第22章 直角三角形 单元测试 2026--2027学年沪教版（五四制）八年级数学上册

**基本信息** 沪教版五四学制八上直角三角形单元卷，以勾股定理及应用为核心，融合赵爽弦图、《算法统宗》等文化素材与蚂蚁爬行、秋千问题等实际情境，适配单元复习，提升几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|6/24|勾股数判断、角平分线性质、圆柱侧面最短路径|基础巩固，结合空间观念| |填空题|12/48|直角三角形角度计算、秋千问题建模、勾股数规律|文化情境与规律探究，培养模型意识| |解答题|7/78|折叠问题、网格作图、渭河观景台应用、《周髀算经》勾股数证明|分层设计，融合实际应用与推理能力，体现创新意识|

学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年八上单元测试—直角三角形 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版五四学制2024八年级上册第22章—直角三角形 一、单选题（共24分） 1．（本题4分）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的一组是（     ） A．1，2， B．5，12，13 C．3，4，5 D．6，8，12 【答案】D 【详解】解：A. ，能作为直角三角形三边长； B. ，能作为直角三角形三边长； C. ，能作为直角三角形三边长； D. ，不能作为直角三角形三边长． 2．（本题4分）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 【答案】B 【分析】作，根据角平分线的性质得到，即可求解． 【详解】解：作，如图所示： ∵，是的平分线， ∴ ∵， ∴ ∴点D到的距离是． 3．（本题4分）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理的应用，已知直角三角形的两条直角边长，直接利用勾股定理计算斜边长即可． 【详解】解：在中，，为斜边， 根据勾股定理得， ∵，， ∴， ∵边长为正数， ∴． 4．（本题4分）如图所示，圆柱的底面圆的半径是，高为2，若一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短路程是（结果保留根号）（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将侧面展开，再根据两点之间线段最短，由勾股定理可得出． 【详解】解：如图，将圆柱侧面展开， 根据题意得，，， ∴， ∴蚂蚁爬行的最短路程是． 5．（本题4分）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 【答案】D 【分析】首先利用大正方形的边长，结合勾股定理求出直角三角形的另一条直角边，从而确定小正方形的边长，最后运用勾股定理计算直角三角形中的长度． 【详解】解： 大正方形的边长为，， 直角三角形另一条直角边． ， ， ， ∴在正方形中，， 在直角三角形中，． 6．（本题4分）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接，根据旋转的性质得，，，则可判断为等边三角形，所以，，再利用勾股定理的逆定理证明为直角三角形，，从而得到． 【详解】解：∵为等边三角形， ∴，， 把绕点B顺时针旋转得到，如图，连接， ∴，，， ∴为等边三角形， ∴，， 在中，∵，，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴． 二、填空题（共48分） 7．（本题4分）如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 【答案】65 【分析】由等腰三角形的性质以及三角形内角和定理可得，再由，根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，即， ∴． 8．（本题4分）在中，，，，则较长的直角边长为______． 【答案】 【分析】先利用含角的直角三角形的性质求出短直角边，再用勾股定理计算较长直角边的长度． 【详解】解：∵ 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∵ 边长为正数， ∴， ∵ ， ∴较长的直角边长为． 9．（本题4分）如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 【答案】 【分析】如图，过作于点，首先根据角平分线的性质得到，再根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：如图，过作于点， ∵，平分， ∴， ∴的面积是． 10．（本题4分）明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为尺，则可列方程：________． 【答案】 【分析】根据已知先表示出的长度，然后在中，利用勾股定理建立方程． 【详解】由题意可知：尺，尺，尺，尺， （尺）， 尺， 在中，， ． 11．（本题4分）如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 【答案】 【分析】根据正方形面积公式可得边长的平方，再利用勾股定理，直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，求出的平方，进而求出． 【详解】解：由题意得： ， ， 在中，由勾股定理得： ， ． 12．（本题4分）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 【答案】6560 【分析】先观察表格中勾股数的规律，得到与的关系，再结合勾股定理求出和的值，进而计算的值． 【详解】解：观察表格中数据可得，表格中的勾股数均满足． 已知，由勾股定理，代入得： 展开得： 整理得： 解得，则． 因此． 13．（本题4分）如图，在中，，，，在上截取，在上截取，则________． 【答案】 8 【分析】勾股定理求出的长，线段的和差求出的长即可. 【详解】解：∵，，， ∴， ∵， ∴. 14．（本题4分）如图，已知是的中线，，垂足为点A，若，，则的长为_____． 【答案】 【分析】延长到E使，连结，先根据证明，则可得 ，在中根据勾股定理可得，进而可得，再在中根据勾股定理求得，进而可得． 【详解】解：延长到E使，连接， ∵是的中线， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ， ∴， ∴， ∴． 15．（本题4分）已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 【答案】或 【分析】根据作图步骤可得为的角平分线，作时分两种情况，分别计算的度数即可． 【详解】解：由作图步骤可知，是的角平分线， ∵， ∴， 如图，当在内部时， ， 如图，当在内部时， ， ∴的度数为或． 16．（本题4分）如图，在中，，，，平分，则_____． 【答案】 【分析】作于点，由角平分线的性质定理可得，由勾股定理可得，根据三角形的面积公式计算即可得出，即可得出结果． 【详解】解：如图：作于点， ∵平分，， ∴， ∵在中，，，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 17．（本题4分）如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为______． 【答案】2 【分析】本题考查折叠问题，含有角的直角三角形，等边三角形的判定和性质，熟知相关性质是解题的关键． 根据题意可得，再证明为等边三角形，即可得，则可得． 【详解】解：是长方形， ， 根据折叠可得， ， ，， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 故答案为：． 18．（本题4分）如图，点是等边内一点，，，，则的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质以及勾股定理，将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接，则，进而得到，然后求出四边形的面积解答即可． 【详解】解：将线段以点B为旋转中心逆时针旋转得到线段，连接,, ∵是等边三角形， ∴， ∴ ， 又∵，， ， ， 根据旋转的性质可知是等边三角形， ， 在中，，，， 是直角三角形，， 面积为， 过点B作于点D， 则， ∴ ∴等边面积为 ， ∴四边形的面积为， ， ∴四边形的面积的面积的面积， ， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】3 【分析】先由勾股定理求解，然后利用折叠的性质得到，再由面积法得到，据此求解即可． 【详解】解：∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， 解得． 【点睛】对于本题，重点把握折叠的不变性，勾股定理的应用，以及面积思想的应用，也可以通过设，再对运用勾股定理建立方程求解． 20．（本题10分）如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 【答案】(1)5 (2)角平分线即为所求： 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出线段的长度即可； （2）根据等腰三角形的三线合一，作出的角平分线即可． 【详解】（1）解：， 即线段的长度为5． （2）解：取的中点D，连接，则即为的角平分线． 根据图形可得：， ∴， ∵， ∴平分． 21．（本题10分）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 【答案】(1) 解：在中，，，， ，， ∴， 是直角三角形，即， 是从村庄到渭河边的最短路线； (2)原来的路线的长为 【分析】本题考查了勾股定理逆定理、勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由勾股定理逆定理得出是直角三角形，即，即可得出结果； （2）设，则在中，，，，最后结合勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）略 （2）解：设， 在中，，，， 由勾股定理，得，即， 解这个方程，得， ∴原来的路线的长为． 22．（本题10分）如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键；设，则有，，然后根据勾股定理可建立方程进行求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 设，则有，， ∵， ∴，即， 解得：； 即． 23．（本题12分）如图，在中，，D为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积 【答案】(1) 是直角三角形，理由如下： 在中，，， 则，即 因此是直角三角形； (2) 【分析】本题考查勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可； （2）由（1）可证得是直角三角形，根据勾股定理，求出的长度，再根据三角形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）可知 在中，， 根据勾股定理得， 即 解得 因此 答：的面积为． 24．（本题12分）材料：据我国古代《周髀算经》记载，早在西周初年，数学家商高就提出了“勾广三，股修四，径隅五”的理论，这是勾股定理的最早文字记录．这一发现比古希腊毕达哥拉斯定理的记载早了约年，是中国古代数学对世界文明的重要贡献．公元前年的古巴比伦泥板文书中，也记录了多组完整的勾股数．定义：满足的三个正整数、、称为勾股数，记作． (1)观察为奇数的勾股数：，根据规律，请写出第组勾股数：______． (2)若为奇数（），试用含的代数式表示和，并证明它们构成勾股数． (3)观察为偶数的勾股数：，发现与的奇偶性相同．猜想：当为偶数时，与的奇偶性相同．请判断该猜想是否正确，若正确，请证明；若不正确，请举例说明． 【答案】(1)； (2)，，证明如下： 证明：． ∴． (3) 正确，理由如下： 假设股与弦的奇偶性不同，不妨设为奇数，为偶数， 则与均为奇数，则为奇数； ∵， ∴为奇数； 这与为偶数矛盾，所以假设不成立； 所以与的奇偶性一致． 【分析】本题考查勾股数的问题、奇数与偶数的性质、平方差的计算等，掌握勾股数的定义、平方差公式是解题的关键． （1）根据前三组勾股数总结规律，根据规律解答； （2）根据规律含的代数式表示和，再根据勾股数的定义证明； （3）利用反证法、平方差公式证明． 【详解】（1）解：观察为奇数的勾股数：， ∵观察的数其规律为每次递增为， ∴第4组勾股数的为， ∵再观察、上的数，可发现，， 代入第组勾股数，可得：， ∴解得第组勾股数为，为， ∴第组勾股数为； （2）∵观察得出：，， ∴将代入，得，即， 将化简为，代入，则，即 （3）略 25．（本题14分）【特例感知】 (1)如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点A、C、D三点共线，延长交于点F，连接．求证：；            【类比迁移】 (2)如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为α，当时，延长与交于点F，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与、交于M、N两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明：根据旋转可知：，， ∴， ∴，， ∴平分， ∴； (2)解：；理由如下： 过点A作于点M，于点N，如图2所示： 根据旋转可知：， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； (3)的值为定值； 【分析】（1）根据角平分线的判定进行解答即可； （2）过点作于点，于点，先证明，根据角平分线的判定得出平分，即可证明结论； （3）过点作于点，求出，说明为等腰直角三角形，得出，设，则，根据勾股定理得出，求出，得出，即可求出结果． 【详解】（1）略 （2）略 （3）解：的值为定值；；理由如下： 过点A作于点G，如图3所示： 根据旋转可知：，， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据（2）可知，， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， 根据勾股定理得：，即， 解得：， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $学科网知识店铺：苍穹精品工作室 2026-2027学年八上单元测试—直角三角形 数 学 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2. 答选择题必须用2B铅笔将答题卡上对应的答题标号涂黑。如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答非选择题必须用0.5毫米黑色墨水笔将答案写在答题卡的指定位置，在其他位置答题一律无效。 3. 作图题必须用2B铅笔做答，并请加黑、加粗。 4.测试范围：沪教版五四学制2024八年级上册第22章—直角三角形 一、单选题（共24分） 1．（本题4分）下列各组数中，不能作为直角三角形的三边长的一组是（     ） A．1，2， B．5，12，13 C．3，4，5 D．6，8，12 2．（本题4分）如图，在中，是的平分线，若，则点到的距离是（     ） A．1 B．2 C．3 D．5 3．（本题4分）在中，，，，则的长为（     ） A． B． C．或 D． 4．（本题4分）如图所示，圆柱的底面圆的半径是，高为2，若一只蚂蚁从A点出发沿着圆柱的侧面爬行到C点，则蚂蚁爬行的最短路程是（结果保留根号）（     ） A． B． C． D． 5．（本题4分）如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形密铺构成的大正方形，其中大正方形的边长为，，连接，则的长度为（     ）． A． B．6 C．5 D． 6．（本题4分）如图，点D是正内的一点，，，，则的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题（共48分） 7．（本题4分）如图，在中，，，交于点，则的度数为_____°． 8．（本题4分）在中，，，，则较长的直角边长为______． 9．（本题4分）如图，在中，，平分，若，，则的面积是___________． 10．（本题4分）明代数学家程大位在他的著作《算法统宗》中写了一首计算秋千绳索长度的词《西江月》：“平地秋千未起，踏板一尺离地，送行二步与人齐，五尺人高曾记．”大意：如图，秋千静止的时候，踏板离地高一尺（尺），将它往前推进两步（尺），此时踏板升高离地五尺（尺）．需求秋千绳索（或）的长度．设秋千绳索的长为尺，则可列方程：________． 11．（本题4分）如图，在中，，分别以、为边向外作正方形，面积分别记为，若，，则________． 12．（本题4分）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，显然这个方程有无数组解，满足该方程的正整数解通常叫做勾股数组．若直角三角形的边长都是正整数，则这三个数便构成一组勾股数．在学习“勾股数”的知识时，爱思考的小琦发现了一组有规律的勾股数，并将它们记录在如下的表格中： 6 8 10 12 14 … 8 15 24 35 48 … c 10 17 26 37 50 … 则当时，的值为_____． 13．（本题4分）如图，在中，，，，在上截取，在上截取，则________． 14．（本题4分）如图，已知是的中线，，垂足为点A，若，，则的长为_____． 15．（本题4分）已知，以为圆心，以任意长为半径作弧，交，于点，，分别以，为圆心，以大于的长度为半径作弧，两弧在内交于点，以为边作，则的度数为______． 16．（本题4分）如图，在中，，，，平分，则_____． 17．（本题4分）如图，将长方形沿折叠，折叠后点落在点处，点恰好与点重合．已知，则的长为______． 18．（本题4分）如图，点是等边内一点，，，，则的值为________． 三、解答题（共78分） 19．（本题10分）有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 20．（本题10分）如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 21．（本题10分）渭河是黄河的最大支流，流经陕西省关中平原的宝鸡、咸阳、西安、渭南等地．如图，渭河一侧有一村庄，河边原有两个观景台A，B，其中，现建设美丽乡村，决定在渭河边新建一个观景台（点A，D，B在同一条直线上），并新修一条路，测得，，． (1)通过计算说明，是从村庄到渭河边最短的路线； (2)求原来的路线的长． 22．（本题10分）如图，线段表示一棵树，上的点处有两只猴子，它们都要到处的池塘去喝水，其中一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段爬到点处；另一只猴子先从点处沿线段爬到点处，再从点处沿线段跳跃至点处，已知米，，且两只猴子经过的路线长度相等，请你求出这棵树的高度． 23．（本题12分）如图，在中，，D为上一点，连接，若，，． (1)判断的形状，并说明理由； (2)求的面积 24．（本题12分）材料：据我国古代《周髀算经》记载，早在西周初年，数学家商高就提出了“勾广三，股修四，径隅五”的理论，这是勾股定理的最早文字记录．这一发现比古希腊毕达哥拉斯定理的记载早了约年，是中国古代数学对世界文明的重要贡献．公元前年的古巴比伦泥板文书中，也记录了多组完整的勾股数．定义：满足的三个正整数、、称为勾股数，记作． (1)观察为奇数的勾股数：，根据规律，请写出第组勾股数：______． (2)若为奇数（），试用含的代数式表示和，并证明它们构成勾股数． (3)观察为偶数的勾股数：，发现与的奇偶性相同．猜想：当为偶数时，与的奇偶性相同．请判断该猜想是否正确，若正确，请证明；若不正确，请举例说明． 25．（本题14分）【特例感知】 (1)如图1，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，且满足点A、C、D三点共线，延长交于点F，连接．求证：；            【类比迁移】 (2)如图2，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，旋转角为α，当时，延长与交于点F，连接．请猜想与具有怎样的数量关系？并说明理由； 【拓展提升】 (3)如图3，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，延长分别与、交于M、N两点，连接．请问的值是否为定值？若是，请求出的值；若不是，请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $