1.4.1 第一课时 空间中点、直线和平面的向量表示 同步练习-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 分层清晰，从基础概念到综合应用再到拓展提高，覆盖空间向量表示及运算，适配新授课知识巩固与能力进阶，培养数学眼光与思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础巩固|空间向量表示、方向向量与法向量计算|以选择、填空为主，如第2题方向向量计算，夯实概念理解| |综合运用|法向量判定、空间几何综合问题|含多选与解答题，如第14题平面方程推导，提升推理能力| |拓展提高|空间坐标与长度、面积计算|复杂情境题，如第16题平行四边形面积求解，发展数学应用意识|

1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 一、基础巩固 1.(多选)下列各式中,k为实数,可以判定点P在直线AB上的是(　　) A.=+k B.=+k C.=+k D.=+k 2.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 3.已知平面内的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),则该平面的一个法向量为(　　) A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 4.已知直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),且直线l过A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b=(　　) A.0 B.1 C. D.3 5.已知向量=(2,4,x),平面α的一个法向量为n=(1,y,3),若AB⊂平面 α,则(　　) A.x=6,y=2 B.x=2,y=6 C.3x+4y+2=0 D.4x+3y+2=0 6.已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A.(1,1,1) B. C. D. 7.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列各点中,在平面α内的是(　　) A.P(1,-1,1) B.Q C.M D.N 8.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,则直线DB1的一个方向向量为　　　　.  9.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若点P(a,1,1)在平面ABC内,则a=　　　　.  10.已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在直线AB上,存在一点E,使得⊥b(O为原点),则E点的坐标为　　　　.  11.如图所示 ,在三棱锥A-BCD中,E,F分别是AD,BC的中点,设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间的一个基底,求直线EF的一个方向向量. 二、综合运用 12.(多选)已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1),若c为平面α的一个法向量,则(　　) A.m=-1 B.m=1 C.n=2 D.n=-2 13.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,下列结论中正确的是(　　) A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2) B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2) C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1) D.平面B1CD的一个法向量为(1,-1,-1) 14.已知A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,-2). (1)写出直线BC的一个方向向量; (2)设平面α经过点A,且是α的法向量,M(x,y,z)是平面α内的任意一点,试写出x,y,z满足的关系式. 三、拓展提高 15.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长||=34,则B点的坐标为　　　　.  16.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1). (1)求证:是平面ABCD的法向量; (2)求平行四边形ABCD的面积. 1.4.1　用空间向量研究直线、平面的位置关系 第一课时　空间中点、直线和平面的向量表示 一、基础巩固 1.(多选)下列各式中,k为实数,可以判定点P在直线AB上的是(　　) A.=+k B.=+k C.=+k D.=+k 答案　AB 解析　由点P在直线上的充要条件可得,A,B符合题意. 2.若A(-1,0,1),B(1,4,7)在直线l上,则直线l的一个方向向量为(　　) A.(1,2,3) B.(1,3,2) C.(2,1,3) D.(3,2,1) 答案　A 解析　因为=(2,4,6),所以(1,2,3)是直线l的一个方向向量. 3.已知平面内的两个向量a=(2,3,1),b=(5,6,4),则该平面的一个法向量为(　　) A.(1,-1,1) B.(2,-1,1) C.(-2,1,1) D.(-1,1,-1) 答案　C 解析　显然a与b不平行,设平面的法向量为n=(x,y,z), 则有即 令z=1,得x=-2,y=1,∴n=(-2,1,1). 4.已知直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3),且直线l过A(0,a,3)和B(-1,2,b)两点,则a+b=(　　) A.0 B.1 C. D.3 答案　D 解析　∵A(0,a,3)和B(-1,2,b)在直线l上,=(-1,2-a,b-3), 且直线l的一个方向向量为m=(2,-1,3), ∴设=λm,则(-1,2-a,b-3)=λ(2,-1,3), 解得λ=-,a=b=, ∴a+b=3,故选D. 5.已知向量=(2,4,x),平面α的一个法向量为n=(1,y,3),若AB⊂平面 α,则(　　) A.x=6,y=2 B.x=2,y=6 C.3x+4y+2=0 D.4x+3y+2=0 答案　C 解析　∵AB⊂平面α,∴⊥n,则·n=0, 即2+4y+3x=0,故选C. 6.已知A(1,1,0),B(1,0,1),C(0,1,1),则平面ABC的一个单位法向量是(　　) A.(1,1,1) B. C. D. 答案　B 解析　设平面ABC的法向量为n=(x,y,z), 又=(0,-1,1),=(-1,1,0), 则 ∴x=y=z, 又∵单位向量的模为1,故只有B正确. 7.已知平面α内有一个点A(2,-1,2),α的一个法向量为n=(3,1,2),则下列各点中,在平面α内的是(　　) A.P(1,-1,1) B.Q C.M D.N 答案　B 解析　对于B,=, 则n·=(3,1,2)·=0, ∴n⊥,则点Q在平面α内,其他选项均不满足题意. 8.棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1在空间直角坐标系中的位置如图所示,则直线DB1的一个方向向量为　　　　.  答案　(1,1,1)(答案不唯一) 解析　由题意知D(0,0,0),B1(1,1,1), 所以=(1,1,1), 即直线DB1的一个方向向量是(1,1,1). 9.已知A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,1),若点P(a,1,1)在平面ABC内,则a=　　　　.  答案　-1 解析　设平面ABC的法向量是n=(x,y,z), 又=(-1,1,0),=(-1,0,1), 所以 取x=1,得n=(1,1,1), 因为P(a,1,1)在平面ABC内, 则n·=a-1+1+1=0,解得a=-1. 10.已知向量b=(-2,1,1),点A(-3,-1,4),B(-2,-2,2),若在直线AB上,存在一点E,使得⊥b(O为原点),则E点的坐标为　　　　.  答案　 解析　=+=+t =(-3,-1,4)+t(1,-1,-2) =(-3+t,-1-t,4-2t), 因⊥b,则·b=0, 所以-2(-3+t)+(-1-t)+(4-2t)=0, 解得t=, 因此存在点E,使得⊥b, 此时=, 即E点的坐标为. 11.如图所示 ,在三棱锥A-BCD中,E,F分别是AD,BC的中点,设=a,=b,=c,以{a,b,c}为空间的一个基底,求直线EF的一个方向向量. 解　因为=++ =(-)-+ =--=a-b-c, 所以直线EF的一个方向向量为a-b-c. 二、综合运用 12.(多选)已知平面α内两向量a=(1,1,1),b=(0,2,-1),且c=ma+nb+(4,-4,1),若c为平面α的一个法向量,则(　　) A.m=-1 B.m=1 C.n=2 D.n=-2 答案　AC 解析　c=ma+nb+(4,-4,1) =(m,m,m)+(0,2n,-n)+(4,-4,1) =(m+4,m+2n-4,m-n+1), 由c为平面α的一个法向量,得 得 解得 13.(多选)在如图所示的空间直角坐标系中,ABCD-A1B1C1D1是棱长为1的正方体,下列结论中正确的是(　　) A.直线BD1的一个方向向量为(-2,2,2) B.直线BD1的一个方向向量为(2,2,2) C.平面B1CD1的一个法向量为(1,1,1) D.平面B1CD的一个法向量为(1,-1,-1) 答案　AC 解析　由题意,B(1,0,0),B1(1,0,1),C(1,1,0),D(0,1,0),D1(0,1,1). 对于A,B项,可知=(-1,1,1), 所以向量(-2,2,2)为直线BD1的一个方向向量,故A正确,B不正确; 对于C项,设平面B1CD1的法向量为n=(x,y,z), 则 又=(0,-1,1),=(-1,0,1), 所以 令x=1,可得n=(1,1,1),故C正确; 对于D项,设平面B1CD的法向量为 m=(a,b,c), 则 又=(0,-1,1),=(-1,0,0), 所以 令b=1,得m=(0,1,1),故D不正确. 14.已知A(2,2,2),B(2,0,0),C(0,2,-2). (1)写出直线BC的一个方向向量; (2)设平面α经过点A,且是α的法向量,M(x,y,z)是平面α内的任意一点,试写出x,y,z满足的关系式. 解　(1)因为B(2,0,0),C(0,2,-2), 所以=(-2,2,-2), 即(-2,2,-2)为直线BC的一个方向向量. (2)由题意=(x-2,y-2,z-2), 因为⊥平面α,AM⊂α,所以⊥, 所以(-2,2,-2)·(x-2,y-2,z-2)=0, 所以-2(x-2)+2(y-2)-2(z-2)=0, 所以x-y+z=2. 三、拓展提高 15.从点A(2,-1,7)沿向量a=(8,9,-12)的方向取线段长||=34,则B点的坐标为　　　　.  答案　(18,17,-17) 解析　设B点坐标为(x,y,z), 则=λa(λ>0), 即(x-2,y+1,z-7)=λ(8,9,-12), 因为||=34, 即=34,解得λ=2, 所以x=18,y=17,z=-17. 16.已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点,如果=(2,-1,-4),=(4,2,0),=(-1,2,-1). (1)求证:是平面ABCD的法向量; (2)求平行四边形ABCD的面积. (1)证明　因为·=(-1,2,-1)·(2,-1,-4)=0, ·=(-1,2,-1)·(4,2,0)=0, 所以AP⊥AB,AP⊥AD. 又AB∩AD=A,所以AP⊥平面ABCD. 所以是平面ABCD的法向量. (2)解　因为||==,||==2, ·=(2,-1,-4)·(4,2,0)=6, 所以cos<,>==, 故sin<,>=, S▱ABCD=||·||sin<,>=8. 学科网（北京）股份有限公司 $