1.4 空间向量在立体几何中的应用同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 以空间向量工具解决立体几何问题为主线，通过基础运算、动态探究到综合应用的三层设计，实现从知识理解到创新意识的递进培养。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量运算、线线角、点面距离|以定义应用为主，如单选1翻折后线线角计算，夯实坐标法基础| |能力提升|存在性问题、翻折综合、轨迹与体积|涉及动态问题，如单选4四棱柱中动点垂直判定，培养逻辑推理能力| |综合创新|线面角最值、翻折与范围问题|含探究性任务，如解答题12翻折后线面角取值范围，发展空间观念与创新意识|

2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 　空间向量在立体几何中的应用同步练 [分值：80分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.如图①，将两个全等的等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD，将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图②，则直线AC与BD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，AB⊥BC，若棱C1C上存在唯一的一点P满足PA1⊥BP，则等于(　　) A. B.1 C. D.2 3.在空间直角坐标系中，已知A(a2，2a，6)，B(0，0，1)，C(1，1，2)，D(-1，0，3)，E(a2，0，5)，其中a∈R，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 4.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，底面A1B1C1D1是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，E为侧棱BB1上的动点(包括端点)，则(　　) A.对任意的a，b，存在点E，使得B1D⊥EC1 B.当且仅当a=b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 C.当且仅当a≥b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 D.当且仅当a≤b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 5.如图①，在Rt△ABC中，C=，AC=BC=2，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图②.若F是A1B的中点，则四面体FCDE外接球的体积是(　　) A.2π B. C. D. 6.如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体侧面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则PE+PF的最小值为(　　) A.3 B. C.1+ D. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.如图①，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A'的位置，如图②，连接A'B，A'C，且A'D⊥CD，平面A'BE与平面A'CD的交线为l，则下列结论中正确的是(　　) A.平面A'DE⊥平面A'BE B.CD∥l C.BC与平面A'DE所成角的余弦值为 D.平面A'BE与平面A'BD夹角的余弦值为 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内(含边界)一动点，则下列说法中正确的是(　　) A.若D1Q∥平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段 B.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PD C.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大 D.若D1Q=，那么点Q的轨迹长度为 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱DD1(不包含端点)上一动点，则三棱锥P-AB1C的体积的取值范围为　　　　　. 10.如图，已知菱形ABCD，AB=2，∠ADC=，沿直线AC将△ACD翻折成△ACS，E，F分别为SA，SB的中点，SA与平面ABC所成角的正弦值为，M为线段AC上一点(包含端点C，不包含端点A)，则AE与平面EFM所成角的正弦值的最大值为　　　　　. 四、解答题(共28分) 11.(13分)如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4，E，F分别为DC，BC的中点，上、下底面中心的连线O1O垂直于上、下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°. (1)求证：BD1∥平面C1EF；(4分) (2)求点A1到平面C1EF的距离；(4分) (3)线段BC上(含端点)是否存在点M，使得直线A1M与平面C1EF所成角的正弦值为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由.(5分) 12.(15分)如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，D是AC的中点，E，F分别是BA，BC边上的动点，且EF∥AC.将△BEF沿EF折起，将点B折叠至点P的位置，得到四棱锥P-ACFE. (1)求证：EF⊥PC；(3分) (2)若BE=2AE，二面角P-EF-C是直二面角，求平面PCE与平面CEF夹角的正弦值；(6分) (3)当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.(6分) 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册 　空间向量在立体几何中的应用同步练参考答案 [分值：80分] 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.如图①，将两个全等的等腰直角三角形拼成一个平行四边形ABCD，将平行四边形ABCD沿对角线BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，如图②，则直线AC与BD所成角的余弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　由平面ABD⊥平面BCD，AB⊥BD， 平面ABD∩平面BCD=BD， AB⊂平面ABD，所以AB⊥平面BCD， 又DC⊂平面BCD，所以AB⊥DC， 又DB⊥DC， 过点D作z轴∥AB，建立空间直角坐标系，如图所示， 设AB=1，所以BD=1， DC=1，BC=， 则A(0，1，1)，B(0，1，0)， C(1，0，0)，D(0，0，0)， 所以=(1，-1，-1)，=(0，-1，0)， 所以|cos〈，〉|===. 2.如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB=BC，AB⊥BC，若棱C1C上存在唯一的一点P满足PA1⊥BP，则等于(　　) A. B.1 C. D.2 答案　D 解析　以点B为坐标原点，AB，BC，BB1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，设BC=1，BB1=a(a>0)， 则B(0，0，0)，A1(1，0，a)， P(0，1，λa)且0≤λ≤1， 所以=(1，-1，(1-λ)a)，=(0，1，λa)， 又存在唯一的一点P满足PA1⊥BP， 所以·=λ(1-λ)a2-1=0， 则λ2-λ+=0，故Δ=1-=0， 可得a=2，此时λ=，所以=2. 3.在空间直角坐标系中，已知A(a2，2a，6)，B(0，0，1)，C(1，1，2)，D(-1，0，3)，E(a2，0，5)，其中a∈R，则当点A到平面BCD的距离最小时，直线AE与平面BCD所成角的正弦值为(　　) A. B. C. D. 答案　C 解析　依题意可得=(a2+1，2a，3)，=(1，1，1)，=(-1，0，2)，=(0，-2a，-1)， 设n=(x，y，z)是平面BCD的法向量， 则 即令x=2，则z=1，y=-3，得n=(2，-3，1). 所以点A到平面BCD的距离d===， 当a=时，d取得最小值，此时=(0，-3，-1)， 所以直线AE与平面BCD所成角的正弦值为|cos〈，n〉|===. 4.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，AA1⊥平面A1B1C1D1，底面A1B1C1D1是边长为a的正方形，侧棱AA1的长为b，E为侧棱BB1上的动点(包括端点)，则(　　) A.对任意的a，b，存在点E，使得B1D⊥EC1 B.当且仅当a=b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 C.当且仅当a≥b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 D.当且仅当a≤b时，存在点E，使得B1D⊥EC1 答案　D 解析　以D1为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则B1(a，a，0)，D(0，0，b)，C1(0，a，0)，设E(a，a，t)(0≤t≤b)， 所以=(-a，-a，b)，=(-a，0，-t)， 所以·=a2-bt，令a2-bt=0，t=，由0≤≤b得a≤b， 所以当且仅当a≤b时，存在点E， 使得B1D⊥EC1，故选项D正确. 5.如图①，在Rt△ABC中，C=，AC=BC=2，D，E分别为AC，AB的中点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1D⊥CD，如图②.若F是A1B的中点，则四面体FCDE外接球的体积是(　　) A.2π B. C. D. 答案　B 解析　依题意得CD⊥DE， A1D⊥DE，A1D∩CD=D， A1D，CD⊂平面A1DC， 所以DE⊥平面A1DC，又A1D⊥CD， 故以D为坐标原点，CD，DE，DA1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系(图略)， 则D(0，0，0)，C(1，0，0)，E(0，1，0)，B(1，2，0)， A1(0，0，1)，F. 依题意△DCE为直角三角形， 所以△DCE的外接圆的圆心在CE的中点处，设四面体FCDE外接球的球心为M，半径为R，则||=||=R， 即R= =， 解得m=0，所以R=， 所以四面体FCDE外接球的体积V=πR3=. 6.如图，棱长为3的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为正方体侧面BCC1B1上的一个动点，E，F分别为BD1的三等分点，则PE+PF的最小值为(　　) A.3 B. C.1+ D. 答案　D 解析　作点F关于平面BCC1B1的对称点F'，连接EF'交平面BCC1B1于点P0. 可以证明此时的P0使得PE+PF最小，即任取侧面BCC1B1上的点P1(异于P0)，此时P1E+P1F=P1E+P1F'>EF'=P0E+P0F'. 以点D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系， 则D1(0，0，3)，B(3，3，0)，因为E，F分别为BD1的三等分点，所以E(1，1，2)，F(2，2，1)， 又点F到平面BCC1B1的距离为1，所以F'(2，4，1)， PE+PF的最小值为||==. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.如图①，菱形ABCD的边长为2，∠BAD=60°，E为边AB的中点，将△ADE沿DE折起，使A到A'的位置，如图②，连接A'B，A'C，且A'D⊥CD，平面A'BE与平面A'CD的交线为l，则下列结论中正确的是(　　) A.平面A'DE⊥平面A'BE B.CD∥l C.BC与平面A'DE所成角的余弦值为 D.平面A'BE与平面A'BD夹角的余弦值为 答案　ABD 解析　在菱形ABCD中，∠BAD=60°，E为边AB的中点，所以AB⊥DE， 因为CD∥BE，所以DE⊥CD， 因为A'D⊥CD， A'D∩DE=D， A'D，DE⊂平面A'DE，所以CD⊥平面A'DE， 因为CD∥BE，所以BE⊥平面A'DE， 因为BE⊂平面A'BE， 所以平面A'DE⊥平面A'BE，故A正确； 因为CD∥BE，CD⊄平面A'BE，BE⊂平面A'BE，所以CD∥平面A'BE，又平面A'BE与平面A'CD的交线为l，所以CD∥l，故B正确； 由A知，DE⊥AB，且BE⊥平面A'DE， 则DE⊥A'E，且BE⊥A'E， 又BE∩DE=E，BE，DE⊂平面BED， 所以A'E⊥平面BED，以E为原点， 分别以EB，ED，EA'所在直线为x，y，z轴， 建立如图所示的空间直角坐标系. 则B(1，0，0)，A'(0，0，1)，C(2，，0)，D(0，，0)， 所以=(1，，0)，=(0，0，1)， =(0，，-1)，=(1，0，-1)， 由A可知，CD⊥平面A'DE， 故平面A'DE的一个法向量为=(-2，0，0)， 则cos〈，〉===-， 设BC与平面A'DE所成角为θ， 则cos θ=sin〈，〉==，故C不正确； 显然平面A'BE的一个法向量为 n==(0，，0)， 设平面A'BD的法向量为m=(x，y，z)， 则有即 取y=1，则x=z=，所以m=(，1，)， 设平面A'BE与平面A'BD的夹角为α， 所以cos α=|cos〈m，n〉|= ==，故D正确. 8.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为棱BB1的中点，Q为正方形BB1C1C内(含边界)一动点，则下列说法中正确的是(　　) A.若D1Q∥平面A1PD，则动点Q的轨迹是一条线段 B.存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PD C.当且仅当Q点落在棱CC1上某点处时，三棱锥Q-A1PD的体积最大 D.若D1Q=，那么点Q的轨迹长度为 答案　ACD 解析　选项A，分别取B1C1，CC1的中点E，F，连接D1E，D1F，EF，PF，由PF与B1C1，A1D1平行且相等得四边形A1PFD1为平行四边形，所以D1F∥A1P， 又D1F⊄平面A1PD，A1P⊂平面A1PD，所以D1F∥平面A1PD， 连接B1C，因为EF∥B1C，B1C∥A1D，所以EF∥A1D，同理EF∥平面A1PD， 因为EF∩D1F=F，EF，D1F⊂平面D1EF，所以平面D1EF∥平面A1PD， 当Q∈EF时，D1Q⊂平面D1EF，所以D1Q∥平面A1PD，即点Q的轨迹是线段EF，A正确； 选项B，以D1为原点，D1A1，D1C1，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则D1(0，0，0)，A1(1，0，0)，D(0，0，1)，P，设Q(x，1，z)(0≤x≤1，0≤z≤1)， 所以=(-1，0，1)，=，=(x，1，z)， 设m=(a，b，c)是平面A1PD的法向量， 则 取c=1，则m=， 若D1Q⊥平面A1PD，则∥m，所以存在λ∈R，使得=λm，即(x，1，z)=， 则 解得x=z=-2∉[0，1]，因此在正方形BB1C1C内(含边界)不存在Q点，使得D1Q⊥平面A1PD，B错误； 选项C，△A1PD的面积为定值，当且仅当点Q到平面A1PD的距离最大时，三棱锥Q-A1PD的体积最大，=(x-1，1，z)， 点Q到平面A1PD的距离为d==，0≤x+z≤2， 当0≤x+z≤时，d=，当x+z=0时，d有最大值1， 当≤x+z≤2时，d=，当x+z=2时，d有最大值， 综上，当x+z=0时，d取得最大值1，即当Q与C1重合时，d取得最大值，三棱锥Q-A1PD的体积最大，C正确； 选项D，D1C1⊥平面BB1C1C，C1Q⊂平面BB1C1C，则D1C1⊥C1Q， 所以C1Q==，所以点Q的轨迹是以C1为圆心，为半径，圆心角是的圆弧，所以轨迹长度为×=，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，P是棱DD1(不包含端点)上一动点，则三棱锥P-AB1C的体积的取值范围为　　　　　. 答案　 解析　以点D为原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图， 则D(0，0，0)，A(1，0，0)，B1(1，1，1)，C(0，1，0)，D1(0，0，1)， 所以=(-1，1，0)，=(0，1，1)，=(0，0，1)， 设=λ=(0，0，λ)(0<λ<1)，得P(0，0，λ)，则=(-1，0，λ)， 设平面AB1C的法向量为n=(x，y，z)， 则 令y=1，得n=(1，1，-1)， 所以点P到平面AB1C的距离d==， 又因为0<λ<1，所以d=∈， 由题意知AC=AB1=B1C=， 所以△AB1C为等边三角形，=×××sin=， 所以三棱锥P-AB1C的体积V=×d=××d=d，故三棱锥P-AB1C的体积的取值范围为. 10.如图，已知菱形ABCD，AB=2，∠ADC=，沿直线AC将△ACD翻折成△ACS，E，F分别为SA，SB的中点，SA与平面ABC所成角的正弦值为，M为线段AC上一点(包含端点C，不包含端点A)，则AE与平面EFM所成角的正弦值的最大值为　　　　　. 答案　 解析　设顶点S在平面ABC内的射影为点O， 因为SA与平面ABC所成角的正弦值为，SA=SC=2，所以SO=SA=， OA=OC==， 如图1所示，因为△ABC为等边三角形，所以△AOB≌△COB， 所以OB平分∠ABC，即∠ABO=， 所以在△AOB中，cos∠ABO===，解得OB=或OB=>(舍去)， 所以点O为△ABC的中心，故三棱锥S-ABC是棱长为2的正四面体， 故如图2，以AB的中点H为坐标原点，HC，HB所在直线分别为x，y轴建立空间直角坐标， 则A(0，-1，0)，B(0，1，0)，S， E， F， 设M，0<x≤， 则=，=(0，1，0)， 设平面EFM的法向量为n=(x0，y0，z0)， 则即 令x0=，得n=， 因为=，设AE与平面EFM所成的角为θ， 所以sin θ=|cos〈，n〉|===， 令t=，则t≥，因为函数y=6-2t+t2在上单调递增， 所以sin θ=在上单调递减， 所以当t=，即x=时，AE与平面EFM所成角的正弦值最大，最大值为. 四、解答题(共28分) 11.(13分)如图，四棱台ABCD-A1B1C1D1中，上、下底面均是正方形，且侧面是全等的等腰梯形，AB=2A1B1=4，E，F分别为DC，BC的中点，上、下底面中心的连线O1O垂直于上、下底面，且O1O与侧棱所在直线所成的角为45°. (1)求证：BD1∥平面C1EF；(4分) (2)求点A1到平面C1EF的距离；(4分) (3)线段BC上(含端点)是否存在点M，使得直线A1M与平面C1EF所成角的正弦值为，若存在，求出线段BM的长；若不存在，请说明理由.(5分) (1)证明　因为O1O⊥平面ABCD，以点O为坐标原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 因为侧棱所在的直线与上、下底面中心的连线O1O所成的角为45°，所以OO1=， 则B(2，2，0)，D1(-1，-1，)，C1(-1，1，)，F(0，2，0)，E(-2，0，0)，A1(1，-1，)， 所以=(-3，-3，)，=(-1，-1，-)，=(2，2，0)， 设平面C1EF的法向量为n=(x，y，z)， 则 令x=1，则n=(1，-1，0)， 所以n·=0，所以n⊥， 又因为BD1⊄平面C1EF， 所以BD1∥平面C1EF. (2)解　由(1)知，=(-3，1，-)， 所以点A1到平面C1EF的距离为d===2. (3)解　假设线段BC上(含端点)存在点M(x，2，0)满足条件，其中x∈[-2，2]， 则=(x-1，3，-)， 设直线A1M与平面C1EF所成的角为θ， 由题意可得sin θ=|cos〈，n〉|===， 化简得x2-35x+34=0，则x=1或x=34(舍去)，所以M(1，2，0)， 即存在点M符合题意，此时BM=1. 12.(15分)如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC=2，D是AC的中点，E，F分别是BA，BC边上的动点，且EF∥AC.将△BEF沿EF折起，将点B折叠至点P的位置，得到四棱锥P-ACFE. (1)求证：EF⊥PC；(3分) (2)若BE=2AE，二面角P-EF-C是直二面角，求平面PCE与平面CEF夹角的正弦值；(6分) (3)当PD⊥AE时，求直线PE与平面ABC所成角的正弦值的取值范围.(6分) (1)证明　因为AC⊥BC，AC∥EF， 所以EF⊥BC， 即EF⊥FC，EF⊥PF，又PF∩FC=F，PF，FC⊂平面PFC，所以EF⊥平面PFC， 又PC⊂平面PFC，所以EF⊥PC. (2)解　因为二面角P-EF-C是直二面角， 所以平面PEF⊥平面EFC， 又平面PEF∩平面EFC=EF，PF⊥EF，PF⊂平面PEF， 所以PF⊥平面EFC， 以F为原点，FE，FC，FP所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，如图所示， 易知平面CEF的一个法向量为n=(0，0，1)， P，C， E，=， =， 设平面PCE的法向量为m=(x，y，z)， 则 令z=1，得y=2，x=1， 所以m=(1，2，1)为平面PCE的一个法向量， 设平面PCE与平面CEF的夹角为θ，则cos θ===. 因为θ∈， 所以sin θ===. (3)解　以C为原点，的反方向和的方向分别为x，y轴，过C作平面ABC的垂线为z轴，建立空间直角坐标系，如图所示. 设P(0，m，n)，F(0，t，0)，D(-1，0，0)，A(-2，0，0)，E(t-2，t，0)， 显然n>0，=(t，t，0)， =(-1，-m，-n)， ·=-t-mt=0，得出m=-1， 则P(0，-1，n)，则=(t-2，t+1，-n)， 根据PE2=PF2+EF2得n2+(t+1)2=(2-t)2，化简得n2=3-6t>0，且t>0， 解得0<t<， 易知平面ABC的一个法向量为p=(0，0，1)，设直线PE与平面ABC所成的角为β，β∈， sin β==， 则sin2β= ==×， 令y=，t∈， 令1-2t=a，则t=，且a∈(0，1)， y==4×=4×， 根据函数y=a+在(0，1)上单调递减，且恒大于0，则y=4×在(0，1)上单调递增，且y=4×∈，即sin2β∈，又β∈， 则sin β∈， 即所求正弦值的取值范围为. 学科网（北京）股份有限公司 $