第六十一讲空间几何体的直观图、表面积与体积导学案-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习学案系统梳理了空间几何体的结构特征、直观图及表面积与体积核心考点，按基本元素、简单几何体、组合体的逻辑层次构建知识网络，通过问题导向任务设计引导学生自主梳理斜二测画法、表面积体积公式等内容，形成系统化认知框架。 亮点在于分题型诊断与真题演练结合，设置斜二测画法、旋转体表面积体积等五大必考题型，融入2024年新课标卷等真题实例，培养学生空间观念与推理能力。每个题型配套方法指导如分割法、补形法，帮助学生自主诊断提升，教师可通过学情精准指导，实现因材施教。

2027届高三数学一轮复习 第六十一讲 空间几何体的直观图、表面积与体积 【学习目标】认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征；能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图；解决一些空间几何体的最值问题.知道球、柱、锥、台体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 【学习重点】柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征、表面积和体积. 【学习难点】空间几何体的最值问题. 必掌握知识点： 一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面 （1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体． （2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）． 二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台 1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． （1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； （2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； （3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； （4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱； （5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体； （6）长方体：底面是矩形的直平行六面体； （7）正方体：棱长都相等的长方体． 2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． （1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心； （2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示． 三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球 1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． 2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． 四：组合体 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体． 五：表面积与体积计算公式 表面积公式： 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 体积公式： 体积 柱体 锥体 台体 球 六：空间几何体的直观图 1、斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下： （1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面． （3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”． （4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：直观图和平面图形的面积比为． 2、平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 必考题型全归纳： 题型一、斜二测画法（平面直观图） 1．（安徽省智学大联考·皖中名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的周长为（   ） A．10 B．8 C．14 D． 题型二、旋转体表面积与体积（圆柱、圆锥、圆台、球） 2．（山东省临沂市临沭县部分学校2025届高三下学期高考测评数学试题）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 4．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 A． B． C． D． 5．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 题型三、棱锥体积计算（普通三棱锥、分割法、补形法） 6．（2023年新高考天津数学高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 题型四、几何体等体积变换（倾斜容器、补形求体积） 7．（广东省汕头市2024届高三上学期期中数学试题）图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（    ） A．3 B．4 C． D．6 8.（2024年天津高考数学真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 题型五 、正方体综合（截面、动点、面积、体积最值） 9（多选）．如图，在棱长为6的正方体中，是棱的中点，点是线段上的动点，点在正方形内（含边界）运动，则下列四个结论中正确的有（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．面积的最小值是 D．若，则三棱锥体积的最大值是 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三数学一轮复习 第六十一讲 空间几何体的直观图、表面积与体积 【学习目标】认识柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征；能用斜二测画法画出简单空间图形的直观图；解决一些空间几何体的最值问题.知道球、柱、锥、台体的表面积和体积的计算公式，能用公式解决简单的实际问题. 【学习重点】柱、锥、台、球及简单组合体的结构特征、表面积和体积. 【学习难点】空间几何体的最值问题. 必掌握知识点： 一：构成空间几何体的基本元素—点、线、面 （1）空间中，点动成线，线动成面，面动成体． （2）空间中，不重合的两点确定一条直线，不共线的三点确定一个平面，不共面的四点确定一个空间图形或几何体（空间四边形、四面体或三棱锥）． 二：简单凸多面体—棱柱、棱锥、棱台 1、棱柱：两个面互相平面，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的多面体叫做棱柱． （1）斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱； （2）直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱； （3）正棱柱：底面是正多边形的直棱柱； （4）平行六面体：底面是平行四边形的棱柱； （5）直平行六面体：侧棱垂直于底面的平行六面体； （6）长方体：底面是矩形的直平行六面体； （7）正方体：棱长都相等的长方体． 2、棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥． （1）正棱锥：底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心； （2）正四面体：所有棱长都相等的三棱锥． 3、棱台：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台，由正棱锥截得的棱台叫做正棱台． 简单凸多面体的分类及其之间的关系如图所示． 三：简单旋转体—圆柱、圆锥、圆台、球 1、圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的几何体叫做圆柱． 2、圆柱：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，将其旋转一周形成的面所围成的几何体叫做圆锥． 3、圆台：用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台． 4、球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫做球体，简称为球（球面距离：经过两点的大圆在这两点间的劣弧长度）． 四：组合体 由柱体、锥体、台体、球等几何体组成的复杂的几何体叫做组合体． 五：表面积与体积计算公式 表面积公式： 表面积 柱体 为直截面周长 锥体 台体 球 体积公式： 体积 柱体 锥体 台体 球 六：空间几何体的直观图 1、斜二测画法 斜二测画法的主要步骤如下： （1）建立直角坐标系．在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的，，建立直角坐标系． （2）画出斜坐标系．在画直观图的纸上（平面上）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于，，使（或），它们确定的平面表示水平平面． （3）画出对应图形．在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴的线段，且长度保持不变；在已知图形平行于轴的线段，在直观图中画成平行于轴，且长度变为原来的一般．可简化为“横不变，纵减半”． （4）擦去辅助线．图画好后，要擦去轴、轴及为画图添加的辅助线（虚线）．被挡住的棱画虚线． 注：直观图和平面图形的面积比为． 2、平行投影与中心投影 平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点． 必考题型全归纳： 题型一、斜二测画法（平面直观图） 1．（安徽省智学大联考·皖中名校联盟2024-2025学年高一下学期期中检测数学试卷）如图，矩形是用斜二测画法画出的水平放置的一个平面四边形的直观图，其中，，那么的周长为（   ） A．10 B．8 C．14 D． 【答案】C 【分析】在直观图中求出，画出原图形，由斜二测法定义得到各边长，求出周长 【详解】在直观图中可以得到，， 在直观图中，由勾股定理得，画出原图形，则， 在原图形中，，由勾股定理得， 其中， 所以的周长为故选：C． 题型二、旋转体表面积与体积（圆柱、圆锥、圆台、球） 2．（山东省临沂市临沭县部分学校2025届高三下学期高考测评数学试题）一圆台的上、下底面半径分别为2、4，体积为，则该圆台的侧面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用圆台体积公式可得其高为，即可知母线长，利用侧面展开图面积求出圆台的侧面积. 【详解】根据题意可知，圆台上底面面积为，下底面面积为； 设圆台的高为，由体积可得， 解得，所以可得圆台母线长为， 根据侧面展开图可得圆台侧面积为.故选：C 3．（2024年新课标全国Ⅰ卷数学真题）已知圆柱和圆锥的底面半径相等，侧面积相等，且它们的高均为，则圆锥的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设圆柱的底面半径为，根据圆锥和圆柱的侧面积相等可得半径的方程，求出解后可求圆锥的体积. 【详解】设圆柱的底面半径为，则圆锥的母线长为， 而它们的侧面积相等，所以即，故，故圆锥的体积为.故选：B. 4．一个圆柱的底面直径与高都等于一个球的直径，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】设球的半径为,分别求出球和圆柱的表面积即可求解. 【详解】设球的半径为,则该圆柱的底面半径为，高为，所以圆柱的表面积为：,球的表面积为：，则圆柱的表面积与球的表面积之比为 故答案选B 【点睛】本题主要考查了圆柱和球的表面积，属于基础题. 5．甲、乙两个圆锥的母线长相等，侧面展开图的圆心角之和为，侧面积分别为和，体积分别为和，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设圆锥的母线长为，设甲、乙两个圆锥的展开图的圆心角分别为、，底面圆半径分别为、，锥体的高分别为、，求出、、、，利用锥体的体积公式可求得的值. 【详解】设圆锥的母线长为，设甲、乙两个圆锥的展开图的圆心角分别为、， 底面圆半径分别为、，锥体的高分别为、， 则，，则，由题意可得，解得， 由题意可得，则，则， ，则，则， 所以，， ，因此，.故选：D. 题型三、棱锥体积计算（普通三棱锥、分割法、补形法） 6．（2023年新高考天津数学高考真题）在三棱锥中，点M,N分别在棱PC,PB上，且，，则三棱锥和三棱锥的体积之比为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.先证平面，则可得到，再证.由三角形相似得到，，再由即可求出体积比. 【详解】如图，分别过作,垂足分别为.过作平面，垂足为，连接,过作,垂足为.    因为平面，平面，所以平面平面. 又因为平面平面，，平面，所以平面，且. 在中，因为，所以，所以， 在中，因为，所以， 所以.故选：B 题型四、几何体等体积变换（倾斜容器、补形求体积） 7．（广东省汕头市2024届高三上学期期中数学试题）图1是一个水平放置且高为6的直三棱柱容器，现往内灌进一些水，设水深为.将容器底面的一边固定于地面上，再将容器倾斜，当倾斜到某一位置时，水面形状恰好为，如图2，则（    ） A．3 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】利用两个几何体中的装水的体积相等，列出方程，即可求解. 【详解】在图1中的几何体中，水的体积为， 在图2的几何体中，水的体积为， 因为，可得，解得.故选：B. 8.（2024年天津高考数学真题）在如图五面体中，棱互相平行，且两两之间距离均为1．若．则该五面体的体积为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】采用补形法，补成一个棱柱，求出其直截面，再利用体积公式即可. 【详解】用一个完全相同的五面体（顶点与五面体一一对应）与该五面体相嵌，使得；;重合， 因为，且两两之间距离为1．， 则形成的新组合体为一个三棱柱， 该三棱柱的直截面（与侧棱垂直的截面）为边长为1的等边三角形，侧棱长为， . 故选：C. 题型五 、正方体综合（截面、动点、面积、体积最值） 9（多选）．如图，在棱长为6的正方体中，是棱的中点，点是线段上的动点，点在正方形内（含边界）运动，则下列四个结论中正确的有（    ） A．存在点，使得 B．存在点，使得 C．面积的最小值是 D．若，则三棱锥体积的最大值是 【答案】BCD 【分析】利用线面垂直推理判断A；建立空间直角坐标系，利用空间向量计算判断BC；求出点的轨迹求解判断D. 【详解】对于A，假定存在点，使得，连接，由平面，平面，    得，而平面， 于是平面，又平面，因此， 而点在正方形内（含边界）运动，显然不存在这样的点，A错误； 对于BC，建立如图所示的空间直角坐标系，则，    令，则， ，假定存在点，使得， 则，整理得，而， 解得，因此存在点，使得，B正确； 显然点在直线上的投影为点， 则点到直线的距离， 当且仅当时取等号，因此面积的最小值是，C正确； 在中，，则，即， 在平面内以直线为轴，线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系，如图，    有，于是，整理得， 因此以点为圆心，4为半径的圆在正方形及内部的圆弧即为点的轨迹， 当点为线段与圆的交点时，点到底面的距离最大，最大距离为， 所以三棱锥体积的最大值为，D正确.故选：BCD 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $