专题2.3 一元二次方程的应用（专题训练）-2026-2027学年九年级数学上册《知识解读·题型专练》（苏科版）

**基本信息** 聚焦一元二次方程8大应用题型，以实际问题为载体构建从情境抽象到方程建模的逻辑链条，培养模型意识与应用能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |变化率问题|5题|连续增长/降低情境|基于增长率公式构建方程，体现抽象能力| |传染率问题|4题|病毒传播模型|通过传播次数与人数关系建模，培养推理意识| |枝干问题|2题|分支生长规律|利用主干-枝干-分支数量关系列方程| |单/双循环问题|3+4题|比赛/互赠问题|区分单双循环场次计算，强化分类讨论| |销售利润问题|6题|售价-销量-利润关系|结合一次函数与利润公式，发展应用意识| |几何面积问题|7题|图形面积计算|通过图形边长关系转化为方程，培养几何直观| |动点与几何问题|5题|动态面积变化|用含t代数式表示边长，建立面积方程|

专题1.3 一元二次方程的应用（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型 1…一元二次方程的应用-变化率问题】 1 【题型 2…一元二次方程的应用-传染率问题】 4 【题型3一元二次方程的应用-枝干问题】 6 【'题型 4·一元二次方程的应用-单循环问题)】 7 【题型 5··一元二次方程的应用-双循环问题】 8 【题型 6·一元二次方程的应用-销售利润问题)】 10 【题型 7…一元二次方程的应用-几何面积问题】 15 【题型 8·一元二次方程的应用-动点与几何问题】 19 【题型 1…一元二次方程的应用-变化率问题】 1．某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】，根据月均增长率依次推导7月和8月的产值，即可列出正确方程. 【详解】解：∵月均增长率为，6月份产值为万元， ∴7月份产值为 万元， ∴8月份产值为 万元， ∵预计8月份产值为万元， ∴列方程得 2．某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平均增长率问题，从三月份到五月份，销量经过两次匀速增长，根据初始销量和五月份的最终销量列方程即可． 【详解】解：∵三月份销量为杯，每月销量的平均增长率为， ∴四月份销量为杯， ∴五月份销量在四月份基础上增长，可得五月份销量为， 又∵已知五月份销量为杯， ∴可列方程为． 3．在国家经济宏观调整下，某企业2024年10月份的利润实现新突破，达到月利润300万元，11月份和12月份的利润合计为800万元，设11月份和12月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用——平均增长率问题．熟练掌握后利润与原利润和增长次数的关系，是解题的关键． 10月份的月利润300万元，11月份和12月份利润的平均增长率为，11月份和12月份的利润合计为800万元，列方程即可． 【详解】解：∵11月份和12月份利润的平均增长率为，10月份的利润300万元， ∴11月份的利润万元， ∴12月份的利润万元， ∴． 故选：C． 4．第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【答案】 【分析】先设月平均增长率为，根据4月和6月的销售量列出方程，即可求解． 【详解】解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 5．为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【答案】(1) (2)米 【分析】（1）设每周路程的平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可； （2）结合（1）的结论，在第三周的基础上，列式计算即可． 【详解】（1）解：设每周路程的平均增长率为， 由题意得：， 解得或（不符合题意，舍去）， 答：每周路程的平均增长率为． （2）解： （米）， 答：预测第五周王大伯行走的总路程是米． 【题型 2…一元二次方程的应用-传染率问题】 6．冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据每轮传染中所有病人均参与传染，两轮后总人数为初始人数乘以，即可作答． 【详解】解：∵最初有人患流感， ∴第一轮传染后，患病人数为， ∴第二轮传染后，患病人数为 ∵两轮传染后该班级共有32人患流感， ∴可列方程为． 7．新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 【答案】每轮传染中平均一个人传染了4人 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设每轮传染中平均一个人传染了x人，则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人，根据1人感染了后经过两轮传染共有25人感染，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了x人， 则第一轮传染中感染了x人，第二轮传染中感染了人， 依题意得：，即 解得，（不合题意，舍去）， ∴每轮传染中平均一个人传染了4人． 8．某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染． （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑? （2）若病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染． 【答案】（1）3台；（2）四 【分析】（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑，根据“如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染”，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）分别求出三轮及四轮感染后感染病毒电脑的数量，结合机房共台电脑，即可得出结论． 【详解】解：（1）设每轮感染中平均一台电脑会感染台电脑， 依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 答：每轮感染中平均一台电脑会感染3台电脑． （2）经过三轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， 经过四轮感染后感染病毒的电脑数量为（台， ， 四轮感染后机房内所有电脑都被感染． 故答案为：四． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 9．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【答案】4名 【分析】先设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学，根据题意列出一元二次方程，求出解，舍去不合题意的即可． 【详解】解：设每一轮传播中，1名同学传给x名新同学， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：每一轮传播中，1名同学传给4名新同学． 【题型3一元二次方程的应用-枝干问题】 10．学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上的主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．由枝干数及每个枝干又长出个小分支，可得出个枝干上共长出个小分支，结合一个主干上有主干、枝干、小分支数量之和为68，即可列出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支， 个枝干上共长出个小分支． 根据题意得：． 故选：C． 11．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【答案】(1)人 (2)人 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，有理数混合计算的实际应用： （1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人，则第一轮小王会发给x人，第一轮被转发的x人每个人又要转发x人，据此列出方程求解即可； （2）根据（1）所求列式求解即可． 【详解】（1）设这个短信要求收到短信的人必须转发给x人， 依题意得： 解得或（舍去）， 答：这个短信要求收到短信的人必须转发给人； （2）第三轮短信转发后，收到此短信的人数共有：（人）． 答：从小王开始计算，三轮后会有人有此短信． 【'题型 4·一元二次方程的应用-单循环问题)】 12．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先计算单个小组的比赛场数，再结合小组总数和总比赛场数列出方程即可． 【详解】解：∵每个小组有支球队，每支球队要和组内支球队各进行一场比赛，且甲对乙和乙对甲是同一场比赛， ∴ 一个小组的比赛总场数为， ∵ 一共有个小组，小组赛总场数为场， ∴ 可列方程为． 13．在一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握了66次手，则参加会议的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】D 【分析】根据题意，设参加会议有x人，则每人会与人握手，列出方程求解即可． 【详解】解：设参加会议有x人，则每人会与人握手， ， 解得：，（舍）， ∴参加会议的人数为12人， 故选：D． 【点睛】考查了一元二次方程的应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意列出方程求解．注意计算握手次数时，每两个人之间产生一次握手现象，故共握手次数为． 14．2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，为此某校举办相关知识问答竞赛．已知九年级共举办28场（每两个班级之间比赛一场），则该校九年级一共有________个班级． 【答案】 【详解】本题考查一元二次方程解应用题，读懂题意，准确列出一元二次方程求解是解决问题的关键． 设该校九年级有个班级，每个班级与剩下的个班级各比赛一场，则比赛总场数为，则由已知条件可列方程，解此方程即可得到答案． 【分析】解：设该校九年级有个班级，则由题意可得， ， 即， ， 解得或（负值，舍去）， 答：该校九年级一共有个班级， 故答案为：． 【题型 5··一元二次方程的应用-双循环问题】 15．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 【答案】C 【分析】根据双循环赛制得到总比赛场数与球队数量的关系，列方程求解即可． 【详解】解：设参加小组赛的球队有支．∵赛制为双循环，每两支球队之间进行两场比赛， ∴总比赛场数为． 根据题意得． 整理得． 解得，． ∵球队数量为正整数，舍去． ∴，即参加小组赛的球队有8支． 16．为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列一元二次方程，小组共有人，每人要送出件礼物，据此列出方程即可． 【详解】解：设小亮及小组一共有人，根据题意得． 17．林老师计划在毕业典礼上，他赠送给每位同学一张签名卡，每位同学间也互赠一张签名卡．林老师发现在不失误的情况下，为了使签名卡恰好用完，他需购买2704张签名卡，设班级有x名学生，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解决本题的关键是熟练掌握利用等量关系建立一元二次方程，林老师赠送每位同学一张签名卡，共x张；每位同学间互赠签名卡，即每个同学赠送其他个同学各一张卡，共张。总签名卡数为2704，再列出方程即可． 【详解】解：∵ 林老师赠送签名卡数量为x， 同学间互赠签名卡数量共张， 总签名卡数为2704， ∴． 故选：A． 18．在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查一元二次方程的运用，理解数量关系是关键． 每人给其他人都发一个红包，则每人发红包数为个，x人共发个红包，总红包数为420，故列方程． 【详解】解：设该群共有x人，则每人需要给其他人发红包， ∴每人发红包数为个，由于有x人， ∴总红包数为个， ∴列方程得， 故答案为：． 【题型 6·一元二次方程的应用-销售利润问题)】 19．某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)关于的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 【答案】(1) (2) 个 (3) 不能达到 【分析】（1）根据降价金额与销量增加的关系，推导y与x的函数解析式； （2）利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出最大销售量； （3）根据总利润单个利润销售量列方程，通过判断方程是否存在实数解，得到能否达到目标利润的结论. 【详解】（1）解： 由题意可得，销售单价为元时，降价金额为元， 每降价1元多卖出2个，因此多卖出的销量为个， 总销量， 整理得； （2）解：由题意得，结合(1)可得， 函数中，， ∴随的增大而减小， 当取最小值时，取得最大值， 将代入得； 答：最大销售量为（个）. （3）解：由题意， ， 展开整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不存在满足条件的销售单价； 答：该网店不能达到元的利润. 20．某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利（元）与每盆的总株数（株）成如图所示的一次函数关系． (1)每盆种植株时，平均单株的盈利是多少元？ (2)若要求每盆花苗超过株，且每盆的盈利为元，则每盆应种植多少株？ 【答案】(1)株时，平均单株的盈利是元 (2)或株 【分析】（1）设一次函数表达式为，根据待定系数法解题； （2）根据题意，，将（1）中的代入解方程即可． 【详解】（1）解：设一次函数表达式为， 代入和， 有， 解得 ∴函数表达式为， 当时，， 即每盆种植株时，平均单株的盈利是元； （2）解：根据题意，得， ， 整理得， ， 解得，，且都符合题意， 即每盆应种植或株． 21．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价/元 … 45 55 65 … 日销售量/件 … 55 45 35 … (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 【答案】(1) (2) 该商品日销售额不能达到元，理由如下： 依题意得， 整理得， ∴， ∴该商品日销售额不能达到元． 【分析】（1）根据表格中的数据，利用待定系数法即可求出与之间的函数表达式； （2）利用销售额每件售价销售量，即可得出关于的一元二次方程，利用根的判别式求解即可． 【详解】（1）解：设与之间的函数表达式为， 将，代入得 ， 解得， 与之间的函数表达式为； （2）略 22．某超市将进价为20元的娃娃以32元卖出时，发现月销售量可达到220件，已知该商品每提高2元，其销售量可以降低10件． (1)若每件娃娃的利润率达到，那这批娃娃月利润可以达到多少？ (2)若想要这批娃娃的利润达到3420元且让利于顾客，则每件商品的售价应定为多少元？ 【答案】(1)1920元 (2)38元 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、一元二次方程的应用，审清题意、正确列出方程是解题的关键． （1）设提高元，则售价为元，销量为元，再根据每件娃娃的利润率达到列出方程求得，降价4元；再求得售价和销量，进而求得月利润； （2）由题意可得：单件利润，销量，再根据这批娃娃的利润达到3420元列一元二次方程求解即可解答． 【详解】（1）解：设提高元，则售价为元，销量为件， 由题意可得：，解得：． ∴，即降价4元， ∴售价元，此时销量为件．单件利润 元． ∴月利润元． （2）解：由题意可得：单件利润，销量为件， 利润， 化简得：，解得：． 所以，售价或 ，因要让利于顾客，故销售价应取38元． 23．根据以下素材，探索完成任务． 情景 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”． 素材1 某头盔商统计了永恒牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个． 素材2 头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求10月份到12月份销售量的月平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 【答案】（1）10月份到12月份销售量的月平均增长率为20%；（2）每个头盔售价定为50元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用， （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个列出方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个售价为元，根据利润=（售价-进价）×销售量列出方程求解即可． 【详解】（1）设10月份到12月份销售量的月平均增长率为，依题意得： 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：10月份到12月份销售量的月平均增长率为20%； （2）设每个头盔售价上涨元，则每件的销售利润为元，依题意得： 整理得：， 解得：（不符合题意，舍去） ∴元， 答：每个头盔售价定为50元． 24．年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【答案】(1)月平均增长率是 (2)售价应降低元 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意并列出方程求解是解题的关键． （1）本题需计算月平均增长率，属于增长率问题，可用一元二次方程求解； （2）本题需建立利润方程，考虑降价后的售价、销量及利润关系，求解降价金额并选择符合题意的解． 【详解】（1）解：设月平均增长率是， 依题意得：， 解得：，不合题意，舍去． 答：月平均增长率是． （2）解：设售价应降低元，则每件的销售利润为元，每天的销售量为件， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 要尽量减少库存， ． 答：售价应降低元． 【题型 7…一元二次方程的应用-几何面积问题】 25．如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设矩形的一边长为米，则另一边长为米， 根据题意得． 26．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意和图形可以得到相应的方程，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ． 27．如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由剪去小正方形的边长可得出该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm，根据该无盖纸盒的底面积为625cm2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵剪去小正方形的边长为x cm， ∴该无盖纸盒的底面长为（45-2x）cm，宽为（25-2x）cm． 依题意得：（45-2x）（25-2x）=625． 故选：D． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 28．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设AB长为xm，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设AB=x米，则BC=（20-3x+2）米，根据围成的花圃的面积刚好为40平方米，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设AB=x米，则BC=（20-3x+2）米=（22-3x）米， 依题意，得：x（22-3x）=40， 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 29．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 【答案】(1)当长度是时，矩形花园的面积为 (2)不能，理由如下： 设 ，则， 依题意得：， 整理得：． ， 该方程无实数根， 不能围成面积为的矩形花园． 【分析】（1）设 ，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合围墙最长可利用，即可确定结论； （2）设 ，则，根据矩形花园的面积为，即可得出关于的一元二次方程，由根的判别式，即可得出该方程无实数根，进而可得出不能围成面积为的矩形花园． 【详解】（1）解：设 ，则， 依题意得：， 整理得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去； 当时，，符合题意． 答：当长度是时，矩形花园的面积为． （2）略 30．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 【答案】停车场内车道的宽度为 【分析】设停车场内车道的宽度为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设停车场内车道的宽度为， 由题意可得：， 整理可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴停车场内车道的宽度为． 31．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用米，位置的墙最大可用米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个米宽的通道（出口处不用栅栏），两个场地分别留出一个米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为米，设实验田的长为米． (1)若实验田（矩形）的面积为平方米，求的值； (2)通过计算说明该实验田的面积能否为平方米． 【答案】(1)； (2)不能．理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用、矩形的面积公式，熟练掌握根据实际条件列方程并结合限制条件验证解的合理性是解题的关键． （1）根据栅栏总长表示出的长度（），结合矩形面积公式列方程，再结合墙的长度限制（、）求解的值． （2）通过面积公式列方程，利用判别式判断方程是否有符合墙限制的解，确定面积能否为平方米．． 【详解】（1）解：由题意，的长度为：，则 ， 解得：， ∵， ∴， ∴； （2）解：该实验田的面积不能为平方米，理由如下： 假设该实验田的面积能为平方米，则 ， ， ∴， ∴方程没有实数根，假设不成立， 答：该实验田的面积不能为平方米． 【题型 8·一元二次方程的应用-动点与几何问题】 32．如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 【答案】2秒 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，找到等量关系列出方程求解是解题的关键． 设秒后，，而此时，，，，，进而可列出方程，求出答案． 【详解】解：设秒后，， 此时，，； 由题意得， 即， 解得，， 米， ， 不合题意，舍去， 即． 33．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 【答案】(1) (2)的面积不能为，理由见解析 【分析】本题考查了有理数混合运算的实际应用，一元二次方程的实际应用，理解题意是解题的关键． （）根据计算即可； （）由题意得，，即得，，进而得到，再根据根的判别式判断方程的解的情况即可求解． 【详解】（1）解：当时，由题意得，， ∴，， ∴ ， 故答案为：； （2）解：的面积不能为，理由如下： 由题意得，，， ∴，， ∴ ， 当的面积为时，则， 即， ∵， ∴方程无实数解， ∴的面积不能为． 34．如图，在中，，，，现有两点，分别从点和点同时出发，沿边，向终点移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为． (1)______，______（用含的代数式表示）； (2)问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查列代数式，一元二次方程的应用． （1）根据点P，Q的运动时间和运动速度可得，的长度，再结合的长度即可求得； （2）根据三角形的面积公式得到，，根据列出方程，求解即可解答． ∵， ∴ 【详解】（1）解：∵点，的速度分别为，， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：， （2）解：∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， 解得，（不合题意，舍去）， ∴当时，四边形的面积等于． 35．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，使得的面积等于 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； （3）由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 36．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）． （1）当t＝4时，求△APQ的面积． （2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半． 【答案】（1）S△APQ＝8；（2）经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 【分析】（1）根据点的速度是，点的速度是，，，利用面积公式求解； （2）设经过秒的面积是面积的一半，则 ， ， 进而表示出，，利用面积公式表示出方程求解但是由于题目给的是射线，注意分类讨论． 【详解】解：（1）∵点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s， 当t＝4时，BP＝2t＝8cm，CQ＝t＝4cm， ∴AP＝4cm，AQ＝4cm， ∴S△APQ4×4＝8． （2）设经过t秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 根据题意得：S△ABC12×8＝24cm2， 当0＜t＜6 时如图1： S△APQ（12﹣2t）（8﹣t）＝24， 整理得t2﹣14t+24＝0， 解得t＝12（舍去）或t＝2． 当6＜t＜8时如图2： S△APQ（2t﹣12）（8﹣t）＝24， 整理得t2﹣14x+72＝0， △＜0，无解． 当t＞8时如图3： S△APQ（2t﹣12）（t﹣8）＝24， 整理得t2﹣14x+24＝0， 解得t＝12或t＝2（舍去）． 综上所述：经过2秒或12秒△APQ的面积是△ABC面积的一半． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，特别是动点问题更是中考的热点考题之一，注意审题，分类讨论思想的应用． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题1.3 一元二次方程的应用（专题训练） 【新教材苏科版】 题型归纳 【题型 1…一元二次方程的应用-变化率问题】 1 【题型 2…一元二次方程的应用-传染率问题】 2 【题型3一元二次方程的应用-枝干问题】 3 【'题型 4·一元二次方程的应用-单循环问题)】 4 【题型 5··一元二次方程的应用-双循环问题】 4 【题型 6·一元二次方程的应用-销售利润问题)】 5 【题型 7…一元二次方程的应用-几何面积问题】 7 【题型 8·一元二次方程的应用-动点与几何问题】 9 【题型 1…一元二次方程的应用-变化率问题】 1．某公司AI算力芯片今年6月份的产值为6000万元，预计8月份的产值将增至9000万元．设该公司7，8两个月份产值的月均增长率为x，则所列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 2．某商店今年春季热销解渴饮品，三月份该饮品销量为200杯，随着气温不断回升，若连续两个月的销量逐月匀速上涨，预计五月份的销量能达到338杯．设四、五这两个月每月销量的平均增长率均为，那么满足的方程为（   ） A． B． C． D． 3．在国家经济宏观调整下，某企业2024年10月份的利润实现新突破，达到月利润300万元，11月份和12月份的利润合计为800万元，设11月份和12月份利润的平均增长率为，根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 5．为了增强体质，王大伯决定每天坚持快走锻炼．已知王大伯第一周行走的总路程为10000米，从第一周起的前四周，他每周行走的总路程按相同的平均增长率增长．经统计，第三周时，单周路程达到了12100米． (1)求每周路程的平均增长率； (2)按照这个增长速度，预测第五周王大伯行走的总路程是多少米？ 【题型 2…一元二次方程的应用-传染率问题】 6．冬春季是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，流感病毒是我国急性呼吸道传染病主要病原体．某班级最初有人患流感，由于未采取有效防范措施，经过两轮传染后该班级共有人患流感，若设每轮传染中平均一人传染了人，则根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 7．新冠病毒持续影响全国人民的生活，有研究表明，新冠病毒变异株仍具有较强的传染性，当一个人感染了该病毒后，在没有防控的情况下，若经过两轮传染后共有25人感染，那么，每轮传染中平均一个人传染了多少人？ 8．某校有200台学生电脑和1台教师用电脑，现在教师用电脑被某种电脑病毒感染，且该电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有16台电脑被感染． （1）每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑? （2）若病毒得不到有效控制，______轮感染后机房内所有电脑都被感染． 9．数学活动课上，同学们与智能体进行数字传播闯关游戏．智能体给出规则：游戏开始时有6名同学拥有通关密码，在每一轮传播中，每名拥有密码的同学都会传给相同数量的新同学，但每一轮传播结束后，都会随机有6名同学失去密码，不再参与下一轮传播．经过两轮完整传播后，场上共有114名同学持有通关密码．求每一轮传播中，1名同学传给多少名新同学． 【题型3一元二次方程的应用-枝干问题】 10．学校“自然之美”研究小组在野外考查时发现了一种植物的生长规律，即植物的1个主干上长出个枝干，每个枝干又长出个小分支，现在一个主干上的主干、枝干、小分支数量之和为68，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 11．近年手机微信上的垃圾短信泛滥成灾，严重影响了人们的生活，最近小王收到一条垃圾短信，此短信要求接到短信的人必须转发给若干人，如果收到此短信的人都按要求转发，从小王开始计算，转发两轮后共有人有此短信． (1)请求出这个短信要求收到短信的人必须转发给多少人？ (2)如果收到短信的人都按要求转发，从小王开始计算，三轮后会有多少人有此短信？ 【'题型 4·一元二次方程的应用-单循环问题)】 12．2026年的世界杯足球赛中，组委会将参赛球队平均分成了个小组，在小组赛中，每支球队都要和组内其他球队进行一场比赛．小莹了解到本届世界杯小组赛共有场，但不知道每个小组有几支球队．若设每个小组有支球队，则可列方程为（     ） A． B． C． D． 13．在一次会议上，每两个参加会议的人都握了一次手，据统计一共握了66次手，则参加会议的人数为（　　） A．9 B．10 C．11 D．12 14．2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，为此某校举办相关知识问答竞赛．已知九年级共举办28场（每两个班级之间比赛一场），则该校九年级一共有________个班级． 【题型 5··一元二次方程的应用-双循环问题】 15．在“五月风华，校园飞扬”的背景下，某校在初二年级组织了篮球比赛，在小组赛阶段设置了双循环赛制（即每两支球队之间进行两场比赛），已知小组赛阶段共比赛56场，则参加小组赛的球队有（    ） A．6支 B．7支 C．8支 D．9支 16．为了迎接中考、互相激励，小亮同学和他的小组成员约定：月考后每个人都要向组内其他成员赠送一份小礼物，若他们一共赠送了份礼物，设小亮及小组一共有人，则下面方程正确的是（   ） A． B． C． D． 17．林老师计划在毕业典礼上，他赠送给每位同学一张签名卡，每位同学间也互赠一张签名卡．林老师发现在不失误的情况下，为了使签名卡恰好用完，他需购买2704张签名卡，设班级有x名学生，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 18．在小华亲友微信群中，群内每人给群内其他人都发一个红包，若该微信群共发了420个红包，设该群共有x人，则根据题意，可列方程为 _______________ ． 【题型 6·一元二次方程的应用-销售利润问题)】 19．某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)关于的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 20．某花圃用花盆培育某种花苗，经试验发现，每盆花的盈利与每盆株数存在一定的关系：每盆植入株时，平均单株盈利元；以同样的栽培条件，若增加花苗株数，每盆平均单株盈利（元）与每盆的总株数（株）成如图所示的一次函数关系． (1)每盆种植株时，平均单株的盈利是多少元？ (2)若要求每盆花苗超过株，且每盆的盈利为元，则每盆应种植多少株？ 21．某商场出售一种商品，经市场调查发现，日销售量y（件）与每件售价x（元）之间满足一次函数关系，部分数据如表所示： 每件售价/元 … 45 55 65 … 日销售量/件 … 55 45 35 … (1)求与之间的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）； (2)该商品日销售额能否达到2600元？如果能，求出每件售价；如果不能，说明理由． 22．某超市将进价为20元的娃娃以32元卖出时，发现月销售量可达到220件，已知该商品每提高2元，其销售量可以降低10件． (1)若每件娃娃的利润率达到，那这批娃娃月利润可以达到多少？ (2)若想要这批娃娃的利润达到3420元且让利于顾客，则每件商品的售价应定为多少元？ 23．根据以下素材，探索完成任务． 情景 公安部交管局提醒骑车出行必须严格遵守“一盔一带”． 素材1 某头盔商统计了永恒牌头盔10月份到12月份的销量，该品牌头盔10月份销售500个，12月份销售720个． 素材2 头盔的进价为30元/个，当售价为40元/个时，月销售量为500个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个． 问题解决 任务1 求10月份到12月份销售量的月平均增长率． 任务2 为使月销售利润达到8000元，且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔每个售价应定为多少元？ 24．年亚运会在杭州顺利举行，亚运会吉祥物“江南忆”公仔爆红据统计“江南忆”公仔在某电商平台月份的销售量是万件，月份的销售量是万件． (1)若该平台月份到月份的月平均增长率都相同，求月平均增长率是多少？ (2)市场调查发现，某一家店铺“江南忆”公仔的进价为每件元，若售价为每件元，每天能销售件，售价每降价元，每天可多售出件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该公仔每天获利元，则售价应降低多少元？ 【题型 7…一元二次方程的应用-几何面积问题】 25．如图，为落实劳动教育，学校计划用总长为米的篱笆，在两面足够长的垂直围墙的墙角处，围出一块平方米的矩形劳动实践园地．若设矩形的一边长为米，则列出的方程式（     ） A． B． C． D． 26．如图，某学校有一块长，宽的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道．若两块矩形绿地的面积共，设人行通道的宽度为x米，根据题意列出方程（     ） A． B． C． D． 27．如图，把一块长为45cm，宽为25cm的矩形硬纸板的四角减去四个相同的小正方形，然后把纸板沿虚线折起，做成一个无盖纸盒．若该无盖纸盒的底面积为625cm2，设剪去小正方形的边长为xcm，则可列方程为（　　）    A． B． C． D． 28．如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积刚好为，设AB长为xm，则可列方程为（    ） A．B． C． D． 29．如图，某中学准备在校园里利用围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（围墙最长可利用），现在已备足可以砌长的墙的材料． (1)当长度是多少时，矩形花园的面积为； (2)能否围成矩形花园面积为，为什么？ 30．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为，停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为，求停车场内车道的宽度？ 31．学校为了让学生观察植物的生长习性．打算在校区建立一个如图所示的实验田（矩形），该实验田两面靠墙（位置的墙最大可用米，位置的墙最大可用米），另外两边用栅栏围成，中间也用栅栏隔开，分成两个场地及一个米宽的通道（出口处不用栅栏），两个场地分别留出一个米宽的门（不用栅栏），建成后栅栏总长为米，设实验田的长为米． (1)若实验田（矩形）的面积为平方米，求的值； (2)通过计算说明该实验田的面积能否为平方米． 【题型 8·一元二次方程的应用-动点与几何问题】 32．如图，在中，，，点点同时由、两点出发分别在线段线段上向点匀速移动，它们的速度都是，几秒后，的面积为面积的？ 33．如图，在矩形中，，，点从点出发沿以的速度向点移动；同时，点从点出发沿以的速度向点移动．设运动时间为秒． (1)当时，的面积为__________； (2)在运动过程中的面积能否为？如果能，求出的值，若不能，请说明理由； 34．如图，在中，，，，现有两点，分别从点和点同时出发，沿边，向终点移动．已知点，的速度分别为，，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动，设，两点移动时间为． (1)______，______（用含的代数式表示）； (2)问是否存在这样的，使得四边形的面积等于？若存在，请求出此时的值；若不存在，请说明理由． 35．如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    (1)当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 36．如图1，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝12cm，AC＝8cm，现有动点P从点B出发，沿射线BA方向运动，动点Q从点C出发，沿射线CA方向运动，已知点P的速度是2cm/s，点Q的速度是1cm/s，它们同时出发，设运动时间是ts（t＞0）． （1）当t＝4时，求△APQ的面积． （2）经过多少秒时，△APQ的面积是△ABC面积的一半． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $