cos2ox-a+3sin (2x) ☑)…3 分 第1页，共4页 2兀二元 由题意知：f(x)的最小正周期为π，由2o,知0=1. 及 由闭最大值为2，枚+3=2，又4>0，则0=， 5分 (sin2x+5cosx2sin(2x+ …6分 x=+k红(k∈Z) 解得f(x)的对称轴为122 ；8分 4 f(a)=。 (2)由 2sin(2a+）=g 4 3知 sin(2a+)=2 33,即 33，…10 分 sin4a+爱=snml22a+学-71=-cos22u+骨 .12分 =-1+2sm2a+骨=-1+2x= 9…15分 3+1 17.解：（①）函 f)=3+a中，3+a≠0， f(x)」 f(x)+f(-x)=0 由是奇函数，得 、3+10,整理得亿+g十3+2=0,3分 "3+a'3x+a 解得0=-1，则X≠0，所以实数a的值为-1；…4分 f(x)= +1-1+2 2)因为函数的3-13-1，显然y=f0在0,2]上递减，6分 第2页，共4页 3*+1 「5 所以函数（闭=3-1在0,2]的值域4子切 …7分 又因为函数g6)=g+m=og,x-og,x-2+m,B.2刃：8 分 设函数t=og,x,则1∈l,3刃，函数y=--2)+m=t-3+2+m, …9分 3 t= 1 可知当1=3时，=2+m,当2时，m= +m 4 ,…l1分 因此函数g的在xeB.27上的值玻B=-子+m,2+川， …12分 由对任意的eB,27刃，总存在∈0,2]使得8)=f)成立，得BcA, …13 分 1 5 3 于是年+m≥4，解得m…2,即实数的取值范围为5 m.. ...15 分 18.解：(1)由题意， 50×p10)=50×10+10 k =505 ,解得k=1: …2 分 (2) 由表格数据知，日销售量随时间x先增后减，显然①②不符合， 所以，选国3()=a小-m+b …4 分 a15-m+b=55 [a=-1 (25-m+b=55’可得亿=60 a20-m+b=60 则 7分 m=20 第3页，共4页 即86)=-k-20+60 x∈N11≤x≤30} 且定义域为 分 (e+40)10+,1sx≤20 (-()( x∈N), 由题意知 (3) 0-10+,20<x≤30 …11分 401+10x+40,1≤x≤20 所以f(x)= (x∈N), 79-10x+80,20<x≤30 …12分 40 020,xEN时。TE)=401+0r+402401+2040 当且仅当X=2时取等号，此时f0； 的最小值为441元： ………14 分 当20<30，t∈N时，f()=79-10x+ x在(20,30]上单调递减， 光时7俐的技小值为7(C0)=7-30+骨=0 2 3元 …16分 综上， f(x) 的最小值为441元.…17分 (1) 19.解：如图，“锐角”的终边与单位圆交于点M 由愿意可知M(cos0,Sina）,0T=sima,l分 M, N :M为N中点， .N(2cosa,sina)..TN=2cosa …2 A 分 第4页，共4页 1 2W2 cos&三3，a∈0,2,7 sin2 a+cos2a=1, ∴.sina= 3,3分 2W2 在直角三角形ONT中sin∠ONT=OT= OT sina 3 s6 ONJOT +TN sin'a+4cos'a 84 3 ..4 分 (2)AONT的面积S2 OT XON-2ina×2cosu=sin a cosa, …5分 (i)SoAM=SomM+S.ooM= OAxsina+-OBxcosa=(sina+cosa) 2 2 17 17 sina+cosa= 2（6ia+cosa)F26.即9 13①， …6 分 60 ①式平方得l+2 sina cosa= 289 169,sina cosa= 69， S=60 169: …7 分 法一：sina cosa= sina cosa tana 60 sin2a+cos2 a 1+tan2 a 169' 8 分 ..60tan2a-169tana+60=0 (12tana-5)(5tana-12)=0 ，即 tana= 或ana=2 12 5 分 (法二：(6ina-cosa=1-2 sin0sa=1-120_49 169169 7 .∴.sina-cosa=± 13,8 分 > 12 5 当na-cosa=3@,联立①式解得 ina= 13,cosa= 13, 第5页，共4页 sina 12 .'tana C0S05…… 9分 > 5 12 sin a-cosa = 当 13③，联立①式解得， 13.cosa= sina= 13, tana=Sina 5 5 cosa12:综上， tana= 或tana=l2 2 ；）…l0 分 S 2sinacosa (sina+cosa)=1+2sina cosa (i）SOAMB sina +cosa …11 分 =sna+osa=v2sma+4】 令 421<1s 0<a<,:.<a+s, 44 St2-11 -=t- SOAMB I t …13 分 楼0=1f数4 a-e--t. 1<4<4≤V2时，4-6<0,1+1>0 6-aax f0）=1-在小，V5]上递增，… …15 分 第6页，共4页 0</0s2 , …16 分 SOAMB 的取值范围是 0, 2 …17分 第7页，共4页