3.1.2函数的单调性 课件-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数单调性，涵盖定义、判断、证明及平均变化率应用。通过绘制y=x、y=x²、y=1/x图象，观察y随x变化，搭建从函数图象到单调性概念的学习支架，衔接函数基础与性质探究。 其亮点在于以数学眼光观察图象特征，用数学思维通过定义法和平均变化率严谨证明（如例3用平均变化率证y=1/x单调性），总结三种判断方法及规范步骤。分层练习助学生发展抽象能力和推理意识，教师可依托系统案例与练习提升教学效率。

第三章 函数 3.1.2函数的单调性 《人教B版2019高中数学必修第一册》 知识点 1.增函数、减函数的定义（函数的单调性） 2.函数的最大（小）值 3.单调区间判断，定义法证明单调性及证明步骤 4.用函数的平均变化率判断函数的单调性 5.单调函数的运算性质 6.函数单调的三种表达方式 新知导入 （1）y = x 引例：画出下列函数的图象 （2）y = x2 思考：随着x值的增大，y值的变化情况 （3）y = 结论：（1）y随x的增大而增大（2）随着x的增大，y值先减小再增大 （3）在（-∞，0），（0，+∞）内y随x的增大而减小 探究新知 给定一个函数，人们有时候关心的是，函数值会随着自变量增大而怎样变化，即我们这节课要讲的内容“函数的单调性” 探究新知 一般地，设函数y=f(x) 的定义域为 D，且 I⊆D： （1）如果对任意 x1​,x2​∈I，当 x1​<x2​ 时，都有f(x1​)<f(x2​)，则称函数 y=f(x) 在区间 I 上是增函数（也称在 I 上单调递增），如图3-1-9（1）所示。 （2）如果对任意 x1​,x2​∈I，当 x1​<x2​ 时，都有f(x1​)>f(x2​)，则称函数 y=f(x) 在区间 I 上是减函数（也称在 I 上单调递减），如图3-1-9（2）所示。 根据单调性的定义中I⊆D的关系可知：有时只观察函数的某个部分的单调性，单调区间一定是定义域的子集。 两种情况下，都称函数在I上具有单调性（当I为区间时，称I为函数的单调区间，也可分别称为单调递增区间或单调递减区间）。 探究新知 注意： 1.单调区间是定义域的子集，必须在定义域内讨论。 2.定义中的 x1​,x2​ 具有三个特征： 任意性：不能用特殊值代替； 同区间性：x1​,x2​∈I； 有序性：规定 x1​<x2​。 3.多个单调区间之间不能用 “∪” 连接，要用 “和” 或逗号连接。例：函数 y=x1​ 的单调递减区间是 (−∞,0) 和 (0,+∞)，不能写成 (−∞,0)∪(0,+∞)。 练习： 已知定义在（0，+∞）上的单调减函数f(x),若f(2a-1)>f( ),则a的取值范围是 。 解：因为是单调减函数，所以 函数值大的自变量反而小 所以 2a-1<,解的a< 又因为定义域为（0，+∞），所以 2a-1>0，解的a> 所以，则a的取值范围是（，） （，） 尝试与发现 由尝试与发现可知，从函数的图象能方便地看出函数的单调性。但一般情况下，得到函数的图象并不容易，而且手工作出的图象往往都不精确，因此我们更倾向于从函数的解析式来证明函数的单调性。这可以利用函数单调性的定义和不等式的证明方法。 如图 3-1-10 所示的函数y=f(x)，在[−6,−4]上是增函数，在[−4,−2]上是减函数，在[−2,1]上是增函数，在[1,3]上是减函数，在[3,6]上是增函数。 探究新知 例1 求证：函数f(x)=−2x在R上是减函数。 证明 任取x1​,x2​∈R且x1​<x2​，则x1​−x2​<0，那么 f(x1​)−f(x2​)=(−2x1​)−(−2x2​)=2(x2​−x1​)>0, 从而f(x1​)>f(x2​)。 因此，函数f(x)=−2x在R上是减函数。 一般地，设函数f(x)的定义域为D，且x0​∈D：如果对任意x∈D，都有f(x)≤f(x0​)，则称f(x)的最大值为f(x0​)，而x0​称为f(x)的最大值点；如果对任意x∈D，都有f(x)≥f(x0​)，则称f(x)的最小值为f(x0​)，而x0​称为f(x)的最小值点。最大值和最小值统称为最值，最大值点和最小值点统称为最值点。 不难看出，如果函数有最值而且函数的单调性容易求出，则可利用函数的单调性求出函数的最值点和最值。 探究新知 解：任取x1​,x2​∈[−1,6]且x1​<x2​，x1​-x2<0，那么 f(x1​)−f(x2​)=(3x1​+5)−(3x2​+5)=3(x1​−x2​)<0, 所以函数f(x)=3x+5在[−1,6]上是增函数。 因此，当时，有 ， 从而这个函数的最小值为f(-1）= _____，最大值为发（6）= ______，所以 例2 判断函数f(x)=3x+5，x∈[−1,6]的单调性，并求这个函数的最值。 例2的结论也可由不等式的知识得到：因为，所以 ，， 即，其余同上. 函数的平均变化率 我们已经知道，两点确定一条直线，在平面直角坐标系中，这一结论当然也成立.一般地，给定平面直角坐标系中的任意两点，，当时，称 为直线的斜率；当时，称直线的斜率不存在. 直线的斜率反映了直线相对于轴的倾斜程度. 若记，相应的，则当时，斜率可记为. 如图3-1-11所示，直线的斜率即为中与的比.另外， 图3-1-11中，直线的斜率大于零，而直线的斜率小于零. 不难看出，平面直角坐标系中的三个点共线，当且仅当（等价）其中任意两点确定的直线的斜率都相等或不存在.下面我们用直线的斜率来研究函数的单调性. 尝试与发现 由函数的定义可知，任何一个函数图象上的 两个点，它们所确定的直线的斜率一定存在。 （为什么？） 如图3-1-12所示，观察函数图象上任意两点 连线的斜率的符号与函数单调性之间的关系，并总结出一般规律. 可以看出，函数递增的充要条件是其图象上任意两点的斜率都大于0，函数递减的充要条件是其图象上任意两点连线的斜率都小于0. 探究新知 一般地，若是函数的定义域的子集，对任意且， 记，，(即)，则： (1)在上是增函数的充要条件是在上恒成立； (2)在上是减函数的充要条件是在上恒成立. 一般地，当时，称为函数在区间(时)或(时)上的平均变化率 利用上述结论，我们可以 证明一个函数的单调性. 探究新知 例如，对于函数来说，对任意且，有 ， 因此在上是减函数. 例3 求证：函数在区间和上都是减函数. 证明：设，那么 . 如果，则，此时，所以函数在上是减函数.同理，函数在上也是减函数. 探究新知 例4 判断一次函数的单调性. 解：设，那么. 因此，一次函数的单调性取决于的符号：当时，一次函数在上是增函数；当时，一次函数在上是减函数. 例4说明，一次函数的图象上任意两点确定的直线斜率均为，这实际上也说明了一次函数的图象一定是直线（三点共线）.不仅如此，此时从还可以看出，，这就意味着在一次函数中，与成正比，且比例系数为.特别地，当自变量每增大一个单位时，因变量增大个单位，而且可以证明，只有一次函数才具有这个性质.事实上，如果，设时函数值为，则，即，因此一定是一次函数.正因为如此，一次函数也经常被称为线性函数（图象是直线）. 探究新知 例如，如果向给定的容器倒水，且任意相等的时间间隔内所倒的水体积相等，那么容器内水面的高度是时间的函数. 当容器是如图3-1-14(1)所示的圆台时，由容器的形状可知，在固定的时间内，随着的增加，应该越大，因此函数的图象是如图3-1-14(2)所示. 当容器是如图3-1-13(1)所示的圆柱时，在固定的时间内，应该是常数，因此函数的图象是如图3-1-13(2) 所示的一条线段. 探究新知 证明：设，则 . 因此： 当时，有，从而，因此 在上是减函数； 当时，有，从而，因此 在上是增函数. 例5 证明函数在上是减函数，在上是增函数，并求出这个函数的最值. 由函数的单调性可知，函数没有最大值；而且，当时，有 ， 当时，不等式也成立，因此是函数的最小值. 探究新知 用类似的方法可以证明，二次函数的单调性为： (1)当时，在上单调递减，在上单调递增，函数没有最大值，但有最小值； (2)当时，在上单调递增，在上单调递减，函数没有最小值，但有最大值； 当然，这一结论也可以从二次函数的图象是关于对称的抛物线与开口方向看出来. 总结 2.判断与证明函数单调性的步骤（定义法） 取值：在给定区间内任取 x1​,x2​，且 x1​<x2​； 作差：计算 f(x1​)−f(x2​)； 变形：因式分解、配方、通分等，判断符号； 定号：确定 f(x1​)−f(x2​) 的正负； 下结论：根据定义判断单调性。 1.判断与证明函数单调性常用方法 图像法（最直观） 定义法（最正统、证明题必用） 平均变化率（最通用、最强） 3.函数单调增的三种表达方式 定义：当x1>x2时，f(x1)>f(x2)恒成立；（x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0；>0 巩固练习 1.写出下列函数的单调区间 单调减区间（-∞，0），（0，+∞） 单调增区间（-∞，0），（1，+∞） 单调减区间（-1，0） ， （0，1） 巩固练习 2.不是增函数的是（ ） A B C D C 巩固练习 3.向高为,容量为 的水瓶中匀速注水，注满为止，如果注水量与水深 的函数关系的图象如图所示，那么水瓶的形状是( ) A. B. C. D. B 解析：随着h的增大，函数的平均变化率在减小，所以，相同高度下的在减小，所以选择B 巩固练习 4.下列函数中，在区间（0，1）上单调递减的是( ) A.y=x2-4x+5 B.y= C.y=-x- D. 解析：画图法 AB 巩固练习 5.如图函数, 的图象，指出函数 的最大值、最小值及单调区间. 解析： 观察函数图象可以知道，在 时取得最大值，即； 在 时取得最小值，即 . 函数,的单调递增区间是 ， 函数,的单调递减区间是，， . 巩固练习 6.函数f(x)=x2+ax+2在[3，+∞）上单调递增，则实数a的取值范围是 . 解析：如图可知，3需要在-的右侧则满足题意要求 所以，需要-≤3 解的a≥-6 [-6,+∞) 提升练习 1.已知函数则关于实数 的不等式 的解集 为______. 解析：有函数图像可知，函数在整个定义域内是 增函数，由得 ， 解得 ． 提升练习 2.已知函数是定义在（0，+∞）的减函数，则实数a的取值范围是______. 解析：函数在（0，+∞）上是减函数，所以， 两段函数和整个定义域内都需要是减函数，即 2a-1<0 -a<0 3a -1≥-a(在x=1处要满足递减性） 解的， ) 提升练习 3.已知函数 满足对任意的实数，都有 成立，则实数 的值可以是( ) A. B.0 C.1 D.2 CD 解析:由题意知实符号相反，所以f(x)为减函数， 数满足 解得 ,故实数的取值范围为 ,因此可取1和2. 提升练习 4.已知函数,用单调性定义证明函数在区间 上是增函数； 证明：任取 ，则 ， ，，， ， ， ， 函数在区间 上是增函数. $