专题04 反比例函数综合题（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

专题04 反比例函数综合解答题 （题型突破·举一反三） ▌题型01 反比例函数与图形面积的综合 【典例1】 【答案】(1)，， (2)17 【分析】（1）利用待定系数法，逐一求解即可； （2）根据，解答即可； 【详解】（1）解：反比例函数（）经过点， ， 解得， 故反比例函数的解析式为； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为， 当时，， 故点B的坐标为； （2）解：点在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， ， 解得， ， ， ． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先将点代入直线，求出a的值从而确定点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数，求出k，得到反比例函数解析式． （2）过点作，由根据等腰三角形“三线合一”得，进而确定点纵坐标为，将其代入反比例函数解析式求出横坐标，得到点坐标，再求出点C坐标，根据四边形的面积=与面积之和，计算即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 解得：， ∴点坐标为， 把点代入得，， ． （2）解：过点作，垂足为点， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入，解得． ． 直线中 令，则， 解得， ∴． ∵轴于点， ∴ ∵，． ∴四边形的面积=与面积之和． 中，，， ∴． 中，，点到的距离（即与横坐标之差的绝对值）为， ∴． ∴． 【变式1-2】 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，根据三角形面积计算公式可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）依题意把代入，得出，进而把代入中得出，再待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （2）根据交点的横坐标，结合函数图象，即可求解； （3）记直线与直线的交点为得出，设点，根据三角形的面积公式建立绝对值方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． 则结合图象，当时，则或； （3）解：如图，记直线与直线的交点为 ∵， ∴当时，则， ， ∵是直线上的一个动点， ∴设点， ∵的面积为35， ∴， 即 ∴ 解得或， ∴点坐标为或． ▌题型02 反比例函数与线段的综合 【典例2】 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，然后根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可设， ∵，即点C是的中点，，点D在x轴上， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴． 【变式1-1】 【答案】(1)； (2)①②或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，反比例函数，一次函数与反比例函数交点问题． （1）先由平行的性质，设直线的解析式为，代入即可求出直线的解析式为，则将点代入中，得，即可作答． （2）①当时，分别得出，，，则，即可作答． ②先整理得，解得或，当时，则或，再运用数形结合思想分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， 依题意，将点代入解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， 将点代入中，则， 解得； （2）解：①当时，， 依题意，如图所示： 理由：由（1）得，， 当时，， 故， 依题意，得， 则， 当时，， ∴， ∴， ∴； ②或 ∵直线与直线平行， ∴， 依题意，， 解得或， 当时，则或， ∴观察图象，当时，或． 【变式1-2】 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)点或 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及等腰直角三角形的性质等，处理数据和利用绝对值是解题的关键． （1）把点代入，得到，于是得到结论； （2）设点，则点，根据，得到，解方程即可得到结论； （3）设点，点，根据，得到方程，化简整理得到，因为上式恒成立，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：点在的函数图象上， ， 函数的关系式为； （2）解：设点，则点， ， 则， 解得：或或（舍去）， 即点或； （3）解：设点，点， ， 则， 即， 因为上式恒成立， 则， 解得：． ▌题型03 反比例函数与特殊三角形的综合 【典例3】 【分析】（1）由Rt△OAB的面积2m×2n＝8，即可求解； （2）当∠AOB＝45°时，则直线OB的表达式为：y＝x，故（1）中m＝n，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）设点C（m，n）， 由中点坐标公式得，点B（2m，2n）， 则Rt△OAB的面积2m×2n＝8， 则mn＝4， 则k＝mn＝4； （2）当∠AOB＝45°时， 则直线OB的表达式为：y＝x， 故（1）中m＝n， 即mn＝m2＝4， 解得：m＝﹣2（舍去）或2， 即点C（2，2），则点B（4，4）， 由（1）知，反比例函数的表达式为：y， 当x＝4时，y＝1，即点D（4，1）， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：yx+3； （3）观察函数图象知，不等式的解集为：x＞4或0＜x＜2． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，解不等式等，数形结合是解题的关键． 【变式1-1】 【答案】(1)； (2) (3)点或或或 【分析】（1）一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，根据，得确定，继而利用待定系数法，求两个函数的解析式即可． （2）利用交点的横坐标，数形结合思想直接解答即可． （3）设点，根据两点间距离公式，得点， ，，根据勾股定理的逆定理，分类建立方程解答即可． 本题考查了待定系数法，交点坐标的求解，数形结合求不等式组的解集，两点间距离公式，勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，点，点，， ∴，， 解得， ∴点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据题意，得， 故不等式组的解集为 （3）解：设点，根据两点间距离公式，得点，， ， 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 整理，得， 解得或， 此时点或； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 综上所述，存在点P使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，且点或或或． 【变式1-2】 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 【变式1-3】 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或或． 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）解：∵点B的坐标为也在上， ∴， ∵A的坐标为都在一次函数的图像上 ，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵如图：直线与x轴交于点C，， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴ ； （3）解：当点P在x轴上， 设点， ①如图2：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点， 如图4：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为； 如图5：当时， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． ▌题型04 反比例函数与平行四边形的综合 【典例4】 【答案】(1)， (2)点B在直线上，理由见解析 (3)点M的坐标为：或或 【分析】本题主要考查的是反比例函数综合运用、一次函数的性质、平行四边形的性质、函数的平移等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将A点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标； （2）确定平移后直线的表达式即可求解； （3）分为平行四边形的边、对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得：， ． 综上所述，的值是，点的坐标是； （2）解：设直线A、的表达式为 则，解得：， 故直线的表达式为：， 令，则，故点， 设直线向右平移个单位， 则平移后直线的表达式为：，则点， 点在反比例函数上， 将点坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 则平移后直线的表达式为：， 令，则，故点； 当时，，故点在直线上； （3）解：设点的坐标为，而点A、、的坐标分别为：、、； 当是边时，点A向右平移4个单位向下平移个单位得到， 同样点向右平移4个单位向下平移个单位得到， 故或，解得：或， 故点的坐标为：或； 当是对角线时， 由中点公式得：，解得：， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 【变式1-1】 【答案】(1)，3 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）解方程得到，，求得，，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）设，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到不等式的解集； （3）设，，，，根据平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 令，则， ，， ，， 设， 和面积均为， ， ， ， ， ， 反比例函数的表达式为， 的面积的面积的面积面积； （2）解：设， 面积为， ， ， ， ， 当时，不等式的解集为； 由函数图象可知，当时，不等式恒成立； 综上所述，不等式的解集为或； （3）解：设，，，， 以，，，为顶点的四边形为平行四边形时， 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：， 即点； 当是对角线时，同理可得：， 解得：， 即点（与点重合，不合题意舍去）； 当是对角线时，同理可得：， 解得：， 故点； 综上，点的坐标为或． 【变式1-2】 【答案】(1)一次函数解析式为； (2)； (3)（-7，-4）或． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，设，根据三角形的面积为，建立方程求解即可得出，得出答案； （3）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，，当、为平行四边形对角线时，与的中点重合；当，为平行四边形对角线时，与的中点重合；分别建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴反比例函数解析式为， ∴， 把，代入得 解得， ∴一次函数解析式为； （2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，    设， ∵，， ∴，， 在中，令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）存在； 设直线的解析式为，把，坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 又，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， ∴， 解得， ∴； 当，为平行四边形对角线时，与的中点重合， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点E的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)6 (3)或 (4)或 【分析】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可； （2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解， （4）过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E，证明，得到，，再分两种情况，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得， 解得， ∴， 把代入反比例函数得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由题意得方程组， 解得，， ∴， 设一次函数交y轴于点C， 令中，则， ∴， ∴， ∴ ； （3）从图像看，不等式的解集就是一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围． ∴解集为或． （4）解：如图，由题意得，， 过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E， 则， ∴，， 当点在点A的左侧时， 设，则， ∵在上， ∴，即， ∴，， 经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去； 当时，， ∴； 当点在点A的右侧时， 设，则， ∵在上， ∴，即， ∴，， 经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去； 当时，， ∴； 综上所述：点M的坐标为或． ▌题型05 反比例函数与特殊平行四边形的综合 【典例5】 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数的解析式的求法、与几何图形结合的综合能力的培养．解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）如图1中，作轴于D．首先证明四边形是矩形，利用反比例函数的几何意义解决问题即可； （2）如图2中,先作辅助线,求出D的坐标,证明四边形是菱形即可. 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点． 轴，轴， ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ，． ，， 反比例函数的表达式为． （2）解：存在，理由如下： 如图②，过点作于点，交反比例函数图象于点，连接，． AI 是等边三角形，面积为， 可设，则， ， ， （负值已舍去）， ，，， ， ． ， ，． ， ， 四边形是菱形， 反比例函数图象上存在点，使四边形是菱形，点的坐标为． 【变式1-1】 【答案】(1) (2)或 (3)20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 【变式1-2】 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)的解集为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解此题的关键． （1）先由正方形的性质结合点的坐标为，点的坐标为，得出点的坐标，再由待定系数法计算即可得出答案； （2）联立，求出，再结合图象即可得出答案； （3）设点的坐标为，根据的面积恰好等于正方形的面积，得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 的图象经过点， ， ， 反比例函数的解析式为：； 一次函数的图象经过点和点， ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：联立， 解得：或， ， 由图象可得：的解集为或； （3）解：设点的坐标为， 的面积恰好等于正方形的面积， ， 解得：， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【变式1-3】 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． ▌题型06 反比例函数与动点最值问题 【典例6】 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点B的坐标为； (2)点P的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标； （2）作点B关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P，连接．由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线的解析式为，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，令直线的解析式中求出点P的坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：把点代入一次函数， 得：，解得：， ∴点A的坐标为． 把点代入反比例函数， 得：， ∴反比例函数的表达式为， 联立两个函数关系式成方程组得：， 解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：作点B关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P，连接，此时的值最小，最小值为的长，如图所示． ∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为， ∴点D的坐标为． 设直线的解析式为， 把A，D两点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 令，则， 解得：， ∴点P的坐标为． 【变式1-1】 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2) (3)； 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点B作轴于点D，则，可证明得到，则可求出点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点A关于x轴的对称点E，则，设点是轴上的任意一点，连接，由轴对称的性质可得，可证明当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，同理可得直线的解析式为，在中，当时，，则点M的坐标为． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作轴于点D，则， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 把点B的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的解析式为； 把点B和点C的坐标代入得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当时，的解集为； （3）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点E，则，设点是轴上的任意一点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点M的坐标为． 【变式1-2】 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 【变式1-3】 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入求出值，把代入可求出的值，代入即可求出的值； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，根据轴对称的性质得出的周长最小为，利用待定系数法可求出直线的解析式为，令，求出值，即可得答案； （3）设，直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，求出，根据的面积为得出，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， 解得：． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于， ∴， ∴， ∴、、三点共线时有最小值，为， ∴的周长最小，为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （3）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， ∵直线交反比例函数的图像于点（异于）， ∴设，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 当时，，整理得（舍去）， 当时，，整理得（舍去）， 当时，， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． ▌题型07 反比例函数与图形变换的综合 【典例7】 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用平行四边形的性质得到，轴，求出，平移后点B的坐标为，代入解析式即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，轴． ∵， ∴． ∵向上平移m个单位长度， ∴平移后点B的坐标为． ∵平移后点B落在反比例函数的图象上， ∴． ∴． 【变式1-1】 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质（点在反比例函数图象上则横纵坐标之积等于比例系数）和平移的性质（图形平移后对应点横坐标的差为水平平移距离，对应线段平行），解题的关键是先利用点求出反比例函数的值，再结合平移性质和点在直线上的条件列方程求解． （1）先根据点在反比例函数上，求出的值；再将点代入反比例函数解析式，列方程求出（注意，舍去负根）；   （2）设向右平移的距离为，根据平移性质表示出、的坐标；利用的性质（或点在O'B'上）列方程，求解，即为平移距离． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，   ∴，即反比例函数解析式为．   又∵点在该双曲线上，   ∴，即，．   ∵ ，∴，即， ∴．   （2）解：设向右平移的距离为（即对应点横坐标增加，纵坐标不变）．   由题意得：，平移后为，平移后为．   ∵，设直线的解析式为，   将、 代入得：，   两式相减得， ∴，代入得，   即直线O'B'的解析式为．   由（1）知，且在上，   ∴，   化简得，，解得．   答：向右平移的距离为． 【变式1-2】 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查反比例函数的几何综合题，还涉及了勾股定理，解题的关键是理解题意． （1）根据点坐标求出的值，即可得出反比例函数解析式； （2）过点做轴于点，若，则点，得出，根据翻折可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：矩形中，是中点， ， ∵点在双曲线上， ， ； （2）解：过点做轴于点， 若，则反比例函数为， ∴点， ∴， 根据翻折可得， ， ∴， 即． 【变式1-3】 【答案】(1)，； (2)点P的坐标为或 【分析】（1）由题意，得点A、B关于原点对称，即可得出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：①当点P在x轴正半轴上时，如解图1，分别过点A，向x轴作垂线，垂足为M、N，②当点P在x轴负半轴上时，如解图2，分别过点A、向x轴作垂线，垂足为M、N．利用旋转的性质证明全等，设，从而表示出点的坐标，代入反比例函数解析式求出的值，进而得到的长，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，得点A、B关于原点对称． ∵点A的横坐标为1，点B的纵坐标为， ∴，；． 将代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①当点P在x轴正半轴上时，如解图1，分别过点A，向x轴作垂线，垂足为M、N，则 由旋转，得，． ∴， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得，解得或（舍去）． ∴， ∴点． ②当点P在x轴负半轴上时，如解图2，分别过点A、向x轴作垂线，垂足为M、N， 同①，可得， ∴， 设，则， ∴， 将代入，得， 整理得，解得或（舍去）． ∴， ∴点． 综上所述，点P的坐标为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数综合解答题 （题型突破·举一反三） 题型01 反比例函数与图形面积的综合 题型02 反比例函数与线段的综合 题型03 反比例函数与特殊三角形的综合 题型04 反比例函数与平行四边形的综合 题型05 反比例函数与特殊平行四边形的综合 题型06 反比例函数与动点最值问题 题型07 反比例函数与图形变换的综合 ▌题型01 反比例函数与图形面积的综合 ◆1、∣k∣几何意义：双曲线上一点作坐标轴垂线，直角三角形面积​、矩形面积∣k∣； ◆2、割补法求不规则图形：拆分 / 补全为坐标轴直角三角形、梯形； ◆3、△AOB通用模型：一次函数交x/y轴，拆分为两个小三角形面积相加； ◆4、已知面积反推k、双曲线上动点纵坐标 / 横坐标； ◆5、竖直线、水平线辅助求高，用绝对值处理坐标正负。 【典例1】（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【答案】(1)，， (2)17 【分析】（1）利用待定系数法，逐一求解即可； （2）根据，解答即可； 【详解】（1）解：反比例函数（）经过点， ， 解得， 故反比例函数的解析式为； 设的解析式为， 根据题意，得， 解得， 的解析式为， 当时，， 故点B的坐标为； （2）解：点在反比例函数的图象上，且纵坐标为3， ， 解得， ， ， ． 【变式1-1】（2026·河南周口·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)已知轴于点，点为反比例函数图象上的一点，且位于点的右侧，连接，．当时，求点的坐标及四边形的面积． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先将点代入直线，求出a的值从而确定点A坐标，再把点A坐标代入反比例函数，求出k，得到反比例函数解析式． （2）过点作，由根据等腰三角形“三线合一”得，进而确定点纵坐标为，将其代入反比例函数解析式求出横坐标，得到点坐标，再求出点C坐标，根据四边形的面积=与面积之和，计算即可． 【详解】（1）解：把点代入得， ， 解得：， ∴点坐标为， 把点代入得，， ． （2）解：过点作，垂足为点， ， ， 点的纵坐标为2， 把代入，解得． ． 直线中 令，则， 解得， ∴． ∵轴于点， ∴ ∵，． ∴四边形的面积=与面积之和． 中，，， ∴． 中，，点到的距离（即与横坐标之差的绝对值）为， ∴． ∴． 【变式1-2】（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，反比例函数与几何综合，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）把点A坐标代入反比例函数解析式中可求出m的值，把点A和点B的坐标代入一次函数解析式中可求出a、b的值； （2）根据（1）所求可得两函数解析式，联立两函数解析式可求出两函数的另一个交点坐标，再结合函数图象可得答案； （3）根据一次函数解析式求出点C坐标，进而求出的面积，则可得到的面积，根据三角形面积计算公式可求出点P的纵坐标，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵一次函数与反比例函数的图象交于点， ∴， ∴； ∵一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴交于点， ∴， ∴， ∴，； （2）解：由（1）得一次函数解析式为，反比例函数解析式为， 联立，解得或， ∴一次函数与反比例函数的另一个交点坐标为， ∴由函数图象可知，不等式的解集为或； （3）解：在中，当时，， ∴， ∵， ， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点P的坐标为或． 【变式1-3】（25-26八年级下·四川内江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）依题意把代入，得出，进而把代入中得出，再待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （2）根据交点的横坐标，结合函数图象，即可求解； （3）记直线与直线的交点为得出，设点，根据三角形的面积公式建立绝对值方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． 则结合图象，当时，则或； （3）解：如图，记直线与直线的交点为 ∵， ∴当时，则， ， ∵是直线上的一个动点， ∴设点， ∵的面积为35， ∴， 即 ∴ 解得或， ∴点坐标为或． ▌题型02 反比例函数与线段的综合 ◆1、竖直线x=m、水平线y=n上两点纵坐标 / 横坐标差计算线段长； ◆2、中点坐标公式，线段等分问题； ◆13、两直线平行，斜率相等，设解析式求交点线段； ◆4、线段相等、倍数关系列绝对值方程求解动点横坐标； ◆5、结合 30° 直角三角形边长关系求点坐标。 【典例2】如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 【答案】(1) (2)点C的坐标为 【分析】（1）由题意易得，则有，然后根据待定系数法可进行求解； （2）由题意可设，然后根据中点坐标公式进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴， ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：由题意可设， ∵，即点C是的中点，，点D在x轴上， ∴根据中点坐标公式可得：， 解得：， ∴． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，与直线平行的直线与函数的图象交于点． (1)求直线的解析式及k的值； (2)若点B是函数的图象上的点，设点B的横坐标为m，过点B作平行于y轴的直线，交直线于点C，交直线于点D． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出点B的横坐标m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①②或 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，反比例函数，一次函数与反比例函数交点问题． （1）先由平行的性质，设直线的解析式为，代入即可求出直线的解析式为，则将点代入中，得，即可作答． （2）①当时，分别得出，，，则，即可作答． ②先整理得，解得或，当时，则或，再运用数形结合思想分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵直线与直线平行， ∴设直线的解析式为， 依题意，将点代入解析式，得， 解得， ∴直线的解析式为， 将点代入中，则， 解得； （2）解：①当时，， 依题意，如图所示： 理由：由（1）得，， 当时，， 故， 依题意，得， 则， 当时，， ∴， ∴， ∴； ②或 ∵直线与直线平行， ∴， 依题意，， 解得或， 当时，则或， ∴观察图象，当时，或． 【变式1-2】 已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【答案】(1)3；1 (2)或 (3)或 【分析】本题是函数综合题，主要考查了待定系数法求解析式、三角形的面积、两点之间距离公式等，涉及到了数形结合的思想，能够根据题意综合应用上述知识点是解题的关键． （1）把点分别代入和中即可得到结果； （2）根据两三角形同底等高即面积相等即可得到点的坐标； （3）根据点的坐标设的坐标，利用两点之间距离公式求出和的距离，再代入即可． 【详解】（1）解：把点分别代入和得， ，， 解得，． （2）解：由（1）可知，，， 设过原点与直线平行的直线解析式为， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为， 把直线向上平移2个单位得， 列方程组， 解得，或（舍去）， 则点坐标为或． （3）解：点为轴正半轴上任意一点， ， 设，， ， ， ， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 当时，整理得， 解得或（舍去）， 或． 【变式1-3】（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． 【答案】(1) (2)点或 (3) 【分析】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及等腰直角三角形的性质等，处理数据和利用绝对值是解题的关键． （1）把点代入，得到，于是得到结论； （2）设点，则点，根据，得到，解方程即可得到结论； （3）设点，点，根据，得到方程，化简整理得到，因为上式恒成立，得到，于是得到结论． 【详解】（1）解：点在的函数图象上， ， 函数的关系式为； （2）解：设点，则点， ， 则， 解得：或或（舍去）， 即点或； （3）解：设点，点， ， 则， 即， 因为上式恒成立， 则， 解得：． ▌题型03 反比例函数与特殊三角形的综合 ◆1、直角三角形：分类讨论三个顶点分别为直角顶点，勾股定理列方程； ◆2、等腰直角三角形：作坐标轴垂线构造 AAS 全等转化横纵坐标； ◆3、45°，30°直角三角形边长比例求双曲线上顶点； ◆4、同底等高三角形面积相等找点； ◆5、坐标轴上动点构成直角三角形，分x轴、y轴两类讨论多解。 【典例3】如图1，已知反比例函数的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB相交于点D，另一直角边OA在x轴上． （1）已知Rt△OAB的面积为8，请求出k的值； （2）如图2，直线y＝mx+b经过C，D两点，在（1）的条件下，当∠AOB＝45°时，请求出直线CD的表达式； （3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 【分析】（1）由Rt△OAB的面积2m×2n＝8，即可求解； （2）当∠AOB＝45°时，则直线OB的表达式为：y＝x，故（1）中m＝n，进而求解； （3）观察函数图象即可求解． 【详解】解：（1）设点C（m，n）， 由中点坐标公式得，点B（2m，2n）， 则Rt△OAB的面积2m×2n＝8， 则mn＝4， 则k＝mn＝4； （2）当∠AOB＝45°时， 则直线OB的表达式为：y＝x， 故（1）中m＝n， 即mn＝m2＝4， 解得：m＝﹣2（舍去）或2， 即点C（2，2），则点B（4，4）， 由（1）知，反比例函数的表达式为：y， 当x＝4时，y＝1，即点D（4，1）， 由点C、D的坐标得，直线CD的表达式为：yx+3； （3）观察函数图象知，不等式的解集为：x＞4或0＜x＜2． 【点睛】本题考查的是反比例函数综合运用，涉及到一次函数的图象和性质，解不等式等，数形结合是解题的关键． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点或或或 【分析】（1）一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点，根据，得确定，继而利用待定系数法，求两个函数的解析式即可． （2）利用交点的横坐标，数形结合思想直接解答即可． （3）设点，根据两点间距离公式，得点， ，，根据勾股定理的逆定理，分类建立方程解答即可． 本题考查了待定系数法，交点坐标的求解，数形结合求不等式组的解集，两点间距离公式，勾股定理的逆定理的应用，熟练掌握定理和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，点，点，， ∴，， 解得， ∴点， ∴， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 根据题意，得， 解得， ∴一次函数的解析式为． （2）解：根据题意，得， 故不等式组的解集为 （3）解：设点，根据两点间距离公式，得点，， ， 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 整理，得， 解得或， 此时点或； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 当时，此时三角形是直角三角形， 故， 解得， 此时点； 综上所述，存在点P使得以点、、为顶点的三角形是直角三角形，且点或或或． 【变式1-2】（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)存在；E点的坐标为或或 【分析】（1）把点A的坐标分别代入一次函数与反比例函数解析式中，即可求解； （2）设，由可得，由点D在反比例函数的图象上，把其坐标代入解析式中即可求解； （3）设；分两种情况：当点C为直角顶点时；当点O为直角顶点时，利用全等三角形的判定与性质即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， 解得， 将代入，得，即， （2）解：：， ， 设， ， ， ∴， ， ∵点D在双曲线上， ， 解得，（舍去）， ； （3）解：存在． 设， ①当C为直角顶点时，过点C作x轴的垂线，垂足为N，过点E作，垂足为M，则， ， ， ， ， ， 又∵等腰直角三角形中，， ， ，， ； ②当O为直角顶点时，过点C作轴，垂足为N，过点E作轴，垂足为M，同理可得， ，， ， ，解得，， 此时，， 综上所述：满足条件的E点的坐标为或或． 【变式1-3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或或． 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）解：∵点B的坐标为也在上， ∴， ∵A的坐标为都在一次函数的图像上 ，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵如图：直线与x轴交于点C，， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴ ； （3）解：当点P在x轴上， 设点， ①如图2：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点， 如图4：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为； 如图5：当时， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． ▌题型04 反比例函数与平行四边形的综合 ◆1、平行四边形核心规律：对角线中点坐标完全相同； ◆2、坐标平移法：一组定点横、纵坐标差值不变，快速求动点； ◆3、分两类讨论：两点为平行四边形的边、两点为对角线； ◆4、直线平移结合平行四边形顶点落在双曲线上； ◆5、动点位置分类：坐标轴动点、双曲线上动点。 【典例4】如图，反比例函数过点，直线与x轴交于点，交y轴于点E，过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B． (1)求k的值与B点的坐标； (2)将直线向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线上，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在平面内有点M，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有M点的坐标． 【答案】(1)， (2)点B在直线上，理由见解析 (3)点M的坐标为：或或 【分析】本题主要考查的是反比例函数综合运用、一次函数的性质、平行四边形的性质、函数的平移等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）将A点的坐标代入反比例函数求得的值，然后将代入反比例函数解析式求得相应的的值，即得点的坐标； （2）确定平移后直线的表达式即可求解； （3）分为平行四边形的边、对角线两种情况，分别求解即可． 【详解】（1）解：把点代入，得， 故该反比例函数解析式为：． 点，轴， 把代入反比例函数，得：， ． 综上所述，的值是，点的坐标是； （2）解：设直线A、的表达式为 则，解得：， 故直线的表达式为：， 令，则，故点， 设直线向右平移个单位， 则平移后直线的表达式为：，则点， 点在反比例函数上， 将点坐标代入反比例函数表达式得：， 解得：， 则平移后直线的表达式为：， 令，则，故点； 当时，，故点在直线上； （3）解：设点的坐标为，而点A、、的坐标分别为：、、； 当是边时，点A向右平移4个单位向下平移个单位得到， 同样点向右平移4个单位向下平移个单位得到， 故或，解得：或， 故点的坐标为：或； 当是对角线时， 由中点公式得：，解得：， 故点的坐标为； 综上，点的坐标为：或或． 【变式1-1】（2024·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于，与反比例函数的图象交于，．和面积均为． (1)求反比例函数的表达式和的面积． (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集 ． (3)点为轴上一点，点为反比例函数图象上一点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，3 (2)或 (3)点的坐标为或 【分析】（1）解方程得到，，求得，，设，根据三角形的面积公式列方程即可得到结论； （2）设，根据三角形的面积公式列方程得到，求得，于是得到不等式的解集； （3）设，，，，根据平行四边形的性质和中点坐标公式列方程组即可得到结论． 【详解】（1）解：在中， 令，则， 令，则， ，， ，， 设， 和面积均为， ， ， ， ， ， 反比例函数的表达式为， 的面积的面积的面积面积； （2）解：设， 面积为， ， ， ， ， 当时，不等式的解集为； 由函数图象可知，当时，不等式恒成立； 综上所述，不等式的解集为或； （3）解：设，，，， 以，，，为顶点的四边形为平行四边形时， 当是平行四边形的对角线时， 由中点坐标公式得：， 解得：， 即点； 当是对角线时，同理可得：， 解得：， 即点（与点重合，不合题意舍去）； 当是对角线时，同理可得：， 解得：， 故点； 综上，点的坐标为或． 【变式1-2】综合与探究 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，P为x轴负半轴上一动点，作直线，连接．    (1)求一次函数的表达式． (2)若的面积为，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若E为直线PA上一点，F为y轴上一点，是否存在点E，F，使以E，F，P，B为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数解析式为； (2)； (3)（-7，-4）或． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，设，根据三角形的面积为，建立方程求解即可得出，得出答案； （3）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，，当、为平行四边形对角线时，与的中点重合；当，为平行四边形对角线时，与的中点重合；分别建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴反比例函数解析式为， ∴， 把，代入得 解得， ∴一次函数解析式为； （2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，    设， ∵，， ∴，， 在中，令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）存在； 设直线的解析式为，把，坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 又，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， ∴， 解得， ∴； 当，为平行四边形对角线时，与的中点重合， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点E的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解． 【变式1-3】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数y（k≠0）的图象相交于，B两点，连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图像写出不等式的解集； (4)若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． 【答案】(1) (2)6 (3)或 (4)或 【分析】本题考查了反比例函数与特殊四边形的综合题目，涉及求反比例函数解析式，三角形的面积公式，反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握知识点并运用分类讨论的思想是解题的关键． （1）先利用一次函数求出A点的坐标，再将A点坐标代入反比例函数解析式即可； （2）先求出B、C点坐标，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）根据函数图象，即可列出不等式的关系，从而得解， （4）过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E，证明，得到，，再分两种情况，即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入一次函数，得， 解得， ∴， 把代入反比例函数得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：由题意得方程组， 解得，， ∴， 设一次函数交y轴于点C， 令中，则， ∴， ∴， ∴ ； （3）从图像看，不等式的解集就是一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值范围． ∴解集为或． （4）解：如图，由题意得，， 过点B作y轴的垂线，垂足为点D，过M作y轴的垂线，过N作x轴的垂线，交点为E， 则， ∴，， 当点在点A的左侧时， 设，则， ∵在上， ∴，即， ∴，， 经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去； 当时，， ∴； 当点在点A的右侧时， 设，则， ∵在上， ∴，即， ∴，， 经检验是原方程的根且符合题意，，不合题意，舍去； 当时，， ∴； 综上所述：点M的坐标为或． ▌题型05 反比例函数与特殊平行四边形的综合 ◆1、菱形：四条边长相等，对角线互相垂直平分； ◆2、矩形：邻边垂直，对边平行且相等，顶点横纵坐标满足垂直关系； ◆3、正方形：四边相等、四个直角，横纵坐标差值相等； ◆4、结合等边三角形、菱形存在性，联立反比例解析式求顶点； ◆5、利用图形边长、面积先求点，再求k。 【典例5】（25-26九年级上·全国·周测）如图，点，分别在轴和轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边三角形，，且轴． (1)若点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式． (2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点，使四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的表达式为 (2)存在，点的坐标为 【分析】本题考查了反比例函数的解析式的求法、与几何图形结合的综合能力的培养．解题的关键是要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）如图1中，作轴于D．首先证明四边形是矩形，利用反比例函数的几何意义解决问题即可； （2）如图2中,先作辅助线,求出D的坐标,证明四边形是菱形即可. 【详解】（1）解：如图①，过点作轴于点． 轴，轴， ，， 四边形是平行四边形． ， 四边形是矩形， ，． ，， 反比例函数的表达式为． （2）解：存在，理由如下： 如图②，过点作于点，交反比例函数图象于点，连接，． AI 是等边三角形，面积为， 可设，则， ， ， （负值已舍去）， ，，， ， ． ， ，． ， ， 四边形是菱形， 反比例函数图象上存在点，使四边形是菱形，点的坐标为． 【变式1-1】（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)20 【分析】本题考查正比例函数和反比例函数的性质： （1）将点的坐标分别代入正比例函数与反比例函数中，即可得出的值，再根据反比例函数的对称性可得点的坐标； （2）利用图象可得反比例函数图象在正比例函数图象上方时，自变量的取值范围； （3）作于，由勾股定理求出的长，利用菱形的面积公式可得答案． 【详解】（1）解：将代入得， ∴， ∴， ∵点与关于原点对称， ∴； 故答案为：； （2）解：将代入得， 即反比例函数解析式为：， 由图象知，当或时，， 故答案为：或； （3）解：作于， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∵四边形是菱形， ∴， ∴菱形的面积为． 【变式1-2】如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点且与反比例函数的图象分别交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集； (3)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求点坐标． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，一次函数的解析式为 (2)的解集为或 (3)点的坐标为或 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合，正方形的性质，三角形的面积，熟练掌握反比例函数与一次函数的性质是解此题的关键． （1）先由正方形的性质结合点的坐标为，点的坐标为，得出点的坐标，再由待定系数法计算即可得出答案； （2）联立，求出，再结合图象即可得出答案； （3）设点的坐标为，根据的面积恰好等于正方形的面积，得出，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：四边形是正方形，点的坐标为，点的坐标为， ， ， 的图象经过点， ， ， 反比例函数的解析式为：； 一次函数的图象经过点和点， ， 解得：， 一次函数的解析式为； （2）解：联立， 解得：或， ， 由图象可得：的解集为或； （3）解：设点的坐标为， 的面积恰好等于正方形的面积， ， 解得：， 当时，，此时点的坐标为， 当时，，此时点的坐标为， 综上所述，点的坐标为或． 【变式1-3】已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)存在，N的坐标为或或． 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数交点问题，中点坐标公式，矩形的性质等知识，熟练掌握各自的性质是解本题的关键． （1）根据点的坐标，利用中点坐标公式求出的坐标，确定出反比例函数解析式，进而求出点的坐标，即可求出的长； （2）根据坐标确定出直线与直线解析式，过点作轴交于点， 设， 三角形面积三角形面积三角形面积，把已知面积代入求出的值，即可确定出坐标； （3）分三种情况考虑，根据平行四边形性质及中点坐标公式确定出的坐标即可． 【详解】（1）解：点B的坐标为，D为中点， ， 反比例函数的图象经过的中点D， ， 反比例函数解析式为， 把代入反比例函数解析式中，得：， ∴； （2）解：由，得到直线解析式为， 由，得到直线解析式为， 过点M作轴交于点N， 设，则，， ， ， 解得：， ∴点M坐标为； （3）解：存在，理由如下： 由题意得：， 如图： 设， 分三种情况考虑：当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴； 当四边形为平行四边形时， 可得， 解得：， ∴， 综上，的坐标为或或． ▌题型06 反比例函数与动点最值问题 ◆1、将军饮马模型：作点关于x轴 /y轴对称，两点之间线段最短； ◆2、求PA+PB最小值，先求对称点，再求直线解析式，得坐标轴动点； ◆3、勾股定理计算最短线段长度； ◆4、双曲线上动点结合三角形面积最值； ◆5、周长最小转化为两条线段和最小求解。 【典例6】（24-25九年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例（k为常数，且）的图象交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，点B的坐标为； (2)点P的坐标为． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题． （1）由点A在一次函数图象上，结合一次函数解析式可求出点A的坐标，再由点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数解析式，联立两函数解析式成方程组，解方程组即可求出点B坐标； （2）作点B关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P，连接．由点B、D的对称性结合点B的坐标找出点D的坐标，设直线的解析式为，结合点A、D的坐标利用待定系数法求出直线的解析式，令直线的解析式中求出点P的坐标即可得出结论． 【详解】（1）解：把点代入一次函数， 得：，解得：， ∴点A的坐标为． 把点代入反比例函数， 得：， ∴反比例函数的表达式为， 联立两个函数关系式成方程组得：， 解得：或， ∴点B的坐标为； （2）解：作点B关于x轴的对称点D，交x轴于点C，连接，交x轴于点P，连接，此时的值最小，最小值为的长，如图所示． ∵点B、D关于x轴对称，点B的坐标为， ∴点D的坐标为． 设直线的解析式为， 把A，D两点代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为． 令，则， 解得：， ∴点P的坐标为． 【变式1-1】（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点坐标为，点坐标为，一次函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，的解集； (3)在轴上找一点，使得的值最小．直接写出此时点的坐标为____，_____． 【答案】(1)反比例函数的解析式为；一次函数的解析式为 (2) (3)； 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，轴对称的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，正确作出辅助线是解题的关键． （1）过点B作轴于点D，则，可证明得到，则可求出点B的坐标为，再利用待定系数法求解即可； （2）根据函数图象找到一次函数图象在反比例函数图象下方时自变量的取值范围即可得到答案； （3）作点A关于x轴的对称点E，则，设点是轴上的任意一点，连接，由轴对称的性质可得，可证明当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，同理可得直线的解析式为，在中，当时，，则点M的坐标为． 【详解】（1）解：如图所示，过点B作轴于点D，则， 由题意得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点坐标为，点坐标为， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 把点B的坐标代入得，解得， ∴反比例函数的解析式为； 把点B和点C的坐标代入得，解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由函数图象可知，当时，的解集为； （3）解：如图所示，作点A关于x轴的对称点E，则，设点是轴上的任意一点，连接， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴当、、三点共线时，有最小值，最小值为的长，即为， 同理可得直线的解析式为， 在中，当时，， ∴点M的坐标为． 【变式1-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】（1）利用待定系数法计算可得一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为，再联立求解即可； （2）先求出，作点E关于x轴的对称点，则，根据轴对称性质，，则．当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度．结合勾股定理计算即可得出的最小值为．求出直线的方程为，令，得，解得，即可得出结果； （3）过C作轴交于点T，设，，则，表示出，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入直线得，， 解得， ∴一次函数的解析式为， 再将代入得，， ∴反比例函数的解析式为， 联立得， 解得：（舍去），， ∴； （2）解：在中，当时，，则， 作点E关于x轴的对称点，则， 根据轴对称性质，， ∴． 当、P、B三点在一条直线上时，的值最小，最小值为线段的长度． ， ∴的最小值为． 设直线的方程为． 将和代入得， 解得． ∴直线的方程为 令，得，解得． ∴点P的坐标为． （3）解：如图，过C作轴交于点T， 设，，则， ∴， ∴， 解得，（舍去）， ∴点C的坐标为． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求，的值． (2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为 (3)点的坐标为 【分析】本题主要考查反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）把代入求出值，把代入可求出的值，代入即可求出的值； （2）作点关于轴的对称点，连接，交轴于，根据轴对称的性质得出的周长最小为，利用待定系数法可求出直线的解析式为，令，求出值，即可得答案； （3）设，直线的解析式为，利用待定系数法得出直线的解析式为，求出，根据的面积为得出，解方程即可得答案． 【详解】（1）解：∵直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为， ∴，， 解得：，， ∴， ∴， 解得：． （2）解：如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于， ∴， ∴， ∴、、三点共线时有最小值，为， ∴的周长最小，为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为． （3）解：由（1）得， ∴反比例函数解析式为， ∵直线交反比例函数的图像于点（异于）， ∴设，直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得：， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴， 当时，，整理得（舍去）， 当时，，整理得（舍去）， 当时，， 解得：， ∴， ∴点的坐标为． ▌题型07 反比例函数与图形变换的综合 ◆1、直线上下 / 左右平移规律：左加右减，上加下减； ◆2、点绕坐标轴上点旋转 90°，构造全等三角形转换坐标； ◆3、点关于x、y轴对称坐标变化规律； ◆4、平移后顶点落在双曲线上，求平移距离； ◆5、图形翻折后，利用对称点坐标求反比例参数。 【典例7】如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式． (2)将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法求解析式即可； （2）利用平行四边形的性质得到，轴，求出，平移后点B的坐标为，代入解析式即可求出m的值． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴． ∴． ∴反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，． ∵，， ∴，轴． ∵， ∴． ∵向上平移m个单位长度， ∴平移后点B的坐标为． ∵平移后点B落在反比例函数的图象上， ∴． ∴． 【变式1-1】（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点B作轴于点A，连接OB，将向右平移，得到，交双曲线于点． (1)求a的值； (2)求向右平移到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了反比例函数的性质（点在反比例函数图象上则横纵坐标之积等于比例系数）和平移的性质（图形平移后对应点横坐标的差为水平平移距离，对应线段平行），解题的关键是先利用点求出反比例函数的值，再结合平移性质和点在直线上的条件列方程求解． （1）先根据点在反比例函数上，求出的值；再将点代入反比例函数解析式，列方程求出（注意，舍去负根）；   （2）设向右平移的距离为，根据平移性质表示出、的坐标；利用的性质（或点在O'B'上）列方程，求解，即为平移距离． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上，   ∴，即反比例函数解析式为．   又∵点在该双曲线上，   ∴，即，．   ∵ ，∴，即， ∴．   （2）解：设向右平移的距离为（即对应点横坐标增加，纵坐标不变）．   由题意得：，平移后为，平移后为．   ∵，设直线的解析式为，   将、 代入得：，   两式相减得， ∴，代入得，   即直线O'B'的解析式为．   由（1）知，且在上，   ∴，   化简得，，解得．   答：向右平移的距离为． 【变式1-2】（2025·四川绵阳·二模）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边，分别交于点E，F． (1)若E是的中点，求反比例函数的解析式； (2)若，将沿直线对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查反比例函数的几何综合题，还涉及了勾股定理，解题的关键是理解题意． （1）根据点坐标求出的值，即可得出反比例函数解析式； （2）过点做轴于点，若，则点，得出，根据翻折可得，根据勾股定理求出，即可求解． 【详解】（1）解：矩形中，是中点， ， ∵点在双曲线上， ， ； （2）解：过点做轴于点， 若，则反比例函数为， ∴点， ∴， 根据翻折可得， ， ∴， 即． 【变式1-3】如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为． (1)求点A、B的坐标及反比例函数的表达式． (2)若点P是x轴上一个动点，连接，将绕点P顺时针旋转，点A的对应点恰好能落在反比例函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)点P的坐标为或 【分析】（1）由题意，得点A、B关于原点对称，即可得出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：①当点P在x轴正半轴上时，如解图1，分别过点A，向x轴作垂线，垂足为M、N，②当点P在x轴负半轴上时，如解图2，分别过点A、向x轴作垂线，垂足为M、N．利用旋转的性质证明全等，设，从而表示出点的坐标，代入反比例函数解析式求出的值，进而得到的长，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，得点A、B关于原点对称． ∵点A的横坐标为1，点B的纵坐标为， ∴，；． 将代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①当点P在x轴正半轴上时，如解图1，分别过点A，向x轴作垂线，垂足为M、N，则 由旋转，得，． ∴， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得，解得或（舍去）． ∴， ∴点． ②当点P在x轴负半轴上时，如解图2，分别过点A、向x轴作垂线，垂足为M、N， 同①，可得， ∴， 设，则， ∴， 将代入，得， 整理得，解得或（舍去）． ∴， ∴点． 综上所述，点P的坐标为或． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 反比例函数综合解答题 （题型突破·举一反三） 题型01 反比例函数与图形面积的综合 题型02 反比例函数与线段的综合 题型03 反比例函数与特殊三角形的综合 题型04 反比例函数与平行四边形的综合 题型05 反比例函数与特殊平行四边形的综合 题型06 反比例函数与动点最值问题 题型07 反比例函数与图形变换的综合 ▌题型01 反比例函数与图形面积的综合 ◆1、∣k∣几何意义：双曲线上一点作坐标轴垂线，直角三角形面积​、矩形面积∣k∣； ◆2、割补法求不规则图形：拆分 / 补全为坐标轴直角三角形、梯形； ◆3、△AOB通用模型：一次函数交x/y轴，拆分为两个小三角形面积相加； ◆4、已知面积反推k、双曲线上动点纵坐标 / 横坐标； ◆5、竖直线、水平线辅助求高，用绝对值处理坐标正负。 【典例1】（2026·甘肃天水·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴、轴交于点，，与反比例函数（）的图象交于点．已知点的坐标为，点的坐标为，点在反比例函数（）的图象上，纵坐标为3． (1)求反比例函数、一次函数的表达式，并直接写出点的坐标； (2)连接，，求四边形的面积． 【变式1-1】（2026·河南周口·模拟预测）如图，直线与反比例函数的图象相交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式． (2)已知轴于点，点为反比例函数图象上的一点，且位于点的右侧，连接，．当时，求点的坐标及四边形的面积． 【变式1-2】（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，且与x轴和y轴分别交于点和点C． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)直接写出不等式的解集为_______； (3)连接OA，已知P为反比例函数图象上一点，且，求点P的坐标． 【变式1-3】（25-26八年级下·四川内江·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． ▌题型02 反比例函数与线段的综合 ◆1、竖直线x=m、水平线y=n上两点纵坐标 / 横坐标差计算线段长； ◆2、中点坐标公式，线段等分问题； ◆13、两直线平行，斜率相等，设解析式求交点线段； ◆4、线段相等、倍数关系列绝对值方程求解动点横坐标； ◆5、结合 30° 直角三角形边长关系求点坐标。 【典例2】如图，是直角三角形，，，，已知点A在反比例函数的图象上． (1)求反比例函数的解析式； (2)点C在这个反比例函数图象上，连接并延长交x轴于点D，当时，求点C的坐标． 【变式1-1】如图，在平面直角坐标系中，与直线平行的直线与函数的图象交于点． (1)求直线的解析式及k的值； (2)若点B是函数的图象上的点，设点B的横坐标为m，过点B作平行于y轴的直线，交直线于点C，交直线于点D． ①当时，判断线段与的数量关系，并说明理由； ②若，结合函数的图象，直接写出点B的横坐标m的取值范围． 【变式1-2】 已知一次函数和反比例函数相交于点和点． (1)＝ ，＝ ； (2)连接，在反比例函数的图象上找一点，使，求出点的坐标； (3)点为轴正半轴上任意一点，过点作轴的垂线交反比例函数和一次函数分别于点，且满足，求的值． 【变式1-3】（2025·江苏泰州·三模）在平面直角坐标系中，如图，点A为函数图象上一动点，过点A作y轴的平行线交直线于点B，点P坐标为．当时，点P恰好落在的函数图象上． (1)求函数的关系式； (2)若是以为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标； (3)在点A运动过程中始终存在一点P，使恒成立，求a的值． ▌题型03 反比例函数与特殊三角形的综合 ◆1、直角三角形：分类讨论三个顶点分别为直角顶点，勾股定理列方程； ◆2、等腰直角三角形：作坐标轴垂线构造 AAS 全等转化横纵坐标； ◆3、45°，30°直角三角形边长比例求双曲线上顶点； ◆4、同底等高三角形面积相等找点； ◆5、坐标轴上动点构成直角三角形，分x轴、y轴两类讨论多解。 【典例3】如图1，已知反比例函数的图象经过Rt△OAB斜边OB的中点C，且与直角边AB相交于点D，另一直角边OA在x轴上． （1）已知Rt△OAB的面积为8，请求出k的值； （2）如图2，直线y＝mx+b经过C，D两点，在（1）的条件下，当∠AOB＝45°时，请求出直线CD的表达式； （3）根据图象，请直接写出关于x的不等式的解集． 【变式1-1】（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴交于点，与反比例函数在第一象限内的图象交于点．连接，若． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)直接写出不等式组的解集； (3)已知是轴上一点，若以点、、为顶点的三角形是直角三角形，请直接写出点的坐标． 【变式1-2】（25-26八年级下·山东济南·期末）直线与双曲线（）交于点，与x轴交于点B，点C是线段上一点． (1)求k，b的值； (2)如图，过点C作y轴的垂线l，l与（）的图象交于点D，当线段时，求点D的坐标； (3)双曲线（）上是否存在点E，使得是以为直角边的等腰直角三角形，若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（24-25九年级上·山东青岛·期中）如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． ▌题型04 反比例函数与平行四边形的综合 ◆1、平行四边形核心规律：对角线中点坐标完全相同； ◆2、坐标平移法：一组定点横、纵坐标差值不变，快速求动点； ◆3、分两类讨论：两点为平行四边形的边、两点为对角线； ◆4、直线平移结合平行四边形顶点落在双曲线上； ◆5、动点位置分类：坐标轴动点、双曲线上动点。 【典例4】如图，反比例函数过点，直线与x轴交于点，交y轴于点E，过点C作x轴的垂线交反比例函数图象于点B． (1)求k的值与B点的坐标； (2)将直线向右平移，当点E正好落在反比例函数图象上的点时，直线交x轴于点F．请判断点B是否在直线上，并说明理由； (3)在（2）的条件下，在平面内有点M，使得以四点为顶点的四边形为平行四边形，请求出符合条件的所有M点的坐标． 【变式1-1】（2024·山东潍坊·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与坐标轴交于，与反比例函数的图象交于，．和面积均为． (1)求反比例函数的表达式和的面积． (2)根据图象直接写出关于的不等式的解集 ． (3)点为轴上一点，点为反比例函数图象上一点，当以，，，为顶点的四边形为平行四边形时，直接写出点的坐标． 【变式1-2】综合与探究 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，P为x轴负半轴上一动点，作直线，连接．    (1)求一次函数的表达式． (2)若的面积为，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若E为直线PA上一点，F为y轴上一点，是否存在点E，F，使以E，F，P，B为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-3】（23-24八年级下·江苏扬州·阶段检测）如图，一次函数与反比例函数y（k≠0）的图象相交于，B两点，连接，． (1)求这个反比例函数的表达式； (2)求的面积； (3)根据图像写出不等式的解集； (4)若点M在第一象限内反比例函数图象上，点N在x轴上方且在一次函数图象上，若以O，B，M，N为顶点的四边形是平行四边形，求点M的坐标． ▌题型05 反比例函数与特殊平行四边形的综合 ◆1、菱形：四条边长相等，对角线互相垂直平分； ◆2、矩形：邻边垂直，对边平行且相等，顶点横纵坐标满足垂直关系； ◆3、正方形：四边相等、四个直角，横纵坐标差值相等； ◆4、结合等边三角形、菱形存在性，联立反比例解析式求顶点； ◆5、利用图形边长、面积先求点，再求k。 【典例5】（25-26九年级上·全国·周测）如图，点，分别在轴和轴的正半轴上，以线段为边在第一象限作等边三角形，，且轴． (1)若点在反比例函数的图象上，求该反比例函数的表达式． (2)在（1）中的反比例函数图象上是否存在点，使四边形是菱形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式1-1】（2025·甘肃临夏·二模）如图，反比例函数的图象与正比例函数的图象相交于点． (1)点D的坐标为________； (2)不等式的解集是________； (3)已知轴，以为边作菱形，求菱形的面积． 【变式1-2】如图，四边形为正方形．点的坐标为，点的坐标为，反比例函数的图象经过点，一次函数的图象经过点且与反比例函数的图象分别交于点． (1)求反比例函数与一次函数的解析式； (2)直接写出的解集； (3)点是反比例函数图象上的一点，若的面积恰好等于正方形的面积，求点坐标． 【变式1-3】已知，矩形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C在x轴的正半轴上，点A在y轴的正半轴上，已知点B的坐标为，反比例函数的图象经过的中点D，且与交于点E，顺次连接O，D，E． (1)求m的值和E的坐标； (2)在线段上存在一点M，当的面积等于时，求点M的坐标； (3)平面直角坐标系中是否存在一点N，使得O、D、E、N四点构成平行四边形？若存在，请计算N的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型06 反比例函数与动点最值问题 ◆1、将军饮马模型：作点关于x轴 /y轴对称，两点之间线段最短； ◆2、求PA+PB最小值，先求对称点，再求直线解析式，得坐标轴动点； ◆3、勾股定理计算最短线段长度； ◆4、双曲线上动点结合三角形面积最值； ◆5、周长最小转化为两条线段和最小求解。 【典例6】（24-25九年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，一次函数的图象与反比例（k为常数，且）的图象交于，B两点． (1)求反比例函数的表达式及点B的坐标； (2)在x轴上找一点P，使的值最小，求满足条件的点P的坐标． 【变式1-1】（25-26九年级上·江西九江·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一块等腰直角三角板放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点坐标为，点坐标为，一次函数的图象经过点，反比例函数的图象经过点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)直接写出当时，的解集； (3)在轴上找一点，使得的值最小．直接写出此时点的坐标为____，_____． 【变式1-2】如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数的表达式及点的坐标； (2)直线与轴交于点，在轴上找一点，使得最小，求点坐标，并求出最小值； (3)如图2，为第二象限内反比例函数图象上的点，且点在点右侧，连接、，当的面积为30时，求点的坐标． 【变式1-3】如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图像的一个交点为，与x轴的交点为． (1)求，的值． (2)若点是轴上的一个动点，当的周长最小时，求点的坐标． (3)为轴上一点，直线交反比例函数的图像于点（异于），连接，若的面积为，求点的坐标． ▌题型07 反比例函数与图形变换的综合 ◆1、直线上下 / 左右平移规律：左加右减，上加下减； ◆2、点绕坐标轴上点旋转 90°，构造全等三角形转换坐标； ◆3、点关于x、y轴对称坐标变化规律； ◆4、平移后顶点落在双曲线上，求平移距离； ◆5、图形翻折后，利用对称点坐标求反比例参数。 【典例7】如图，的顶点，，，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式． (2)将向上平移m个单位长度，当点B落在反比例函数的图象上时，求m的值． 【变式1-1】（2024·湖南·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，点在反比例函数的图象上，过点B作轴于点A，连接OB，将向右平移，得到，交双曲线于点． (1)求a的值； (2)求向右平移到的距离． 【变式1-2】（2025·四川绵阳·二模）如图，在矩形中，，，反比例函数的图象与矩形两边，分别交于点E，F． (1)若E是的中点，求反比例函数的解析式； (2)若，将沿直线对折，点B落在x轴上的点D处，求点D的坐标． 【变式1-3】如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为． (1)求点A、B的坐标及反比例函数的表达式． (2)若点P是x轴上一个动点，连接，将绕点P顺时针旋转，点A的对应点恰好能落在反比例函数的图象上，求点P的坐标． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $