专题14.3 角平分线（专题训练）-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

**基本信息** 以角平分线性质与判定为核心，通过6类递进题型系统训练，覆盖从基础计算到综合证明及实际应用，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |性质求长度|5题（第1题）|利用角平分线性质求线段长度|从性质直接应用到变式计算| |性质求面积|7题（第6题）|结合面积公式用性质求图形面积|性质与面积公式的结合应用| |性质求角度|9题（第14题）|运用角平分线定义及内角和求角度|性质与角度计算的综合| |角平分线判定|5题（第23题）|通过距离相等证明角平分线|判定定理的推理应用| |角平分线应用|4题（第29题）|实际场景中到三边距离相等问题|性质的实际应用迁移| |性质与判定综合|6题（第32题）|性质与判定结合的证明与计算|知识综合运用能力提升|

专题14.3 角平分线（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型·1…利用角平分线的性质求长度 1 题型·2·利用角平分线的性质求面积 5 题型·3…利用角平分线的性质求角度 11 题型·4·角平分线的判定 19 题型·5·角平分线的应用 23 题型·6·角平分线的判定与性质的综合 25 题型·1…利用角平分线的性质求长度 1．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 2．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作于，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得，，那么，又，进而求出长． 【详解】解：过点作于，如图， ∵，， ， 和分别平分和， ，， ， ， ， ． 3．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】当时，有最小值，利用角平分线的性质可得，即可解答． 【详解】解：如图， 当时，有最小值， ∵平分，，， ∴， ∴长的最小值为3． 4．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】过点D作于点E，根据基本作图，得，设，根据三角形的面积不变，得，求解即可； 【详解】解：过点D作于点E，根据基本作图，得， ， ， 设，根据三角形的面积不变，得， ，，， ， 解得； 故线段的长为3； 5．如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：如图所示，过点作，垂足为． ∵，，平分， ∴． ∴，即， ∴． 题型·2·利用角平分线的性质求面积 6．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 【答案】C 【分析】如图：过D作于F，利用角平分线的性质定理可得，再利用三角形的面积关系以及三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：如图：过D作于F， ∵是的角平分线，，垂足为， ∴， ∴的面积为． 7．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】A 【分析】过点作，利用角平分线的性质，证得和，根据等量代换进行求解． 【详解】解：如图所示，过点作交于点， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵平分，，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， 解得． 8．如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由作图可知，平分，可得的边上的高与的边上的高相等，则，即可求解． 【详解】解：由作图可知，平分， ∴点到、的距离相等，即的边上的高与的边上的高相等， ∴，即， ∴． 9．如图，在中，于点，是的平分线，若，，则的面积为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过作于点，由角平分线的性质可得，再通过即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵于点，是的平分线， ∴， ∴， ∴的面积为． 10．如图，是的角平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作于点，于点，由角平分线的性质定理可得，再结合三角形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：如图，作于点，于点， ， ∵是的角平分线， ∴， ∵，，且，， ∴． 11．如图，是的高，平分交于点，，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．7 D．6 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质．作，根据角平分线的性质，得到，再根据三角形的面积公式进行求解即可． 【详解】解：作， ∵是边上的高，平分，交于点， ∴， ∴， ∵， ∴的面积； 故选：C． 12．如图，在四边形中，平分，，点在边上， ，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，过点作于点，由角平分线的性质可得，证明，则有，同理可得，然后通过即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴，同理可得， ∴， 即， ∴， 故选：． 13．如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为50和39，则的面积为（   ） A．1 B．5.5 C．7 D．3.5 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质等，作交于M，作，利用角平分线的性质得到，将三角形的面积转化为三角形的面积来求． 【详解】解：作交于M，作， ∵， ∴， ∵是的角平分线，， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∵和的面积分别为50和39， ∴， ∴， 故选：B． 题型·3…利用角平分线的性质求角度 14．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和算出,再根据角平分线和平行线即可求解． 本题考查了三角形内角和，角平分线，平行线的性质，掌握基本概念是解题关键． 【详解】在中， ，， ， 平分， ， ， ． 故选：B． 15．如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是角平分线的性质，作于Z，于Y，于W，根据角平分线的性质得到，根据角平分线的判定定理得到，根据题意得到答案，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等、到角的两边的距离相等的点在角的平分线上是解题的关键． 【详解】解：作于Z，于Y，于W，如图所示：    ∵平分，，， ∴， 同理， ∴，，， ∴平分， ∴， ∵， ∴， 又∵，的平分线相交于点F， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 16．如图，的外角平分线，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了外角和角平分线的定义，三角形内角和定理，先根据外角平分线的定义得，，再根据三角形内角和定理得，，代入计算即可得解． 【详解】解：∵的外角平分线，交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 17．如图，在四边形中，，连接平分，点E、F分别是边上的点，且，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质及三角形内角和定理，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．解决本题的关键是证明．由角平分线的性质得到，再证明，推出，进而得到，由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：平分，， ， ， ， ， ， ∵， ∴． 故选：A． 18．如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，作于，于，则，可证，，则，，则，然后求即可． 【详解】解：如图，作于，于， ∵是的平分线，是线段的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质．熟练掌握角平分线的性质，垂直平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 19．如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、角平分线的判定定理、三角形内角和定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键．延长，，过点作、，垂足为，过点作于点，首先根据“角平分线上的点到角的两边的距离相等”可得，再证明，由“角的内部到角的两边距离相等的点，都在这个角的平分线上”可知，进而可得，易得 平分，然后分别计算，的值，利用三角形内角和定理计算的度数即可． 【详解】解：如下图，延长，，过点作、，垂足为， 过点作于点， ∵平分，、， ∴， ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴平分，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 20．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，可得的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用作图的痕迹可得：，是的平分线，根据角平分线的性质可得，由可得，最后利用含角的直角三角形的三边的关系得到的度数． 【详解】解：根据尺规作图的痕迹可得：，是的平分线， ， ， ， ， 在，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了作图—基本作图，角平分线的性质，角的直角三角形的三边的关系，熟练掌握角平分线的性质，角的直角三角形的三边的关系，是解题的关键． 21．如图，在中，，，AE是BC边上的高，AD是的平分线，则的度数为（    ）    A．8° B．10° C．12° D．14° 【答案】C 【分析】根据角平分线的性质，直角三角形的性质，进行证明即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵AD是的平分线， ∴， ∵AE是BC边上的高， ∴， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查角平分线的性质，直角三角形的性质，能够熟练的掌握角平分线的性质是解决本题的关键． 22．如图把剪成三部分边放在同一直线l上，点O都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先利用平行线间的距离处处相等，得到点O为三角形三个内角平分线的交点，从而容易得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图，过点O分别作于D，于E，于F， ∵直线， ∴， ∴点O是的内心，点O为三个内角平分线的交点， ∴， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了平行线的性质及三角形角平分线的性质定理，利用平行线间的距离处处相等判定点O为三角形三个内角平分线的交点是解题的关键． 题型·4·角平分线的判定 23．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 【答案】证明：为的平分线，恰为的平分线， ，， ， ，， ∴点P在的平分线上． 【分析】根据角平分线的性质定理得到，，可知，根据角平分线的判定定理证明即可． 【详解】略． 24．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是的平分线． 【分析】先证明，则，再根据角平分线的判定定理可得是的平分线． 【详解】略 25．课本再现 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明 已知：如图，点在内部，，，垂足分别为，且．求证：点在的平分线上． (2)定理应用 如图，四边形中，，，求证：平分． 【答案】(1) 证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在的平分线上； (2) 证明：过点作，，垂足分别是点，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵，， ∴点在的平分线上， ∴平分． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，垂直的定义，同角的补角相等，角平分线的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． （）证明，所以，从而得证； （）过点作，，垂足分别是点，，由同角的补角相等得出，然后证明，所以，最后由角平分线的判定即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 26．证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．已知：如图，于点C，于点D，．求证：平分． 【答案】 证明：∵于点C，于点D， ∴ 在和中， ， ， ． 即平分． 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质．结合于点C，于点D，得出，再证明，即可作答． 【详解】略 27．如图，在四边形中，，连接，过点作于点，边、的延长线交于点，且，．求证：是的平分线． 【答案】 证明：在和中， ， ∴， ∴， 又，， ∴是的平分线． 【分析】本题考查了角平分线的判定，全等三角形的判定与性质，先根据证明，得出，然后根据角平分线的判定即可得证． 【详解】略 题型·5·角平分线的应用 28．在三角形中，到三边距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．内部任意一点 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，熟记角平分线的性质是解题的关键． 根据角平分线上的点到角的两边距离相等即可解答． 【详解】解：在三角形中，到三边距离相等的点是三条角平分线的交点． 故选：B． 29．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的性质．解答此题的关键是熟练掌握角平分线的性质定理． 利用角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角两边的距离相等，所以是三个内角平分线的交点有个，所以只有三个内角平分线的交点符合要求． 【详解】解：解：∵砂石场到三条公路的距离相等， ∴该点应该是三个角的角平分线的交点， ∵要求砂石场要在三条公路围成的一块平地上修建， ∴满足条件的只有一处，即为三个内角的角平分线的交点． 故选：A 30．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 【答案】(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 31．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 【答案】 点如图所示． 【分析】明确到角两边距离相等的点在角的平分线上，因为点P需要同时到的距离相等，所以点P在的角平分线上．因为点P还需要到的距离相等，所以点P也在的角平分线上．两个角平分线的交点即为满足条件的点P，通过尺规作图作出两个角的平分线，取交点即可． 【详解】解：作的角平分线，再作的角平分线， 两条角平分线在图中围成区域内的交点就是满足条件的点． 理由：∵点在的平分线上， ∴到、距离相等； 又∵点同时在的平分线上， ∴到、距离相等； ∴到、、距离相等； 最终就是点到三面墙的距离都相等，符合要求． 题型·6·角平分线的判定与性质的综合 32．如图，于E，于F，若，平分； (1)求证：； (2)已知，求四边形的面积． 【答案】(1)证明：平分，于E，于F， ， 在和中 ， ， (2)四边形的面积为 【分析】（1）根据角平分线性质得出，利用证明得出结论； （2）根据全等三角形的判定得出，得出，利用三角形面积公式得出答案． 【详解】（1）略 （2）， ， 在和中 ， ， ， ， ， ， ． 四边形的面积． 33．如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 【答案】(1) (2)9 【分析】（1）先根据三角形内角和定理求出，再利用角平分线的定义得到，则由三角形内角和定理可得； （2）如图所示，过点D作于F，利用角平分线的性质得到，进而利用三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分，平分， ∴， ∴； （2）解：如图所示，过点D作于F， ∵平分，， ∴， ∴． 34．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由三角形内角和定理可得，再根据角平分线的定义即可解答； （2）由三角形中线的性质可得的面积为32，再根据角平分线的性质可得，再根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵为的角平分线， ∴． （2）解：∵为的中线，， ∴的面积为32， ∵为的角平分线，，为的高， ∴， ∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 35．如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1) 证明：∵是的角平分线，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ； (2) 【分析】（1）由角平分线的性质可得，进一步可证，得到，即可求解； （2）证得，结合可得即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 36．如图，在中，于D，平分． (1)若，且，求和的度数； (2)若，，，，求的面积． 【答案】(1) (2)22 【分析】（1）先推导出，，得到，则，进而推导出，根据三角形的内角和即可求出的度数； （2）过点E作于点F，于点M，先推导出，求出，得到，则，即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ， ， 又∵平分， ∴， ∴； （2）解：过点E作于点F，于点M，如图 ∵平分， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴，即 解得， ∴， ∴． 37．如图，的外角的角平分线与内角的角平分线交于点E，点F在边的延长线上，的延长线交边的延长线于点D，过点E作于点H． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，，，且，求的面积． 【答案】(1) 证明：如图，过点作于点，作于点， 平分，，， ， 平分，，， ， ， 又点在的内部， 平分； (2) (3)26 【分析】本题主要考查了角平分线的判定与性质，三角形外角的性质，熟练掌握以上知识点是关键． （1）过点作于点，作于点，先根据角平分线的性质可得，，从而可得，再根据角平分线的判定即可得证； （2）由为的角平分线，为的角平分线，可得，，再由，，可得，，再求解即可； （3）设，再根据求得，再利用三角形的面积公式可得答案． 【详解】（1）略 （2）解：是的一个外角，为的角平分线，为的角平分线， ，， ，， ，， ． （3）解：由（1）已得：， 设， ， ， ， ， ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题14.3 角平分线（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型·1…利用角平分线的性质求长度 1 题型·2·利用角平分线的性质求面积 2 题型·3…利用角平分线的性质求角度 4 题型·4·角平分线的判定 6 题型·5·角平分线的应用 8 题型·6·角平分线的判定与性质的综合 9 题型·1…利用角平分线的性质求长度 1．如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 2．如图，，和分别平分和，过点，且与垂直．若，则点到的距离是 （     ） A． B． C． D． 3．如图，平分是上一点，于点，是射线上的一个动点，若，则长的最小值为（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 4．如图，在中，，按以下步骤作图：①以为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于、两点；②分别以、为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点；③作射线，交于点．若，，，则线段的长为（     ） A．3 B．5 C． D．6 5．如图，是的角平分线，，垂足为，，，，则长为（     ） A． B． C． D． 题型·2·利用角平分线的性质求面积 6．如图，是的角平分线，，垂足为，若，，，则的面积为（     ）． A．20 B．12 C．10 D．6 7．如图，在中，平分，交于点D，点分别在边上，连接，过D作于F．已知，，，则的面积为（     ） A．4 B．6 C．8 D．10 8．如图，在中，，若以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交，边于点，；再分别以，为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作射线交边于点．若的面积为，则的面积是（     ） A． B． C． D． 9．如图，在中，于点，是的平分线，若，，则的面积为（） A． B． C． D． 10．如图，是的角平分线，若，，则（    ） A． B． C． D． 11．如图，是的高，平分交于点，，，则的面积为（   ） A．10 B．8 C．7 D．6 12．如图，在四边形中，平分，，点在边上， ，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 13．如图，是的角平分线，，垂足为F，，和的面积分别为50和39，则的面积为（   ） A．1 B．5.5 C．7 D．3.5 题型·3…利用角平分线的性质求角度 14．如图，在中，，，平分交于点D，交于点E，则的度数是（   ） A． B． C． D． 15．如图，点G在的延长线上，，的平分线相交于点F，连接．若，则的度数为（     ）    A． B． C． D． 16．如图，的外角平分线，交于点．若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 17．如图，在四边形中，，连接平分，点E、F分别是边上的点，且，连接，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 18．如图，是的平分线，过作一直线分别与的两边交于、两点，线段的垂直平分线交于点，交于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 19．如图，已知四边形中，对角线平分，并且，那么的度数为（    ） A． B． C． D． 20．如图，在中，，，根据尺规作图的痕迹，可得的度数为（    ）    A． B． C． D． 21．如图，在中，，，AE是BC边上的高，AD是的平分线，则的度数为（    ）    A．8° B．10° C．12° D．14° 22．如图把剪成三部分边放在同一直线l上，点O都落在直线上，直线．在中，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型·4·角平分线的判定 23．如图，为的平分线，点A、C分别在、上，连接、，恰为的平分线，过P作于E，于F，于G．求证：点P在的平分线上． 24．如图，在中，，点在边上，点在边上，连接、，过点作于点，，．求证：是的平分线． 25．课本再现 我们知道，角的平分线上的点到角两边的距离相等．反过来，交换这个性质的题设和结论，得到的命题还成立吗？也就是说，到角两边距离相等的点一定在角的平分线上吗？通过判定两个三角形全等，可以得到：角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上． (1)定理证明 已知：如图，点在内部，，，垂足分别为，且．求证：点在的平分线上． (2)定理应用 如图，四边形中，，，求证：平分． 26．证明“角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上”．已知：如图，于点C，于点D，．求证：平分． 27．如图，在四边形中，，连接，过点作于点，边、的延长线交于点，且，．求证：是的平分线． 题型·5·角平分线的应用 28．在三角形中，到三边距离相等的点是（   ） A．三条中线的交点 B．三条角平分线的交点 C．三条高线的交点 D．内部任意一点 29．某镇要在三条公路围成的一块三角形平地内修建一个砂石场，如图，要使这个砂石场到三条公路的距离相等，则可供选择的地址（　　） A．仅有一处 B．有四处 C．有七处 D．有无数处 30．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 31．校园一角的形状如图所示，其中，，表示围墙．现要修建一个垃圾投放点，使得点到三面墙的距离都相等，请确定点的位置． 题型·6·角平分线的判定与性质的综合 32．如图，于E，于F，若，平分； (1)求证：； (2)已知，求四边形的面积． 33．如图，在中，平分，平分． (1)若，，求的度数； (2)若于点E，，，求的面积． 34．如图，为的中线，为的角平分线，过点作于点，为的高． (1)若，，求的度数； (2)若，，，求的长． 35．如图，在中，，是的角平分线，于，点在边上，连接，若． (1)求证：； (2)若，，求的长． 36．如图，在中，于D，平分． (1)若，且，求和的度数； (2)若，，，，求的面积． 37．如图，的外角的角平分线与内角的角平分线交于点E，点F在边的延长线上，的延长线交边的延长线于点D，过点E作于点H． (1)求证：平分； (2)若，求的度数； (3)若，，，且，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $