第14章全等三角形【全等辅助线之角平分线类】 2026--2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 聚焦角平分线性质与判定，通过三角形及四边形情境构建"性质应用-判定证明-综合探究"的递进训练，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |角平分线基础|3题|选择/填空|以角平分线性质为核心，结合中点构造全等，形成"性质→线段/角关系"推导链| |综合应用|7题|解答题（含多问）|从单一性质应用过渡到四边形中角平分线与边、角关系的综合证明，体现"性质-判定-拓展"逻辑|

1. 如图，，是的中点，平分线，则下列结论不正确是（ ）． A. 平分 B. C. ≌ D. 2. 如图，， 是的中点，平分，且，则（ ）． A. B. C. D. 3. 已知：如图，四边形中，，是的中点，平分， ，求的度数． 4. 1 学科网（北京）股份有限公司 如图，在四边形中，，，．求证：平分 ． 5. 如图，，，点，分别在，上，若平分． （ 1 ）求证：平分． （ 2 ）求证：． 6. 已知：如图，在四边形中，，，平分，求证： ． 7. 已知：四边形 中， ，对角线 平分 ． （ 1 ）当 时．求证： ． （ 2 ）当时，线段，，有怎样的数量关系？并证明． 8. 已知点为平分线上一点，于，于，点 在线段的延长线上，点在线段上，且． （ 1 ）求证： ． （ 2 ）写出线段 ， 与 之间的数量关系 ． （ 3 ）并说明（）的理由． 9. 如图，是平分线，点为上一点，若，试判断和大小关系，并说明理由． 10. 如图，在中，平分交于，的两边分别与，相交于 ，两点，，过作于，证明: ． 1. 如图，已知的面积为，平分，且于点，则的面积是（ ）． A. B. C. D. 2. 如图，在中，平分，于点，，若， ，则的长为 ． $ 1. 如图，已知，为上的一点，于，．求证： ． 证明见解析． 如图，过点 ， ，与 ， 作 于 于 ， ∵ ∴在 ， ， 中， ∴ ∴ ∵ ∴ ≌ （ ）， ， ， ． 【知识点】角分线有关的辅助线 2. 已知：如图，在中，是的角平分线，、分别是、上一点，并且有 ．试判断和的大小关系并说明理由． 10 学科网（北京）股份有限公司 ． 过 作 于 ， 于 ， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴在 平分 ， ， ， ， ， ， 与 中， ， ∴ ∴ ≌ ， ． 【知识点】角分线有关的辅助线 3. 如图，在四边形中，平分，于，且 ．请你猜想 和有什么数量关系？并证明你的猜想． ；证明见解析． 过 ∵ ∴ 猜想： 点作 ， ， ， 延长线于点 ， 平分 ， 在 ∵ 和 ， ， 中， ∴ ∴ ∵ ≌ ． ， ， ， ∴ 在 ． 和 中， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ≌ ， ， ， ． 【知识点】角分线有关的辅助线 4. 已知四边形是正方形，、分别在、的延长线上，为的角平分线．求证：． 证明见解析． 作 ， ∵四边形 是正方形， ∴ ， ， ∴ ， ∵ 平分 ， ∴ ， 在 和 中 ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， 在 和 中， ， ∴ ≌ （ ）， ∴ ． ∵ ， ∴ ． 【知识点】角分线有关的辅助线 5. 如图，在直角坐标系中，点的坐标为 且、满足． （ 1 ）求点的坐标． （ 2 ）点为轴上一动点，过点作交轴正半轴于点，求证：． （ 1 ） ． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）∵ ∴ ． ． ∴ ∴ ∴点 （ 2 ）过点 ∵ ∴在 ， ， 坐标为 作 ， ． 轴于点 ， ， 轴于点 ， ， 和 ， 中， ， ∴ ∴ ≌ ( )， ． 【知识点】ASA 6. 在四边形中，对角线平分． （ 1 ）如图，当， 时，发现：（填写“ ”，“” ，“ ”）． 图 （ 2 ）如图，当，和互补时，线段、、在（ ）式中的数量关系是否还成立，写出你的猜想，并给予证明． 图 （ 3 ）如图，当，和互补，，时， ． 图 （ 1 ） （ 2 ）成立，证明见解析． （ 3 ） （ 1 ）∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ （ 2 ）成立， 过点 作 平分 ， ， ， ， ， ， ． ， ，证明： 于点 、 ． 图 ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ， ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ． ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． （ 3 ）过点 作 ， 于点 、 ． 图 ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ 延长 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ， ， ≌ ， 至 ． ，使 ，连接 ， ． ≌ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】对角互补模型 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点和点在轴上，且轴平分，点为射线 上一动点，且，过作于点 ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求证：平分． （ 3 ）当点运动时， 的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，说明理由． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 3 ） 的值是不发生变化，其值为 ． （ 1 ）∵ ， 关于 轴对称， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， （ 2 ）过点 作 垂直 于点 ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ≌ ， ∴ ， ∴ 平分 ， （ 3 ）由（ ）可知： ≌ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ． ， 【知识点】ASA 1. 如图，已知在中，，，．求证：． 证明见解析． ∵ ∴在 延长 ， 交 于 ． ． 和 中， ， ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ≌ ， ， ， ， ， ． ， ， ， ， ， ． 【知识点】角分线有关的辅助线 2. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为．求证： ． 证明见解析． 如图，延长 交 于 ． 因为 ， ， ， 所以 于是因为所以 ≌ ． ． ， ． 【知识点】延长构对称 3. 如图，在中，为的平分线，于，且，请判断和 的位置关系，并证明． ；证明见解析． ．理由如下： 延长 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 、 为 交于点 ， 的平分线， ， ， ， ， ≌ ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】延长构对称 $ 1. 如图，，是的中点，平分线，则下列结论不正确是（ ）． A. 平分 B. C. ≌ D. C ∵ ， ∴ ∴ 如图，作 ∴ ∴ ∵ ∴在 平分 ， ，故 正确； 垂足为点 ， ， ， ， ， 和 中； , ∴ ∴ ≌ （ ， ）； ， ， ∵ 是 的中点， ∴ ， ∴ ， 10 学科网（北京）股份有限公司 在 和 中， , ∴ ≌ （ ）； ∴ ， ， ， ∴ 平分 ，故 正确； ，故 正确； ， 即 ． ∵ ， ， ∴ ≌ 不可能成立．即 不正确； 故选： ． 【知识点】直角梯形 2. 如图，， 是的中点，平分，且，则（ ）． A. B. C. D. B 作 于 ， ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ， ， ， 平分 ， ， ， 是 ， 的中点， ， ，又 ， ， ， 故选： ． 【知识点】垂直构对称 3. 已知：如图，四边形中，，是的中点，平分， ，求的度数． ． 如图过点 作 ∵ ， 平分 于 ， ， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ， 中点， ， ≌ ， 为 ， ， ， ， ， ， ， ． 【知识点】角分线有关的辅助线 4. 如图，在四边形中，，，．求证：平分 ． 证明见解析． 如图，过 作 延长线于 ，作 于 ． 可证 ≌ ， ， 平分 ． 【知识点】截长补短 5. 如图，，，点，分别在，上，若平分． （ 1 ）求证：平分． （ 2 ）求证：．（ 1 ）证明见解析． （ 2 ）证明见解析． （ 1 ）过 作 ， ∵ ∴ 平分 ， ， ∵ 平分 ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ （ 2 ） 平分 ． 在 和 中 ， ∴ ∴ 同理 ∴ ≌ ， ， ， ． 【知识点】角分线有关的辅助线 6. 已知：如图，在四边形中，，，平分，求证： ．证明见解析． 方法一：作 交 延长线于点 ， ， ， ∵ ∴在 平分 ， ， 和 ， 中， ∴ ∴ ∵ ∴ 方法二：在 ≌ ， ， ， ． 上截取 ， ， 中， ，连接 ，如图， ∵ ∴在 平分 和 ， ∴ ∴ 又∵ ≌ ， （ ）， ， ， ∴ ∴ ∵ ∴ ， ， ， ． 【知识点】角分线有关的辅助线 7. 已知：四边形中，，对角线平分． （ 1 ）当时．求证：． （ 2 ）当时，线段，，有怎样的数量关系？并证明． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） ． （ 1 ）在四边形 中， ∵ ∴ 平分 ， ， ． 又∵ ， ∴ ． ∴ ， 即 ． （ 2 ）如图，过 点分别作 和 延长线的垂线段， 垂足分别为 、 ． ∵ 平分 ， ∴ ． ∵ ， ， ∴ ． 在 与 中， ∴ ≌ （ ）． ∴ ． ∴ ． ∵ 为角平分线， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 【能力】推理论证能力 【知识点】角分线性质定理 【知识点】AAS 【知识点】30°特殊角的性质应用 8. 已知点为平分线上一点，于，于，点 在线段的延长线上，点在线段上，且． （ 1 ）求证： ． （ 2 ）写出线段 ， 与 之间的数量关系 ． （ 3 ）并说明（）的理由． （ 1 ）证明见解析． （ 2 ） （ 3 ）证明见解析． （ 1 ）如图，∵点 为 和 ， 平分线上一点， ， 中， ， ， ∴ ∵在 ， ∴ ∴ ≌ ． （ ）， （ 2 ） （ 3 ）∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ． ， 平分 ，点 为 平分线上一点， ，即 ， ， ， ， ， ， 故答案为： ． 【知识点】角分线有关的辅助线 9. 如图，是平分线，点为上一点，若，试判断和大小关系，并说明理由． ． 如图，过点 作 ， ， ∵ ∴ ∵ ∴在 平分 ， ． ， ， 与 ， 中， ， ∴ ∴ ≌ ． （ ）， 【知识点】角分线有关的辅助线 10. 如图，在中，平分交于，的两边分别与，相交于 ，两点，，过作于，证明: ． 证明见解析． 如图，过点 作 ， ∵ ∴在 平分 ， ， ， 和 中， ∴ ∴在 ≌ ，与 （ ）， 中， ∴ ∴ ∴ ≌ ， （ ）， ． 【知识点】角分线有关的辅助线 1. 如图，已知的面积为，平分，且于点，则的面积是（ ）． A. B. C. D. ∴ ≌ ， ∴ ∴ ， ，∴ ， ， ∴ ． 2. 如图，在中，平分，于点，，若，C 延长 交 于点 ． ∵ ∵ 平分 ，∴ ，∴ ， ， 在 和 中， ， 【知识点】ASA 【知识点】角分线性质定理 【能力】推理论证能力 ，则的长为 ． 延长 交 于 ． ∴ ∵ ∴即 ∴ ． ． ． ． ． 【知识点】三角形-内角角分线 $ 1. 如图，已知，为上的一点，于，．求证： ． 2. 已知：如图，在中，是的角平分线，、分别是、上一点，并且有 ．试判断和的大小关系并说明理由． 3. 如图，在四边形中，平分，于，且 ．请你猜想 和有什么数量关系？并证明你的猜想． 4. 已知四边形是正方形，、分别在、的延长线上，为的角平分线．求证：． 5. 如图，在直角坐标系中，点的坐标为 且、满足． 1 学科网（北京）股份有限公司 （ 1 ）求 点的坐标． （ 2 ）点 为轴上一动点，过 点作 交轴正半轴于点，求证： ． 6. 在四边形中，对角线平分． （ 1 ）如图，当， 时，发现：（填写“ ”，“” ，“ ”）． 图 （ 2 ）如图，当，和互补时，线段、、在（ ）式中的数量关系是否还成立，写出你的猜想，并给予证明． 图 （ 3 ）如图，当，和互补，，时， ． 图 7. 如图，在平面直角坐标系中，点在轴上，点和点在轴上，且轴平分，点为射线 上一动点，且，过作于点 ． （ 1 ）求证：． （ 2 ）求证：平分． （ 3 ）当点运动时， 的值是否发生变化？若不变化，请求出其值；若变化，说明理由． 1. 如图，已知在中，，，．求证：． 2. 如图，在中，是的角平分线，，垂足为．求证： ． 3. 如图，在中，为的平分线，于，且，请判断和 的位置关系，并证明． $