专题13.3 三角形的外角（专题训练）-2026-2027学年八年级数学上册《知识解读·题型专练》（人教版）

**基本信息** 聚焦三角形外角性质的系统性应用，通过6类递进题型构建从基础计算到综合探究的训练体系，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |求角度|4题|直接应用外角性质计算|外角与内角关系的基础应用| |平行线综合|5题|结合平行线性质转化角|外角性质与平行公理的融合| |翻折问题|4题|利用翻折不变性分析角|图形变换中角关系的推理| |三角板摆放|5题|特定角度组合的动态计算|工具操作中的空间观念培养| |角平分线综合|5题|角平分线与外角的数量关系|多知识点交叉的逻辑推导| |探究问题|5题|规律探究与动态几何分析|从具体到抽象的数学思维发展|

专题13.3 三角形的外角（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型·1…由三角形的外角性质求角的度数 1 题型·2·由三角形的外角性质解决平行线中的问题 3 题型 3·由三角形的外角性质解决翻折中的问题 6 题型·4·由三角形的外角性质求三角板中角的度数 9 题型 5·三角形的外角性质与角平分线的综合 12 题型·6·与三角形的外角性质有关的探究问题 17 题型·1…由三角形的外角性质求角的度数 1．如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知，，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的性质以及三角形外角定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由图可知，是的一个外角， ∴ ∵， ∴. 3．一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形外角的性质可得，根据邻补角的定义可得，进而即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴ 4．如图，点A和点E是边，延长线上的两点，F是上一点，连接，，，，（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形外角的性质进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型·2·由三角形的外角性质解决平行线中的问题 5．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点，在直线上，，，，点，，，在同一条直线上，当时，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形内角和定理求出和的度数，利用平行线的性质求出的度数，最后根据三角形外角的性质求出的度数． 【详解】解：，， ， ， ， ，， ， 是的外角， ． 故选：C． 6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平行线的性质可得，由对顶角相等可得，最后再由三角形外角的定义及性质计算即可得出结果． 【详解】解：如图： 由题意得， ∴， ∵， ∴． 7．如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行线的性质和三角形的外角的性质，进行求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴. 8．一副三角板按图所示方式叠放，且，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设与交于点，利用平行线的性质可得，再根据三角形内角和求得，利用三角形外角的性质求得的度数． 【详解】解：如图，设与交于点， ， ， ，， ， ． 9．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A、E、C、F在同一条直线上，，，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质得到，进而根据三角形外角的性质作答即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ． 题型 3·由三角形的外角性质解决翻折中的问题 10．如图，在中，，将沿着直线翻折，使点与点重合，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据翻折得到垂直平分，，由直角三角形两锐角互余得到，再根据三角形外角的性质即可求解． 【详解】解：∵将沿着直线翻折，使点与点重合， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ． 11．如图，在中，是边上的一点，将沿翻折，使点B恰好落在边上的点E处，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据翻折的性质得到、，再结合平角定义求出，最后利用三角形外角定理求出，进而得到的度数． 【详解】解：由翻折可得，，， ， ， ． 12．如图，在中，D是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据翻折的性质求出，然后利用三角形的外角定理求解． 【详解】解：根据翻折的性质可得， ∴， ∴． 13．如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了折叠的性质、三角形的外角性质以及三角形内角和定理，关键是通过折叠的性质得到相等的线段和角，利用三角形外角性质将、转化为与、相关的角，再结合折叠推出的，求出与的和，进而根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：连接、，由折叠的性质得， ，， ， ， ，即， 根据三角形内角和定理，得； 又由折叠的性质得，， ，， ，同理， ， ， ， ， ； 故选：B． 题型·4·由三角形的外角性质求三角板中角的度数 14．在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要作图工具之一．每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有的直角三角板．现有一副三角板如图（一）所示摆放，其中A，D，B三点共线，此时的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有关三角板的角度计算，三角形外角的性质，根据三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求解． 【详解】解：由题意可得，，， ∴． 故选：D． 15．如图，直线，一副三角板放置在之间，一个三角板的斜边在上，较长的直角边与另一个三角板的斜边在同一直线上．则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由平行线的性质得到的度数，再由三角形外角的性质可得答案． 【详解】解：如图所示，延长交直线于点F， ∵，， ∴， ∵，， ∴． 16．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角板中的角度计算，三角形外角的性质，先根据三角板的知识得出，再根据三角形外角的性质求解． 【详解】解：如图， ， ， 故选：C． 17．将一副直角三角板如图放置，使含的三角板的较短直角边和含的三角板的一条直角边在同一直线上，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的外角性质等知识，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．如图（见解析），先证出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的外角性质求解即可得． 【详解】解：如图，由题意得：，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 18．一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查三角形的外角性质，解答的关键是明确三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．利用三角形的外角性质进行求解即可． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ， ， ． 故选：C 题型 5·三角形的外角性质与角平分线的综合 19．如图，已知在中，，，是的角平分线，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的定义求得，进而根据三角形的外角性质即可求得的度数． 【详解】解：，是的角平分线， ， 又， ． 20．如图，是的角平分线，于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】如图，延长交于点，先利用三角形外角性质得到，再利用垂直的定义和角平分线的性质得到，，然后根据直角三角形两锐角互余得到． 【详解】解：如图，延长交于点， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， 即的度数为． 故选：D． 【点睛】本题考查三角形外角的定义和性质，垂直的定义，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，推出是解题的关键． 21．如图，是的角平分线，B，C，E三点共线，则α，β，γ之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是三角形的角平分线的定义、三角形的外角的性质等知识点，弄清角之间的关系是解题的关键． 设，则，利用外角可得，，再进一步即可解答． 【详解】解：设，则， ∴，， ∴， ∴，即． 故选：C． 22．如图，，的角平分线交于点P，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】延长，交于点．先利用三角形的外角性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后根据三角形的内角和定理可得，据此即可得． 【详解】解：如图，延长，交于点．    ∵是的外角，， ∴． ∵是的外角，， ∴， ∴， ． ∵，的角平分线交于点， ，， 设与相交于，则， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了角平分线的定义、三角形的外角性质、三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键． 23．如图，已知，且，和的角平分线相交于点D．以下结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有________个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了三角形外角性质，角平分线定义，平行线的判定，主要考查学生的推理能力，有一定的难度．根据角平分线定义得出∠，，，根据平角得出，根据三角形外角性质得出，，根据已知结论逐步推理，即可判断各项． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∵平分，， ∴，故②正确； ∵平分的外角， ∴， ∵， ∴， 由得：，即， ∴， ∴，故③正确； 由得： ， ∴，故④错误； ∵，， ∴， 又∵是的外角， ∴，故⑤错误； 综上分析可知，正确的答案有3个， 故选：C． 题型·6·与三角形的外角性质有关的探究问题 24．在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 【答案】(1) (2)①；② (3)或 【分析】（1）根据角平分线的定义可得，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据三角形内角和定理可得，进而得到；①②利用角平分线的定义以及三角形内角和定理求解即可； （3）如图：延长至D，利用角平分线的定义、三角形外角的性质可得，再结合，然后分和两种情况求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点P是和的平分线的交点， ∴，， ∵， ∴． （2）解：∵， ∴，， ①∵与的角平分线与相交于点P， ∴，， ∴， ∵， ∴． ②∵与的角平分线相交于点Q， ∴，， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：延长至D， ∵为的外角的角平分线， ∴, ∵，, ∴, ∴是的外角的平分线， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，即； 由（2）可知 ∵在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍， ∴①当时，即，解得：； ②当时，即，解得：； 综上所述，的度数是或． 25．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 【答案】(1)， (2)证明：在与中，， ∵， ∴， ， ， ，， ， ； (3) 【分析】（1）根据三角形内角和及对顶角可进行求解； （2）根据三角形内角和及对顶角相等可得，则有，然后根据三角形外角的性质可进行求证； （3）由（1）得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：在中，，且， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）略 （3）解：如下图， ，， ，， 由（1）得，， 两式相加，得， 即， ． 26．在中，，点在直线上（点不与端点，重合）． (1)如图①，当点在线段上时，连接，作，交线段于点． ①若，则 °， °； ②当点在线段上运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当点在的延长线上时，连接，作，交直线于点，若，请直接写出的度数． 【答案】(1)①；② 理由：在中 ∵， ∴， ， ， ∵， ∴， ， ， ∴． (2)或 【分析】（1）根据三角形内角和为和平角为证得，再利用三角形内角和为求解即可； （2）利用三角形的外角等于不相邻的两内角和与三角形内角和为求解即可． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∴， 又∵， ∴； ②见答案． （2）解：当点在线段的延长线上，如图1所示， , ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴； 当点在线段的延长线上，如图2所示， ， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴． 27．【感知】如图①，在中，，点B、C分别在的边、上，以为边作，使点P在内，则_________． 【特例探究】在【感知】的条件下，若，则_________ 【类比探究】在【感知】的条件下，之间的数量关系是_________． 请给予证明． 【变式探究】如图②，在中，，点B、C分别在的边、上，以为边作，使点P在外，且点P与点C位于异侧，则之间的数量关系是_________． 【答案】；；，证明见解析； 【分析】本题主要考查三角形内角和定理，直角三角形两锐角互余以及角的和差，熟练掌握角的和差是解题的关键． （感知）根据直角三角形两锐角互余即可得到答案； （特例探究）由三角形内角和定理得到，将进行拆分，得到，即可得到答案； （类比探究）根据题意得到，证明，即可得到答案； （变式探究）根据题意得到，，即可得到结论． 【详解】解：（感知）在中，， ， 故答案为：； （特例探究）在中，， ， ， ， ， 故答案为：40； （类比探究）， 证明：， ， ， ， ， 故答案为：； （变式探究）， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 28．如图，在中，满足，平分，P为线段上的一个动点，过点P作交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，试探究与，之间的等量关系，并证明． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的性质以及直角三角形的性质，解题的关键是利用角平分线定义和三角形内角与外角的关系，建立与、的联系． （1）先根据三角形内角和求出，再由角平分线得到，结合，利用直角三角形两锐角互余及三角形外角性质求出； （2）设，用表示，结合三角形内角和表示出，再通过直角三角形性质和外角关系推导出与、的等量关系． 【详解】（1）解： ∵平分 答：的度数为． （2）证明：设，则． 即． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.3 三角形的外角（专题训练） 【新教材人教版】 题型归纳 题型·1…由三角形的外角性质求角的度数 1 题型·2·由三角形的外角性质解决平行线中的问题 2 题型 3·由三角形的外角性质解决翻折中的问题 3 题型·4·由三角形的外角性质求三角板中角的度数 4 题型 5·三角形的外角性质与角平分线的综合 6 题型·6·与三角形的外角性质有关的探究问题 7 题型·1…由三角形的外角性质求角的度数 1．如图，小江同学作了一个帆船形状的几何图形，已知，，．则的度数为（     ） A． B． C． D． 2．如图所示，已知，则的度数为（     ） A． B． C． D． 3．一天，妈妈带着淇淇去超市，在停车场时看到如图1所示的地锁，图2为其示意图．若，则的值为（     ） A． B． C． D． 4．如图，点A和点E是边，延长线上的两点，F是上一点，连接，，，，（     ） A． B． C． D． 题型·2·由三角形的外角性质解决平行线中的问题 5．用一副三角板按如图所示的方式摆放，其中点，在直线上，，，，点，，，在同一条直线上，当时，则的度数为（     ） A． B． C． D． 6．如图，一束平行于主光轴的光线经凸透镜折射后，其折射光线与一束经过光心的光线相交于点，点为焦点．若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．如图，若，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 8．一副三角板按图所示方式叠放，且，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 9．某数学兴趣小组为探究平行线的有关性质，用一副三角尺按如图所示的方式摆放，其中点A、E、C、F在同一条直线上，，，．当时，的大小为（    ） A． B． C． D． 题型 3·由三角形的外角性质解决翻折中的问题 10．如图，在中，，将沿着直线翻折，使点与点重合，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 11．如图，在中，是边上的一点，将沿翻折，使点B恰好落在边上的点E处，若，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在中，D是边上的一点，，，将沿折叠得到，与交于点F，则的度数为（     ） A． B． C． D． 13．如图，已知点，，分别在的三边上，将沿，翻折，顶点，均落在内的点处，且与重合于线段，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 题型·4·由三角形的外角性质求三角板中角的度数 14．在我们现代社会中，三角板是学数学、量角度的主要作图工具之一．每副三角板由两个特殊的直角三角形组成，一个是等腰直角三角板，另一个是含有的直角三角板．现有一副三角板如图（一）所示摆放，其中A，D，B三点共线，此时的度数为（　　） A． B． C． D． 15．如图，直线，一副三角板放置在之间，一个三角板的斜边在上，较长的直角边与另一个三角板的斜边在同一直线上．则的度数是（    ） A． B． C． D． 16．将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的一条直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（    ） A． B． C． D． 17．将一副直角三角板如图放置，使含的三角板的较短直角边和含的三角板的一条直角边在同一直线上，则（   ） A． B． C． D． 18．一副三角板如图所示摆放，其中含角的直角三角板的直角顶点在另一个三角板的上，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 题型 5·三角形的外角性质与角平分线的综合 19．如图，已知在中，，，是的角平分线，那么的度数是（     ） A． B． C． D． 20．如图，是的角平分线，于点，，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 21．如图，是的角平分线，B，C，E三点共线，则α，β，γ之间的数量关系是（    ） A． B． C． D． 22．如图，，的角平分线交于点P，若，，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 23．如图，已知，且，和的角平分线相交于点D．以下结论：①；②；③；④；⑤；其中正确的有________个． A．1 B．2 C．3 D．4 题型·6·与三角形的外角性质有关的探究问题 24．在中，与的角平分线与相交于点P． (1)如图1，若，，求的度数； (2)如图2，延长至M，延长至N，与的角平分线相交于点Q，若． ①用含的代数式表示的大小为__________°； ②用含的代数式表示的大小为__________°； (3)如图3，在（2）的条件下，延长、交于点R．在中，除外，若一个内角是另一个内角的3倍，直接写出的大小． 25．已知线段与相交于点，连接，． (1)如图1，若，则的度数为__________，的度数为__________； (2)如图2．若，，求证：； (3)如图3，若，，，求的度数． 26．在中，，点在直线上（点不与端点，重合）． (1)如图①，当点在线段上时，连接，作，交线段于点． ①若，则 °， °； ②当点在线段上运动时，试猜想与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，当点在的延长线上时，连接，作，交直线于点，若，请直接写出的度数． 27．【感知】如图①，在中，，点B、C分别在的边、上，以为边作，使点P在内，则_________． 【特例探究】在【感知】的条件下，若，则_________ 【类比探究】在【感知】的条件下，之间的数量关系是_________． 请给予证明． 【变式探究】如图②，在中，，点B、C分别在的边、上，以为边作，使点P在外，且点P与点C位于异侧，则之间的数量关系是_________． 28．如图，在中，满足，平分，P为线段上的一个动点，过点P作交的延长线于点E． (1)若，，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，试探究与，之间的等量关系，并证明． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $