第七十六讲 双曲线的标准方程与几何性质导学案-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了双曲线的定义、标准方程与几何性质等核心考点，按定义内涵、方程形式、几何性质及应用逻辑构建知识网络，通过问题链设计引导学生自主辨析定义中的条件限制、方程与性质的关联，形成结构化认知框架。 亮点在于诊断性题型训练与方法指导结合，如设置定义辨析、方程识别等7类必考题型共22道典型题，学生可通过题型训练自主诊断薄弱环节，结合解题方法总结提升数学思维与运算能力。每个模块配有反思总结提示，帮助学生个性化梳理知识盲点，教师可依据学生错题分布精准指导，支持因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第七十六讲 双曲线的标准方程与几何性质 【学习目标】知道双曲线的定义、标准方程、几何性质，并能灵活应用. 【学习重点】双曲线的标准方程与几何性质. 【学习难点】双曲线的几何性质. 必掌握知识点 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【解题方法总结】 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． （3）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （5）双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 必考题型全归纳 题型一：双曲线的定义（第一定义） 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且大于 0）的点的轨迹叫做双曲线。 ， 双曲线右支； 双曲线左支； 若常数等于，轨迹是两条射线；常数大于，无轨迹。 1．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 【答案】A 【分析】根据圆锥曲线的定义判断即可. 【详解】由题意可知， 因为， 所以点的轨迹是双曲线的一支. 2．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 【答案】 【详解】由题意，点的轨迹是以为焦点的双曲线的上支，其方程形如 其中，则， 故点的轨迹方程为. 3．已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 【答案】 【分析】利用双曲线的定义可求方程. 【详解】由题意，因为,所以的轨迹是以为焦点的双曲线的一支， 设双曲线的方程为，则，所以； 故方程为. 4．已知位于正东方，且两地相距米，一炮弹在某处爆炸. 在处听到爆炸声的时间比处晚秒钟. (1)爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由. (2)若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标.（精确到米）（已知声音速度为米/秒） 【答案】(1)以为焦点且距较近的双曲线的一支上 (2) 【分析】（1）根据双曲线的定义求得爆炸点所在曲线； （2）根据已知条件求得，从而求得曲线的方程，设代入方程解出即可. 【详解】（1）由题意得：， 所以爆炸点离点比离点的距离更远， 所以爆炸点在以为焦点且距较近的双曲线的一支上. （2）以直线为轴，线段的垂直平分线为轴，建立直角坐标系， 所以，即， 又，所以， 所以， 所以曲线方程为：， 又，设，代入方程得：， 解得（米），所以. 5．已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 【答案】B 【分析】根据双曲线的性质得到焦点的坐标和双曲线上的点到两个焦点的距离之差，结合三角形边的性质从而求解. 【详解】 在双曲线中，，，， 所以双曲线的焦点，，， 因为，， 所以. 题型二：双曲线第二定义 第二定义：双曲线上点到焦点距离与对应准线距离之比为离心率； 右准线：，左准线：； 过焦点弦，以弦为直径的圆与对应准线位置关系（相离 / 相交 / 相切）。 6．已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 【答案】C 【详解】如图，设A，B到右准线的距离分别是.由双曲线定义知： .    设弦AB中点为M，它到准线l的距离为MN，则， 从而有. . . 因此以为直径的圆与右准线的位置关系是相交. 题型三：双曲线方程的识别（判断椭圆、双曲线、圆） 1. 双曲线：（分母异号）； 椭圆：； 圆：； 无图形。 2.判断焦点位置： ，焦点在轴；，焦点在轴； 等轴双曲线：，方程，离心率。 7．已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】把方程化成标准形式，根据选项中图形，结合椭圆、双曲线图形特征判断即可. 【详解】方程变形为， A选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，二，四象限，A不可能； B选项，椭圆焦点在轴上，，此时经过第一，二，三象限，B不可能； C选项，双曲线交点在轴上，，此时应该经过第一，三，四象限，C可能； D选项，椭圆焦点在轴上，故，此时经过第一，二，三象限，D不可能. 8．（多选）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 【答案】AC 【详解】将三点代入曲线中分别得，，，， 若在曲线上，不在曲线上，则，，， 此时为椭圆； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为双曲线； 若在曲线上，不在曲线上，则，，，得， 此时为椭圆； 故AC正确，BD错误. 9．（多选）当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）． A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 【答案】BCD 【分析】根据圆，椭圆，双曲线的方程特征，依次分析各选项即可得答案. 【详解】对于A，当时，方程为，即，表示轴，故错误； 对于B，当时，方程为，表示以原点为圆心的单位圆，故正确； 对于C，当时，，故方程为，表示双曲线； 当时，，故方程为，表示双曲线，故正确； 对于D，当且时，方程为， 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆； 当时，，方程表示焦点在轴上的椭圆，故正确. 10．已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 【答案】C 【分析】根据圆、椭圆、双曲线的定义及标准方程判断即可. 【详解】选项A：由可得，. 因为，所以，所以椭圆焦点在轴上，A错误. 选项B：若，则方程可化为，则圆的半径为，B错误. 选项C：若，则和异号，符合双曲线的标准形式，C正确. 选项D：若，方程可化为，当时，，表示两条平行于轴的直线；当时，此时无实数解；故D错误. 故选：C. 题型四：双曲线基本量关系 关系式：（和椭圆区分！） 离心率：，双曲线； 渐近线： 焦点在轴：； 焦点在轴：。 11．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，，，结合题设得、，再由正弦边角关系得，最后根据双曲线的定义、参数关系求曲线方程. 【详解】如图， 点必落在第四象限，， 设，，， 由，则， 因为，所以，则， 所以，则， 由正弦定理可得， 由，得，， 由，得， 所以，，，， 由双曲线的定义可得，，， 所以双曲线的方程为. 12．若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（   ） A． B．5 C． D． 【答案】B 【详解】双曲线的一个焦点坐标为，则，解得. 13．双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    【答案】/ 【分析】以最小半径所在圆的圆心为原点建立平面直角坐标系，设出双曲线方程，将上口和下口边缘点的坐标代入方程，通过消去参数b求得高度之比. 【详解】以最小半径所在圆的圆心为坐标原点，水平直径为轴，竖直中心轴为轴建立坐标系，设双曲线标准方程， 冷却塔最小半径对应双曲线实半轴，故， 上口边缘点：（，上半部分高度）， 下口边缘点：（，下半部分高度）， 将代入双曲线方程，移项整理得， 将代入双曲线方程，移项整理得， 两式相除得， 因为，所以. 14．已知双曲线的右焦点为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 【答案】(1) (2)由题意可知直线都存在斜率且不为零，且不相等， 设直线的斜率为，方程为，与双曲线方程联立，得 ，不等于0. 所以有， 设， ，解得， 同理， 所以 ， 设直线的斜率为， 同理可得：，因为， 所以， 因为，所以， 因此直线与直线的斜率之和是定值. 【分析】（1）利用代入法，结合焦点的定义进行求解即可； （2）设直线方程为，联立双曲线方程得到韦达定理式，利用弦长公式得，同理计算出，再计算出其乘积，同理再计算得，最后代入计算即可证明. 根据两点间距离公式，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系进行运算证明即可. 【详解】（1）因为双曲线的右焦点为，且经过点， 所以，因此双曲线的方程为； （2）略 题型五：求双曲线标准方程 1.定义法：利用双曲线第一定义求出，再算； 2.待定系数法： 共焦点：； 共渐近线：设； 过两点：代入两点列方程组求解； 3.轨迹法：直接翻译题目几何条件，化简得到方程，注意挖去不符合条件点。 15．已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 【答案】 【详解】设，由题意知，，其中， 化简整理得， 所以点的轨迹方程为. 16．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 【答案】 【分析】根据两圆关系及已知有，再由双曲线的定义确定轨迹并写出轨迹方程. 【详解】因为动圆与圆外切，所以， 因为动圆与圆内切，所以， 所以， 根据双曲线的定义，点的轨迹为双曲线的右支，且， 所以，则， 所以圆心的轨迹方程E为. 17．根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据双曲线有公共焦点得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. （2）根据双曲线有公共渐近线得到，然后将点的坐标代入双曲线方程求解. 【详解】（1）解法1：设双曲线方程为. 由题意易求. 又双曲线过点， ， ， ， 故所求双曲线方程为， 解法2：设双曲线方程为， 将点代入得， ∴双曲线方程为. （2）解法1：设双曲线方程为. 由题意得，解得. 故双曲线方程为. 解法2：设所求双曲线方程为， 将点代入得. 所以双曲线方程为，即. 题型六：双曲线焦点三角形 在双曲线上，叫焦点三角形。 结合双曲线定义； 余弦定理：； 面积公式：； 求周长：周长。 18．已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的性质得到三角形周长取到最小值时的动点的情况，再结合勾股定理和双曲线中之间的关系，从而得到的值. 【详解】 的周长为， 当且仅当三点共线时取等号， 因为，所以 ， 在中，，即，解得， 所以. 19．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 【答案】C 【详解】因为双曲线的焦距为8，所以，即. 由，可得，则. 若点在双曲线的左支上，由，可得， 此时的周长为； 若点在双曲线的右支上，，与不符. 综上，的周长为22. 题型七：双曲线与直线位置关系（联立、韦达定理、弦长、定点定值） 1.直线与双曲线联立，消元得到一元二次方程，注意二次项系数可能为 0（此时直线与渐近线平行，只有一个交点）； 2.韦达定理：，用于弦长、斜率和、定点定值证明； 3.弦长公式：； 4.定点定值：设直线，联立，利用韦达化简，与参数无关，得到定点； 5.点差法：处理中点弦问题。 20．已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】(1) (2)由（1）知双曲线的左焦点为， 由题意设直线的方程为， 由直线，得， 设，则，又， 所以 ， 由，得，其中， 则，，，所以. 因为，所以， 所以 . 即为定值. 【分析】（1）由已知条件，列方程求出，可得双曲线标准方程； （2）设直线的方程与双曲线联立方程组，设两点坐标，表示出直线，得点坐标，表示出，结合韦达定理，证明为定值. 【详解】（1）由题意知，则，所以， 因为点在双曲线的一条渐近线上， 所以点在双曲线的渐近线上，所以， 综上可得， 故双曲线的方程为. （2）略 21．如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】先求出点坐标，再求出点坐标，再根据点差法表示出，再由建立方程求解即可. 【详解】因为，所以在直角中，， 设，则，解得，即， 又，所以，则， 即，又因为，，所以 ，设，， 联立，两式相减化简得， 又M是的中点，， 即，又，所以， 又，所以， 化简得，又，解得， 即. 22．已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线E的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支上，点，证明：； （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)（ⅰ）由（1）可知双曲线的右焦点， 设直线的方程为，，． 联立直线与双曲线的方程， 消去可得，即． 由韦达定理可得，． 已知， 则 ， 即， 所以直线、的倾斜角互补，即． （ⅱ）是，定点 【分析】（1）根据双曲线的实轴长求出的值，再结合顶点到渐近线的距离求出的值，进而得到双曲线的方程； （2）（ⅰ）设出直线l的方程，与双曲线方程联立，利用韦达定理得到A，B两点横坐标的关系，再通过计算直线、的斜率之和为0，即可证得结果； （ⅱ）设出x轴上的定点，根据向量垂直的性质得到，进而求出定点的坐标． 【详解】（1）因为双曲线的实轴长为2，所以，解得1． 双曲线的渐近线方程为，即，右顶点坐标为． 所以右顶点到渐近线的距离为，即， 两边平方可得，解得． 将，代入双曲线方程， 可得双曲线的方程为． （2）（ⅰ）略 （ⅱ）设轴上的定点，则，． 因为以为直径的圆恒过轴上的定点， 所以，即． 当斜率不为0时，将，代入上式可得： ， 展开可得． 将，代入上式可得： ， 整理可得， 即， 合并同类项可得． 因为上式对任意都成立，所以， 解得，即， 则以AB为直径的圆恒过x轴上的定点． 当斜率为时，直线的方程为， 联立直线与双曲线的方程，易得，， 此时以为直径的圆恒过轴上的定点． 综上，以为直径的圆恒过轴上的定点． 巩固提升： 1．已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】A 【分析】由题意可知点P的轨迹是双曲线，通过联立方程组利用弦长公式求解. 【详解】由知，点P的轨迹E是以为焦点的双曲线， 设轨迹E的方程为，因为，所以， 故轨迹E的方程为， 设，由可得， 则则． 2．已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 【答案】A 【分析】由双曲线的定义结合双曲线的方程，即可解得的值. 【详解】设双曲线的半焦距为.因为，所以， 所以，解得. 由双曲线的定义可得， 所以，解得或，且有， 当时，，不符合题意，故舍去， 当时，，满足题意.综上，.故选：A. 3．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用双曲线定义得，再利用三角形两边差小于第三边，当三点共线时取等号即可求解. 【详解】由双曲线得，，所以. 则右焦点，设左焦点为. 点M在双曲线右支上，所以，即. 所以. 因为，当且仅当三点共线时，且在延长线与双曲线右支交点时取等号. 又， 所以的最大值为. 4．（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【分析】利用椭圆的定义将椭圆上动点到同侧焦点的距离转化为到异侧焦点的距离，结合三角形两边之差小于第三边的性质构造不等关系；同时利用双曲线定义区分左右支，将双曲线上动点到焦点的距离进行转化，并运用三角形两边之和大于第三边的性质推导出最值. 【详解】由椭圆可得：，，左右焦点为、， 由椭圆的定义：对椭圆上任意点，，得， 因此：， 由三角形不等式：， 又，则， 故，故A错误，B正确； 由双曲线可得：，，焦点同样为、， 由双曲线的定义：若在右支：，得， 因此：， 由三角形不等式：，得， 若在左支：，得， 因此， 综上，总有，故C正确，D错误. 5．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 【答案】D 【分析】根据焦距及双曲线的关系，结合双曲线定义，即可求得答案. 【详解】由题意知，，所以. 在双曲线中，有，所以，又，所以. 由双曲线定义知，，即，所以或. 又，即，所以. 综上，. 6．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 【答案】A 【分析】先由椭圆方程求出其焦点坐标及离心率，再根据双曲线的性质，以及与椭圆的关系求出，根据双曲线的定义可得，将其代入，结合对勾函数单调性即可求解.. 【详解】因为椭圆的焦点为，离心率为， 所以双曲线的焦半距为2， 由题意可知双曲线离心率为， 所以可知双曲线，解得. 因为为双曲线右支上任意一点， 所以，即， 又因为， 所以， 令， 得，由对勾函数单调性可知其中单调递增， 当时，取到最小值，即， 所以的最小值为． 7．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 【答案】C 【分析】根据双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线C：， 可知，即， 所以由双曲线定义可知， 解得或， 故选：C 8．设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 【答案】 【分析】通过双曲线的定义得，再利用数形结合即可求解． 【详解】设双曲线的右焦点为， ，如图所示： 由双曲线的定义得，所以， 所以，当且仅当P为线段与双曲线的右支时取等号． 故的最小值为. 故答案为： 9．已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 【答案】或 【详解】 当双曲线的焦点在x轴上时，设，分别是双曲线的左、右焦点， 的周长等于26，所以有， 由双曲线的定义可知，，两式相加得， ， 即，而， 因此可得，所以. 因为，所以， 于是， 所以双曲线方程为. 当双曲线的焦点在y轴上时，同理可得双曲线方程为， 综上所述，双曲线方程为或. .10．已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 【答案】B 【分析】设双曲线的左焦点为，根据双曲线的定义，将转化为，即可求其最小值. 【详解】设双曲线的左焦点为，则，所以，. 则由题意可得，，即. 所以， 当且仅当三点共线时，等号成立. 即的最小值为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第七十六讲 双曲线的标准方程与几何性质 【学习目标】知道双曲线的定义、标准方程、几何性质，并能灵活应用. 【学习重点】双曲线的标准方程与几何性质. 【学习难点】双曲线的几何性质. 必掌握知识点 知识点一：双曲线的定义 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（大于零且小于）的点的轨迹叫做双曲线（这两个定点叫双曲线的焦点）．用集合表示为． 注意：（1）若定义式中去掉绝对值，则曲线仅为双曲线中的一支． （2）当时，点的轨迹是以和为端点的两条射线；当时，点的轨迹是线段的垂直平分线． （3）时，点的轨迹不存在． 在应用定义和标准方程解题时注意以下两点： ①条件“”是否成立；②要先定型（焦点在哪个轴上），再定量（确定，的值），注意的应用． 知识点二：双曲线的方程、图形及性质 标准方程 图形 A2 焦点坐标 ， ， 对称性 关于，轴成轴对称，关于原点成中心对称 顶点坐标 ， ， 范围 实轴、虚轴 实轴长为，虚轴长为 离心率 渐近线方程 令， 焦点到渐近线的距离为 令， 焦点到渐近线的距离为 点和双曲线 的位置关系 共焦点的双曲线方程 共渐近线的双曲线方程 切线方程 为切点 为切点 切线方程 对于双曲线上一点所在的切线方程，只需将双曲线方程中换为，换成便得． 切点弦所在直线方程 为双曲线外一点 为双曲线外一点 点为双曲线与两渐近线之间的点 弦长公式 设直线与双曲线两交点为，，． 则弦长， ，其中“”是消“”后关于“”的一元二次方程的“”系数． 通径 通径（过焦点且垂直于的弦）是同支中的最短弦，其长为 焦点三角形 双曲线上一点与两焦点构成的成为焦点三角形， 设，，，则， ， 焦点三角形中一般要用到的关系是 等轴双曲线 等轴双曲线满足如下充要条件：双曲线为等轴双曲线离心率两渐近线互相垂直渐近线方程为方程可设为． 【解题方法总结】 （1）双曲线的通径 过双曲线的焦点且与双曲线实轴垂直的直线被双曲线截得的线段，称为双曲线的通径．通径长为． （2）点与双曲线的位置关系 对于双曲线，点在双曲线内部，等价于． 点在双曲线外部，等价于 结合线性规划的知识点来分析． （3）双曲线常考性质 性质1：双曲线的焦点到两条渐近线的距离为常数；顶点到两条渐近线的距离为常数； 性质2：双曲线上的任意点到双曲线C的两条渐近线的距离的乘积是一个常数； （4）双曲线焦点三角形面积为（可以这样理解，顶点越高，张角越小，分母越小，面积越大） （5）双曲线的切线 点在双曲线上，过点作双曲线的切线方程为．若点在双曲线外，则点对应切点弦方程为 必考题型全归纳 题型一：双曲线的定义（第一定义） 平面内与两个定点的距离的差的绝对值等于常数（小于且大于 0）的点的轨迹叫做双曲线。 ， 双曲线右支； 双曲线左支； 若常数等于，轨迹是两条射线；常数大于，无轨迹。 1．已知，，动点满足，则点的轨迹是（     ） A．双曲线的一支 B．双曲线 C．椭圆 D．射线 2．已知点到点的距离减去它到点的距离之差是2，则点的轨迹方程为____________． 3．已知圆，定点，则过定点且和圆外切的动圆圆心的轨迹方程为________． 4．已知位于正东方，且两地相距米，一炮弹在某处爆炸. 在处听到爆炸声的时间比处晚秒钟. (1)爆炸点应该在什么样的曲线上？并说明理由. (2)若在处观测到爆炸点位于处正北方向，试建立适当的直角坐标系，并确定爆炸点的坐标.（精确到米）（已知声音速度为米/秒） 5．已知点是双曲线的右支上一点，，分别是圆和上的点，则的最大值为（     ） A．12 B．15 C．16 D．18 题型二：双曲线第二定义 第二定义：双曲线上点到焦点距离与对应准线距离之比为离心率； 右准线：，左准线：； 过焦点弦，以弦为直径的圆与对应准线位置关系（相离 / 相交 / 相切）。 6．已知AB是双曲线中过右焦点F的弦，且A、B均在双曲线的右支上，则以AB为直径的圆与右准线l的位置关系是（    ） A．相切 B．相离 C．相交 D．不确定 题型三：双曲线方程的识别（判断椭圆、双曲线、圆） 1. 双曲线：（分母异号）； 椭圆：； 圆：； 无图形。 2.判断焦点位置： ，焦点在轴；，焦点在轴； 等轴双曲线：，方程，离心率。 7．已知，为两个不相等非零实数，则方程，与所表示的曲线可能是（    ） A． B． C． D． 8．（多选）若三点中恰有两点在曲线上，则（   ） A．若C是椭圆，则C的方程有2个 B．若C是双曲线，则C的方程有2个 C．若C是椭圆，则 D．若C是双曲线，则 9．（多选）当变化时，指出方程表示的曲线的形状（    ）． A．当时，表示轴 B．当时，方程表示以原点为圆心的单位圆 C．当或时，方程表示双曲线 D．当且时，方程表示椭圆 10．已知曲线C：，下列说法正确的是（   ） A．若，则C是焦点在y轴上的椭圆 B．若，则C是半径为的圆 C．若，则C是双曲线 D．若，则C是两条直线 题型四：双曲线基本量关系 关系式：（和椭圆区分！） 离心率：，双曲线； 渐近线： 焦点在轴：； 焦点在轴：。 11．双曲线的左、右焦点分别为．是双曲线右支上一点，且直线的斜率为2，是面积为8的直角三角形，则双曲线的方程为（   ） A． B． C． D． 12．若双曲线的一个焦点坐标为，则m的值为（   ） A． B．5 C． D． 13．双曲线型冷却塔的外形是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，如图所示，它的最小半径为24米，上口半径为26米，下口半径为40米．若半径最小的圆将冷却塔分成上、下两部分的高分别为、米，则______．    14．已知双曲线的右焦点为，且经过点. (1)求双曲线的方程； (2)过的两条直线分别交的右支于A，B两点和C，D两点，且，证明：直线与直线的斜率之和是定值. 题型五：求双曲线标准方程 1.定义法：利用双曲线第一定义求出，再算； 2.待定系数法： 共焦点：； 共渐近线：设； 过两点：代入两点列方程组求解； 3.轨迹法：直接翻译题目几何条件，化简得到方程，注意挖去不符合条件点。 15．已知两点坐标分别为，直线与斜率之积为24，求的轨迹方程. 16．设动圆的半径为，它与圆外切，且与圆内切，求圆心的轨迹方程. 17．根据下列条件，求双曲线方程： (1)与双曲线有公共焦点，且过点； (2)与双曲线有公共渐近线，且过点． 题型六：双曲线焦点三角形 在双曲线上，叫焦点三角形。 结合双曲线定义； 余弦定理：； 面积公式：； 求周长：周长。 18．已知双曲线的左、右焦点分别为、，动点P为双曲线右支上任意一点，点，若周长的最小值为12，则（    ） A． B．3 C． D． 19．已知双曲线的左､右两个焦点分别是，焦距为8，若是双曲线上一点，且，则的周长为（    ） A．14 B．14或17 C．22 D．14或22 题型七：双曲线与直线位置关系（联立、韦达定理、弦长、定点定值） 1.直线与双曲线联立，消元得到一元二次方程，注意二次项系数可能为 0（此时直线与渐近线平行，只有一个交点）； 2.韦达定理：，用于弦长、斜率和、定点定值证明； 3.弦长公式：； 4.定点定值：设直线，联立，利用韦达化简，与参数无关，得到定点； 5.点差法：处理中点弦问题。 20．已知双曲线C：的焦距为8，点在双曲线C的一条渐近线上.过双曲线C的左焦点F作直线l交双曲线C的左支于A，B两点. (1)求双曲线C的方程； (2)已知点，直线交直线于点Q，设直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 21．如图，双曲线的右顶点为A，左右焦点为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交渐近线于点R，M是的中点，若，且，则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D． 22．已知双曲线的实轴长为2，顶点到渐近线的距离为． (1)求双曲线E的方程； (2)经过双曲线E的右焦点F的直线l与E相交于A，B两点， （ⅰ）若交点A，B在双曲线E的右支上，点，证明：； （ⅱ）以AB为直径的圆是否恒过x轴上的定点？若是，求出该定点的坐标；若不是，请说明理由． 巩固提升： 1．已知，点P满足，记点P的轨迹为E．直线与轨迹E交于A，B两点，则（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．已知双曲线的左､右焦点分别是，焦距为8，M是该双曲线上一点，且，则（    ） A．9 B．6 C．3 D．1 3．已知双曲线的右焦点为F，动点M在双曲线右支上，点，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 4．（多选）分别为椭圆和双曲线上的点，，则（   ） A． B． C． D． 5．双曲线的两个焦点分别是、，焦距为8，是双曲线上的一点，且，则（   ） A．1 B．3 C．7 D．9 6．已知双曲线与椭圆的焦点重合，其离心率是椭圆离心率的8倍，设，分别为双曲线C的左，右焦点，P为右支上任意一点，则的最小值为（   ） A． B．4 C． D．3 7．已知双曲线C：的左右焦点分别为，P为双曲线上一点且，则＝（   ） A．2 B．10 C．2或10 D．4或8 8．设点是曲线上一动点，定点，则的最小值为__________. 9．已知，是双曲线的两个焦点，且，过的直线交双曲线一支于A，B两点，当，的周长等于26时，则此双曲线的标准方程为________． 10．已知双曲线的右焦点为F，P为双曲线右支上一动点，，则的最小值为（     ） A． B． C．5 D．10 1 学科网（北京）股份有限公司 $