第二章 3 单摆（配套教参Word）-【步步高】2025-2026学年高二物理选择性必修第一册学习笔记（教科版）

本讲义聚焦高中物理单摆核心知识点，从生活中钟摆、秋千等实例抽象出单摆模型，系统分析回复力来源及简谐运动条件，探究周期公式与摆长、重力加速度的关系，拓展类单摆及等效重力加速度应用，构建完整知识支架。 该资料突出科学思维与科学探究，通过模型建构将实际摆抽象为理想化模型，设计实验测量周期探究摆长关系，结合例题深化简谐运动规律理解。课中辅助教师教学，课后通过课时练帮助学生查漏补缺，提升科学推理与问题解决能力。

3　单摆 [学习目标]　1.理解单摆模型和单摆做简谐运动的条件，知道单摆振动时回复力的来源(重点)。2.知道影响单摆周期的因素，能熟练应用单摆的周期公式解决有关问题(重点)。 一、单摆及其运动规律 如图所示，生活中，在不同的地点我们能够观察到很多的机械振动，风铃的摆动、钟摆的摆动、秋千的摆动，它们与弹簧振子的结构不同，试着从三种摆动的共性出发，抽象出一种物理模型。 答案　三种摆动都可以抽象为一根轻绳悬挂一个质点在竖直面内做往复运动。 1.单摆 (1)定义：如图所示，细线下面悬挂一个小球，若忽略悬挂小球的细线长度的微小变化和质量，且线长比球的直径大得多，这样的装置就叫作单摆。 (2)实际摆看成单摆的条件 ①细线的质量与小球相比可以忽略。 ②小球的直径与线的长度相比可以忽略。 ③摆线的形变量与摆线长度相比可以忽略。 ④空气阻力与摆球的重力及细线的拉力相比可以忽略。 (3)单摆是一种理想化模型。 2.单摆的运动规律 (1)单摆的回复力 如图，一摆球运动至P点时，对摆球受力分析。 ①回复力的来源：摆球的重力沿圆弧切线方向的分力G1(G1=mgsin θ)。  ②回复力的特点：在最大偏角很小的条件下(θ为5°左右)，sin θ≈tan θ≈，其中x为摆球偏离平衡位置O点的位移。单摆的回复力F=-x，令k=，则F=-kx。 (2)单摆的运动规律：在摆角很小时，单摆做简谐运动。 (1)单摆做简谐运动时，在平衡位置的回复力是否为零？合外力是否为零？ (2)单摆的摆动只要在同一竖直面内，其运动即可看作简谐运动，这种说法是否正确？ 答案　(1)在平衡位置回复力为零，但合外力不为零。 (2)不正确。因为只有在摆角很小时，单摆的振动才是简谐运动。 例1　(2024·眉山市高二月考)关于做简谐运动的单摆，下列说法正确的是(　　) A.摆球经过平衡位置时所受合力为零 B.只有在最高点时，回复力才等于重力和摆线拉力的合力 C.摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小成正比 D.摆球在任意位置处，回复力都不等于重力和摆线拉力的合力 答案　B 解析　摆球经过平衡位置时回复力为0，但根据圆周运动的规律可知单摆此时所受合力不为零，故A错误；根据牛顿第二定律可知，摆球在最大位移处时，速度为零，向心加速度为零，重力沿摆线方向的分力等于摆线对摆球的拉力，回复力才等于重力和摆线拉力的合力，在其他位置时，速度不为零，向心加速度不为零，重力沿摆线方向的分力小于摆线对摆球的拉力，回复力不等于重力和摆线拉力的合力，故B正确，D错误；摆球所受回复力由重力沿圆弧切线方向的分力提供，重力沿摆线方向的分力与摆线对摆球的拉力的合力提供向心力，所以摆球所受合力的大小跟摆球相对平衡位置的位移大小不成正比，故C错误。 例2　(多选)如图所示为一单摆的振动图像，则(　　) A.t1和t3时刻摆线的拉力等大 B.t2和t3时刻摆球速度相等 C.t3时刻摆球速度正在减小 D.t4时刻摆线的拉力正在减小 答案　AD 解析　由题图可知，t1和t3时刻摆球的位移相等，根据对称性可知单摆振动的速度大小相等，故摆线拉力大小相等，故A正确；t2时刻摆球在负的最大位移处，速度为零，t3时刻摆球向平衡位置运动，所以t2和t3时刻摆球速度不相等，故B错误；t3时刻摆球正靠近平衡位置，速度正在增大，故C错误；t4时刻摆球正远离平衡位置，速度正在减小，摆线拉力也减小，故D正确。 二、单摆的周期 如图a、c所示，摆球质量相同、摆长不同的单摆，摆动周期不同；如图a、b所示，摆长相同而摆球质量不同或振幅不同的单摆振动周期却相同，这说明什么？ 答案　这说明单摆的周期与摆长有关而与摆球质量及振幅无关。 实验探究　单摆的周期和摆长的关系 1.测量单摆周期 把单摆从平衡位置拉开一个很小的角度释放，使之做简谐运动。当摆球某次通过平衡位置时开始计时，用停表记下摆球通过平衡位置n次所用的时间t(第一次过平衡位置的时间计为零)，因为单摆完成一个周期的振动，经过平衡位置两次，所以有t=T，则T=。 2.探究单摆周期T与摆长l的关系 (1)用刻度尺量出悬线长度l'，用游标卡尺量出摆球的直径d，则摆长l=l'+d。 (2)改变单摆的摆长，测出不同摆长单摆的周期，把所测数据填入表中。 (3)①以T为纵轴，l为横轴，根据表中数据，在坐标纸上描点，作出T-l图像。 ②以T2为纵轴，l为横轴，根据表中数据，在坐标纸上描点，作出T2-l图像。 (4)分析图像，找出周期和摆长的关系。 周期公式 (1)提出：周期公式是物理学家惠更斯提出的。 (2)公式：T=2π，即周期T与摆长l的二次方根成正比，与重力加速度g的二次方根成反比，而与振幅、摆球质量无关。 说明：①单摆的周期公式在单摆偏角很小时(5°左右)成立。 ②公式中l是摆长，即悬点到摆球球心的距离l=l线+，d为摆球的直径。 ③公式中g是单摆所在地的重力加速度，由单摆所在的空间位置决定。 1.图(a)中，甲、乙在垂直纸面方向上摆动起来，甲摆的等效摆长等于乙摆的摆长，用图中信息表示甲摆的等效摆长：lsin α。  2.图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，其等效摆长等于甲摆的摆长，用图中信息表示乙摆的等效摆长：l1+l2sin α；乙在纸面内小角度摆动时，等效摆长等于丙摆的摆长，用图中信息表示乙摆的等效摆长：l1。  例3　(2024·宜宾市叙州区第一中学高二期中)如图所示是一个单摆(θ<5°)，其周期为T，O是单摆的平衡位置，B、C是摆球所能达到的离O点的最远位置，则下列说法正确的是(　　) A.仅把摆球的质量增加一倍，其周期变小 B.摆球的振幅变小时，周期也变小 C.此摆由O→B运动的时间为 D.摆球在B→O过程中，动能向势能转化 答案　C 解析　根据T=2π，单摆的周期与摆球的质量无关，与振幅无关，A、B错误； 由平衡位置O运动到右端最大位移处需要的时间是四分之一周期，即摆球由O→B运动的时间为，C正确； 摆球由位置B向平衡位置O运动的过程中，重力做正功，摆球的重力势能转化为动能，即摆球在B→O过程中，势能转化为动能，D错误。 例4　如图所示，两根线的一端都系在小球的同一点，另一端分别固定在天花板上，组成一个双线摆，两根线的长度均为l、与竖直方向的夹角均为θ，小球的直径为d，重力加速度为g。现将小球垂直纸面向外拉动，使悬线偏离竖直方向一个很小的角度后由静止释放，若不计空气阻力，下列说法正确的是(　　) A.该双线摆的摆长为l+ B.该双线摆的周期为T=2π C.该双线摆的θ角越小越好 D.小球宜采用密度较小的塑料球 答案　B 解析　由题意可知，该双线摆的摆长为L=lcos θ+，A错误； 该双线摆的周期为T=2π=2π，B正确； 题图中双线摆的θ角越小的话，摆动起来越不稳定，C错误； 小球宜采用密度大的铅球或铁球，以减小空气阻力的影响，D错误。 三、单摆的应用 1.1656年，物理学家惠更斯利用摆的等时性原理，制成第一座摆钟。 2.测当地的重力加速度 由T=2π可得g=4π2。 四、单摆模型的拓展 1.类单摆模型 除了前面学习的单摆模型，有些物体的运动规律与单摆的运动类似，该类物体的运动即为类单摆模型。如在光滑圆弧面上来回滚动的小球。在圆弧半径R远大于运动弧长的情况下，小球的运动可以看成简谐运动，周期T=2π。 例5　(2024·宜宾市高二月考)如图所示，MN为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A放在MN的圆心处，再把另一个小球B放在MN上离最低点C很近的D处(弧BC所对圆心角小于5°)，使两小球同时静止释放，则(　　) A.球A先到达C点 B.球B先到达C点 C.两球同时到达C点 D.无法确定哪个球先到达C点 答案　A 解析　球A做自由落体运动，到达C点的时间为tA==，当弧DC所对的圆心角小于5°时，球B在圆弧的支持力N和重力G的作用下做简谐运动(与单摆类似)，它的振动周期为T=2π=2π，因此球B运动到C点所需的时间是tB==，故tA<tB，显然球A先到达C点，故选A。 2.不同系统中的等效重力加速度 在不同的运动系统中，单摆周期公式中的g应理解为等效重力加速度，其大小等于单摆相对系统静止在平衡位置时的摆线拉力与摆球质量的比值。 情景 等效重力加速度 情景 等效重力加速度 g等效=g-a g等效= g等效=g+a g等效=g g等效= g等效=g 例6　如图所示的几个相同单摆在不同条件下摆动，关于它们的周期关系，下列判断正确的是(　　) A.T甲>T乙>T丙>T丁 B.T甲<T乙=T丙<T丁 C.T甲>T乙=T丙>T丁 D.T甲<T乙<T丙<T丁 答案　C 解析　题图甲中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力mgsin θ为等效重力，即单摆的等效重力加速度g甲=gsin θ；题图乙中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力；题图丙为标准单摆；题图丁摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g丁=g+a，由单摆做简谐运动的周期公式T=2π，知T甲>T乙=T丙>T丁，选项C正确。 课时对点练 [分值：70分] [1~6题，每题4分] 考点一　单摆及其运动规律 1.(多选)下列有关单摆的说法，正确的是(　　) A.一根橡皮筋一端系在悬点，另一端连接一个小球，可以构成一个单摆 B.单摆的摆动一定是简谐运动 C.若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动 D.单摆做简谐运动时，摆长越长(其他条件不变)，其运动周期越大 答案　CD 解析　一根不可伸长的细绳一端系在悬点，另一端连接一个质量较大且可以看成质点的小球可以构成一个单摆，橡皮筋受到拉力时形变量较大，连接小球构成的装置不可看成单摆，A错误；若单摆在同一平面内摆动，且偏角小于5°，可以认为该单摆的运动是简谐运动，B错误，C正确；根据单摆的周期公式T=2π可知，单摆做简谐运动时，摆长越长(其他条件不变)，其运动周期越大，D正确。 2.(2024·宜宾市叙州区第一中学高二期中)在盛沙的漏斗下方放一木板，让漏斗左右摆动起来，假设漏斗中细沙匀速流出，经过一段时间后，观察木板上沙子的堆积情况，漏斗的摆动可视为单摆，不考虑空气阻力，则沙堆的剖面应是下图中的(　　) 答案　B 解析　不考虑空气阻力，漏斗在从最左端向最右端运动和从最右端向最左端运动时，漏斗到达中间位置时运动速度最快，细沙漏到木板上的最少；到达两端时漏斗运动速度最慢，细沙漏到木板上的最多，故选B。 3.关于单摆，下列说法中正确的是(　　) A.摆球运动的回复力是它重力沿圆弧切线方向上的分力 B.摆球在运动过程中加速度的方向始终指向平衡位置 C.摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，加速度是改变的 D.摆球经过平衡位置时，加速度为零 答案　A 解析　根据回复力的定义单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向上的分力，故A正确；摆球在运动过程中，回复力产生的加速度的方向始终指向平衡位置，而向心加速度指向悬点，合成后，加速度方向不是始终指向平衡位置，故B错误；摆球在运动过程中经过轨迹上的同一点，受力情况相同，加速度是不变的，故C错误；摆球经过平衡位置时，加速度不为零，有向心加速度，故D错误。 考点二　单摆的周期 4.(多选)(2024·眉山市高二期中)惠更斯利用摆的等时性发明了带摆的计时器，叫摆钟。摆钟运行中克服摩擦所需的能量由重锤的重力势能提供，运动的速率由钟摆控制。旋转钟摆下端的螺母可以使摆上的圆盘沿摆杆上下移动，如图所示，下列说法正确的是(　　) A.当摆钟不准时需要调整圆盘的上、下位置 B.摆钟快了应使圆盘沿摆杆上移 C.由冬季变为夏季时应使圆盘沿摆杆上移 D.把摆钟从广州移到北京应使圆盘沿摆杆上移 答案　AC 解析　调整圆盘的上、下位置可改变摆长，从而达到调整周期的作用，A正确；若摆钟变快，是因为周期变小，应增大摆长，即下移圆盘，B错误；由冬季变为夏季，摆杆变长，应上移圆盘，C正确；从广州到北京，g值变大，周期变小，应增加摆长，即下移圆盘，D错误。 5.图甲是利用沙摆演示简谐运动图像的装置。当盛沙的漏斗下面的薄木板被水平匀速拉出时，做简谐运动的漏斗漏出的沙在板上形成的曲线显示出沙摆的振动位移随时间的变化关系。已知木板被水平拉动的速度为0.20 m/s，图乙所示的一段木板的长度为0.80 m，则这次实验沙摆的摆长为(g取10 m/s2，π2取10)(　　) A.0.56 m B.0.65 m C.1.00 m D.2.25 m 答案　C 解析　木板匀速拉出，则x=vt，解得t== s=4 s，结合题图乙知t=2T，则T=2 s；根据单摆周期公式T=2π，解得l=1.00 m，故选C。 考点三　单摆模型的拓展 6.(多选)(2024·广安市华蓥中学高二月考)如图所示，光滑圆弧槽半径为R，A为最低点，C到A的距离远远小于R，若同时释放小球B、C。设小球B到A点的距离为H，则要使两小球B和C在A点相遇(小球B和C可视为质点)，H的可能值为(　　) A. B. C. D. 答案　AD 解析　小球C做简谐运动，根据题意得H=gt2，t=×2π(n=0，1，2…)，联立解得H=(n=0，1，2…)； 当n=0时H=，当n=1时H=，故选A、D。 7.(12分)(来自人教教材)周期是2 s的单摆叫秒摆，秒摆的摆长是多少？把一个地球上的秒摆拿到月球上去，已知月球上的自由落体加速度为1.6 m/s2，它在月球上做50次全振动要用多少时间？ 答案　1 m　250 s 解析　由T=2π知，当T=2 s时，可得摆长l≈1 m。 依题可得，地球上的秒摆在月球上的周期 T'=2π=2π s≈5 s 所以它在月球上做50次全振动要用250 s。 8.(16分)(2024·南充市高二月考)某同学用单摆测定一座山的海拔，在山顶上他测得摆长为l的单摆做简谐运动的周期为T。已知引力常量为G，地球质量为M，地球半径为R。求山顶的海拔。 答案　-R 解析　设山顶海拔为h，山顶处的重力加速度为g，对于山顶处的一个单摆， 有T=2π 对于山顶处的一个质量为m的物体，有 G=mg 两式联立解得h=-R [9~11题，每题6分] 9.如图所示为同一地点的两个单摆甲、乙的振动图像，下列说法正确的是(　　) A.甲摆的摆长比乙摆的摆长大 B.甲摆的振幅是乙摆振幅的3倍 C.甲摆的机械能比乙摆的机械能大 D.在t=1 s时有正向最大加速度的是乙摆 答案　D 解析　由题图可知，两单摆的周期相同，同一地点重力加速度g相同，由单摆的周期公式T=2π，知甲、乙两单摆的摆长相等，故A错误；甲摆的振幅为6 cm，乙摆的振幅为3 cm，则甲摆的振幅是乙摆振幅的2倍，故B错误；尽管甲摆的振幅比乙摆大，两摆的摆长相等，但由于两摆的摆球质量未知，故无法比较机械能的大小，故C错误；在t=1 s时，甲摆经过平衡位置，振动的加速度为零，而乙摆的位移为负的最大，则乙摆具有正向最大加速度，故D正确。 10.(2024·乐山市高二月考)一单摆在竖直平面内做小角度摆动。摆球从左侧最高点A运动到最低点C时，摆线被悬点O(图中未画出)正下方的钉子P挡住，之后球运动到右侧最高点B，该过程中的频闪照片如图所示，已知闪光的时间间隔相等，OC=l。则O、P间的距离为(　　) A.l B.l C.l D.l 答案　A 解析　设相邻两次闪光的时间间隔为t，则摆球在左侧的运动周期为T1=12t，摆球在右侧的运动周期为T2=8t，可得T1∶T2=3∶2；根据单摆周期公式T=2π，解得LPC=l，则O、P间的距离为LOP=l-LPC=l，故选A。 11.如图所示，三根长度均为L的轻细绳a、b、c组合系住一质量分布均匀且带正电的小球，球的质量为m、直径为d(d≪L)，带电荷量为q，绳b、c与天花板的夹角α=30°，空间中存在平行于纸面竖直向下的匀强电场，电场强度E=，重力加速度为g，现将小球拉开小角度后由静止释放，则(　　) A.若小球在纸面内做小角度的左右摆动，则周期为π B.若小球做垂直于纸面的小角度摆动，则周期为π C.摆球经过平衡位置时所受合力为零 D.无论小球如何摆动，电场力都不做功 答案　B 解析　若小球在纸面内左右摆动，则其以O'为圆心做简谐运动，则摆长为l=L+ 电场和重力场合成等效重力加速度为2g，振动的周期为T1=2π=2π=π，故A错误； 若小球做垂直于纸面的摆动，则其以O为圆心做简谐运动，摆长l'=L+Lsin α+ 振动周期为T2=2π=2π=π，故B正确； 摆球经过平衡位置时速度最大，有向心加速度，所受合力不为零。故C错误； 小球摆动过程中，沿电场力方向存在位移，故电场力做功。故D错误。 学科网（北京）股份有限公司 $