1.4.2 充要条件 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 分层设计梯度清晰，从基础概念辨析到综合应用证明，有效巩固充要条件核心知识，培养数学推理能力与逻辑表达。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|单一条件关系判断|选择题（如第1题）直接辨析充分/必要，填空题（如第7题）强化概念表述| |综合应用|集合/方程与条件结合|多选题（如第6题）从集合视角分析条件关系，中档题（如第13题）融合二次方程根的问题| |拓展提升|充要条件双向证明|解答题（如第16题）完整论证方程根的条件，体现数学思维的严谨性|

1.4.2　充要条件 1. (2025秋·蒙城县校级同步) 已知均为实数，则“”是“”的（　　） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 若“”是“”的充要条件，则的值为（　　） A. -2 B. -1 C. 1 D. 2 3.设A，B，C是三个集合，则“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.集合A，B之间的关系如图所示，p：a∈∁UB，q：a∈A，则p是q的（　　） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5. (2026·潍坊模拟)设集合，则“”的一个必要不充分条件是（　　） A.  B.  C.  D.  6.（多选）使“x∈{x｜x≤0或x＞2}”成立的充分不必要条件是（　　） A.x≥0 B.x＜0或x＞2 C.x∈{－1，3，5} D.x≤0或x＞2 7.已知△ABC，△A1B1C1，两三角形对应角相等是△ABC≌△A1B1C1的　　　　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 8.对于集合A，B及元素x，若A⊆B，则x∈B是x∈（A∪B）的　　　　条件.（填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”） 9.从“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个合适的填空. （1）“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的　　　　； （2）“x＜5”是“x＜3”的　　　　. 10.指出下列各组命题中，p是q的什么条件： （1）p：x＝1，q：x－1＝； （2）p：－1≤x≤5，q：x≥－1且x≤5； （3）p：x＋2≠y，q：（x＋2）2≠y2； （4）p：a是自然数，q：a是正数. 11. (2025秋·会昌县校级月考)若“”是“”的充要条件，则的值为______ 12.（多选）设计如图所示的四个电路图，若p：开关S闭合，q：灯泡L亮，则p是q的充要条件的电路图是（　　） 13.设U＝R，A＝{x｜mx2＋4x＋2＝0}.若∁UA＝U，则m的取值范围为　　　　，集合A中有两个元素的充要条件是　　　　. 14. 已知，证明：成立的充要条件是. 15.若a，b都是实数，试从①ab＝0；②a＋b＝0；③a（a2＋b2）＝0；④ab＞0中选出适合的条件，用序号填空： （1）“使a，b都为0”的必要条件是　　　　； （2）“使a，b都不为0”的充分条件是　　　　； （3）“使a，b至少有一个为0”的充要条件是　　　　. 16.求证：关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 1.4.2　充要条件 1.B　由于，所以和均不为，所以可以推断；即充分性成立；取，，可得，但，故由不能推出，即必要性不成立. 故选：B. 2.A　由题意可得，解得，，所以. 3.B　由A∩B＝A∩C，不一定有B＝C，反之，由B＝C，一定可得A∩B＝A∩C.∴“A∩B＝A∩C”是“B＝C”的必要不充分条件.故选B. 4.B　由图可知A是B的补集的真子集，则p是q的必要不充分条件. 5.C　集合，若，则二次方程无解，即，解得，结合选项可知，“”的一个必要不充分条件是。. 6.BC　从集合的角度出发，在选项中判断哪个是题干的真子集，只有B，C满足题意，选项A为题干成立的既不充分也不必要条件，D为题干成立的充要条件. 7.必要不充分　解析：由两三角形对应角相等△ABC≌△A1B1C1；反之由△ABC≌△A1B1C1⇒∠A＝∠A1，∠B＝∠B1，∠C＝∠C1. 8.充要　解析：由x∈B，可得x∈（A∪B）；反之，因为A⊆B，A∪B＝B，所以由x∈（A∪B）可得x∈B，故x∈B是x∈（A∪B）的充要条件. 9.（1）充要条件　（2）必要不充分条件 解析：（1）设A＝{x｜x2－1＝0}＝{－1，1}，B＝{x｜｜x｜－1＝0}＝{－1，1}，所以A＝B，即“x2－1＝0”是“｜x｜－1＝0”的充要条件. （2）设A＝{x｜x＜5}，B＝{x｜x＜3}，因为B⫋A，所以“x＜5”是“x＜3”的必要不充分条件. 10.解：（1）当x＝1时，x－1＝成立； 当x－1＝时，x＝1或x＝2. 所以p是q的充分不必要条件. （2）因为－1≤x≤5⇔x≥－1且x≤5， 所以p是q的充要条件. （3）由q：（x＋2）2≠y2， 得x＋2≠y，且x＋2≠－y，又p：x＋2≠y， 故p是q的必要不充分条件. （4）0是自然数，但0不是正数，故pq；是正数，但不是自然数，故qp.故p是q的既不充分也不必要条件. 11. -1　：若“”是“”的充要条件，则，即．故答案为：－1． 12.BD　由题知，电路图A中，开关S闭合，灯泡L亮，而灯泡L亮开关S不一定闭合，故A中p是q的充分不必要条件；电路图B中，开关S闭合，灯泡L亮，且灯泡L亮，则开关S一定闭合，故B中p是q的充要条件；电路图C中，开关S闭合，灯泡L不一定亮，灯泡L亮则开关S一定闭合，故C中p是q的必要不充分条件；电路图D中，开关S闭合，灯泡L亮，灯泡L亮，则一定有开关S闭合，故D中p是q的充要条件.故选B、D. 13.{m｜m＞2}　m＜2且m≠0 解析：由题意得A＝⌀，即mx2＋4x＋2＝0无解，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m＜0，解得m＞2.综上可知，m的取值范围为{m｜m＞2}.集合A中有两个元素，即mx2＋4x＋2＝0有两个不等的实数根，当m＝0时，不成立；当m≠0时，Δ＝16－8m＞0，解得m＜2.因此集合A中有两个元素的充要条件是m＜2且m≠0. 14. 证明：①(必要性)：， ， ， 成立； ②(充分性)：， ， ，即， 成立. 综上，成立的充要条件是 . 15.（1）①②③　（2）④　（3）① 解析：①ab＝0⇔a＝0或b＝0，即a，b至少有一个为0； ②a＋b＝0⇔a，b互为相反数，则a，b可能均为0，也可能为一正一负； ③a（a2＋b2）＝0⇔a＝0或 ④ab＞0⇔或则a，b都不为0. 16.证明：（1）充分性：当a＝1时，方程ax2＋2x＋1＝0的实根是x1＝x2＝－1，只有一个负实数根； 当a＝0时，方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根是x＝－； 当a＜0时，方程ax2＋2x＋1＝0的判别式Δ＝4－4a＞0， 且x1x2＝＜0，方程有一正实数根和一负实数根. 所以当a＝1或a≤0时，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根. （2）必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根，则 ①当a＝0时，x＝－，符合题意. ②当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0有实根，Δ＝4－4a≥0，解得a≤1； 当a＝1时，方程的解为－1，符合题意； 当a＜1且a≠0时，方程有两个不相等的实数根x1，x2，若方程只有一个负实数根， 则x1x2＝＜0，即a＜0. 所以当关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根时，a＝1或a≤0. 综上，关于x的方程ax2＋2x＋1＝0只有一个负实数根的充要条件是a＝1或a≤0. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $