精品解析：广东深圳外国语学校2025-2026学年高一下学期数学周测1（2026.3.8.）

深圳外国语学校2025级高一下学期数学周测1 命题人:袁 扬 审题人：隋 清 考试时间：2026年3月8日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 2. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 3. 已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于向量的说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 若与不共线，且，则 D. 若且，则 10. 设函数的图象为C，则下列结论中正确的是（ ） A. 图象C关于直线对称 B. 图象C关于点对称 C. 函数在区间内是增函数 D. 把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象C 11. 已知函数的最小值为0，e是自然对数的底数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与不共线，而且与共线，则的值为_____. 13. 已知的外接圆圆心为O，，则________. 14. 定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16. 计算： （1）； （2）. 17. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完. （1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式； （2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润. 18. 设. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，，求的值. 19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，. （1）求在内的“倒域区问”； （2）将函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳外国语学校2025级高一下学期数学周测1 命题人:袁 扬 审题人：隋 清 考试时间：2026年3月8日 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 在平行四边形ABCD中，（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用向量加法法则即可求出答案. 【详解】画出图形，如图所示： . 故选：D. 【点睛】用符号表示的向量的加减法： ①加法：首尾相连，方向为第一个向量的起点指向最后一个向量的终点（符合三角形法则）； ②减法：起点相同，方向指向被减向量（符合三角形法则）. 2. 设为所在平面内一点，若，则下列关系中正确的是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】∵ ∴−=3(−)； ∴=−. 故选A. 3. 已知向量与的夹角为，，，若，则实数（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量垂直，即可利用数量积求解. 【详解】． 故选：A； 4. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 易得，，然后由推出比较即可. 【详解】， ， ， 又， 所以. 故选：D 5. 函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数解析式得出函数的奇偶性和时，函数的符号，运用排除法得选项． 【详解】∵∴，∴为奇函数，故排除A，B； 当时，，故排除D， 故选：C． 【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用诱导公式可得，再由二倍角余弦公式求. 【详解】由，即， 又. 故选：D 7. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出函数的定义域，再判断函数的奇偶性与单调性，根据奇偶性、单调性及定义域将函数不等式转化为自变量的不等式组，解得即可. 【详解】解：对于函数，令，解得或， 所以函数的定义域为， 又，所以为偶函数， 当时，则在上单调递增， 令，，所以， 所以在上单调递增， 则在上单调递增，从而得到在上单调递减， 则不等式等价于，解得或， 所以不等式的解集为. 故选：C 8. 函数，已知为图象的一个对称中心，直线为图象的一条对称轴，且在上单调递减．记满足条件的所有的值的和为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由一条对称轴和一个对称中心可以得到或，由在上单调递减可以得到，算出的大致范围，验证即可. 【详解】由题意知：或 ∴或 ∴或 ∵在上单调递减，∴ ∴ ①当时，取知 此时，当时， 满足在上单调递减，∴符合 取时，，此时，当时，满足在上单调递减，∴符合 当时，，舍去，当时，也舍去 ②当时，取知 此时，当时， ，此时在上单调递增，舍去 当时，，舍去，当时，也舍去 综上：或2，. 故选：A. 【点睛】本题考查三角函数的图象与性质，难度较大，易错点在于已知一条对称轴和一个对称中心要分两种情况分析. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列关于向量的说法错误的是（ ） A. 若，，则 B. 若单位向量，夹角为，则向量在向量上的投影向量为 C. 若与不共线，且，则 D. 若且，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于B：根据投影向量的定义分析判断；对于C：根据向量共线的判定定理分析判断；对于D：根据数量积的定义分析判断. 【详解】A：当时，若，，则与不一定平行，A错误； B：向量在向量上的投影向量为，B正确； C：若与不共线，且， 不妨假设，则，可知与共线，这与题设相矛盾，假设不成立， 所以，C正确； D：因为，则， 又，则，显然不能确定，D错误； 故选：AD. 10. 设函数的图象为C，则下列结论中正确的是（ ） A. 图象C关于直线对称 B. 图象C关于点对称 C. 函数在区间内是增函数 D. 把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到图象C 【答案】AC 【解析】 【分析】运用三角函数图象和性质来判断四个选项中函数图象的对称性、单调性及图象平移是否正确. 【详解】对于,函数的对称轴方程为,解得,当时可得,所以图象关于直线对称正确. 对于,函数的对称中心为,解得,当时可得,所以图象关于点对称,而不是关于点对称,故选项不正确. 对于,函数的单调增区间为,解得 当时,所以函数在区间内是增函数正确. 对于,把函数的图象上点的横坐标缩短为原来的一半（纵坐标不变）可以得到函数的图象,不是图象,故选项不正确. 综上正确 故选 【点睛】本题考查了三角函数图象与性质,求解三角函数图象的轴对称性和中心对称问题以及三角函数的单调性,需要熟练掌握基础知识并运算正确,依据图象的平移能够得到平移后的图象解析式.本题较为综合. 11. 已知函数的最小值为0，e是自然对数的底数，则（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】由已知得当时，，对于AC，当时，为上的减函数，则，代入解不等式得解；对于BD，当时，由对勾函数在上单调递减，在上单调递增，判断的单调性，求出最小值即可判断. 【详解】由函数的最小值为0， 当时，，即， 故当时，的值域为的子集，即 对于AC，当时，为上的减函数， 又，则，即，故A正确，C错误； 当时，对勾函数在上单调递减，在上单调递增， 对于B，当时，对勾函数在上单调递增， 则函数在上单调递减，由A知，，故B错误； 对于D，当时，对勾函数在上单调递减， 则函数在上单调递增，又，则，即，故D正确； 故选：AD 【点睛】思路点睛：本题考查已知函数的最值求参数，解题时需先求出由函数在时的值域为，进而将问题转化为当时，函数的值域为的子集，即，分类讨论研究函数的单调性求出最值，考查学生的分析转化能力，属于难题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知向量与不共线，而且与共线，则的值为_____. 【答案】## 【解析】 【分析】由向量平行的判定列出等式即可求解. 【详解】因为与共线，又向量与不共线， 所以，解得， 故答案为： 13. 已知的外接圆圆心为O，，则________. 【答案】 【解析】 【分析】由图结合数量积几何意义可得答案. 【详解】 . 如图，过点O作于点E，于点F. 根据数量积的几何定义，得 . 14. 定义在上函数满足，且当时，．若当时，，则的最小值等于________． 【答案】 【解析】 【分析】转化条件为在区间上，，作出函数的图象，数形结合即可得解． 【详解】当时，故， 当时，故…， 可得在区间上，， 所以当时，，作函数的图象，如图所示， 当时，由得， 由图象可知当时，，所以的最小值为． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知向量的夹角为． （1）求； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据定义得出数量积的值，并根据，代入即可求解； （2）将条件转化为且与不共线时，计算，解不等式即可得到结果． 【小问1详解】 因为向量与的夹角为，且， 所以， 所以； 【小问2详解】 因为向量与的夹角为，且， 所以， 若，即，解得， 当与共线时，此时满足，解得， 此时与共线，且方向相反， 故与夹角为钝角时，且， 所以的取值范围是． 16. 计算： （1）； （2）. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】(1)根据对数的运算性质运算即可； (2)根据指数幂的运算性质运算即可. 【小问1详解】 原式＝； 【小问2详解】 原式＝ ＝. 17. 佩戴口罩能起到一定预防新冠肺炎的作用，某科技企业为了满足口罩的需求，决定开发生产口罩的新机器.生产这种机器的月固定成本为万元，每生产台，另需投入成本（万元），当月产量不足70台时，（万元）；当月产量不小于70台时，（万元）.若每台机器售价万元，且该机器能全部卖完. （1）求月利润（万元）关于月产量（台）的函数关系式； （2）月产量为多少台时，该企业能获得最大月利润？并求出其利润. 【答案】（1）；（2）当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元. 【解析】 【分析】 （1）根据题意分别列出当及时，关于的解析式即可； （2）根据二次函数的性质计算当时，的最大值，根据基本不等式求解当时的最大值，然后比较得出最值. 【详解】（1）当时，； 当时， ∴ （2）当时，； 当时，取最大值万元； 当时， ， 当且仅当时，取等号 综上所述，当月产量为台时，该企业能获得最大月利润，其利润为万元. 【点睛】本题考查函数的实际应用问题，考查基本不等式的实际应用，难度一般.解答时，根据题目条件列出函数的解析式是关键. 18. 设. （1）求的值及的单调递增区间； （2）若，，求的值. 【答案】（1）；； （2） 【解析】 【分析】（1）先化简的解析式，代入即可求得的值；整体代入法即可求得的单调递增区间； （2）先求得，再利用两角和的正弦公式即可求得的值. 【小问1详解】 ， 则， 由，可得 则的单调递增区间. 【小问2详解】 由（1）得 又由，可得，则， 由，可得，又， 则，则 则 19. 若函数在时，函数值的取值区间恰为，则称为的一个“倒域区间”.定义在上的奇函数，当时，. （1）求在内的“倒域区问”； （2）将函数在定义域内所有“倒域区间”上的图像作为函数的图像，是否存在实数，使集合恰含有2个元素. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知列出关系式，，解出a、b即可； （2）分析题意得出，，从而只需考虑或即可，再根据（1）的结论求出，然后根据方程求出. 【小问1详解】 根据已知得，在上单调递减，则在内的“倒域区间” 应满足，，则可知，a,b是方程的两个解，且， 解方程，即，可化为， 即，解得，，，（舍去） 所以，，， 所以，在内的“倒域区间”为. 【小问2详解】 现在来求在上的解析式 ，则，有 因为，为定义在上的奇函数，则有 所以，. 因为在时，函数值的取值区间恰为，则有，且 ，所以a、b同号，所以只需考虑或即可. ①当时，根据的图象知，最大值为1，所以有，， 从而有，由（1）知，此时的“倒域区间”为； ②当时，根据的图象知，最小值为-1， 所以有，，从而有，又在上单调递减， 则，则可知，a,b是方程的两个解，且， 解方程，即，可化为， 即，解得，，，（舍去） 所以， ，， 此时的“倒域区间”. 所以， 依题意知，抛物线与函数有两个交点时，一个交点在第一象限，一个交点在第三象限，即应使在内恰有一个实数解，并使在内恰有一个实数解. 由方程在内恰有一个实数解，； 由方程在内恰有一个实数解，. 综上可得， 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $