第38讲 导数的几何意义导学案----2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理导数的几何意义核心考点，以几何意义、物理意义为基础，通过“在点切线”“过点切线”等解题方法构建知识网络，设置从基础切线计算到创新应用的六类题型，引导学生自主梳理考点联系，形成层次分明的知识体系。 亮点在于自主诊断与进阶式学习设计，开篇必掌握知识点清单帮助学生自我检测，题型分类从基础到综合再到创新（如牛顿迭代法、蒙日圆综合题），培养数学思维与应用意识。每个题型配真题实例，学生可通过错题归因自主提升，教师能依据题型分布精准指导，实现因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第三十八讲 导数的几何意义 【学习目标】1．知道导数的几何意义； 2．会利用导数求曲线的切线方程． 【学习重点】导数的几何意义及导数在曲线的切线方程中的应用． 【学习难点】导数在曲线的切线方程中的应用. 必掌握知识点 1、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 2、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 解题方法总结 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 必考题型全归纳 题型一、基础切线计算（已知切点，求切线方程、切线与坐标轴围成面积） 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】借助导数的几何意义计算可得其在点处的切线方程，即可得其与坐标轴的交点坐标，即可得其面积. 【详解】， 则， 即该切线方程为，即，令，则，令，则， 故该切线与两坐标轴所围成的三角形面积.故选：A. 2．（河北省沧州市2025-2026学年高三上学期10月复习质量监测数学试卷）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据导数的几何意义求出切线斜率，利用点斜式即得切线方程，求出切线与两坐标轴的交点坐标，利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】由求导，可得， 则，又， 则曲线在点处的切线为， 则切线与两坐标轴的交点分别为，，故三角形的面积为. 故选：D. 3．（安徽省江淮十校2022届高三下学期第三次联考理科数学试题）已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可得函数的解析式，进而利用导数求其在点处的切线方程即可. 【详解】∵函数在上满足，用替换得： ， ∴∴ 令，则，∴，即 ∴，∴， ∴曲线在点处的切线方程是：，即.故选：C. 题型二、过曲线外一点作切线条数问题（转化方程零点，构造函数极值判定根个数） 4．（2014-2015学年江西省白鹭洲中学高二下学期第一次月考文科数学试卷（带解析））已知f（x）=x3-3x，过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是 A．（-1，1） B．（-2，3） C．（-1，2） D．（-3，-2） 【答案】D 【详解】试题分析：设切点为(t,t³-3t),f'(x)=3x²-3,则切线方程为y=(3t²-3)(x-t)+t³-3t 整理得y=(3t²-3)x-2t³把A(1,m)代入整理得:2t³-3t²+m+3="0" ①因为可作三条切线,所以①有三个解 记g(t)=2t³-3t²+m+3则g'(t)=6t²-6t=6t(t-1),所以当t=0时,极大值g(0)=m+3,当t=1时,极小值g(1)=m+2，要使g(t)有三个零点,只需m+3>0且m+2<0，-3<m<-2. 考点：导数的应用． 5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解法一：根据导数几何意义求得切线方程，再构造函数，利用导数研究函数图象，结合图形确定结果； 解法二：画出曲线的图象，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线. 【详解】在曲线上任取一点，对函数求导得， 所以，曲线在点处的切线方程为，即， 由题意可知，点在直线上，可得， 令，则. 当时，，此时函数单调递增， 当时，，此时函数单调递减，所以，， 由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则， 当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：    由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.故选：D. 解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.    故选：D. 【点睛】解法一是严格的证明求解方法，其中的极限处理在中学知识范围内需要用到指数函数的增长特性进行估计，解法二是根据基于对指数函数的图象的清晰的理解与认识的基础上，直观解决问题的有效方法. 6．（江苏省常州市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设切点为，可得切线为，所以，设，则与图象有两个交点，讨论时由单调性可知不符合题意，当时，由导数判断的单调性以及最值，数形结合即可求解. 【详解】设切点为， 由可得，则切线方程为， 因为点在切线上，所以，所以， 若过点可以作曲线的两条切线，则有两解， 设，可得， 当时，恒成立，此时在上单调递增， 至多一解，所以不符合题意， 当时，由可得；由可得； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以， 当趋近于时，趋近于； 当趋近于时，趋近于； 所以若与图象有两个交点，可得即， 所以若过点可以作曲线的两条切线，则，故选：C. 题型三、曲线上点到定直线最小距离（平行切线法） 7．（广东省仲元中学、中山一中等七校联合体2021届高三上学期第一次联考数学试题）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（    ） A．1 B． C． D．2 【答案】B 【分析】因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线y＝x－2平行时，点P到直线的距离最小，所以利用导数求出点P处的切线，然后利用两平行线间的距离公式可得答案 【详解】因为点P是曲线任意一点，所以当点P处的切线和直线平行时，点P到直线的距离最小. 因为直线的斜率等于1，曲线的导数， 令，可得x＝1或 (舍去)，所以在曲线与直线平行的切线经过的切点坐标为(1，0)，所以点P到直线的最小距离为，故选：B 【点睛】此题考查导数的几何意义的应用，考查两平行线间的距离公式，考查转化思想和计算能力，属于基础题 8．（陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题）在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用点到直线的距离公式，求得点到直线的距离，结合基本不等式，即可求解. 【详解】设曲线上任意一点，则 可得点到直线的距离为 由于，当且仅当时，即时，等号成立， 所以点到直线的距离最小距离为.故选：C. 9．（专题08点到直线的距离-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅲ专版））点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】直线的斜率为，利用求得点到直线的距离最小时，对应的点坐标，根据点到直线的距离公式求得距离的最小值. 【详解】函数的定义域为：. 设，， 当过点的切线与直线平行时， 点到直线的距离最小，直线的斜率为1，因此有，解得，或（舍去），因此点的坐标为：， 所以点到直线的最小距离为.故选:D 【点睛】本小题主要考查导数与切线，考查点到直线的距离公式，属于中档题. 题型四、公切线问题（两条曲线存在公共切线，求参数 、 根个数） 10．（[全国百强校]四川省成都七中实验学校2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则的值为 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出的切线方程，再由的公切线建立方程解得，最终求出 【详解】 ， 在点的切线斜率为 在点的切线方程为,设曲线的切点为(m,n), 将(m,n)代入公切线方程得： 整理得：，设，， 单调递减，单调增， ，，故选:C. 11．（福建省厦门双十中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设出切点坐标，根据导数的几何意义，得出切线的斜率，代入点斜式方程，得出切线的方程，将原点坐标代入，整理得出.由题意可知，，求解即可得出答案. 【详解】设切点为，由已知可得. 根据导数的几何意义可知，切线的斜率为. 代入切线方程为，整理可得. 又切线经过原点，所以有，整理可得. 因为曲线有两条过坐标原点的切线， 所以方程有两个不相等的实数解，即有，解得或.故选：B. 12．（安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高三下学期4月教学质量检测数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 【答案】 【分析】利用导数的几何意义得切线方程为，根据条件，将问题转化成方程有两个不同解，即可求解. 【详解】设切点为，又，所以切线方程为， 又切线过原点，则，整理得到， 由题意知方程有两个不同解，所以，解得或， 所以的取值范围是. 题型五、切线垂直、拐点、切线交点综合 13（多选）．（湖北省武汉市五校联合体2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷）三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，拐点处的切线方程为 B．当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 【答案】ACD 【分析】对于A，根据题设定义求得，再利用导数的几何意义即可求解；对于B，根据条件，求得的极小值为，并求得，即可求解；对于C，根据条件，将问题转化成与有三个交点，利用导数求出的单调区间和极值，即可求解；对于D，联直线与曲线方程，通过判断方程解的个数，即可求解. 【详解】对于A，当时，，则，， 令，解得， 又，，所以函数拐点处的切线方程为，即，故A正确； 对于B，当时，，则， 所以当时，，当或时，， 所以在上单调递减，在，上单调递增， 所以在处取得极小值， 又由，得到，解得或， 要使函数在区间内存在最小值， 所以，解得，即的取值范围是，故B错误； 对于C，因为，则， 设切点为，则， 所以切线方程为， 又切线过点，所以，整理得， 令，则， 所以当时，当或时， 所以在上单调递增，在，上单调递减， 所以在处取得极小值，在处取得极大值，又，， 因为经过点可以向曲线作三条切线，即与有三个交点， 所以，即的取值范围是，故C正确， 对于D，由，可得， 即，显然在定义域上单调递增，所以，即对任意实数，直线与曲线有唯一公共点，故D正确.故选：ACD. 14（多选）．（湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学试题）已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若，则（    ） A． B．的取值范围是 C．直线AM与BN的交点的横坐标恒为1 D．的取值范围是 【答案】ABD 【分析】由题意分别表示出，，两直线相互垂直可得，由带入中化简即可判断A正误；求得及的直线方程，由与y轴相交可求得点坐标，由两点间距离公式可求得，再根据的取值范围，即可求得的范围；求得及的直线方程后联立求得横坐标，化简即可比较横坐标与的大小关系；由距离公式表示出展开后由基本不等式即可求得取值范围. 【详解】不妨设，，则，， 当时，当时 由导数的几何意义知，． 因为的图象在A，B两点处的切线互相垂直，所以，即． 对于A，因为，所以A正确． 对于B，因为：，：， 则，，所以，所以B正确． 对于C，当时，， 即直线AM与BN的交点的横坐标恒小于1，所以C错误． 对于D，，所以D正确．故选：ABD． 15（多选）．（第1篇知识技能篇第9讲最值哪里取极值与端点）（多选题）若，是函数图象上的任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是（   ）． A． B． C．的最小值为e D．的最大值为e 【答案】BCD 【分析】由题意，可知在点和点处的切线的斜率之积为，根据两点在函数的图象的三种不同位置进行讨论，确定，且，然后根据各选项的要求，利用求导判断函数的单调性和极值情况即可逐一判断. 【详解】由题， 因为在点和点处的切线互相垂直，由导数的几何意义可知，在点和点处的切线的斜率之积为． ①当时，满足，即，因为，所以方程无解， 即不存在，使得在点和点处的切线互相垂直； ②当时，满足，即； ③当时，满足，即，此方程无解，所以不成立． 综上可知，当时，，因为，则，所以，故A错误，B正确． 对于C，可知，令，则， 当时，，在上单调递减． 故在处取得极小值，即最小值为，故C正确． 对于D，可知，令，则， 则在上单调递增．故当时，最大值为，所以D正确．故选：BCD． 题型六、切线创新应用（牛顿迭代法、极点极线、蒙日圆综合） 16．（四川省成都石室中学2024-2025学年高三下学期适应性考试（一）数学试题）牛顿法（Newton＇smethod）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中. (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题. （i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，） 【答案】(1) (2)（i）； 【详解】（1）当时，令， 则， 曲线在处的切线为， 令，得，则. ，， 曲线在处的切线为， 令，得，则. 故用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解为. （2）（i）设点的坐标为，则，，则 曲线在点处的切线方程为，即， 令，即，则. 因为在上单调递增， 所以在上单调递增. 又因为，所以当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以对任意的正实数都有，即当时，都有. （ii）（ii）证明：因为在上单调递增，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以是在的极小值点，也是在的最小值点， 即. 又，所以当方程有两个根时， 必满足，且， 曲线过点和点的割线方程为. 下面证明：. 设， 则，令，得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，， 在上单调递增，， 所以当时，，即. 因为，所以，解得①. 曲线过点和点的割线方程为. 下面证明：. 设， 则，即在上单调递增， ，. 因为， 所以，即，所以，即. 由零点存在性定理可知，存在，使得， 所以当时，；当时，， 所以在上单调递减，，在上单调递增，， 所以当时，，即. 因为，所以，解得②. 由②①，得，即证得. 17．（浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题）阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据已知条件，确定双曲线方程，结合题意确定方程即可求解； （2）设，，利用点差法求出直线斜率即可求解； （3）根据已知条件，结合材料，确定为，直曲联立，利用韦达定理得到：，，结合题意有化简整理即可求解. 【详解】（1）右顶点为，， 双曲线的一条渐近线方程为：，由，， 双曲线的标准方程，点在直线上， 设，根据阅读材料可得极线为：， 整理有：，则由，，定点为. （2）若定点为的中点，设，，则， 由点差法可得： 又因为：，，所以 解得：，所以极线方程为：. （3）   ，，，所以直线方程为：， 由题意，设：则极线为：即， 由 设， 由韦达定理可得，， 直线，得， 直线，得，， 、满足，，， 且，， 所以原式化为： . 【点睛】解答直线与圆锥曲线的题目时，时常把两个曲线的方程联立，消去(或)， 建立一元二次方程，然后借助根与系数的关系，并结合题设条件，化简求值. 18．（安徽省六安市2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，作直线与椭圆交于、两点，与椭圆的蒙日圆交于、两点． (1)已知，直线斜率为，若直线、的斜率满足，求直线的方程； (2)若椭圆的左右焦点分别为、，直线过坐标原点．求证：． 【分析】（1）根据题意可得出关于、的方程组，解出这两个量的值，即可得出椭圆的方程，设直线的方程为，设点、，将直线的方程与椭圆的方程联立，列出韦达定理，结合求出的值，验证其满足，由此可得出直线的方程； （2）设，其中，则，利用平方差公式可得出关于的表达式，利用两点间的距离公式结合椭圆方程可得出的表达式，即可证得结论成立. 【详解】（1）由椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为， 由题意可得，解得，所以，椭圆的方程为. 设直线方程为，设点、， 联立方程，消去整理得， 则，解得， 由韦达定理可得，， 因为，且，所以， 所以，， 即，解得，且满足， 所以直线方程为. （2）(2)证明：因为直线与椭圆交于、两点，与椭圆的蒙日圆交于、两点， 设，其中且， 因为 ， ， 同理可得，故， 因此，，证毕. 【点睛】：利用韦达定理法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下： （1）设直线方程，设交点坐标为、； （2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于（或）的一元二次方程，必要时计算； （3）列出韦达定理； （4）将所求问题或题中的关系转化为、（或、）的形式； （5）代入韦达定理求解. 巩固提升： 1．（河南省TOP二十名校2022-2023学年高三上学期9月摸底考试高三文科数学试题）若过点可以作曲线的三条切线，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用导数求出切线方程，转化为有三个不同的解，再构造，利用导数分析其图像即可得到结论. 【详解】，设切点为，则，整理得， 由题意知关于的方程有三个不同的解. 设，， 由得或， 又，所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 当时，，单调递减. 又易知在上单调递减，在上单调递增，开口向上， 所以当x趋向于负无穷或正无穷时，都趋向于正无穷. 而当x趋向于负无穷时，趋向于正无穷,故也就趋向于正无穷； 当x趋向于正无穷时，趋向于正无穷且增长速率远远超过，故且趋向于零， 又，，函数的大致图像如图所示. 因为的图像与直线有三个交点， 所以，即. 故选：D. 2．（辽宁省部分学校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题）已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据导数求出切线斜率，再构造函数把有两条切线转化为函数有两个交点解决问题即可. 【详解】设切点为，由题意得，所以， 整理得，此方程有两个不等的实根． 令函数，则． 当时，，所以在上单调递增; 当时，，所以在上单调递减,且． ，方程有两个不等的实根,故． 故选：D. 3．（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设切点，根据导数的几何意义求得切线方程，再根据切线过点，结合韦达定理可得的关系，进而可得的关系，再利用导数即可得出答案. 【详解】设切点， 则切线方程为， 又切线过，则， 有两个不相等实根， 其中或， 令或， 当时，，当时，， 所以函数在上递增，在上递减， ，， 当时，，当时，， 所以， 即. 故选：D. 4．（安徽省六安市第一中学2017届高三下学期第九次月考数学（理）试题）已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为 A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点 看作曲线 上点P；点 看作直线 上点Q；则为 ,由 ，所以，选A. 点睛：(1)运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质. (2)在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要注意用好其与图象的关系，结合图象研究. 5．（山东省枣庄市第三中学2017届高三全市“二调”模拟考试数学（理）试题）已知实数满足，,其中是自然对数的底数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据所求式子的几何意义得到需要求曲线上点与直线上的点之间的距离的平方的最小值，对函数求导，判定其单调性，作出其大致图象，结合图形可确定与已知直线平行的曲线的切线到已知直线距离最小，求出切点坐标，再由点到直线距离公式，即可进一步求解. 【详解】由题设可知的最小值的几何意义是曲线上点与直线上的点之间的距离的平方的最小值． 由得， 由得；由得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 则， 作出的大致图象如下： 结合图形可知当曲线上的切线平行于直线时，对应的切点到直线的距离最小． 因此设切点坐标为， 则切线斜率，解得， 则切点坐标为， 该点到直线的距离， 也即的最小值是. 故选：B． 【点睛】：求解此类问题时，一般需要将问题转化为求曲线上的点到直线上点的距离问题，利用导数的几何意义求与已知直线斜率相同的曲线的切线的切点，再求点到直线间距离即可. 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第三十八讲 导数的几何意义 【学习目标】1．知道导数的几何意义； 2．会利用导数求曲线的切线方程． 【学习重点】导数的几何意义及导数在曲线的切线方程中的应用． 【学习难点】导数在曲线的切线方程中的应用. 必掌握知识点 1、几何意义 函数在处的导数的几何意义即为函数在点处的切线的斜率． 2、物理意义 函数在点处的导数是物体在时刻的瞬时速度，即；在点的导数是物体在时刻的瞬时加速度，即． 解题方法总结 1、在点的切线方程 切线方程的计算：函数在点处的切线方程为，抓住关键． 2、过点的切线方程 设切点为，则斜率，过切点的切线方程为：， 又因为切线方程过点，所以然后解出的值．（有几个值，就有几条切线） 注意：在做此类题目时要分清题目提供的点在曲线上还是在曲线外． 必考题型全归纳 题型一、基础切线计算（已知切点，求切线方程、切线与坐标轴围成面积） 1．（2024年高考全国甲卷数学（理）真题）设函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（   ） A． B． C． D． 2．（河北省沧州市2025-2026学年高三上学期10月复习质量监测数学试卷）已知函数，则曲线在点处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（安徽省江淮十校2022届高三下学期第三次联考理科数学试题）已知函数在上满足，则曲线在点处的切线方程是（    ） A． B． C． D． 题型二、过曲线外一点作切线条数问题（转化方程零点，构造函数极值判定根个数） 4．（2014-2015学年江西省白鹭洲中学高二下学期第一次月考文科数学试卷（带解析））已知f（x）=x3-3x，过点A（1，m）（m≠-2）可作曲线y=f（x）的三条切线，则实数m的取值范围是 A．（-1，1） B．（-2，3） C．（-1，2） D．（-3，-2） 5．（2021年全国新高考Ⅰ卷数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 6．（江苏省常州市2021-2022学年高三上学期期中数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ） A． B． C． D． 题型三、曲线上点到定直线最小距离（平行切线法） 7．（广东省仲元中学、中山一中等七校联合体2021届高三上学期第一次联考数学试题）若点P是曲线上任意一点，则点P到直线的最小距离为（    ） A．1 B． C． D．2 8．（陕西省西安市长安区第一中学2021-2022学年高一下学期期末数学试题）在平面直角坐标系中，曲线上任意一点到直线的距离的最小值为（    ） A． B． C． D． 9．（专题08点到直线的距离-2020年高考数学（文）母题题源解密（全国Ⅲ专版））点是曲线上的任意一点，则点到直线的最小距离为（    ） A．1 B． C． D． 题型四、公切线问题（两条曲线存在公共切线，求参数 、 根个数） 10．（[全国百强校]四川省成都七中实验学校2016-2017学年高二下学期期中考试数学（理）试题）已知曲线在点处的切线与曲线也相切，则的值为 A． B． C． D． 11．（福建省厦门双十中学2024-2025学年高二下学期4月期中考试数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 12．（安徽阜阳市临泉县临化高级中学2025-2026学年高三下学期4月教学质量检测数学试题）若曲线有两条过坐标原点的切线，则的取值范围是 ______ ． 题型五、切线垂直、拐点、切线交点综合 13（多选）．（湖北省武汉市五校联合体2024-2025学年高二下学期期末考试数学试卷）三次函数，定义：是的导数，是函数的导数，若方程有实数解，则称为的“拐点”.某同学经探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心，若函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，拐点处的切线方程为 B．当时，在区间内存在最小值，则的取值范围是 C．若经过点可以向曲线作三条切线，则的取值范围是 D．对任意实数，直线与曲线有唯一公共点 14（多选）．（湖南省长沙市长郡中学、长沙一中、雅礼中学、湖南师大附中2023届高三下学期5月“一起考”数学试题）已知函数，函数的图象在点和点处的两条切线互相垂直，且分别交y轴于M，N两点，若，则（    ） A． B．的取值范围是 C．直线AM与BN的交点的横坐标恒为1 D．的取值范围是 15（多选）．（第1篇知识技能篇第9讲最值哪里取极值与端点）（多选题）若，是函数图象上的任意两点，且函数在点和点处的切线互相垂直，则下列结论中正确的是（   ）． A． B． C．的最小值为e D．的最大值为e 题型六、切线创新应用（牛顿迭代法、极点极线、蒙日圆综合） 16．（四川省成都石室中学2024-2025学年高三下学期适应性考试（一）数学试题）牛顿法（Newton＇smethod）是牛顿在世纪提出的一种用导数求方程近似解的方法，其过程如下：如图，设是的根，选取作为的初始近似值，过点作曲线的切线，的方程为.如果，则与轴的交点的横坐标记为，称为的一阶近似值.再过点作曲线的切线，并求出切线与轴的交点横坐标记为，称为的二阶近似值.重复以上过程，得的近似值序列：、、、，根据已有精确度，当时，给出近似解.已知函数，其中. (1)当时，试用牛顿迭代法求方程满足精度的近似解；（取，且结果保留小数点后第二位） (2)牛顿法中蕴含了“以直代曲”的数学思想，指利用曲线的切线或割线解决问题. （i）设曲线与轴正半轴的交点为，曲线在点处的切线方程为，当时，比较与的大小； （ii）当时，若关于的方程的两个根分别为，证明：.（参考数据：，时，） 17．（浙江省温州市十校联合体2024-2025学年高二上学期11月期中联考数学试题）阅读材料： 极点与极线，是法国数学家吉拉德•笛沙格（Girard Desargues，）于年在射影几何学的奠基之作《圆锥曲线论稿》中正式阐述，它是圆锥曲线的一种基本特征.已知圆锥曲线，则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.事实上，在圆锥曲线方程中，以替换，以替换（另一变量也是如此），即可得到点对应的极线方程．特别地，对于椭圆，与点对应的极线方程为；对于双曲线，与点对应的极线方程为；即对于确定的圆锥曲线，每一对极点与极线是一一对应的关系. 其中，极点与极线有以下基本性质和定理 ①当在圆锥曲线上时，其极线是曲线在点处的切线； ②当在外时，其极线是曲线从点所引两条切线的切点所确定的直线（即切点弦所在直线）； ③当在内时，其极线是曲线过点的割线两端点处的切线交点的轨迹. 根据上述材料回答下面问题： 已知双曲线，右顶点到的一条渐近线的距离为， 已知点是直线上的一个动点，点对应的极线与双曲线交于点， (1)若，，证明：极线恒过定点. (2)在（1）的条件下，若该定点为极线的中点，求出此时的极线方程 (3)若，，，极线交的右支于，两点，点在轴上方，点是双曲线的左顶点，直线，直线分别交轴于，两点，点为坐标原点，求的值 18．（安徽省六安市2024-2025学年高三上学期教学质量检测数学试题）法国著名数学家加斯帕尔·蒙日在研究圆锥曲线时发现：椭圆的任意两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以椭圆的中心为圆心，为半径的圆（为椭圆的长半轴长，为椭圆的短半轴长），这个圆被称为蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆的面积为，短轴长为，作直线与椭圆交于、两点，与椭圆的蒙日圆交于、两点． (1)已知，直线斜率为，若直线、的斜率满足，求直线的方程； (2)若椭圆的左右焦点分别为、，直线过坐标原点．求证：． 巩固提升： 1．（河南省TOP二十名校2022-2023学年高三上学期9月摸底考试高三文科数学试题）若过点可以作曲线的三条切线，则（    ） A． B． C． D． 2．（辽宁省部分学校2022-2023学年高二下学期期末联考数学试题）已知过点作的曲线的切线有且仅有两条，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（江苏省南通市2023届高三下学期第一次调研测试数学试题）若过点可以作曲线的两条切线，切点分别为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（安徽省六安市第一中学2017届高三下学期第九次月考数学（理）试题）已知实数满足，其中是自然对数的底数，则的最小值为 A． B． C． D． 5．（山东省枣庄市第三中学2017届高三全市“二调”模拟考试数学（理）试题）已知实数满足，,其中是自然对数的底数，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 1 学科网（北京）股份有限公司 $