1.4.2 充要条件 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 充要条件同步练习通过基础概念辨析、中档知识综合到提升逻辑推理的三层设计，实现从单一考点到综合应用的巩固路径，适配新授课分层教学需求，培养数学推理能力与逻辑思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层|充要条件定义及简单判断|选择题1、2直接考查概念，填空题8及解答题10强化基础应用| |中档层|结合集合、方程、绝对值的条件判断|选择题3（方程根分布）、5（集合关系图）体现知识综合| |提升层|充要条件传递性及参数问题|选择题7（多选传递关系）、解答题11（参数范围）、12（方程根的充要条件）培养逻辑推理能力|

充要条件2 1、 选择题 1.【2026·山东济南高一月考】设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】当四边形ABCD为菱形时,其对角线互相垂直,必有AC⊥BD;但当AC⊥BD时,四边形不一定是菱形,因此“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件.故选A. 2.【2026·浙江杭州高一联考】若a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<”的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】当0<ab<1,a<0,b<0时,有b>;反过来,b<,当a<0时,有ab>1.所以“0<ab<1”是“b<”的既不充分也不必要条件,故选D. 3．【2025·北京·质量检测】一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　) A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<1 【答案】C 【解析】　一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是<0，即a<0，则充分不必要条件的范围应是集合{a|a<0}的真子集，故选C． 4．【2026·山东济南高一月考】设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】　因为x≥2且y≥2⇒x2＋y2≥4, x2＋y2≥4x≥2且y≥2，如x＝－2，y＝1，所以“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的充分不必要条件． 5．【2026·江苏南京高一期末】集合的关系如图所示，那么“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】由Venn图可知是的真子集，所以“”是“”的充分非必要条件，故选A． 6．【2026·浙江杭州高一联考】“a<b”是“|a|>|b|”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】　－1<1，但|－1|＝|1|，所以a<b|a|>|b|；|5|>|3|，但5>3，所以|a|>|b|a<b.故“a<b”是“|a|>|b|”的既不充分也不必要条件． 7．(多选)【2026·江苏南京高一期末】已知p是q的充要条件，q是r的充分不必要条件，那么(　　) A．r是q的充分不必要条件 B．r是q的必要不充分条件 C．p是r的充分不必要条件 D．p是r的必要不充分条件 【答案】BC 【解析】　因为p是q的充要条件，所以p⇒q，q⇒p，即p⇔q，因为q是r的充分不必要条件，所以q⇒r，rq，则r是q的必要不充分条件，由p⇒q，q⇒r，可得p⇒r，因为rq，所以rp，所以p是r的充分不必要条件，故选BC. 2、 填空题 8.【2026·山东济南高一月考】若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的　　　　条件.  【答案】 充分不必要 【解析】当A∩B={4}时,m2=4,所以m=±2.所以“m=2”是“A∩B={4}”的充分不必要条件. 9．【2026·浙江杭州高一联考】使0<x≤2成立的一个充分不必要条件是 . 【答案】0<x<1(答案不唯一) 【解析】由题意可知使0<x≤2成立的一个充分不必要条件所构成的集合是{x|0<x≤2}的一个真子集，如0<x<1. 三、解答题 10．【2025·北京·质量检测】指出下列各题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？ (1)p：a∈A∩B，q：a∈A∪B； (2)p：x>1或x<－1；q：x<－1； (3)p：a能被6整除，q：a能被3整除． 【解析】 (1)由a∈A∩B，可以推出a∈A∪B，反之不一定成立，即p⇒q，qp. 所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． (2)由x>1或x<－1，推不出x<－1，反之成立，即pq，q⇒p，所以p是q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件． (3)由a能被6整除，可以推出a能被3整除，反之不一定成立，即p⇒q，qp. 所以p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件． 11．【2026·湖南长沙高一期末】已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 【解析】 由题意，设集合A＝{x|x<－1或x>3}，B＝{x|x<－m＋1或x>m＋1}， 因为条件p是条件q的充分不必要条件，即集合A是集合B的真子集， 所以，或解得m<2， 又m>0，所以实数m的取值范围是0<m<2. 【解析】 ①当a＝0时，解得x＝－1，满足条件； ②当a≠0时，显然方程没有零根，若方程有两异号实根，则a＜0； 若方程有两个负的实根， 则必须满足即0＜a≤. 综上，若方程至少有一个负的实根，则a≤. 反之，若a≤，则方程至少有一个负的实根． 因此，关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤. 学科网（北京）股份有限公司 $ 充要条件2 1、 选择题 1.【2026·山东济南高一月考】设四边形ABCD的两条对角线为AC,BD,则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充要条件 D．既不充分也不必要条件 2.【2026·浙江杭州高一联考】若a,b为实数,则“0<ab<1”是“b<”的(　　) A.充分不必要条件 B．必要不充分条件 C.充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．【2025·北京·质量检测】一元二次方程ax2＋2x＋1＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充分不必要条件是(　　) A．a<0 B．a>0 C．a<－1 D．a<1 4．【2026·山东济南高一月考】设x，y∈R，则“x≥2且y≥2”是“x2＋y2≥4”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 5．【2026·江苏南京高一期末】集合的关系如图所示，那么“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．【2026·浙江杭州高一联考】“a<b”是“|a|>|b|”的(　　) A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 7．(多选)【2026·江苏南京高一期末】已知p是q的充要条件，q是r的充分不必要条件，那么(　　) A．r是q的充分不必要条件 B．r是q的必要不充分条件 C．p是r的充分不必要条件 D．p是r的必要不充分条件 2、 填空题 8.【2026·山东济南高一月考】若集合A={1,m2},B={2,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的　　　　条件.  9．【2026·浙江杭州高一联考】使0<x≤2成立的一个充分不必要条件是 . 三、解答题 10．【2025·北京·质量检测】指出下列各题中，p是q的什么条件？q是p的什么条件？ (1)p：a∈A∩B，q：a∈A∪B； (2)p：x>1或x<－1；q：x<－1； (3)p：a能被6整除，q：a能被3整除． 11． 【2026·湖南长沙高一期末】已知条件p：x<－1或x>3，条件q：x<－m＋1或x>m＋1(m>0)，若条件p是条件q的充分不必要条件，求实数m的取值范围． 12．【2026·湖南长沙高一期末】求关于x的方程ax2＋x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件． 学科网（北京）股份有限公司 $