专题1.3 实际问题与反比例函数（专题训练）《知识解读·题型专练》-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦反比例函数实际应用，通过6类典型题型构建“问题情境-函数建模-应用求解”逻辑链，强化模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |利润问题|5题|销售单价与数量关系，结合利润公式|从表格数据抽象反比例关系，用xy=k求解| |工程问题|5题|工作量一定时效率与时间关系|总量不变背景下反比例函数直接应用| |行程问题|6题|路程一定时速度与时间关系，含限速条件|利用函数单调性解决最值问题| |物理问题|5题|压强与体积、杠杆原理等物理公式|跨学科融合，体现数学工具性| |表格问题|5题|通过数据表格确定函数关系|数据处理与函数验证能力训练| |分段函数问题|5题|反比例与一次函数结合的分段关系|多函数模型综合应用，提升解题灵活性|

专题1.3 实际问题与反比例函数（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型 1··利润问题 1 题型 2··工程问题 3 题型 3·行程问题 5 题型 4·物理问题 8 题型 5··表格问题 11 题型 6··分段函数问题 16 题型 1··利润问题 1．某商场销售一批运动鞋，每双进价120元．当销售价格进行调整时，销售数量随销售价格产生变化，部分数据如表： 销售价格x（元） 250 300 销售数量y（件） 24 20 (1)求出符合表格数据的关系式； (2)若商场计划每天的销售利润为2400元，则销售价格应定为多少元？ 2．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/张 20 15 12 10 (1)在出售的过程中，物价局规定此贺卡的单价不能超过10元，但商场也不能赔钱出售．那么，y关于x的函数解析式为________；自变量的取值范围是________． (2)画出函数的图像； (3)若某日销售单价为10元/张，求日销量和这天的销售利润． 3．某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量y（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中保持不变，与每件商品的售价x（元）成反比例，且市场管理局要求每件商品的售价不能超过18元销售过程中发现，当每件商品的售价定为10元时，售出34件：当每件商品的售价定为12元时，售出30件． (1)求y与x之间的函数关系式： (2)当该商品销售数量为40件时，求每件商品的售价； (3)设该超市销售这种商品的总额为W，求当每件商品的售价为多少元时超市的销售总额最大?最大值是多少? 4．为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 5．某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，设汽车的行驶时间为小时，平均速度为千米/时（汽车行驶速度不超过110千米/时）．根据经验，，的部分对应值如下表： （千米/时） 75 80 90 时 4.80 4.50 4.00 (1)根据表中的数据，求出平均速度（千米/时）关于行驶时间（时）的反比例函数表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)汽车上午6∶00出发，能否在上午9∶00之前到达邻市市场？请说明理由． 题型 2··工程问题 6．某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 7．市政府计划建设一项惠民工程，工程需要运送的土石方总量为105m3，经招投标后，先锋运输公司承担了运送土石方的任务． (1)直接写出运输公司平均每天运送速度v（单位：m3/天）与完成任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式； (2)如果每辆车每天平均运送102m3的土石方，要求不超过50天完成任务，求运输公司平均每天至少安排多少辆车． 8．某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：天）的反比例函数，其图象经过点（如图）． (1)求与的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机? 9．某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方v，共计t天运输完成． (1)请直接写出v关于t的函数关系式； (2)为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？ 10．市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天． (1)求y关于t的函数表达式； (2)当y=1000时，求t的值； (3)若工期要求在100天内完成，公司每天至少要运送多少立方米土石方? 题型 3·行程问题 11．甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． (1)写出y关于x的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 12．探索机器狗的速度问题． 素材1：机器狗是一种仿生腿足式机器人，通过模仿犬类或其他四足动物的运动方式，实现灵活移动与复杂任务执行，已从实验室走向家庭、工业等多领域应用．图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括自身质量及所载物体的质量）的部分数据如图2． 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 图2 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点600米，机器狗需从试验点出发，送30千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计） 任务一：（1）根据学习经验，判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务二：（2）请在图中画出与的函数图象． 任务三：（3）求机器狗所用的最短时间． 13．小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式， (2)小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围． 14．某汽车从市到市行驶的里程为，假设该汽车匀速行驶，行驶的时间为，速度为，且速度限定不超过． (1)与之间的函数表达式为________，自变量的取值范围是________； (2)汽车从市开出，要在内（含）到达市，汽车的行驶速度至少为多少？ 15．“闪驰”机器狗的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）成反比例函数关系，监测收集部分数据如下表： 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 6 4 3 (1)求出关于的反比例函数表达式； (2)机器狗自身质量为千克，实验室距离试验点米．机器狗需从试验点出发，送千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回（装卸设备时间忽略不计），求机器狗所用的最短时间． 16．已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 题型 4·物理问题 17．如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 18．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 19．在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 20．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 21．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 题型 5··表格问题 22．【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）： 长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）； (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． (3)已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 262 523 1046 294 587 1175 330 659 1318 349 698 1397 392 784 1568 440 880 1760 494 988 1976 23．小明发现用吸管吹气，能发出不同的音调．通过查阅资料，他得知：用吸管吹气时，吸管内部的空气振动导致声音产生，而吸管的长度影响了空气振动的频率，并最终决定了音调的不同，所以发出不同的音调． 小明和同学动手试验，并按以下步骤操作：①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度；②用同样的力气通过吸管吹气，借助仪器记录下吸管中空气振动的频率；③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为和，对收集到的数据检查、整理；④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出，绘制成如图所示的与对应关系的散点图． (1)表1记录了收集到的四组数据，同学们在仔细检查、整理数据时，发现这四组数据中的一组有错，请直接写出有出错的这组数据______（填写组别代号），不必说明理由； （表1） 数据组别 吸管的长度 60 80 100 100 空气振动的频率 1.43 1.08 0.86 0.42 (2)根据散点图，同学们猜想与的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系，并将由每组数据计算所得的系数（精确到个位）作为与的对应关系中的系数．小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管，成功地吹奏出的音． （表2） 音调      频率 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49 你知道小明剪出的吸管长度是多少（精确到个位）？并说明你的理由． 24．汛期到来，下表记录了某水库内水位的变化情况，其中表示时间（单位：），表示水位高度（单位：），当时，达到警戒水位，开始开闸放水． 0 2 4 6 8 10 12 16 18 20 14 15 16 17 18 14.4 12 9 8 7.2 (1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点； (2)求开闸放水前符合表中数据的函数关系式； (3)求放水后符合表中数据的函数关系式； (4)求出水库水位达到的时间． 25．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如下表： （分钟） 0 2 5 7 10 14 17 20 … 30 50 80 100 70 50 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 26．在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 题型 6··分段函数问题 27．多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 28．新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 29．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 30．通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 31．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 实际问题与反比例函数（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型 1··利润问题 1 题型 2··工程问题 7 题型 3·行程问题 10 题型 4·物理问题 16 题型 5··表格问题 22 题型 6··分段函数问题 32 题型 1··利润问题 1．某商场销售一批运动鞋，每双进价120元．当销售价格进行调整时，销售数量随销售价格产生变化，部分数据如表： 销售价格x（元） 250 300 销售数量y（件） 24 20 (1)求出符合表格数据的关系式； (2)若商场计划每天的销售利润为2400元，则销售价格应定为多少元？ 【答案】(1) (2)200元 【分析】本题考查分式方程的实际应用，反比例函数的解析式，理解题目信息，找到等量关系，列出方程是解题的关键，分式方程求解之后记得检验． （1）观察表格数据，发现x与y的乘积保持不变，由此得到反比例函数表达式； （2）设销售价格应定位元，根据利润等于售价减去成本乘以销售数量，由此即可求解； 【详解】（1） ，， x和y成反比例，且， y关于x的函数关系式是； （2）设销售价格应定位元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意． 答：销售价格应定为200元． 2．商场出售一批进价为2元的贺卡，在市场营销中发现此商品日销售单价x（元）与日销售量y（张）之间有如下关系： x/元 3 4 5 6 y/张 20 15 12 10 (1)在出售的过程中，物价局规定此贺卡的单价不能超过10元，但商场也不能赔钱出售．那么，y关于x的函数解析式为________；自变量的取值范围是________． (2)画出函数的图像； (3)若某日销售单价为10元/张，求日销量和这天的销售利润． 【答案】(1)， (2)见解析 (3)日销售量为6张，销售利润为48元 【分析】(1)根据表格中的数据，可以写出y与x的函数关系式，再根据物价局规定此贺卡的单价不能超过10元，但商场也不能赔钱出售，可以得到x的取值范围； (2)根据表格中的数据，可以画出相应的函数图像； (3)将x = 10代入(1)中的函数解析式求出相应的y的值，然后即可计算出相应的利润． 【详解】（1）(1) 由表格可得， xy= 60， ∴y=， ∵物价局规定此贺卡的单价不能超过10元，但商场也不能赔钱出售， ∴2≤x≤10， 故答案为：y=（2<x≤10）， （2）函数图像如下所示： （3）把x = 10代入y=中， 得y=， 利润为： 6× (10-2)= 48(元)， 答：日销售量为6张，销售利润为48元． 【点睛】本题考查反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，写出相应的函数解析式． 3．某超市一段时期内对某种商品经销情况进行统计分析：得到该商品的销售数量y（件）由基础销售量与浮动销售量两个部分组成，其中保持不变，与每件商品的售价x（元）成反比例，且市场管理局要求每件商品的售价不能超过18元销售过程中发现，当每件商品的售价定为10元时，售出34件：当每件商品的售价定为12元时，售出30件． (1)求y与x之间的函数关系式： (2)当该商品销售数量为40件时，求每件商品的售价； (3)设该超市销售这种商品的总额为W，求当每件商品的售价为多少元时超市的销售总额最大?最大值是多少? 【答案】(1)y=10+(x≤18) (2)8元 (3)当每件商品的售价为18元时超市的销售总额最大，最大值是420元 【分析】（1）设y=y1+y2=y1+，把x=10，y=34，x=12，y=30分别代入求解即可； （2）把y=50代入（1）问所求银析式计算即可； （3）根据月销售额W=xy，求出w与x的解析式，再根据x≤18，利用性质求出w最大值即可． 【详解】（1）解：设y=y1+y2=y1+，把x=10，y=34，x=12，y=30分别代入，得 ，解得：， ∴y=10+(x≤18)； （2）解：∵y=10+， ∴当y=40时，则40=10+， 解得：x=8， 答：当该商品销售数量为40件时，每件商品的售价为8元； （3）解：由题意，得 W=xy=x(10+)=10x+240， ∵10>0， ∴w随x增大而增大， ∵x≤18， ∴当x=18时，w有最大值，最大值为10×18+240=420（元）， 答：当每件商品的售价为18元时超市的销售总额最大，最大值是420元． 【点睛】本题主要考查反比例函数的应用，一次函数的性质，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系，并据此列出函数解析式． 4．为配合“科普进校园”活动，某科技公司推出一款编程教具套装．销售数据显示，这款教具的日销售量y（单位：套）与每套售价x（单位：元）成反比例函数关系，函数图像经过点． (1)求y与x之间的函数表达式（不必写x的取值范围） (2)当每套售价为24元时，对应的日销售量为_______套； (3)若，求x的取值范围． 【答案】(1)； (2)5； (3) 【分析】()设反比例函数的解析式为，将点代入解析式求解，即可解题； ()将代入()中求出的解析式求解，即可解题， ()把代入()中求出的解析，再根据反比例函数的性质在第一象限，随的增大而减小，即可解答． 【详解】（1）解：∵与成反比例函数关系， ∴设与之间的函数表达式为， ∵点在反比例函数图象上， ∴，解得， ∴与之间的函数表达式为； （2）解：将代入()中求出的解析式: ， ∴当日销售单价为元时，对应的日销售量为套； （3）解：当时，，解得， 当时，，解得， ∵， ∴在第一象限，随的增大而减小， ∴的取值范围为 5．某公司将特色农副产品运往邻市市场进行销售，设汽车的行驶时间为小时，平均速度为千米/时（汽车行驶速度不超过110千米/时）．根据经验，，的部分对应值如下表： （千米/时） 75 80 90 时 4.80 4.50 4.00 (1)根据表中的数据，求出平均速度（千米/时）关于行驶时间（时）的反比例函数表达式；（不用写自变量的取值范围） (2)汽车上午6∶00出发，能否在上午9∶00之前到达邻市市场？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能， 理由： ， 当时，． 汽车不能在上午9∶00之前到达邻市市场． 【分析】（1）设．根据时，，得到，即得反比例函数表达式． （2）根据汽车上午6∶00出发，要在上午9∶00之前到达邻市市场，得到行驶时间为3小时，求得速度，判定汽车不能在上午9∶00之前到达邻市市场． 【详解】（1）根据表格中数据，可设． 时，， ， ． （2）略 【点睛】本题主要考查了反比例函数．解决问题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，根据自变量值求出函数值，与函数值限制范围比较作判断． 题型 2··工程问题 6．某垃圾清运公司承担了约的建筑垃圾的运送工作． (1)求每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式； (2)该公司调来了若干辆运输车，平均每小时共运送垃圾不超过，至少需要多长时间完成运送工作？ 【答案】(1) (2)至少需要完成运送工作 【分析】（1）由每小时运送的垃圾质量和总量列出函数关系即可； （2）结合（1）的解析式结合函数性质解答. 【详解】（1）解：由题意可得：每小时运送的垃圾质量关于完成任务所需的时间的函数表达式为：； （2）解：令，则， 解得， 根据反比例函数的性质，当时， 随 的增大而减小， 因此平均每小时共运送垃圾不超过时，至少需要完成运送工作. 7．市政府计划建设一项惠民工程，工程需要运送的土石方总量为105m3，经招投标后，先锋运输公司承担了运送土石方的任务． (1)直接写出运输公司平均每天运送速度v（单位：m3/天）与完成任务所需时间t（单位：天）之间的函数关系式； (2)如果每辆车每天平均运送102m3的土石方，要求不超过50天完成任务，求运输公司平均每天至少安排多少辆车． 【答案】(1) (2)运输公司平均每天至少安排20辆车 【分析】（1）由题意知，然后写成反比例函数解析式的形式； （2）设运输公司平均每天至少安排x辆车，则有，计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意知 ∴ ∴函数关系式为：． （2）解：设运输公司平均每天至少安排x辆车 则 解得 ∴运输公司平均每天至少安排20辆车． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，一元一次不等式的应用．解题的关键在于根据题意列正确的等式或不等式．易错点是解析式未给出自变量的取值范围． 8．某工程队接受一项开挖水渠的工程，所需天数（单位：天）是每天完成的工程量（单位：天）的反比例函数，其图象经过点（如图）． (1)求与的函数关系式； (2)已知该工程队每台挖掘机每天能够开挖水渠，若要求该工程队恰好20天完成此项任务，那么需要几台这样的挖掘机? 【答案】(1) (2)需要4台这样的挖掘机 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键. （1）设出反比例函数解析式，利用待定系数法求解即可； （2）求出当时，x的值，再用x的值除以15即可得到答案. 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 点在函数图象上， ， ， 所求函数关系式为． （2）解：当时，， ， ， 答：需要4台这样的挖掘机． 9．某市计划建设一项水利工程，运输公司接到任务后，计划每天运输土方2000，共计50天运完，但由于受到各种因素的影响，实际平均每天运输土方v，共计t天运输完成． (1)请直接写出v关于t的函数关系式； (2)为了给后续工程节省出时间，这批土方需要在40天内运输完成，求实际平均每天至少需要比原计划增加多少土方运输量？ 【答案】(1)v＝ (2)实际平均每天至少需要比原计划增加500土方运输量 【分析】对于（1），先求出土方的总量，再根据实际平均每天运输的土方量总量总天数得出答案； 对于（2），将代入关系式求出v，再用求出的结果减去原计划每天运输的土方可得答案． 【详解】（1）根据题意，得 ； （2）当时，， （）． 答：实际平均每天至少需要比原计划增加500土方运输量． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，列出反比例函数关系式是解题的关键． 10．市政府计划建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为106立方米，某运输公司承担了运送土石方的任务．设该公司平均每天运送土石方总量为y立方米，完成运送任务所需时间为t天． (1)求y关于t的函数表达式； (2)当y=1000时，求t的值； (3)若工期要求在100天内完成，公司每天至少要运送多少立方米土石方? 【答案】(1) (2)1000 (3)立方米土石方 【分析】（1）根据每天运送的石方量乘以天数可得总量106立方米，由此得到函数表达式； （2）将y=1000代入计算即可； （3）计算t=100，再利用反比例函数的性质即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴y关于t的函数表达式为． （2）当y＝1000时，． （3）（3）当t＝100时，， ∵在中，， ∴y随t的增大而减小， ∴公司每天至少要运送立方米土石方． 【点睛】此题考查了反比例函数与实际问题，求反比例函数的解析式，利用自变量求函数值，已知函数值求自变量，正确掌握反比例函数的知识是解题的关键． 题型 3·行程问题 11．甲车和乙车从A地开往B地，已知A、B两地全长约600km．设甲车的速度是，到达B地所用的时间为． (1)写出y关于x的函数表达式； (2)公路规定：行驶速度不得超过，请利用函数性质，求甲车到达B地所需的最短时间； (3)若乙车的速度是甲车的倍，乙到达B地所用的时间比甲车少80分钟，求乙车的速度． 【答案】(1) (2)车到达B地所需的最短时间为 (3)乙车的速度为 【分析】本题考查反比例函数、分式方程的应用，掌握反比例函数的增减性和分式方程的解法是解题的关键． （1）根据“时间＝路程÷速度”解答即可； （2）根据反比例函数的增减性和x的取值范围计算即可； （3）根据题意，得乙车的速度为，由“A、B两地的距离÷甲车的速度两地的距离÷乙车的速度”列方程并求解，从而求出乙车的速度即可． 【详解】（1）解：根据题意，得， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：∵，， ∴y随x的增大而减小， ∵， ∴当时，y值最小， ， ∴甲车到达B地所需的最短时间为． （3）解：乙车的速度为． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， ， 答：乙车的速度为． 12．探索机器狗的速度问题． 素材1：机器狗是一种仿生腿足式机器人，通过模仿犬类或其他四足动物的运动方式，实现灵活移动与复杂任务执行，已从实验室走向家庭、工业等多领域应用．图1是某款机器狗，它的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括自身质量及所载物体的质量）的部分数据如图2． 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 图2 素材2：机器狗自身质量为60千克，实验室距离试验点600米，机器狗需从试验点出发，送30千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回．（装卸设备时间忽略不计） 任务一：（1）根据学习经验，判断是的哪种函数类型，并求出该函数表达式． 任务二：（2）请在图中画出与的函数图象． 任务三：（3）求机器狗所用的最短时间． 【答案】（1）反比例函数，； （2）函数图象如图： （3）机器狗完成任务所用的最短时间为250秒 【分析】本题考查了反比例函数的应用． （1）根据题意待定系数法求解析式即可求解； （2）根据给定坐标系画出函数图象，即可求解； （3）分别计算出往返的速度，进而根据路程除以速度，即可求解． 【详解】解：任务一：（1）由图象知是的反比例函数， ，，代入，得 该函数表达式为； 任务二：（2）略 任务三：（3）当时，，而当时，， 秒． 答：机器狗完成任务所用的最短时间为250秒． 13．小凡驾驶汽车匀速地从地行驶到地，行驶里程为千米，设小汽车的行驶时间为小时，行驶速度为千米/小时，且全程速度限定为不超过千米/小时． (1)求关于的函数表达式， (2)小凡上午点驾驶小汽车从地出发，需在当天点之前（含点）到达地，求汽车行驶速度的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数关系的表示，根据函数表达式求函数值的取值方法，掌握函数表达式的运用是解题的管家． （1）根据行程问题中的数量关系即可求解； （2）把题意，，代入（1）中的解析式即可求解． 【详解】（1）解：根据题意，． （2）解：由题意得：， 因为， 所以．（其他方法合理亦可） 14．某汽车从市到市行驶的里程为，假设该汽车匀速行驶，行驶的时间为，速度为，且速度限定不超过． (1)与之间的函数表达式为________，自变量的取值范围是________； (2)汽车从市开出，要在内（含）到达市，汽车的行驶速度至少为多少？ 【答案】(1)，； (2) 【分析】（1）根据路程、速度和时间的关系即可列出表达式，再计算出速度最高时的时间，可得自变量的范围； （2）令，求出速度，结合反比例函数的性质得到，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：， 其中，， ∴自变量的取值范围是； （2）∵汽车内（含）到达市， ∴当时，． ∵随的增大而减小， ∴由，得． ∴汽车的行驶速度至少为． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是明确题意，列出函数关系式并运用反比例函数的增减新解决问题． 15．“闪驰”机器狗的最快速度（米/秒）与总质量（千克）（包括所载物体的质量）成反比例函数关系，监测收集部分数据如下表： 总质量（千克） 最快速度（米/秒） 6 4 3 (1)求出关于的反比例函数表达式； (2)机器狗自身质量为千克，实验室距离试验点米．机器狗需从试验点出发，送千克设备到实验室，卸下设备后马上原路返回（装卸设备时间忽略不计），求机器狗所用的最短时间． 【答案】(1) (2)秒 【分析】本题考查了比较反比例函数值或自变量的大小，求反比例函数解析式，实际问题与反比例函数等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）设这个反比例函数表达式为，根据表格中的数据求出即可； （2）分别求出、时的速度及相应的时间，比较后得出结论． 【详解】（1）解：设这个反比例函数表达式为， ∵当时，， ∴， 反比例函数表达式为； （2）当时，， （秒）， 当时，， （秒）， （秒）， 机器狗所用的最短时间为198秒． 16．已知汽车匀速从A市行驶到B市，设汽车行驶的时间为t小时，速度为v千米/时，且A市到B市汽车的行驶里程为480千米． (1)求v关于t的函数表达式（不要求写自变量t的取值范围）； (2)若汽车从上午从A市出发，如果汽车在当天到之间（包含端点时间）到达B市，求汽车行驶速度v的范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了求反比例函数的解析式，反比例函数的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）由速度乘以时间等于路程，变形即可得速度等于路程比时间，从而得解； （2）分别算出至时间长为小时，至时间长为6小时，再代入，且结合反比例函数的图象性质，得出汽车行驶速度v的范围为．即可作答． 【详解】（1）解：依题意，得， ∴． （2）解：依题意，（小时），（小时） ∴至时间长为小时，至时间长为6小时， 则将代入得；将代入得． ∴汽车行驶速度v的范围为． 题型 4·物理问题 17．如图，“汽缸”是引导活塞在缸内进行直线往复运动的圆筒形金属机件，其工作原理是空气在汽缸中受到活塞件压缩而增强工作压力，在温度不变的条件下，压强与体积之间成反比例关系．通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，测出每一次加压后缸内气体的体积和气体对汽缸壁所产生的压强如下表：（调查获得的部分数据） 体积x（mL） 20 40 60 80 压强y（kPa） 300 150 100 75 在温度不变的条件下，若要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为多少？ 【答案】要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为120mL 【详解】解：由题得，即． 当时，， 解得． 答：要使气体对汽缸壁所产生的压强达到50kPa，则加压后缸内气体的体积为． 18．如图，在左边托盘（固定）中放置一个重物，在右边托盘（可左右移动）中放置一定质量的砝码，可使得仪器在水平位置左右平衡，改变托盘与支撑点的距离，记录相应的托盘中的砝码质量，得到下表： 托盘与点的距离 托盘中的砝码质量 (1)把上表中的各组对应值作为点的坐标，在如图所示的平面直角坐标系中描出其余的点，并用一条光滑曲线连接起来；观察所画的图象，猜测y与x之间的函数关系，求出该函数表达式（不必写出自变量的取值范围）； (2)当砝码质量为时，求托盘与点的距离； (3)当托盘向左移动时，为使得仪器在移动前后均保持在水平位置左右平衡，托盘中的砝码质量需增加至移动前的两倍，求在移动前托盘中的砝码质量． 【答案】(1)函数图象如图所示： y与x之间的函数关系为 (2)托盘与点的距离是 (3)在移动前托盘B中的砝码质量为 【分析】（1）根据表格描点、连线即可，然后根据图象求函数表达式即可； （2）利用（1）函数表达式直接求解即可； （3）根据函数表达式求解即可，需要注意托盘运动前后仪器始终平衡． 【详解】（1）解：画图略； 观察图象可知，函数可能是反比例函数，设， 把的坐标代入，得， ∴， 经检验，其余各个点的坐标均满足 ∴该函数表达式为； （2）解：由（1）可知函数表达式为 ∴当时，代入函数表达式得， 解得， ∴托盘与点的距离是； （3）解：设移动前托盘中的砝码质量为，托盘与点的距离为， 由题意，得，， 解得， ∴在移动前托盘中的砝码质量为． 19．在物理实验课上，小明用滑动变阻器设计了一个电路给一个小灯泡供电，在实验中，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，当时，． (1)写出关于的函数解析式； (2)完成下表，并在给定的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … … (3)当电流超过10A时，小灯泡会损坏，那么滑动变阻器的阻值应控制在什么范围内？ 【答案】(1) (2)完成表格如下： … 3 4 5 6 8 9 10 12 … … 8 6 4.8 4 3 2.4 2 … 函数的图象为： (3)不低于 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）首先把表格中自变量的值分别代入（1）中的函数解析式，求出对应的函数值，然后描点连线可得函数的图象； （3）由题意可知电流的值满足小于等于10A，据此列不等式即可求解． 【详解】（1）解：∵电流是电阻的反比例函数， ∴设， ∵时，， ∴， 解得， ∴； （2）略 （3）解：∵，， ∴， ∴， ∴滑动变阻器的阻值应控制在不低于的范围内． 20．如图，利用秤杆研究杠杆原理．用细绳绑在秤杆上的点O处并将其吊起来，在点O右侧的秤钩上挂一个物体，在点O左侧的秤杆上有一个动点A（最长为80厘米），在点A处用一个弹簧秤向下拉．当秤杆处于水平状态时，分别测得弹簧秤的示数y（单位：N）与的长度x（单位：厘米）的五组对应值如表所示． x 10 20 30 40 50 y 24 12 8 6 4.8 (1)由表格中数据判断y与x之间是什么函数，并求y关于x的函数表达式； (2)嘉嘉在做实验时记录一个数据为，淇淇认为这个数据有问题，请你帮助淇淇说明理由． 【答案】(1)反比例函数，； (2)解：将代入中，得， 解得． ∵， ∴y不可能等于2． 【分析】（1）根据表格数据可知为定值，得出y与x之间是反比例函数，再将一组数据代入即可求解； （2）将代入（1）中解析式，求出对应的x的值，即可判断． 【详解】（1）解：观察表格数据可得：，即为定值， 因此y与x之间是反比例函数． 设函数表达式为， 将代入上式，得， 解得， ∴y关于x的函数表达式为； （2）略． 21．某中学物理兴趣小组在探究液体的压强与容器底面积的关系时，把一定质量的水放入不同底面积的均匀柱形容器中．如图，在实验中发现，水对容器底部的压强（单位：）与容器底面积（单位：）成反比例函数关系． (1)把一定质量的水放入底面积为的容器时，压强是，求压强关于底面积的函数关系式； (2)在（1）的条件下，实验小组计划更换不同规格的同类型容器，底面积的调节取值范围是，请结合实验数据计算此时水对容器底部的压强的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法进行求解即可； （2）由反比例函数的性质，算出临界值，即可得出对应的取值范围； 【详解】（1）解：由题可知，设（）， 当时，，代入得， ∴， ∴． （2）解：已知且， ∵， ∴在第一象限内，随的增大而减小， 当时，； 当时，； ∴． 题型 5··表格问题 22．【问题情境】 排箫是中国的传统乐器，它由长短不同的竹管组成．如图1，现要利用若干长为的相同吸管制简易排箫． 【实验操作】 将吸管不断剪短，用嘴对着吸管吹气，用相关软件测得吸管另一出口发出声音的振动频率，部分数据如下表（表1）： 长度x（ ） 200 150 120 100 80 60 50 振动频率y（） 435 580 725 870 1450 1740 【探索发现】 (1)通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越_________（填“高”或“低”）； (2)请你根据表1中的数据在图2中描点、连线．小帆发现：振动频率y与吸管长度x的乘积为定值，请你求出y关于x的函数解析式． (3)已知频率越高，音调越高；频率越低，音调越低．表2是C调音符与频率对照表，根据表2，判断这批吸管制作的排箫最低能够吹出哪个音区的哪个音符，并说明理由． 表2：C调音符与频率对照表 音符 不同音区的频率（） 低音区 中音区 高音区 262 523 1046 294 587 1175 330 659 1318 349 698 1397 392 784 1568 440 880 1760 494 988 1976 【答案】(1)高 (2)； (3)这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的，理由如下： 根据题意，得当时，， 故这批吸管制作的排箫最低能够吹出低音区的． 【分析】（1）根据表中的函数值变化情况解答即可； （2）利用画图象的基本步骤，待定系数法求解即可． （3）当时，，对照表解答即可； 【详解】（1）解：通过表1数据发现，吸管越短，振动频率越高； （2）解：设，当时，， 故， 解得， 故； 图象略 （3）略 23．小明发现用吸管吹气，能发出不同的音调．通过查阅资料，他得知：用吸管吹气时，吸管内部的空气振动导致声音产生，而吸管的长度影响了空气振动的频率，并最终决定了音调的不同，所以发出不同的音调． 小明和同学动手试验，并按以下步骤操作：①将若干根同规格的吸管剪成不同的长度；②用同样的力气通过吸管吹气，借助仪器记录下吸管中空气振动的频率；③将吸管的长度和相应吸管中空气振动的频率分别记为和，对收集到的数据检查、整理；④将整理所得的数据对应的点在平面直角坐标系中描出，绘制成如图所示的与对应关系的散点图． (1)表1记录了收集到的四组数据，同学们在仔细检查、整理数据时，发现这四组数据中的一组有错，请直接写出有出错的这组数据______（填写组别代号），不必说明理由； （表1） 数据组别 吸管的长度 60 80 100 100 空气振动的频率 1.43 1.08 0.86 0.42 (2)根据散点图，同学们猜想与的对应关系符合初中阶段已学过的一种函数关系，并将由每组数据计算所得的系数（精确到个位）作为与的对应关系中的系数．小明根据表2的数据剪出合适长度的吸管，成功地吹奏出的音． （表2） 音调      频率 0.26 0.29 0.33 0.35 0.39 0.44 0.49 你知道小明剪出的吸管长度是多少（精确到个位）？并说明你的理由． 【答案】(1)D (2)，理由如下： 根据散点图判断，可以用反比例函数来确定与的对应关系， 因此可设． 依据表1中三组数据求得： ， ， ． ， ， 当时，． 答：小明剪出的吸管长度是． 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解答本题的关键是仔细观察表格，得出与的积为定值，从而得出函数关系式． （1）根据表中数据，可发现与的乘积为定值，从而可得答案； （2）根据与都是正数，可得这条曲线是反比例函数的一支，根据，可得与的函数解析式，即可得到结论． 【详解】（1）解：根据表中数据，可发现与的乘积为定值， 所以D组数据是错误的， 故答案为：D． （2）略 24．汛期到来，下表记录了某水库内水位的变化情况，其中表示时间（单位：），表示水位高度（单位：），当时，达到警戒水位，开始开闸放水． 0 2 4 6 8 10 12 16 18 20 14 15 16 17 18 14.4 12 9 8 7.2 (1)在给出的平面直角坐标系中，根据表格中的数据描出相应的点； (2)求开闸放水前符合表中数据的函数关系式； (3)求放水后符合表中数据的函数关系式； (4)求出水库水位达到的时间． 【答案】(1)见解析 (2) (3)(x>8)． (4)出水库水位达到的时间为9h． 【分析】（1）根据表中数据在直角坐标系中描出相应的点即可； （2）据描点的趋势，发现当时，y与x是一次函数关系，再利用待定系数法求出关系式即可； （3）通过观察数据发现y与x的关系最符合反比例函数，然后用待定系数法求出函数解析式即可； （4）把y＝16代入反比例函数解析式求出x即可． 【详解】（1）描点如图， （2）观察图象可知，当0≤x≤8时，y与x是一次函数关系． 设y=kx+b(k≠0)，把(0，14)，(8，18)代入得：， 解得， ∴y与x的关系式． ∴放水前y与x的关系式为； （3）通过观察数据发现：8×18=10×14.4=12×12=16×9=18×8=20×7.2=144， ∴放水后y与x的关系符合反比例函数，关系式为， ∴放水后最符合表中数据的函数解析式为(x>8)； （4）将y=16代入反比例函数解析式，得： 解得： ，且符合题意， ∴出水库水位达到的时间为9h． 【点睛】本题考查一次函数和反比例函数的实际应用．会利用待定系数法求函数解析式，根据图象猜测函数类型是解决此题的关键． 25．教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如下表： （分钟） 0 2 5 7 10 14 17 20 … 30 50 80 100 70 50 35 … 请根据上述信息解决下列问题： (1)根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； (2)选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； (3)上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】(1) (2)第一次加热的函数关系式为；第一次降温的函数关系式为； (3)解：同学们能喝到不超过的水，说明如下： 由题意得，8时45分时20分小时25分钟分钟， ∵饮水机一个完整工作（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟内完成的工作次数为， ∴经过3次完整工作后，剩余15分钟， 此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【分析】（1）根据表格中每组的数值，在平面直角坐标系逐个标注对应坐标点即可； （2）升温阶段水温匀速上涨，选用一次函数，代入数据求解即可；降温时，选用反比例函数，代入数据求解即可； （3）先换算时间：分钟，单个工作时间长分钟，根据可得温度为15分钟时的温度，进而即可求解判断． 【详解】（1）略 （2）解：观察数据可得，加热时水温随时间均匀上升，符合一次函数关系， ∴设函数关系式为， 将、代入， 得， 解得， ∴第一次加热的函数关系式为， 观察降温数据可得，，，，，水温与时间的乘积几乎为定值，符合反比例函数关系， ∴设函数关系式为， 将代入得， 解得， 当水温回落至时，自动重启加热， ∴令，则 解得， ∴第一次降温的函数关系式为； （3）略 26．在现代智能仓储系统中，一款名为“”的智能机器狗，为了研究其载重能力W（千克）与其运动速度v（米/秒）的关系，工程师通过实验测得以下数据： 载重W（kg） … 10 12 15 20 30 … 速度v（m/s） … 6 5 4 3 2 … (1)把表中W，v的各组对应值作为点的坐标，如，…，已在图中坐标系描出了相应的点，请用平滑的曲线顺次连接这些点； (2)观察所画的图象，猜测v与W之间的函数关系，并求出函数关系式； (3)某次任务要求机器狗在8分钟内将货物运送至2400米外的分区货架，求此时机器狗能承载的最大货物重量． 【答案】(1) 解：由题意，连线作图如下． (2)反比例函数关系， (3)12千克 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用反比例函数的性质是关键． （1）依据题意，连线即可作图得解； （2）依据题意可得，函数是反比例函数图象，从而可设，又图象过，求出，进而可以判断得解； （3）依据题意， 8分钟内将货物运送至2400米，从而（米/秒），故可得此时机器狗能承载的最大货物重量（千克），即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由题意可得，v与W成反比例函数关系， ∴可设， 又∵图象过， ∴． ∴， 代入上式，均符合． ∴函数关系式为． （3）解：由题意，∵8分钟内将货物运送至2400米， ∴（米/秒）． ∴此时机器狗能承载的最大货物重量（千克）． 答：此时机器狗能承载的最大货物重量为12千克． 题型 6··分段函数问题 27．多种抗新冠病毒有效药物已经用于临床救治，某新冠病毒研究团队测得成人注射一针某种药物后体内抗体浓度y（微克/）与注射时间x天之间的函数关系如图所示（当时，y与x是正比例函数关系；当时，y与x是反比例函数关系）． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，体内抗体浓度不高于140微克/时是从注射药物第多少天开始？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）直接利用反比例函数解析式求法得出答案； （2）结合所求解析式，把代入求出答案． 【详解】（1）解：设时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 所以， 当时，与之间的函数关系式是， 图象过，则，解得， 综上，y与之间的函数关系式是； （2）当时，，解得：， 体内抗体浓度不高于140微克/是从注射药物第40天开始． 28．新冠疫情下的中国在全世界抗疫战斗中全方位领跑．某制药公司生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要． (1)制药公司生产1支单针疫苗和1支双针疫苗各需要多少时间？ (2)小明选择注射双针疫苗，若注射第一针疫苗后，体内抗体浓度y（单位：）与时间x（单位：天）的函数关系如图所示：疫苗注射后体内抗体浓度首先y与x成一次函数关系，体内抗体到达峰值后，y与x成反比例函数关系．若体内抗体浓度不高于时，并且不低于，可以打第二针疫苗，刺激记忆细胞增殖分化，产生大量浆细胞而产生更多的抗体．请问： ①请写出两段函数对应的表达式，并指定自变量的取值范围； ②小明可以在哪个时间段内打第二针疫苗？请通过计算说明． 【答案】(1)生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要 (2)①，； ②小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗，计算说明如下： 在中，当时，，解得， 当时，，解得， ∴小明可以在打第一针后的第13天到27天内打第二针疫苗． 【分析】（1）根据生产3支单针疫苗和2支双针疫苗需要；生产2支单针疫苗和1支双针疫苗需要建立方程组求解即可； （2）①利用待定系数法求解即可；②在中，分别求出和时，x的值即可得到答案． 【详解】（1）解：设生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要． 根据题意得， 解得， 答：生产1支单针疫苗需要，生产1支双针疫苗需要； （2）解：①设当时，，当时，， 由题意得，， 解得， ∴，． ②略 29．学生上课时注意力集中的程度可以用注意力指数来表示．某班学生在一节数学课中的注意力指数随上课时间（分钟）的变化情况如图所示．上课开始时注意力指数为30，第2分钟时注意力指数为40，前10分钟内是的一次函数；10分钟以后与成反比例．根据图中所提供的信息，回答下列问题： (1)上课几分钟时，注意力指数达到最高？最高注意力指数是多少？ (2)如果讲解一道难度较高的数学题，要求学生的注意力指数不低于50，为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为多少分钟？ 【答案】(1)上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是 (2)本节课讲解这道题的用时最多为分钟 【分析】（1）利用待定系数法求出前分钟内与的函数关系式为，再结合一次函数的性质计算即可得出结果； （2）由（1）可得前分钟内的函数解析式为，当时，求得，求出分钟后与的函数关系式为，当时，求得，从而可得注意力指数不低于的持续时间，即可得出结果． 【详解】（1）解：设前分钟内与的函数关系式为， 将和代入解析式得， 解得， ∴前分钟内与的函数关系式为， ∵， ∴随着的增大而增大， ∵当时，， ∴上课分钟时，注意力指数达到最高，最高注意力指数是； （2）解：由（1）可得前分钟内的函数解析式为， 当时，， 解得， 设分钟后与的函数关系式为， 将代入解析式得， ∴， ∴分钟后与的函数关系式为， 当时，， 解得， ∴注意力指数不低于的持续时间为（分钟）， ∴为了保证教学效果，本节课讲解这道题的用时最多为分钟． 30．通过实验研究发现：初中生在体育课上运动能力指标（以下简称“指标”）随上课时间的变化而变化．上课开始时，学生随着运动，指标开始增加；中间一段时间，指标保持平稳状态；随后随着体力的消耗，指标开始下降．指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当时，图象是顶点为A的抛物线的一部分；时，图象是线段；当时，图象是双曲线的一部分． (1)求当和时，图象所对应的函数表达式； (2)体育老师在一节课上进行某项运动的教学需要16分钟，这项运动需要学生的运动能力指标不低于55才能达到较好的效果，老师的教学设计能实现吗？请说明理由． 【答案】(1)当时的函数解析式为；当时的函数解析式为 (2) 解：能实现． 将代入得， 解得，（舍去）， 将代入得， 解得， ， 老师的教学设计能实现． 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数的应用，正确理解题意是关键． （1）设当时的函数解析式为，把代入求解即可；设当时的函数解析式为，把代入求解即可； （2）将代入，求得，将代入，求得，由，即可判断． 【详解】（1）解：设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 设当时的函数解析式为， 把代入，得， ， 当时的函数解析式为，当时的函数解析式为； （2）略 31．生物实践小组搜集了某种植园温室大棚智能控制系统测试阶段时的温度变化，并绘制出大棚内的温度随时间（时）变化的图象，如图所示，点表示智能控制系统在0时启动，此时大棚内的温度为，线段表示升温阶段，线段表示恒温阶段，双曲线的一部分表示恒温系统关闭阶段，点表示24时温度降到． (1)线段的函数解析式和定义域为______； (2)双曲线段的函数解析式和定义域为______； (3)求该大棚在时内，温度不低于的时长是______； (4)此地日出时间为，日落时间为，为保证该大棚中的植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于，小组同学决定推迟智能控制系统的启动时间，至少推迟______小时，能满足上述要求． 【答案】(1)线段的函数解析式为，定义域为； (2)双曲线段的函数解析式为，定义域为； (3)12 (4)1 【分析】（1）将点与代入函数解析式，由待定系数法求解即可； （2）设出双曲线段的函数解析式，再将点代入函数解析式求解即可； （3）分别求解出升温阶段与恒温系统关闭阶段，温度为的时间，再计算时常即可； （4）求出现在符合光照和温度的时间，进而根据要求即可解答． 【详解】（1）解：设线段的函数解析式为， ∵点与在线段上， ∴，解得， ∴线段的函数解析式为，定义域为； 故答案为：，； （2）解：双曲线段的函数解析式为， ∵点在双曲线上， ∴，解得， ∴双曲线段的函数解析式为， ∵当时，可得，解得， ∴定义域为； 故答案为：，； （3）解：∵线段的函数解析式为， 令，可得，解得， 又∵双曲线段的函数解析式为， 令，可得，解得， ∴从3时开始到15时，温度不低于，即时长为时； 故答案为：12； （4）解：由题意，日照时间为，共10小时， 需保证植物至少有9小时的光照且在此期间大棚温度不低于， ∵该大棚在时内，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为8小时，不满足条件； 故推迟1小时时，温度不低于的时间为， 此时和光照时间重叠为9小时，满足条件 故至少推迟1小时，能满足上述要求． 故答案为：1． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $