专题1.2 反比例函数的性质（专题训练）《知识解读·题型专练》-2026-2027学年苏科版九年级数学上册

**基本信息** 以7类递进题型系统覆盖反比例函数性质应用，从坐标比较、参数范围到面积计算、存在性与动点问题，体现从基础到综合的知识逻辑，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |比较坐标大小|9题|分知横比纵/知纵比横两类|基于反比例函数增减性，结合象限分析坐标关系| |参数取值范围|6题|由函数增减性/给定条件求参数|衔接函数性质与不等式，强化推理意识| |图形面积|6题|涉及三角形、四边形与双曲线上点构成图形|运用k的几何意义，培养几何直观| |面积求比例系数|9题|由图形面积反推k值|深化k的几何意义的逆向应用| |存在性问题|6题|等腰三角形、平行四边形等存在性探究|综合函数与几何性质，发展创新意识| |动点问题|9题|动点在坐标轴/函数图象上的动态问题|结合图形变换与函数关系，提升应用意识|

专题1.2 反比例函数的性质（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型1··比较坐标大小(知横坐标比纵坐标 1 题型2··比较坐标大小(知纵坐标比横坐标 3 题型 3··求反比例函数中参数的取值范围 6 题型 4·求反比例函数中的图形面积 8 题型5·由图形面积求反比例函数的比例系数 14 题型 6·反比例函数中的存在性问题 22 题型 7·反比例函数中的动点问题 35 题型1··比较坐标大小(知横坐标比纵坐标 1．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数中的正负确定图象的象限与增减性，分象限比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数中， ∴ 其图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小. ∵ 点，在第三象限，且， ∴ . ∵ 点在第一象限， ∴ . ∴ . 2．点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的解析式判断出函数图象所在的象限，再根据各点横坐标的特点进行解答即可. 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在一、三象限，并且在每一象限内y随x的增大而减小， ∵， ∴A点在第三象限， ∴， ∵， ∴B、C两点在第一象限， ∴， ∴． 3．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将三点横坐标分别代入反比例函数解析式，求出对应函数值后比较大小． 【详解】解：把各点横坐标代入， 得， ， ， ∵， ∴． 4．已知反比例函数点，在图象上，则、大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题利用反比例函数的图像性质解题．先根据判断反比例函数图象所在象限，再根据两点横坐标判断点所在象限，通过和的正负比较大小． 【详解】解： 反比例函数 ， 该反比例函数的图象分布在第二、四象限． 点 的横坐标 ， 点 在第二象限，得 ． 点 的横坐标 ， 点 在第四象限，得 ． ． 题型2··比较坐标大小(知纵坐标比横坐标 5．已知点，都在反比例函数的图象上，，则、、0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据反比例函数的比例系数判断图象所在象限，再根据y的符号推导出对应x的符号，即可得到三者的大小关系． 【详解】解：∵反比例函数中，， ∴函数图象位于第一、三象限， 第一象限满足，第三象限满足． 又∵， ∴，可得点在第一象限，因此； ，可得点在第三象限，因此． ∴大小关系为． 6．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 【答案】C 【分析】先得出这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小，再分两种情况：①和②解答即可得． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴这个反比例函数的图象位于第一、三象限；且在每一象限内，随的增大而减小． ①当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴，符合题意； ②当时， ∵点，都在反比例函数的图象上，且， ∴要使，则，符合题意； 综上，的取值范围是或． 7．已知，，是反比例函数的图象上的三点，且则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据反比例函数的系数判断出函数图象在一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小，再根据，判断出，，的大小．本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数的系数 函数图象如图，则图象在第一、三象限，在每个象限内，随的增大而减小， 又∵， 点，在第一象限，点在第三象限， ∴． 故选：B． 8．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，要学会比较图象上点的坐标．根据反比例函数图象上点可以判断反比例函数经过的象限，再由对应反比例函数的性质，即可得出结论． 【详解】解：由反比例函数图象上点可知， 反比例函数图象位于第二、四象限，即在每个象限内，图象自左向右上升，函数随的增大而增大， 反比例函数图象上位于第二象限的两个点的坐标分别为，位于第一象限的点的坐标为， ． 故选：A． 9．若点，，在反比例函数（m是常数）的图像上，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由可知，反比例函数是常数）的图象在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大；由，可知，在第四象限，且，由可知：在第二象限，，综上所述，结论可得． 【详解】解：， 反比例函数是常数）的图象在第二、四象限，在每一象限内随的增大而增大． ，， ，在第四象限，且． ， 在第二象限． ． ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的性质，反比例函数图象上点的坐标的特征．熟记反比例函数图象的性质并熟练运用是解题的关键． 题型 3··求反比例函数中参数的取值范围 10．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当反比例函数比例系数大于0时，在的区间内，y随x的增大而减小，据此列出不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵当时，随的增大而减小， ∴反比例函数的比例系数大于0，即， 解得． 11．若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】本题主要考查的是反比例函数的性质，熟知反比例函数的图象是双曲线且当，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小是解题的关键． 根据反比例函数的性质可求k的取值范围，再确定的可能取值即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在每个象限内，y随x的增大而减小, ∴，即，即D选项符合题意． 故选：D． 12．已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，根据题意，得到反比例函数图象过二，四象限，得到，求解即可． 【详解】解：∵反比例函数，当时，， ，解得． 故选D． 13．已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】先根据反比例函数的性质判断的增减性，再由且，判断出，两点分别位于不同象限，根据象限内点的坐标特征列不等式组求解． 【详解】解：反比例函数中，， 该反比例函数图像在第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， ， 又， 点，不在同一象限，即在第三象限，在第一象限， ∴ ， ∴的取值范围为． 14．反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_________ ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，得出，解得，即可作答． 【详解】解：∵反比例函数中，当时，y随x的增大而增大， ∴， 解得， 故答案为：． 15．若反比例函数的图像在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是______. 【答案】 【分析】根据反比例函数的性质进行作答，当反比例函数系数时，它图象所在的每个象限内y随x的增大而减小． 【详解】解：∵在每个象限内，y随着x的增大而减小， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，对于反比例函数 （），（1），反比例函数图象在一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；（2），反比例函数图象在第二、四象限内，在每个象限内，y随x的增大而增大． 题型 4·求反比例函数中的图形面积 16．如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】C 【分析】连接，设，则得点D的坐标，根据三角形的面积为3求得k的值，再由得点C的坐标，由点C在反比例函数的图象上，求得的值，即可求得结果． 【详解】解：如图，连接， 设， ∵垂直于轴，为垂足，点D在的图象上， ∴， ∴， ∵三角形的面积为3， ∴， 即， ∴， 即， ∵， ∴点C是的中点， ∴， ∵点C在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且轴于点A，轴于点B，，分别交双曲线于D，C两点，则的面积是（　　）    A． B． C．2 D．3 【答案】A 【分析】根据，，得出，再利用，，得出，进而求出，即可得出答案． 【详解】作于E，于F，    ∵双曲线，，且轴于点A，轴于点B，，分别交双曲线于D，C两点， ∴矩形的面积为：， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为：． 故选：A 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数的几何意义，解题的关键是利用数形结合思想解答． 18．如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点，，连接，，已知，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．0.5 【答案】A 【分析】根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为，由题意可知△AOB的面积为-． 【详解】解：根据反比例函数k的几何意义可知：△AOP的面积为，△BOP的面积为， ∴△AOB的面积为-= ∵ ∴， ∴的面积是 故选：A. 【点睛】本题考查反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是正确理解k的几何意义． 19．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 【答案】3 【分析】连接，，设交y轴于D，根据平行线的性质和等底等高的两个三角形面积相等得到，再根据反比例函数比例系数k的几何意义得到，，进而求解即可． 【详解】解：连接，，设交y轴于D， ∵，轴， ∴，轴， ∵点A，点B在函数，的图象上， ∴，， ∴， ∴． 20．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 【答案】4 【分析】作轴于，延长交y轴于E，利用平行四边形对边平行且相等的性质，得出线段平行关系，进而证明，得到与两个反比例函数系数相关的图形面积关系，从而计算出平行四边形的面积． 【详解】解：如图，作轴于，延长交 轴于， 四边形是平行四边形， ，， 轴， ， ， 根据系数k的几何意义可知：，， ∴四边形的面积为：． 21．如图，已知菱形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边与该反比例函数的图象交于点，连接，．若点的纵坐标为6，则与的面积之和为________． 【答案】 【分析】由菱形得，利用 “同底等高的三角形面积相等”将与的面积之和转化为菱形面积的一半，再通过反比例函数解析式求出点 A 坐标，进而计算菱形的面积即可求解． 【详解】解：如图，过点作交轴于点，连接， ∵四边形是菱形， ∴，轴，， ∴， ∴， ∵点的纵坐标为6， ∴点的纵坐标为6， ∵点在反比例函数的图象上， 将代入解析式得， 解得， ∴点，即，， 在中， ， ∴， ∴． 题型5·由图形面积求反比例函数的比例系数 22．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数图象性质可知点关于点O对称，由的面积是4，说明，再根据反比例函数比例系数的几何意义结合图象位置即可求解． 【详解】解：是反比例函数图象上的两点，且过原点O， 根据反比例函数的对称性得：点关于点O对称， ， 的边上的高与的边上的高相同，的面积是4， ， 轴， 根据反比例函数比例系数的几何意义得：， ， 该反比例函数的图象在第二、四象限， ． 23．如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上任意一点，过点A作轴于点B，若的面积是1，则k的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据反比例函数系数的几何意义进行解答即可．本题考查反比例函数系数的几何意义，掌握反比例函数系数的几何意义是正确解答的关键． 【详解】解：∵过点A作轴于点B， 的面积是1， ∴， ∴， ∵点A是反比例函数在第一象限内的图象上任意一点， ∴， 故选：C． 24．如图，点在的图象上，轴交反比例函数的图象于点，轴，垂足为点，连接，四边形的面积等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，设与轴的交点为，由点在上， 则四边形的面积为，的面积为，再通过反比例函数的几何意义即可求解，正确理解反比例函数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：如图，设与轴的交点为， ∵点在上， ∴四边形的面积为， ∵四边形的面积为， ∴的面积为， ∴， 故选：． 25．如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，记交轴于点，根据求出，再由求出，即可解题． 【详解】解：记交轴于点，如图所示： 由知，, 的面积是， , ， ， 故选：B． 26．如图，已知直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连接，，若的面积与的面积相等，则的值是_______． 【答案】1 【分析】由反比例的几何意义可得，设，所以，再由已知得，求得，再将点代入即可求的值． 【详解】解：由题意可求， ∵直线与交于点， ∴， 设， ∴ ∵的面积与的面积相等， ∴， ∴ ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴． 故答案为：1． 【点睛】本题考查反比例函数与一次函数的图象与性质；熟练掌握反比函数的k的几何意义，函数上点的特征是解题的关键． 27．如图，是函数的图象上一点，过点作轴，交函数的图象于点，点在轴上，若的面积是，则的值是______． 【答案】 【分析】连接、，轴，点在轴上，利用平行线间的距离相等可得，再根据反比例函数系数的几何意义，利用建立方程求解即可． 【详解】解：如图，连接、，设交轴于点， ∵轴，点在轴上， ∴， 点、点到直线的距离相等， ， ， ， 点在反比例函数的图象上，点在反比例函数的图象上，且图象在第三象限， ，， 由图可知， ， 解得． 28．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为______． 【答案】 【分析】先求出，即可得出，代入函数表达式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点D，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵平行四边形的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∴， ∴， 故答案为：． 29．如图，是反比例函数的图象上任意两点，且轴于点，轴于点，和面积之和为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数系数的几何意义，设，，用含的式子表示出和面积之和，即可求解，掌握反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上任意两点， ∴设，， ∵轴于点，轴于点， ∴ ，，，， ∵和面积之和为， ∴， ∴， 故答案为：． 30．如图，在中，，点A在反比例函数（，）的图象上，点B，C在x轴上，，若的面积等于2，则k的值为______． 【答案】3 【分析】本题考查了反比例函数比例图象上点的特征、等腰三角形三线合一的性质、三角形的面积．要求学生掌握设而不求的方法解题．设，过点A作轴于点E，表示出、，结合的面积即可求出k的值． 【详解】解：设，则， ， ， ， 过点A作轴于点E， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 题型 6·反比例函数中的存在性问题 31．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B点，，． (1)求两函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由． (3)求； (4)若，直接写出x的取值范围． 【答案】(1)；； (2)P点的坐标为或或或； (3) (4)或． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）分三种情况讨论，利用勾股定理求解即可； （3）利用三角形面积公式求解即可； （4）利用函数图象求解即可． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过点， ∴，解得， ∴反比例函数的解析式为； 将代入得， ∴， 将，代入， 得， 解得， ∴一次函数的解析式为； （2）解：设P点的坐标为， ∵， ∴， 当时，即， ∴， 解得（舍去）或， ∴P点的坐标为； 当时，即， ∴， 解得， ∴P点的坐标为； 当时，P点的坐标为或； 综上，P点的坐标为或或或； （3）解：记直线交轴于点，当时，， ∴， ∴， ∴； （4）解：若，x的取值范围为或． 32．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； (3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数：；反比例： (2)或 (3) 【分析】（1）利用待定系数法，求解即可； （2）根据，得到，继而得到；确定或，根据平移求解即可； （3）根据题意，得或；当点P在直线上时，得或， 当点P在直线上时，得或，求解即可． 【详解】（1）解：一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． ，， 解得，， 故一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为； （2）解：根据，得， ； 或， 设平移后的解析式为， 当直线经过时，得，解得； 当直线经过时，得，解得； 故平移后的函数解析式为或； （3）解：根据题意，得， 则，， 根据题意，得， ， ， ， 或 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 当点P在直线上时，得或 解得或， 故点P的坐标为或； 综上所述，符合要求的点P的坐标为； 33．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)存在，点P的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合问题，求一次函数的解析式，求反比例函数的解析式，平行四边形的判定与性质，利用中点坐标公式列方程是关键． （1）把代入求解，得到反比例函数的解析式，再把代入求解，得到，最后把和代入即可； （2）设，分为对角线、为对角线、为对角线三种情况讨论，根据平行四边形的对角线互相平分，利用中点公式列方程求解即可． 【详解】（1）解：把代入，得， ， 反比例函数的解析式为； 把代入，得， ， 把和代入，得， 解得， 一次函数的解析式为； （2）解：存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 理由如下： 对于， 令，则， ， ， 设， 对于O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，有三种情况： ①以为对角线时，， 解得， ； ②以为对角线时，， 解得， ； ③以为对角线时，， 解得， ， 点P在轴右侧坐标平面内， 不合题意，舍去； 综上所述，存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形，点P的坐标为或． 34．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式； （1）根据正方形求出点的坐标，代入计算即可； （2）根据反比例函数的几何意义求出四边形的面积，再设表示出的面积，根据的面积等于四边形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为6，轴， ∴，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，，， 把代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴四边形的面积为， 设， ∴， ∵的面积等于四边形的面积， ∴， 解得， ∴或． 35．综合与探究 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，P为x轴负半轴上一动点，作直线，连接．    (1)求一次函数的表达式． (2)若的面积为，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若E为直线PA上一点，F为y轴上一点，是否存在点E，F，使以E，F，P，B为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数解析式为； (2)； (3)（-7，-4）或． 【分析】（1）将点的坐标代入反比例函数解析式可求得，进而可得，再利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，设，根据三角形的面积为，建立方程求解即可得出，得出答案； （3）利用待定系数法可得直线的解析式为，设，，当、为平行四边形对角线时，与的中点重合；当，为平行四边形对角线时，与的中点重合；分别建立方程求解即可得出答案． 【详解】（1）解：把代入，得 ， ∴反比例函数解析式为， ∴， 把，代入得 解得， ∴一次函数解析式为； （2）如图，设直线交轴于，过点作轴于，过点作轴于，    设， ∵，， ∴，， 在中，令，得， 解得：， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， 解得：， ∴； （3）存在； 设直线的解析式为，把，坐标分别代入得： ， 解得， ∴直线的解析式为， 设，， 又，， 当、为平行四边形对角线时，与的中点重合， ∴， 解得， ∴； 当，为平行四边形对角线时，与的中点重合， ∴， 解得， ∴； 综上所述，点E的坐标为或． 【点睛】本题是反比例函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，三角形面积，平行四边形性质等，解题关键是运用分类讨论思想解决问题，防止漏解． 36．如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或或． 【分析】（1）先把代入求得m的值即可； （2）把代入反比例函数的解析式求得n，最后把A，B两点代入即可求得一次函数解析式，再利用一次函数的解析式求得点C的坐标，利用即可求解； （3）分四种情况求解：①当点P在x轴上，当时，②当点P在x轴上，当时，③当点P在y轴上时，设点，时，④当点P在y轴上时，当时． 【详解】（1）解：∵点A的坐标为在反比例函数， ∴， ∴反比例函数的解析式为， （2）解：∵点B的坐标为也在上， ∴， ∵A的坐标为都在一次函数的图像上 ，解得， ∴一次函数的解析式为； ∵如图：直线与x轴交于点C，， ∴， ∴， ∵A的坐标为， ∴ ； （3）解：当点P在x轴上， 设点， ①如图2：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为 如图3，当时， ∴，， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 当点P在y轴上时， 设点， 如图4：若时， ∵A的坐标为， ∴点P的坐标为； 如图5：当时， ∴， ∵是直角三角形， ∴，即， 解得， ∴点P的坐标为； 综上可得点P的坐标为或或或． 【点睛】此题考查了待定系数法，一次函数与反比例函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，三角形的面积公式，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，用分类讨论和方程思想解决问题是解本题的关键． 题型 7·反比例函数中的动点问题 37．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数的解析式，反比例函数的解析式，一次函数与几何综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把代入反比例函数中，解得，运用待定系数法解得一次函数的解析式为：； （2）设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E，先整理得，，再结合三角形面积公式列式，因为，得，解得或，即可作答． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数中， 得； ∴反比例函数的解析式为：， 将点分别代入一次函数的解析式， 得， ， ∴一次函数的解析式为：． （2）解：如图，设与y轴交于点D，过点C作轴交于点E， 设， 由（1）得反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为：． ， ， 令，， ， ∴， ∵， ∴， 即， 解得或， ∴点C的坐标为或． 38．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的关系式与一次函数的关系式； (2)若动点在轴上，求的最小值． 【答案】(1)， (2)10 【分析】本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，勾股定理，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先理解题意，把代入，得，再求出点的坐标为，故把，分别代入进行列式计算，得，即可作答． （2）先整理得出则的最小值等于的长，故，所以，，运用勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：点反比例函数的图象上， ， 反比例函数的表达式为， 把点代入，得， 点的坐标为， 直线过点，， ， 解得， 一次函数的表达式为； （2）解：如图，作点关于轴的对称点，过作轴，过作轴垂线交于，连接交轴于点，则的最小值等于的长， 点， ， 点， ， ，， ， 的最小值为10． 39．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】（1）依题意把代入，得出，进而把代入中得出，再待定系数法求一次函数解析式，即可求解； （2）根据交点的横坐标，结合函数图象，即可求解； （3）记直线与直线的交点为得出，设点，根据三角形的面积公式建立绝对值方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：依题意把代入，得出， 解得， ∴反比例函数的解析式为； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ∴一次函数的解析式为：； （2）解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． 则结合图象，当时，则或； （3）解：如图，记直线与直线的交点为 ∵， ∴当时，则， ， ∵是直线上的一个动点， ∴设点， ∵的面积为35， ∴， 即 ∴ 解得或， ∴点坐标为或． 40．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为． (1)求点A、B的坐标及反比例函数的表达式． (2)若点P是x轴上一个动点，连接，将绕点P顺时针旋转，点A的对应点恰好能落在反比例函数的图象上，求点P的坐标． 【答案】(1)，； (2)点P的坐标为或 【分析】（1）由题意，得点A、B关于原点对称，即可得出点A、B的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）分两种情况讨论：①当点P在x轴正半轴上时，如解图1，分别过点A，向x轴作垂线，垂足为M、N，②当点P在x轴负半轴上时，如解图2，分别过点A、向x轴作垂线，垂足为M、N．利用旋转的性质证明全等，设，从而表示出点的坐标，代入反比例函数解析式求出的值，进而得到的长，即可得解． 【详解】（1）解：由题意，得点A、B关于原点对称． ∵点A的横坐标为1，点B的纵坐标为， ∴，；． 将代入，得，解得， ∴反比例函数的表达式为． （2）解：①当点P在x轴正半轴上时，如解图1，分别过点A，向x轴作垂线，垂足为M、N，则 由旋转，得，． ∴， ∴， ∴， ∴，， 由（1）知， ∴，， ∴， 设， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 整理得，解得或（舍去）． ∴， ∴点． ②当点P在x轴负半轴上时，如解图2，分别过点A、向x轴作垂线，垂足为M、N， 同①，可得， ∴， 设，则， ∴， 将代入，得， 整理得，解得或（舍去）． ∴， ∴点． 综上所述，点P的坐标为或． 41．如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 【答案】(1)反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； (2)或； (3)或. 【分析】（1）把代入和解方程即可得到结论； （2）把代入得，，得到，于是得到不等式的解集； （3）设，先求出点C的坐标，然后根据三角形面积公式构建关于m的方程求解即可. 【详解】（1）的图象与一次函数的图象交于． ∴，， ∴，， ∴反比例函数的表达式为，一次函数的表达式为； （2）解：把代入得， ∴， ∴不等式的解集为或； （3）解：对于，当时，，解得， ∴， 设， ∵的面积为6， ∴， 解得， 当时，，则； 当时，，则； 综上，点P的坐标为或. 42．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，平行四边形的性质，待定系数法求解析式； （1）过点作轴垂足为，即可求得，根据平行四边形的面积为，可得，从而可得，即可求得点的坐标，待定系数法求解析式即可； （2）根据中点坐标公式先求得点的纵坐标，代入反比例函数解析式，进而求得的坐标．设，根据，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴垂足为， 平行四边形的边在轴上，点的坐标为， ， 平行四边形的面积为．    ， ， ， ； （2）解：∵点为的中点，点的坐标为， ∴点的纵坐标为． 又∵点在上， ∴． ∴． ∴ 设， ∵平行四边形的面积为． ∴． ∴． 解得：或． ∴点的坐标为或． 43．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P是y轴一个动点，且是为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）先利用一次函数求出得到点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）求出点C的坐标为，得到，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴，解得， ∴点， 把点，代入得到， 解得 ∴反比例函数的解析式为． （2）设点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 当时，，即， 解得（不合题意，舍去）或， ∴点P坐标为， 当时，，即， 解得或， ∴点P的坐标为或 综上可知，点P的坐标为或或． 44．如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式． (2)连接，在线段上是否存在点E，使的面积等于3，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若P是y轴上的一个动点，请直接写出当的周长最小时点P的坐标． 【答案】(1)，， (2)存在， (3) 【分析】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，解题的关键是求出函数解析式，根据反比例函数的性质解题. （1）将点A，点B坐标代入可求，由，即可求解； （2）由面积和差关系列出等式，即可求解； （3）作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，此时有最小值，求出的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：点，在反比例函数的图象上， ， 即， ， ， ，， 点，点， ， 反比例函数的表达式为； （2）设点， ，，，， ， ， 点； （3）的周长， 又是定值， 当的值最小是，的周长最小， 如图，作点关于y轴的对称点，连接交y轴于点，此时有最小值， 设直线的解析式为， ， 解得， 直线的解析式为， 当时，， 点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.2 反比例函数的性质（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 题型1··比较坐标大小(知横坐标比纵坐标 1 题型2··比较坐标大小(知纵坐标比横坐标 2 题型 3··求反比例函数中参数的取值范围 2 题型 4·求反比例函数中的图形面积 3 题型5·由图形面积求反比例函数的比例系数 4 题型 6·反比例函数中的存在性问题 7 题型 7·反比例函数中的动点问题 10 题型1··比较坐标大小(知横坐标比纵坐标 1．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 2．点，，是反比例函数图象上的三个点，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．若点，，在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 4．已知反比例函数点，在图象上，则、大小关系为（     ） A． B． C． D．无法确定 题型2··比较坐标大小(知纵坐标比横坐标 5．已知点，都在反比例函数的图象上，，则、、0的大小关系为（    ） A． B． C． D． 6．已知点，都在反比例函数的图象上，若，则m的取值范围是（   ） A． B． C．或 D． 7．已知，，是反比例函数的图象上的三点，且则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．某反比例函数图象上四个点的坐标分别为，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 9．若点，，在反比例函数（m是常数）的图像上，则a，b，c的大小关系是（　　） A． B． C． D． 题型 3··求反比例函数中参数的取值范围 10．已知反比例函数，当时，y随x增大而减小，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．若反比例函数的图象，在每个象限内，随的增大而减小，则的取值可能为（   ） A． B． C． D．0 12．已知反比例函数，当时，，则k的取值范围为（   ） A． B． C． D． 13．已知、两点在反比例函数的图像上，且，则的取值范围为__________． 14．反比例函数中，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是_________ ． 15．若反比例函数的图像在每一个象限内，y随x的增大而减小，则k的取值范围是______. 题型 4·求反比例函数中的图形面积 16．如图，垂直于轴，为垂足，反比例函数与的两边，分别交于，两点．，若三角形的面积为3，则三角形的面积是（     ） A．6 B．9 C．12 D．15 17．如图，已知双曲线，，点P为双曲线上的一点，且轴于点A，轴于点B，，分别交双曲线于D，C两点，则的面积是（　　）    A． B． C．2 D．3 18．如图，直线轴于点，且与反比例函数及的图象分别交于点，，连接，，已知，则的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．0.5 19．如图，过点作两条直线，分别交函数，的图象于点A，点B，连接．若轴，则的面积是______． 20．如图，在平面直角坐标系中，点为坐标原点，平行四边形的顶点 在反比例函数上，顶点在反比例函数上，点在 轴的正半轴上，则平行四边形的面积是_______． 21．如图，已知菱形的顶点在反比例函数的图象上，点在轴上，边与该反比例函数的图象交于点，连接，．若点的纵坐标为6，则与的面积之和为________． 题型5·由图形面积求反比例函数的比例系数 22．如图，A，B是反比例函数图象上的两点，且过原点O，过点B作x轴的垂线，垂足是C，连接．若的面积是4，则k的值是（     ） A．2 B． C．4 D． 23．如图，点A是反比例函数在第一象限内的图象上任意一点，过点A作轴于点B，若的面积是1，则k的值是（   ） A．1 B． C．2 D． 24．如图，点在的图象上，轴交反比例函数的图象于点，轴，垂足为点，连接，四边形的面积等于，则的值为（   ） A． B． C． D． 25．如图，函数和的部分图像与直线分别交于、两点，如果的面积是，则的值为（   ） A． B． C． D． 26．如图，已知直线分别交轴，轴于点和点，分别交反比例函数，的图象于点和点，过点作轴于点，连接，，若的面积与的面积相等，则的值是_______． 27．如图，是函数的图象上一点，过点作轴，交函数的图象于点，点在轴上，若的面积是，则的值是______． 28．如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为______． 29．如图，是反比例函数的图象上任意两点，且轴于点，轴于点，和面积之和为，则的值为______． 30．如图，在中，，点A在反比例函数（，）的图象上，点B，C在x轴上，，若的面积等于2，则k的值为______． 题型 6·反比例函数中的存在性问题 31．已知反比例函数的图象与一次函数的图象交于A、B点，，． (1)求两函数的解析式； (2)在x轴上是否存在点P，使为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，说明理由． (3)求； (4)若，直接写出x的取值范围． 32．如图，一次函数与反比例函数的图象交于点，与x轴交于点 B． (1)求一次函数与反比例函数的表达式； (2)将直线沿y轴方向平移，使平移后的直线与x轴交于点 C，且，求平移后的直线表达式； (3)在（2）中得到平移后的直线上是否存在点 P，使得的面积等于的面积？若存在，直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 33．如图，已知一次函数与反比例函数的图象交于第一象限内的点和，与x轴交于点C． (1)分别求出这两个函数的表达式； (2)在轴右侧坐标平面内，是否存在点P，使得以O，A，C，P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 34．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 35．综合与探究 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限内交于点，P为x轴负半轴上一动点，作直线，连接．    (1)求一次函数的表达式． (2)若的面积为，求点P的坐标． (3)在（2）的条件下，若E为直线PA上一点，F为y轴上一点，是否存在点E，F，使以E，F，P，B为顶点的四边形是以为边的平行四边形？若存在，请直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 36．如图，已知是一次函数的图像与反比例函数． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)在坐标轴上是否存在一点P，使是直角三角形？直接写出点P的坐标． 题型 7·反比例函数中的动点问题 37．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于、两点． (1)求函数和的表达式； (2)若在x轴上有一动点C，当时，求点C的坐标． 38．如图，反比例函数的图象与一次函数的图象交于，两点． (1)求反比例函数的关系式与一次函数的关系式； (2)若动点在轴上，求的最小值． 39．如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)请直接写出关于的不等式的解集； (3)若是直线上的一个动点，的面积为35，求点坐标． 40．如图，正比例函数与反比例函数的图象相交于点A、B，已知点A的横坐标为1，点B的纵坐标为． (1)求点A、B的坐标及反比例函数的表达式． (2)若点P是x轴上一个动点，连接，将绕点P顺时针旋转，点A的对应点恰好能落在反比例函数的图象上，求点P的坐标． 41．如图，反比例函数（k是常数）与一次函数（b是常数）的图象相交于点，． (1)分别求出反比例函数和一次函数的表达式； (2)根据图象，直接写出不等式的解集； (3)一次函数的图象与x轴相交于点C，点P是反比例函数图像上的动点，连接、，当的面积为6时，直接写出点P的坐标． 42．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边在轴上，点在反比例函数的图象上，已知点的坐标为，平行四边形的面积为． (1)求反比例函数的解析式 (2)连接，点为边与反比例函数图象的交点，点为轴上一动点，若点为的中点，，求点的坐标． 43．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点B，与y轴交于点C． (1)求反比例函数的解析式． (2)点P是y轴一个动点，且是为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 44．如图，点，在反比例函数的图象上，轴于点D，轴于点C，． (1)求m，n的值及反比例函数的表达式． (2)连接，在线段上是否存在点E，使的面积等于3，若存在，请求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． (3)若P是y轴上的一个动点，请直接写出当的周长最小时点P的坐标． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $