专题02 反比例函数中k的几何意义（题型专练）数学新教材苏科版九年级上册

**基本信息** 聚焦反比例函数k的几何意义，通过5类题型构建从单一象限到综合运用的递进式方法体系，培养抽象能力与几何直观 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单一象限三角形|3典例+3变式|构造坐标轴垂线，用S=|k|/2公式|从基础面积公式到符号判定，形成解题步骤| |单一象限四边形|3典例+3变式|矩形面积=|k|，割补法拆分图形|由矩形拓展到梯形等不规则图形，强化转化思想| |两个象限对称|3典例+3变式|利用原点对称性质，面积求和差|结合中心对称概念，深化跨象限面积规律| |双反比例函数|3典例+3变式|区分k1k2，同象限作差异象限求和|从单函数到双函数，提升综合分析能力| |综合运用|2典例+3变式|结合一次函数、动点等，用割补法|整合前期模型，培养复杂问题解决能力|

专题02 反比例函数中k 的几何意义运用 （题型突破·举一反三） ▌题型01 单一象限运用k的几何意义（三角形面积） 【典例1】【答案】B 【典例2】【答案】B 【典例3】【答案】9 【变式1-1】【答案】D 【变式1-2】【答案】D 【变式1-3】 【答案】(1)， (2)的面积不变． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先把代入反比例函数求出，再将代入反比例函数解析式即可得解； （2）根据反比例函数的的几何意义即可得解． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把代入得：， 解得； （2）解：的面积不变． ∵点P是反比例函数的图象上一点， ． ▌题型02 单一象限运用k的几何意义（四边形面积） 【典例4】【答案】B 【典例5】【答案】 【典例6】【答案】 【变式1-1】【答案】4 【变式1-2】【答案】A 【变式1-3】【答案】 ▌题型03 两个象限运用k的几何意义 【典例7】【答案】A 【典例8】【答案】4． 【典例9】【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）根据题意将代入正比例函数，求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数求出解析式即可； （2）根据反比例函数关于原点对称，从而得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在正比例函数的图象上， ∴， ∴； 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角形面积的求法，注意反比例函数的对称性． 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】【答案】 【变式1-3】 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式； （1）根据正方形求出点的坐标，代入计算即可； （2）根据反比例函数的几何意义求出四边形的面积，再设表示出的面积，根据的面积等于四边形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为6，轴， ∴，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，，， 把代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴四边形的面积为， 设， ∴， ∵的面积等于四边形的面积， ∴， 解得， ∴或． ▌题型04 双反比例函数中运用k的几何意义 【典例10】【答案】B 【典例11】【答案】B 【典例12】【答案】7 【变式1-1】【答案】B 【变式1-2】 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点，由题意得轴， 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 【变式1-3】 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． ▌题型05 反比例函数k的几何意义的综合运用 【典例13】 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积等， （1）将点的横坐标代入即可得，再将代入，即可得，最后将的纵坐标6代入，即可得，问题随之得解； （2）设与轴交于点，根据 ，即可作答． 【详解】（1）当时，， ， 把它代入得：， 解得， ， 当时，， 解得， ， ， ； （2）设与轴交于点， 当时，， 则， ∵，， ． 【典例14】 【答案】（1）；（2）点A（−2，）；（3）△OAC的面积不随t的值的变化而变化，理由见详解 【分析】（1）点P（−1，0）则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（−，4），S△ABC＝BC×AB，即可求解； （2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，），AB＝BC，即：-()＝−t，即可求解； （3）由S△OAC＝S梯形AMNC＝（−t）（＋）＝，即可得到结论． 【详解】解：（1）点P（−1，0），则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（−，4）， ∴S△ABC＝BC×AB＝×（−＋1）×（4−1）＝； （2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，）， ∵AB＝BC， ∴-()＝−t，解得：t＝±2（舍去2）， ∴点A（−2，）； （3）过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N， 则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，）， ∴S△OAC＝S梯形AMNC＝（−t）（＋）＝， ∴△OAC的面积不随t的值的变化而变化． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是通过函数关系，确定相应坐标，进而求解． 【变式1-1】 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 【变式1-2】 【答案】(1)6 (2)6 【分析】（1）直接利用题干给出的公式，进行计算即可； （2）表示出点的坐标，利用题干给出的公式，进行计算即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴的面积； （2）∵点A，B在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6， ∴， ∴的面积， ∴， ∵反比例函数的图象过第一象限， ∴， ∴， ∴. 【变式1-3】 【答案】(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数中k 的几何意义运用 （题型突破·举一反三） 题型 01 单一象限运用 k 的几何意义（三角形面积模型） 题型 02 单一象限运用 k 的几何意义（四边形面积模型） 题型 03 两个象限运用 k 的几何意义（原点对称模型） 题型 04 双反比例函数中运用 k 的几何意义（双 k 面积差模型） 题型 05 反比例函数k的几何意义的综合运用 ▌题型01 单一象限运用k的几何意义（三角形面积） ◆1.核心公式 设反比例函数y​(k≠0)，点P(x,y)在双曲线上，过P作x轴垂线，垂足为A，连接OP，则： S△OAP​=​ 同理作y轴垂线，所得直角三角形面积也为. ◆2. 符号判定 双曲线一、三象限：k>0；双曲线二、四象限：k<0 面积恒为正数，计算面积必须带绝对值∣k∣. ◆3.标准解题步骤 ① 过双曲线上点向坐标轴作垂线，构造原点、垂足、双曲点组成直角三角形； ② 代入面积公式 S=列等式； ③ 结合双曲线所在象限，确定k正负，求出k或面积. 【典例1】（2026·四川成都·一模）如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【典例2】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（   ） A．10 B． C． D． 【典例3】连接、，则的面积是__________． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，已知是反比例函数上一点，轴与点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（   ）． A． B．1 C．4 D． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 【变式1-3】（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． (1)求m，n的值； (2)若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． ▌题型02 单一象限运用k的几何意义（四边形面积） ◆1.核心结论 过双曲线上一点P分别作x轴、y轴垂线，两条垂线与坐标轴围成矩形OAPB：S矩形OAPB​=∣k∣ ◆2. 图形拆分规律 矩形对角线平分面积，分成两个全等直角三角形，单个面积仍为；梯形、不规则四边形采用割补法，拆分为矩形 + 三角形，面积相加减。 ◆3. 标准解题步骤 ① 作点到两坐标轴垂线段，构造基础矩形； ② 直接使用矩形面积∣k∣进行计算； ③ 不规则图形分割成标准矩形、三角形，分别计算面积再求和 / 作差； ④ 根据象限判断k正负。 【典例4】（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【典例5】（2026·福建莆田·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为______． 【典例6】（2025·陕西西安·三模）如图，菱形的顶点是坐标原点，点在反比例函数的图象上，点在轴上．若菱形的面积是6，则的值为___________． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，的边交反比例函数的图象于点，且，点，，在坐标轴上，已知的面积为16，则的值为________． 【变式1-2】（2026·广东肇庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，四边形为菱形，且面积为60，反比例函数的图象过顶点A和对角线的交点D，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 在 轴负半轴上，顶点 在第二象限，边 的中点 横坐标为 ，反比例函数的图象经过点 ．若 ，则 的值为______． ▌题型03 两个象限运用k的几何意义 ◆1.核心性质 反比例函数图像关于原点中心对称：若P(x,y)在双曲线上，则P′(−x,−y)也在图像上。 ◆2.面积规律：两点分属不同象限，分别作坐标轴垂线，各自直角三角形面积均为​；三点构成的三角形面积=∣k∣；跨象限总面积为两个基础三角形面积相加。 ◆3.标准解题步骤 ① 利用原点对称写出对称点坐标； ② 分别在两个象限构造垂线直角三角形，单块面积​； ③ 根据图形拼接方式求和、作差求总面积； ④ 结合双曲线所在象限确定k符号。 【典例7】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【典例8】（2025秋•东坡区期末）如图，反比例函数的图象与直线y＝kx（k＞0）相交于A、B两点，点A的横坐标为2，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于　 　个面积单位． 【典例9】如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接．    (1)这个反比例函数的解析式； (2)的面积． 【变式1-1】（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（  ） A．5 B． C．10 D． 【变式1-2】如图，原点O是矩形ABCD的对称中心，顶点A、C在反比例函数图象上，AB//x轴，若S矩形ABCD＝8，则反比例函数的表达式为 _____． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． ▌题型04 双反比例函数中运用k的几何意义 ◆1.基础条件 同一坐标系两条双曲线：y​、y​；垂直于坐标轴的直线同时交两条曲线于两点。 ◆2.面积公式 矩形阴影面积：S= 三角形阴影面积：S= 两双曲线同象限（、同号）：面积取两绝对值之差； 两双曲线分属不同象限（、异号）：面积取两绝对值之和。 ◆3.标准解题步骤 ① 区分两条双曲线对应的、； ② 分别算出基础矩形面积； ③ 根据双曲线同侧 / 异侧求和或作差； ④ 若图形为三角形，整体结果除以 2。 【典例10】如图，过x正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象交于A点和B点，连接OA、OB，则△OAB的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【典例11】（24-25八年级下·河南·阶段检测）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 （　　） A．9 B． C．6 D． 【典例12】（2024·甘肃陇南·一模）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则k的值为_______． 【变式1-1】（2024·安徽安庆·三模）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（2026·河南平顶山·三模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； ▌题型05 反比例函数k的几何意义的综合运用 ◆1.核心基础不变 单一点矩形面积=∣k∣，直角三角形面积=，所有综合题均以此为底层公式。 ◆2.综合拓展考点 结合一次函数交点、线段中点 / 等分、动点、割补法、坐标运算； 中点、等分线段：面积存在倍数关系； 一次函数与双曲线交点：联立方程求坐标，分割图形计算； 双曲线上动点：基础矩形、三角形面积恒定不变； 不规则多边形：割补法（分割成标准图形 / 大图形减空白）。 【典例13】（2024·江西赣州·二模）如图，一次函数分别与反比例函数，交于点和点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为6． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【典例14】如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数的图像于点A，交函数的图像于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接AC． （1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积； （2）若AB＝BC，求点A的坐标； （3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【变式1-2】阅读理解：如图1，若点，和，则 ． (1)若点，，则的面积为_________； (2)如图2，点A，B在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，若的面积是4.5，求k的值． 【变式1-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 反比例函数中k 的几何意义运用 （题型突破·举一反三） 题型 01 单一象限运用 k 的几何意义（三角形面积模型） 题型 02 单一象限运用 k 的几何意义（四边形面积模型） 题型 03 两个象限运用 k 的几何意义（原点对称模型） 题型 04 双反比例函数中运用 k 的几何意义（双 k 面积差模型） 题型 05 反比例函数k的几何意义的综合运用 ▌题型01 单一象限运用k的几何意义（三角形面积） ◆1.核心公式 设反比例函数y​(k≠0)，点P(x,y)在双曲线上，过P作x轴垂线，垂足为A，连接OP，则： S△OAP​=​ 同理作y轴垂线，所得直角三角形面积也为. ◆2. 符号判定 双曲线一、三象限：k>0；双曲线二、四象限：k<0 面积恒为正数，计算面积必须带绝对值∣k∣. ◆3.标准解题步骤 ① 过双曲线上点向坐标轴作垂线，构造原点、垂足、双曲点组成直角三角形； ② 代入面积公式 S=列等式； ③ 结合双曲线所在象限，确定k正负，求出k或面积. 【典例1】（2026·四川成都·一模）如图，点是反比例函数图象上的一点，过点作轴于点，连接．若的面积为6，则的值为（    ） A．12 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义．根据反比例函数系数k的几何意义即可解答． 【详解】解：∵轴，的面积为6， ∴， 由题意， ∴． 故选：B． 【典例2】（25-26九年级上·山东济南·阶段检测）反比例函数的图象如图所示，轴，若的面积为5，则k的值为（   ） A．10 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，连接，推导出 ，然后根据反比例函数性质的几何意义即可求得． 【详解】解：连接， ∵轴， ， ∴， ， ∵反比例函数的图象在第二象限， ∴， ， 故选B． 【典例3】连接、，则的面积是__________． 【答案】9 【分析】设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E，证得S四边形EBDC=S△AOE即可得S△AOB=S四边形ABDC，根据梯形的面积公式求解即可． 【详解】如图，设BD⊥y轴于点D，AC⊥y轴于点C，AC与OB的交点为点E， ∵A、B的纵坐标分别是3和6， 代入函数关系式可得横坐标分别为4,2； ∴A（4,3），B（2,6）； ∴AC=4，BD=2，CD=3 由反比例函数的几何意义可得S△BOD=S△AOC， ∴S四边形EBDC=S△AOE， ∴S△AOB=S四边形ABDC= ， 故答案为：9． 【点睛】本题考查了反比例函数中三角形面积的求解，要能够熟练掌握反比例函数的性质和几何意义；双曲线上任意一点向x轴或y轴引垂线，则该点、垂足、原点组成的三角形的面积相等，都是． 【变式1-1】（24-25八年级下·浙江金华·期末）如图，已知是反比例函数上一点，轴与点，点在轴上，且的面积为1，则的值为（   ）． A． B．1 C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，理解反比例函数的几何意义以及同底等高的三角形的面积相等，是解决问题的前提．连接，可得，根据反比例函数的几何意义，可求出的值． 【详解】解：连接， 轴， 轴， ，即：， ，或（舍去）， 故选：D． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川绵阳·期末）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，过点A作轴，垂足为C．点B为y轴上的一点，连接．若的面积为8，则k的值是（　　） A．8 B． C．16 D． 【答案】D 【分析】连接，先利用三角形面积公式得到，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后去绝对值即可得到满足条件的k的值． 【详解】解：如图，连接， ∵轴， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，向坐标轴作垂线，这一点、垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变． 【变式1-3】（24-25九年级上·山东淄博·期中）已知如图，反比例函数和一次函数的图象都经过点和点． (1)求m，n的值； (2)若点P是该反比例函数的图象上任意一点，过点P作轴，垂足为Q．随着点P的运动，的面积是否发生变化？如果不变，求出面积的值；如果变化．说明理由． 【答案】(1)， (2)的面积不变． 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式、反比例函数的的几何意义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）先把代入反比例函数求出，再将代入反比例函数解析式即可得解； （2）根据反比例函数的的几何意义即可得解． 【详解】（1）解：把代入得：， ， 把代入得：， 解得； （2）解：的面积不变． ∵点P是反比例函数的图象上一点， ． ▌题型02 单一象限运用k的几何意义（四边形面积） ◆1.核心结论 过双曲线上一点P分别作x轴、y轴垂线，两条垂线与坐标轴围成矩形OAPB：S矩形OAPB​=∣k∣ ◆2. 图形拆分规律 矩形对角线平分面积，分成两个全等直角三角形，单个面积仍为；梯形、不规则四边形采用割补法，拆分为矩形 + 三角形，面积相加减。 ◆3. 标准解题步骤 ① 作点到两坐标轴垂线段，构造基础矩形； ② 直接使用矩形面积∣k∣进行计算； ③ 不规则图形分割成标准矩形、三角形，分别计算面积再求和 / 作差； ④ 根据象限判断k正负。 【典例4】（24-25九年级上·河南许昌·期末）如图，点P为反比例函数的图象上一点，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足分别为A、B，若矩形的面积为4，则k的值为（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的几何意义，读懂图形，理解点在第二象限是解答关键．先利用矩形的面积公式得到，结合点在第二象限来求解． 【详解】解：矩形的面积为4， ． 过点分别向轴、轴作垂线，垂足分别为、，点在第二象限， ． ． 故选：B． 【典例5】（2026·福建莆田·模拟预测）如图，反比例函数的图象经过平行四边形的顶点，已知在轴上，若点的坐标是，平行四边形的面积是4，则实数的值为______． 【答案】 【分析】先求出，即可得出，代入函数表达式即可求解． 【详解】解：延长交轴于点D，如图， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴轴， ∵点的坐标是， ∴，， ∵平行四边形的面积是4， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标是， ∴， ∴， 故答案为：． 【典例6】（2025·陕西西安·三模）如图，菱形的顶点是坐标原点，点在反比例函数的图象上，点在轴上．若菱形的面积是6，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数值的几何意义，菱形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据反比例函数值几何意义解答结构． 【详解】解：连接交于点D， ∵是菱形， ∴，， ∴， ∴， 又∵双曲线位于第二象限， ∴， 故答案为：． 【变式1-1】（25-26八年级下·河南洛阳·期末）如图，的边交反比例函数的图象于点，且，点，，在坐标轴上，已知的面积为16，则的值为________． 【答案】4 【分析】连接，由平行四边形的性质得到，可证明，由平行线的性质得到，再由反比例函数比例系数的几何意义可得答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴轴， ∵点P在反比例函数的图象上， ∴， 又∵反比例函数的图象经过第一象限，即， ∴． 【变式1-2】（2026·广东肇庆·一模）如图，在平面直角坐标系中，点C在x轴的正半轴上，四边形为菱形，且面积为60，反比例函数的图象过顶点A和对角线的交点D，则反比例函数的表达式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设点A的坐标为，过点A作轴于点E，则，求出C点坐标，求出，根据菱形面积即可得解． 【详解】解：设点A的坐标为， 如图，过点A作轴于点E，则， ∵四边形是菱形， ∴， ∴点D的纵坐标为， ∴点D的坐标为， ∴点C的横坐标为，则． ∵菱形的面积为60， ， ∴， ∴反比例函数的表达式为． 【变式1-3】（25-26八年级下·浙江宁波·期末）如图，在平面直角坐标系中，平行四边形 的顶点 在 轴负半轴上，顶点 在第二象限，边 的中点 横坐标为 ，反比例函数的图象经过点 ．若 ，则 的值为______． 【答案】 【分析】作 轴， 轴，垂足分别为 ，根据反比例函数 值的几何意义，得 ，求出 的值即可． 【详解】解：如图，作 轴， 轴，垂足分别为 ， ∵边 的中点 横坐标为 ， ∴， ∴点 纵坐标为， ∵平行四边形， ∴点 纵坐标为， 则， 由， 根据反比例函数 值的几何意义，得， ∴ ， ∴ ， 解得： ． ▌题型03 两个象限运用k的几何意义 ◆1.核心性质 反比例函数图像关于原点中心对称：若P(x,y)在双曲线上，则P′(−x,−y)也在图像上。 ◆2.面积规律：两点分属不同象限，分别作坐标轴垂线，各自直角三角形面积均为​；三点构成的三角形面积=∣k∣；跨象限总面积为两个基础三角形面积相加。 ◆3.标准解题步骤 ① 利用原点对称写出对称点坐标； ② 分别在两个象限构造垂线直角三角形，单块面积​； ③ 根据图形拼接方式求和、作差求总面积； ④ 结合双曲线所在象限确定k符号。 【典例7】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数是常数，与反比例函数的图象相交于、两点，轴于点，则的面积为（     ） A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】设点A坐标为，根据反比例函数图象的中心对称性质得点B坐标为，再根据计算即可． 【详解】解：设点A坐标为， ∵点A与点B关于原点对称， ∴点B坐标为， ∴， 即的面积为1． 【典例8】（2025秋•东坡区期末）如图，反比例函数的图象与直线y＝kx（k＞0）相交于A、B两点，点A的横坐标为2，AC∥y轴，BC∥x轴，则△ABC的面积等于　 　个面积单位． 【答案】4． 【分析】先确定A点坐标，根据反比例函数的性质再确定B点坐标，于是可得到C点坐标，然后根据三角形面积公式进行计算． 【详解】解：把x＝2代入y得y＝1， ∴A点坐标为（2，1）， ∴B点坐标为（﹣2，﹣1）， ∴C点坐标为（2，﹣1）， ∴△ABC的面积4×2＝4． 故答案为4． 【点睛】本题考查了反比例函数y（k≠0）中比例系数k的几何意义：过反比例函数图象上任意一点分别作x轴、y轴的垂线，则垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为|k|． 【典例9】如图，已知正比例函数与反比例函数的图象都经过点A和点B，点A的横坐标为1，过点A作x轴的垂线，垂足为M，连接．    (1)这个反比例函数的解析式； (2)的面积． 【答案】(1)； (2)2 【分析】（1）根据题意将代入正比例函数，求出点A的坐标，再将点A代入反比例函数求出解析式即可； （2）根据反比例函数关于原点对称，从而得出，据此求解即可． 【详解】（1）解：∵点A在正比例函数的图象上， ∴， ∴； 又∵点A在反比例函数的图象上， ∴， 解得：， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，以及三角形面积的求法，注意反比例函数的对称性． 【变式1-1】（2025·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在反比例函数的图象上，直线与反比例函数的图象的另一支交于点B，轴于点C，连接．若的面积为5，则的值为（  ） A．5 B． C．10 D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点以及反比例函数的定义，设点，则点，，由求出，即可得出结论，求出的值是解题的关键． 【详解】解：如图，过作轴于点， 设点，则点，， 轴， ，， ， ， ， ， 故选：B． 【变式1-2】如图，原点O是矩形ABCD的对称中心，顶点A、C在反比例函数图象上，AB//x轴，若S矩形ABCD＝8，则反比例函数的表达式为 _____． 【答案】 【分析】设点A的坐标为（m、n），则由对称性可知点C的坐标为（-m，-n），再求出AD=2m，CD=2n，最后根据矩形矩形ABCD的面积为8，得到，由此求解即可． 【详解】解：设点A的坐标为（m、n），则由对称性可知点C的坐标为（-m，-n）， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D=90°， ∴AD=2m，CD=2n， ∵矩形ABCD的面积为8， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，反比例函数比例系数的几何意义，熟知反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 【变式1-3】（24-25九年级上·陕西咸阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，正方形的边长为6，且边轴，顶点的坐标为，边、分别交轴、轴于点、，反比例函数（为常数，且）的图象经过点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)在该反比例函数的图象上是否存在点，使得的面积等于四边形的面积？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，或 【分析】本题考查了反比例函数与几何综合，求反比例函数解析式； （1）根据正方形求出点的坐标，代入计算即可； （2）根据反比例函数的几何意义求出四边形的面积，再设表示出的面积，根据的面积等于四边形的面积列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为6，轴， ∴，轴，轴， ∵点的坐标为， ∴，，， 把代入得，解得， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：∵，，， ∴，， ∴四边形的面积为， 设， ∴， ∵的面积等于四边形的面积， ∴， 解得， ∴或． ▌题型04 双反比例函数中运用k的几何意义 ◆1.基础条件 同一坐标系两条双曲线：y​、y​；垂直于坐标轴的直线同时交两条曲线于两点。 ◆2.面积公式 矩形阴影面积：S= 三角形阴影面积：S= 两双曲线同象限（、同号）：面积取两绝对值之差； 两双曲线分属不同象限（、异号）：面积取两绝对值之和。 ◆3.标准解题步骤 ① 区分两条双曲线对应的、； ② 分别算出基础矩形面积； ③ 根据双曲线同侧 / 异侧求和或作差； ④ 若图形为三角形，整体结果除以 2。 【典例10】如图，过x正半轴上任意一点P作y轴的平行线，分别与反比例函数y＝（x＞0），y＝﹣（x＞0）的图象交于A点和B点，连接OA、OB，则△OAB的面积为（　　） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】根据反比例函数系数k的几何意义得出S△AOP=×4=2，S△BOP=×|﹣8|=4，由S△AOB=S△AOP+S△BOP即可求出结论． 【详解】∵AB⊥x轴，根据k的函数意义，S△AOP=×4=2，S△BOP=×|﹣8|=4，∴S△AOB=S△AOP+S△BOP=2+4=6． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是掌握y=（k≠0）图象中任取一点，过这一个点向x轴和y轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值|k|． 【典例11】（24-25八年级下·河南·阶段检测）如图，点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上，点C，D在x轴上，若四边形是面积为9的正方形，则实数k的值为 （　　） A．9 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义， 根据题意，可知，再根据，可得答案． 【详解】解：∵点A在反比例函数图象的一支上，点B在反比例函数图象的一支上， ∴. ∵正方形的面积是9， ∴， 解得． 故选：B． 【典例12】（2024·甘肃陇南·一模）如图，点A，B分别在反比例函数和的图象上，分别过A，B两点向x轴，y轴作垂线，形成的阴影部分的面积为7，则k的值为_______． 【答案】7 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，熟练掌握几何意义求出反比例函数k值是解题的关键；点A、B分别在反比例函数和图象上，分别过A、B两点向x轴，y轴作垂线，利用几何意义，表示出，，再利用阴影部分的面积为5，得出，由此解出k即可． 【详解】如图所示： 点A、B分别在反比例函数和图象上，且轴，轴， 四边形和为矩形， 点A、B在第一象限， ， 根据反比例函数比例系数的几何意义，得： ，， 阴影部分的面积为5， ， ， 解得：． 故答案为：7． 【变式1-1】（2024·安徽安庆·三模）已知反比例与的图像如图所示，为x轴正半轴上一动点，过点作轴，分别交反比例函数与的图像于点，，点，（点在点的上方）在轴上，且，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数系数的几何意义，理解反比例函数系数的几何意义是解题的关键． 利用反比例函数系数k的几何意义可得，，再根据同底等高的三角形面积相等，得到，由平行四边形的面积公式进而求出答案 【详解】解：连接、、， 轴，， 四边形为平行四边形， ， 轴， ， 由反比例函数系数的几何意义得， ，，　 ， ， 故选：B． 【变式1-2】（2026·河南平顶山·三模）如图，点在反比例函数的图象上，过点作轴的垂线交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数的表达式． (2)连接，若的面积是3，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）将点代入，待定系数法求解析式，即可求解； （2）延长 交轴于点，根据反比例函数的意义得出，，根据的面积是3，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 反比例函数的表达式为． （2）解：延长 交轴于点，由题意得轴， 点在反比例函数的图象上， ． 点在反比例函数的图象上， ， ， 解得． 【变式1-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，分别在反比例函数和的图象上，交轴于点，轴，垂足为，轴于点，，，． (1)求的值； (2)连接，，求和的面积； 【答案】(1) (2)； 【分析】（1）先由得到点纵坐标，代入左侧反比例函数求出横坐标，得到线段长度；结合算出长，再由确定点坐标，最后将点坐标代入右侧反比例函数，即可算出． （2）先算出梯形的总面积，再分别求出左右两侧直角三角形、的面积，用梯形面积减去两个直角三角形面积，剩余部分就是的面积．利用、两点坐标列方程组求出直线的解析式，令得到直线与轴交点的纵坐标，即线段长度；以为底、为高，套用三角形面积公式计算出面积． 【详解】（1）解：由题意可知， ，轴， ∴点的纵坐标为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴点的横坐标为． ． ， ． ， ∴点的坐标为． ． （2）解：， ， ， ． 设直线的表达式为，得 ， 解得． 直线的表达式为，点的坐标为 ． ▌题型05 反比例函数k的几何意义的综合运用 ◆1.核心基础不变 单一点矩形面积=∣k∣，直角三角形面积=，所有综合题均以此为底层公式。 ◆2.综合拓展考点 结合一次函数交点、线段中点 / 等分、动点、割补法、坐标运算； 中点、等分线段：面积存在倍数关系； 一次函数与双曲线交点：联立方程求坐标，分割图形计算； 双曲线上动点：基础矩形、三角形面积恒定不变； 不规则多边形：割补法（分割成标准图形 / 大图形减空白）。 【典例13】（2024·江西赣州·二模）如图，一次函数分别与反比例函数，交于点和点，已知点的横坐标为，点的纵坐标为6． (1)求反比例函数的解析式； (2)连接，，求的面积． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，考查待定系数法求函数解析式，三角形的面积等， （1）将点的横坐标代入即可得，再将代入，即可得，最后将的纵坐标6代入，即可得，问题随之得解； （2）设与轴交于点，根据 ，即可作答． 【详解】（1）当时，， ， 把它代入得：， 解得， ， 当时，， 解得， ， ， ； （2）设与轴交于点， 当时，， 则， ∵，， ． 【典例14】如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数的图像于点A，交函数的图像于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接AC． （1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积； （2）若AB＝BC，求点A的坐标； （3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由． 【答案】（1）；（2）点A（−2，）；（3）△OAC的面积不随t的值的变化而变化，理由见详解 【分析】（1）点P（−1，0）则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（−，4），S△ABC＝BC×AB，即可求解； （2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，），AB＝BC，即：-()＝−t，即可求解； （3）由S△OAC＝S梯形AMNC＝（−t）（＋）＝，即可得到结论． 【详解】解：（1）点P（−1，0），则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（−，4）， ∴S△ABC＝BC×AB＝×（−＋1）×（4−1）＝； （2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，）， ∵AB＝BC， ∴-()＝−t，解得：t＝±2（舍去2）， ∴点A（−2，）； （3）过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N， 则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，）， ∴S△OAC＝S梯形AMNC＝（−t）（＋）＝， ∴△OAC的面积不随t的值的变化而变化． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是通过函数关系，确定相应坐标，进而求解． 【变式1-1】（24-25八年级下·江苏苏州·阶段检测）如图，两个反比例函数和在第一象限内的图象依次是和，设点P在上，轴于点C，交于点A，轴于点D，交于点B，若四边形的面积为5，求k的值． 【答案】8 【分析】本题主要考查了反比例函数中k的几何意义，根据反比例函数系数k的几何意义得到，然后利用四边形的面积进行计算，熟练掌握图象上的点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S的关系即是解决此题的关键． 【详解】∵轴，轴，两个函数图象都在第一象限， ∴， ∴四边形的面积． 解得． 【变式1-2】阅读理解：如图1，若点，和，则 ． (1)若点，，则的面积为_________； (2)如图2，点A，B在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6，连接，若的面积是4.5，求k的值． 【答案】(1)6 (2)6 【分析】（1）直接利用题干给出的公式，进行计算即可； （2）表示出点的坐标，利用题干给出的公式，进行计算即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴的面积； （2）∵点A，B在反比例函数的图象上，A，B的纵坐标分别是3和6， ∴， ∴的面积， ∴， ∵反比例函数的图象过第一象限， ∴， ∴， ∴. 【变式1-3】（23-24九年级上·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，，两点在函数的图象上，其中，轴于点，轴于点，且． (1)若，则的长为________，的面积为________； (2)若点的横坐标为，且，当时，求的值． 【答案】(1)；1 (2) 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义以及两点间的距离公式， （1）由和的值可得出点A的坐标，利用勾股定理即可求出的长度，由点B在反比例函数图像上，利用反比例函数系数k的几何意义即可得出的面积； （2）根据反比例函数图像上点的坐标特征可找出点A、B的坐标，利用两点间的距离公式即可求出、的长度，由即可得出关于的方程，解之即可求出值，再根据即可确定值． 【详解】（1）解：∵，， ∴点， ∴， ． ∵点B在反比例函数的图像上， ∴． 故答案为；1． （2）解：∵A，B两点在函数的图像上， ∴，， ∴，． ∵， ∴， 解得：或． ∵， ∴． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $