28.2 中心对称 课前预习 2026-2027学年人教版九年级数学上册

**基本信息** 聚焦中心对称核心概念，通过基础认知、技能应用、综合拓展三层设计，实现从图形识别到实际问题解决的递进，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|中心对称图形识别、对称点坐标|以图形辨析题（如第1题）和简单坐标计算题（如第6题）夯实概念，培养抽象能力| |技能应用|坐标变换、概率结合、菱形性质|通过网格概率（第3题）、反比例函数与对称综合（第5题）提升运算能力与空间观念| |综合拓展|作图、证明、实际应用|以中心对称作图（第16题）、面积等分探究（第20题）发展创新意识与应用意识|

28.2 中心对称 课前预习2026-2027学年人教版 九年级数学上册 一、单选题 1．下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（     ） A． B． C． D． 2．如图，把 经过一定的变换得到 ，如果上的点P 的坐标为，那么它的对应点 的坐标为（　　） A． B． C． D． 3．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1，已有两个小正方形被涂黑，再将图中剩余的编号的小正方形中任意一个涂黑，则所得图案是中心对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，点关于点的对称点Q的坐标为（    ） A． B． C． D． 5．一个反比例函数的图象经过点和点．若A与B关于坐标原点对称，则这个反比例函数的表达式为（   ） A． B． C． D． 6．直角坐标系中，点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于 （　　） A．x轴轴对称 B．y轴轴对称 C．原点中心对称 D．以上都不对 7．如图，与关于点中心对称，则下列结论不一定成立的是（    ）    A． B． C． D． 8．已知函数和的图象关于点P对称，则P的坐标为（   ） A． B． C． D． 9．如图，菱形中，对角线、相交于点，与关于点成中心对称．若，则的长度为（   ） A．12 B．15 C．12.5 D．15.5 10．下列命题：①分式一定有意义；②的算术平方根是3；③平行四边形既是中心对称图形又是轴对称图形；④若，则．其中正确的命题个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 11．如图所示，直线，垂足为，曲线关于点成中心对称，点对称点是，于点，于点，若，，则阴影部分面积之和为______． 12．平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则________． 13．已知点与点关于原点对称，则______． 14．如图，平面直角坐标系中，是边长为2的等边三角形，作与关于点成中心对称，再作与关于点成中心对称，如此作下去，则（n是正整数）的顶点的坐标是（________，________） 15．有四张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有等边三角形、正方形、平行四边形、菱形，从这四张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是______． 三、解答题 16．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)以点为位似中心，在第四象限画出，使与的相似比为2，并直接写出的顶点坐标． 17．如图，与关于原点成中心对称，已知，，求的值． 18．如图，与关于点G中心对称，点E，F分别在上，且．求证：． 19．在平面直角坐标系中，已知点P（3，－1）关于原点对称的点Q的坐标是，求的值． 20．探究：用一条直线将一个中心对称图形分成面积相等的两部分： 我们知道圆和平行四边形都是中心对称图形，由图1可总结规律：一个中心对称图形，经过对称中心的直线将它分成面积相等的两部分： (1)应用1：如图2，若矩形是老林家的一块田地，P为水井，现要把这块田地平均分给两个儿子，为了用水方便，要求分给两个儿子的田地都与水井P相邻：请你帮老林家设计一下，画出图形 (2)应用2：图3是一个由正方形和圆构成的“组合图形”，用一条直线将图3的阴影部分分成面积相等的两部分：（不写作图过程，保留作图痕迹） 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C C D C A C B B C A 1．【答案】C 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别 【分析】中心对称图形是指把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；轴对称图形是指如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，但不是中心对称图形，不符合题意； B．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； C．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 2．【答案】C 【知识点】坐标与图形、判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题主要考查旋转中心坐标的计算，解题的关键是掌握中点坐标的计算方法；根据题意可知旋转中心坐标为，再根据中点坐标公式的计算方法求解即可． 【详解】解：由图可知，与关于成中心对称，设， ， 解得， ． 故选：C． 3．【答案】D 【知识点】在方格纸中补画图形使之成为中心对称图形、列举法求概率 【分析】根据中心对称图形的特点进行判断即可； 【详解】选择一个正方形涂黑，使得3个涂黑的正方形组成中心对称图形， 选择的位置只有在标号2的位置，所以选择的位置共有1处， 其概率=， 故选：D． 【点睛】考查了概率公式的知识，解题的关键是了解中心对称图形的定义及概率的求法，难度不大． 4．【答案】C 【知识点】求关于原点对称的点的坐标、中点坐标 【分析】考查知识点平面直角坐标系中的中点坐标公式、对称点的性质． 首先设出对称点Q的坐标；再代入中点坐标公式，得到关于 x、y的方程；最后解方程求出 x、y的值，即得 Q的坐标． 【详解】设对称点，因为是与的中点，根据中点坐标公式： 解得： 所以 Q的坐标为． 故选：C． 5．【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式、已知两点关于原点对称求参数 【分析】由点，关于原点对称，可求出的值，即可求出反比例函数的表达式． 【详解】解：A与B关于坐标原点对称， ， 解得， ， 设这个反比例函数的表达式为， 把代入可得， ， 解得， 所以这个反比例函数的表达式为． 6．【答案】C 【知识点】判断两个点是否关于原点对称 【分析】利用关于原点对称的点的坐标特点可得答案； 【详解】解：点A (﹣2，1)与点B (2，﹣1)关于原点中心对称， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标，关键是掌握两个点关于原点对称时，它们的横纵坐标符号都是互为相反数； 7．【答案】B 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了中心对称．根据中心对称的两个图形，对称点的连线经过对称中心且被对称中心平分，对应线段平行（或在同一条直线上）且相等，逐一判断． 【详解】解：∵与关于点O成中心对称， ∴，，，， 而不一定成立， 观察四个选项，B选项符合题意， 故选：B． 8．【答案】B 【知识点】y=a（x-h）²+k的图象和性质、y=ax²+bx+c的图象与性质、成中心对称 【分析】本题考查二次函数图象的变换，求出两个函数的顶点坐标，根据对称性，求出中点坐标即可． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为； ∵， ∴顶点坐标为， ∵函数和的图象关于点P对称， ∴和关于点对称， ∴，即； 故选B． 9．【答案】C 【知识点】用勾股定理解三角形、利用菱形的性质求线段长、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】根据菱形的性质，得到 对称性得到，，在中，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵菱形中，对角线、相交于点，， ∴， ∵与关于点成中心对称， ∴，，三点共线， ∴， 在中，． 10．【答案】A 【知识点】分式有意义的条件、利用平行四边形的性质求解、判断命题真假、中心对称图形的识别 【分析】本题主要考查了分式、算术平方根的定义、平行四边形的性质、绝对值，掌握相关知识是解题的关键．依次判断四个命题的真假：①分式分母可能为零；②的算术平方根不是3；③平行四边形不一定是轴对称图形；④在给定范围内化简表达式成立． 【详解】解：①当时，分母，分式无意义，故 ①错误； ②的算术平方根是，故②错误； ③平行四边形是中心对称图形，但一般不是轴对称图形，故③错误； ④当时，，，因此原式，故④正确. 正确的命题有1个， 故选：A． 11．【答案】 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】此题主要考查了长方形的面积及中心对称图形的概念：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．根据中心对称图形的概念，以及长方形的面积公式即可解答． 【详解】解：如图， ∵直线，垂足为，曲线关于点成中心对称，点对称点是，于点，于点，若，， ∴， ∴图形①与图形②面积相等， ∴阴影部分的面积之和长方形的面积． 故答案为：24． 12．【答案】 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、求关于原点对称的点的坐标 【分析】在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点的坐标为. 【详解】解：由题意知，，， . 13．【答案】 【知识点】已知两点关于原点对称求参数 【分析】根据关于原点对称的点的坐标特征，求出和的值，再代入计算即可． 【详解】解：点与点关于原点对称， 根据关于原点对称的点的横纵坐标互为相反数，可得 ，， 则． 14．【答案】 / 【知识点】点坐标规律探索、等边三角形的性质、用勾股定理解三角形、中心对称图形规律问题 【分析】作轴于点C，先根据1是边长为2的等边三角形，可得的坐标为，B1的坐标为；分别求出点、、的坐标各是多少，最后总结出An的坐标的规律，求出的坐标是多少即可． 【详解】解：如图，作轴于点C， ∵是边长为2的等边三角形， ∴，， ∴， ∴的坐标为，的坐标为， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， ∵与关于点成中心对称， ∴点与点关于点成中心对称， ∵，， ∴点的坐标是， …， ∵，，，，…， ∴的横坐标是，的横坐标是， ∵当n为奇数时，的纵坐标是，当n为偶数时，的纵坐标是， ∴顶点的纵坐标是， ∴顶点的坐标是． 故答案为：，． 【点睛】此题考查了坐标与图形变化-中心对称，等边三角形的性质，含30度角的等腰三角形的性质，以及勾股定理等知识，解答此题的关键是分别判断出的横坐标、纵坐标各是多少． 15．【答案】 【知识点】轴对称图形的识别、中心对称图形的识别、根据概率公式计算概率 【分析】找出这4个图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的图形个数，然后利用概率公式进行计算即可求得答案． 【详解】解：∵等边三角形、正方形、平行四边形、菱形中既是中心对称图形又是轴对称图形的图形是菱形和正方形， ∴既是中心对称图形又是轴对称图形的概率是：． 故答案为． 【点睛】本题考查了概率公式，轴对称图形指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形、中心对称图形在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 16．【答案】(1) 如图，即为所求. (2) 如图，即为所求. ，，. 【知识点】画已知图形关于某点对称的图形、画已知图形放大或缩小n倍后的位似图形 【分析】本题考查的是画中心对称图形，画位似图形. （1）分别确定点关于点成中心对称的对应点，再顺次连接即可. （2）分别确定点的位似对应点，再顺次连接，再根据其位置写出点的坐标即可. 【详解】（1）略 （2）略 17．【答案】2 【知识点】根据等角对等边求边长、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了等角对等边，中心对称图形的性质，根据等角对等边得到，再根据中心对称图形的性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵与关于原点成中心对称， ∴． 18．【答案】 证明：∵与关于点G中心对称， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴． 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、根据中心对称的性质求面积、长度、角度 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，中心对称图形的性质，先根据中心对称的性质得到，再证明即可利用证明，由此即可证明． 【详解】略 19．【答案】25 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、已知两点关于原点对称求参数 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， 解得：， ． 20．【答案】(1) 如图，连接矩形的对角线交于点，作直线，直线即为所求； (2) 如图，连接正方形对角线，取交点，作直线与正方形边长交点为，则直线即为所求． 【知识点】根据中心对称的性质求面积、长度、角度、判断中心对称图形的对称中心 【分析】本题考查中心对称性质的应用； （1）连接矩形的对角线交于点，则即为矩形的对称中心，连接直线，则直线平分矩形的面积，直线即为所求； （2）连接正方形对角线，取交点，则即为正方形的对称中心，由为的对称中心，则直线即平分正方形的面积也平分的面积，即平分阴影部分面积，直线与正方形边长交点组成的线段所在直线即为． 【详解】（1）略 （2）略 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $