2026-2027学年沪教版(五四制)数学九年级上册 预习成果检测卷

**基本信息** 2026-2027学年沪教版九年级上数学预习检测卷，立足暑假预习需求，覆盖二次函数、三角函数、相似三角形等核心知识，通过基础题与综合题梯度设计，检测预习效果并培养几何直观与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|6/24|抛物线顶点坐标、锐角三角函数、相似图形判定|基础概念辨析，如第3题考查等边三角形相似的必然性| |填空题|11/44|黄金分割、坡度计算、网格三角函数|结合生活情境，如第15题古塔测量应用tan42°| |解答题|7/82|二次函数建模（投篮轨迹）、梯形相似证明、动态几何（正方形与三角形）|综合应用与推理，如21题构建抛物线模型解决投篮问题，24题动态探究线段关系，体现空间观念与创新意识|

2026-2027学年沪教版（五四制九年级上数学 预习成果检测卷答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 ▣ 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、 选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0,5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、 填涂样例正确[■]错误【-[][×) 准考证号 一.选择题（共6小题，满分24分，每小题4分)（请用2B铅笔填涂） 1.[A]B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A]B]IC][D] 4.[A]B][C]D] 6.[A][B][C][D] 二.填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题的答题区内作 答) 7 第11页共12页 10. 123456 2 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作答） 18.答： 第12页共12页 19.答： A B D c 20.答： D(-2,3) 2 A0,1) 210 123 -1 C(-3,-1 B(0,-2) 21.答： 第21页共12页 y y个 3.5米 4米 3.05米 3.05米 0←2.5米 4米 二4米 7米 图1 图2 第22页共12页 22.答： A D 0 C 第31页共12页 第32页共12页 23.答： D B ⊙ 图1 备用图 第41页共12页 第42页共12页 24.答： F D 图① 图② E 第51页共12页 第52页共12页 2026-2027学年 沪教版(五四制)九年级上数学 预习成果检测卷 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）抛物线y＝3（x﹣2）2+6的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，﹣6） B．（﹣2，6） C．（2，﹣6） D．（2，6） 2．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3AC，则tanA的值为（　　） A．3 B． C． D． 3．（4分）下列各组图形一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 4．（4分）如图，AB∥CD∥EF，BC＝5，CE＝8，则（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，在坡度i＝1：3的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为9m，则这两棵树之间的坡面距离为（　　） A． B．9m C． D．10m 6．（4分）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣5 D．m≥﹣5 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）如图，已知△ABC∽△ACD，∠A＝80°，∠ADC＝60°，则∠B＝ 　 　 ． 8．（4分）如图直线AB∥CD∥EF，若，BD＝6cm，则BF＝　 　 cm． 9．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），那么y1　 　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 10．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），AP＝2cm，则BP＝　 　 cm． 11．（4分）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段AB，腹部看作线段BC，且满足，若蜻蜓的全身长AB为8cm，则蜻蜓的腹部长BC为　 　 cm．（结果保留根号） 12．（4分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则tan∠AOC的值为 　 　 ． 13．（4分）如图，在△ABC中，延长BA至点D，使AD＝AB，E在BC上，连接DE交AC于点F，EG∥AC交AB于点G，已知BC＝8，DF＝5，EF＝2，则CE的长为　 　 ． 14．（4分）如图，小岛A在港口P的西南方向，一艘船从港口P沿正南方向航行12海里后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°方向，那么小岛A离港口P有 　 　 海里．（结果保留根号） 15．（4分）如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点41m的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为42°，则该古塔的高度AB约为　 　 m．（结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 16．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，sin∠CPN的值为　 　 ． 17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AC、BC上，连接AE、BD交于点F，且∠CBD＝2∠BAE，则下列结论：①AD＝DF；②；③CE＝BE；④若CD＝3，BE＝2，则线段AB的长为；其中正确结论的序号是：　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）计算：． 19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，点D在BC边上，∠CAD＝30°，且． （1）求线段BD的长； （2）求sin∠BAD的值． 20．（10分）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 21．（12分）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 22．（12分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，AC2＝AD•BC，点E在线段AC的延长线上，联结DE． （1）求证：∠BAD＝∠DCE； （2）若∠ADB＝∠CDE，求证：AB2＝AC•CE． 23．（13分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围； （3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 24．（15分）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示） 第1页 共2页 ◎ 第2页 共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年 沪教版(五四制)九年级上数学 预习成果检测卷 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）抛物线y＝3（x﹣2）2+6的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，﹣6） B．（﹣2，6） C．（2，﹣6） D．（2，6） 2．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3AC，则tanA的值为（　　） A．3 B． C． D． 3．（4分）下列各组图形一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 4．（4分）如图，AB∥CD∥EF，BC＝5，CE＝8，则（　　） A． B． C． D． 5．（4分）如图，在坡度i＝1：3的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为9m，则这两棵树之间的坡面距离为（　　） A． B．9m C． D．10m 6．（4分）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣5 D．m≥﹣5 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）如图，已知△ABC∽△ACD，∠A＝80°，∠ADC＝60°，则∠B＝ 　 　 ． 8．（4分）如图直线AB∥CD∥EF，若，BD＝6cm，则BF＝　 　 cm． 9．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），那么y1　 　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 10．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），AP＝2cm，则BP＝　 　 cm． 11．（4分）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段AB，腹部看作线段BC，且满足，若蜻蜓的全身长AB为8cm，则蜻蜓的腹部长BC为　 　 cm．（结果保留根号） 12．（4分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则tan∠AOC的值为 　 　 ． 13．（4分）如图，在△ABC中，延长BA至点D，使AD＝AB，E在BC上，连接DE交AC于点F，EG∥AC交AB于点G，已知BC＝8，DF＝5，EF＝2，则CE的长为　 　 ． 14．（4分）如图，小岛A在港口P的西南方向，一艘船从港口P沿正南方向航行12海里后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°方向，那么小岛A离港口P有 　 　 海里．（结果保留根号） 15．（4分）如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点41m的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为42°，则该古塔的高度AB约为　 　 m．（结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 16．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，sin∠CPN的值为　 　 ． 17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AC、BC上，连接AE、BD交于点F，且∠CBD＝2∠BAE，则下列结论：①AD＝DF；②；③CE＝BE；④若CD＝3，BE＝2，则线段AB的长为；其中正确结论的序号是：　 　 ． 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）计算：． 19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，点D在BC边上，∠CAD＝30°，且． （1）求线段BD的长； （2）求sin∠BAD的值． 20．（10分）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 21．（12分）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 22．（12分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，AC2＝AD•BC，点E在线段AC的延长线上，联结DE． （1）求证：∠BAD＝∠DCE； （2）若∠ADB＝∠CDE，求证：AB2＝AC•CE． 23．（13分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围； （3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 24．（15分）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示） 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年沪教版（五四制九年级上数学 预习成果检测卷答题卡 试卷类型：A 条码粘贴处 姓名： 班级： (正面朝上贴在此虚线框内) 缺考标记 注意事项 1、答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚 考生禁止填涂 2、请将准考证条码粘贴在右侧的[条码粘贴处]的方框内 缺考标记！只 3、选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5毫米黑色字迹的签字笔填写，字体工整 能由监考老师 4、请按题号顺序在各题的答题区内作答，超出范围的答案无效，在草纸、试卷上作答无效。 负责用黑色字 5、保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、刮纸刀。 迹的签字笔填 6、填涂样例正确■]错误【-][√][×] 准考证号 一. 选择题（共6小题，满分24分，每小题4分）（请用2B铅笔 填涂) 1.[A][B][C][D] 3.[A]B][C][D] 5.[A][B][C][D] 2.[A][B][C][D] 4.[A]B][C][D] 6.[A][B]IC][D] 二.填空题（共11小题，满分44分，每小题4分）（请在各试题 的答题区内作答) 第1页共8页 7. 8 9 10. 1 12 13. 14 1 1 三.解答题（共7小题，满分82分）（请在各试题的答题区内作 答) 第2页共8页 18.答： 19.答： A D ⊙ 第3页共8页 20.答： D23) YA(0,1) --2-10 123 -1 C(-3,-10 -2B(0,-2) 第4页共8页 21.答： y y 3.5米 3.05米 --------------- 4米 3.05米 :: 0←2.5米 4米 4米 7米 图1 图2 22.答： 第5页共8页 O 0 B 第6页共8页 23.答： D A B B 图1 备用图 第7页共8页 24.答： C B D D 图① 图② E 第8页共8页 2026-2027学年 沪教版(五四制)九年级上数学 预习成果检测卷 参考答案与试题解析 一．选择题（共6小题） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 D B D C C A 一．选择题（共6小题，满分24分，每小题4分） 1．（4分）抛物线y＝3（x﹣2）2+6的顶点坐标为（　　） A．（﹣2，﹣6） B．（﹣2，6） C．（2，﹣6） D．（2，6） 【答案】D 【分析】根据所给二次函数解析式，求出顶点坐标即可． 【解答】解：由题知， 因为抛物线的解析式为y＝3（x﹣2）2+6， 所以抛物线的顶点坐标为（2，6）． 故选：D． 【点评】本题主要考查了二次函数的性质，能根据所给解析式求出顶点坐标是解题的关键． 2．（4分）已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝3AC，则tanA的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】B 【分析】设AC＝x，利用勾股定理用x表示出BC，再根据正切的定义计算即可． 【解答】解：设AC＝x，则AB＝3x， 由勾股定理得：BC2x， 则tanA2， 故选：B． 【点评】本题考查的是锐角三角函数的定义、勾股定理，锐角A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA． 3．（4分）下列各组图形一定相似的是（　　） A．两个直角三角形 B．两个菱形 C．两个矩形 D．两个等边三角形 【答案】D 【分析】如果两个多边形的对应角相等，对应边的比相等，则这两个多边形是相似多边形． 【解答】解：∵等边三角形的对应角相等，对应边的比相等， ∴两个等边三角形一定是相似形， 又∵直角三角形，菱形的对应角不一定相等，矩形的边不一定对应成比例， ∴两个直角三角形、两个菱形、两个矩形都不一定是相似形， 故选：D． 【点评】本题主要考查了相似多边形的性质，相似多边形的性质为：①对应角相等；②对应边的比相等． 4．（4分）如图，AB∥CD∥EF，BC＝5，CE＝8，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线分线段成比例定理得到比例线段，即可解题． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF， ∴， 故选：C． 【点评】本题考查了平行线分线段成比例，掌握平行线分线段成比例是解题的关键． 5．（4分）如图，在坡度i＝1：3的斜坡上栽两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为9m，则这两棵树之间的坡面距离为（　　） A． B．9m C． D．10m 【答案】C 【分析】根据坡度的概念求出BC，再根据勾股定理求出AB． 【解答】解：∵斜坡的坡度i＝1：3， ∴BC：AC＝1：3， ∵AC＝9m， ∴BC＝3m， ∴AB3（m）， 故选：C． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 6．（4分）“数形结合”是研究函数的重要思想方法，如果抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，那么m的取值范围是（　　） A．m≥﹣4 B．m＜﹣4 C．m＜﹣5 D．m≥﹣5 【答案】A 【分析】根据抛物线抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限，且抛物线开口向上，得出最小值大于等于0，得出结论． 【解答】解：∵y＝x2+2x+m+5＝（x+1）2+m+4， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣1，顶点坐标为（﹣1，m+4）， ∵抛物线y＝x2+2x+m+5只经过两个象限， ∴m+4≥0， ∴m≥﹣4， 故选：A． 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是利用数形结合的思想解答． 二．填空题（共11小题，满分44分，每小题4分） 7．（4分）如图，已知△ABC∽△ACD，∠A＝80°，∠ADC＝60°，则∠B＝ 　40°　 ． 【答案】40°． 【分析】由三角形内角和定理求出ACD＝40°，由相似三角形的性质推出∠B＝∠ACD＝40°． 【解答】解：∵∠A＝80°，∠ADC＝60°， ∴∠ACD＝180°﹣∠A﹣∠ADC＝40°， ∵△ABC∽△ACD， ∴∠B＝∠ACD＝40°． 故答案为：40°． 【点评】本题考查相似三角形的性质，关键是掌握相似三角形的对应角相等． 8．（4分）如图直线AB∥CD∥EF，若，BD＝6cm，则BF＝　14　 cm． 【答案】14． 【分析】根据题意得到，求出DF的长，即可得到答案． 【解答】解：∵AB∥CD∥EF，，BD＝6cm， ∴， ∴， ∴DF＝8， ∴BF＝BD+DF＝6+8＝14（cm）， 故答案为：14． 【点评】本题主要考查平行线分线段成比例，熟练掌握平行线分线段成比例的性质是解题的关键． 9．（4分）二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），那么y1　＞　 y2（填“＞”“＝”或“＜”）． 【答案】＞． 【分析】求得二次函数的开口方向和对称轴，然后利用二次函数的性质判断即可． 【解答】解：二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的开口向下，对称轴为直线x＝1， ∴当x＞1时，y随x的增大而减小， ∵二次函数y＝﹣（x﹣1）2﹣1的图象上有两个点（2，y1）、（3，y2），且1＜2＜3， ∴y1＞y2． 故答案为：＞． 【点评】本题考查二次函数的图象上点的坐标特征；熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 10．（4分）已知点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），AP＝2cm，则BP＝　（1）　 cm． 【答案】（1）． 【分析】根据黄金分割的定义得，即可解决问题． 【解答】解：∵点P是线段AB的黄金分割点（AP＜BP），AP＝2cm， ∴， ∴BP（1）（cm）， 故答案为：（1）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟记黄金分割的定义是解题的关键． 11．（4分）如图，把蜻蜓的全身看作一条线段AB，腹部看作线段BC，且满足，若蜻蜓的全身长AB为8cm，则蜻蜓的腹部长BC为　（44）　 cm．（结果保留根号） 【答案】（44）． 【分析】根据黄金分割的定义列式计算即可． 【解答】解：∵AB＝8cm，蜻蜓的腹部长BC与全身长AB之比等于头部、胸腹总长AC与腹部长BC之比，即， ∴BC， 故答案为：（44）． 【点评】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割是解题的关键． 12．（4分）如图，以O为圆心，任意长为半径画弧，与射线OA交于点B，再以B为圆心，BO长为半径画弧，两弧交于点C，画射线OC，则tan∠AOC的值为 　　 ． 【答案】 【分析】连接BC，根据作图可知：OB＝OC＝BC，进而得△OBC为等边三角形，则∠AOC＝60°，据此可得出答案． 【解答】解：连接BC，如图所示： 根据作图可知：OB＝OC＝BC， ∴△OBC为等边三角形， ∴∠AOC＝60°， ∴tan∠AOC＝tan60°． 【点评】此题主要考查了尺规作图，特殊角的三角函数值，理解尺规作图，作线段等于已知线段，熟记特殊角的三角函数值是解决问题的关键． 13．（4分）如图，在△ABC中，延长BA至点D，使AD＝AB，E在BC上，连接DE交AC于点F，EG∥AC交AB于点G，已知BC＝8，DF＝5，EF＝2，则CE的长为　　 ． 【答案】． 【分析】根据平行线分线段成比例进行计算即可． 【解答】解：由题知， ∵EG∥AC， ∴． ∵DF＝5，EF＝2， ∴． ∵AD＝AB， ∴． ∵GE∥AC， ∴． 又∵BC＝8， ∴CE． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例，熟知平行线分线段成比例是解题的关键． 14．（4分）如图，小岛A在港口P的西南方向，一艘船从港口P沿正南方向航行12海里后到达B处，在B处测得小岛A在它的南偏西60°方向，那么小岛A离港口P有 　（186）　 海里．（结果保留根号） 【答案】（186）． 【分析】作AE⊥PB于E，设AP＝x海里，利用锐角三角函数的定义用x表示出PE、BE，根据题意列出方程，求出x的值，根据勾股定理计算即可． 【解答】解：作AE⊥PB于E， 由题意得，PB＝12海里， 设AE＝x海里， ∵∠APE＝45°， ∴PE＝AE＝x， ∵∠ABE＝60°， ∴BEx， 由题意得，xx＝12， 解得，x＝6（3） 则AP＝（186）海里， 答：小岛A离港口P有（186）海里， 故答案为：（186）． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣方向角问题，正确标注方向角、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 15．（4分）如图，课外兴趣小组测量公园内古塔的高度，在距离该古塔塔底B点41m的C处，用测角仪测得塔顶部A的仰角为42°，则该古塔的高度AB约为　37　 m．（结果保留整数，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 【答案】37． 【分析】根据题意可得：AB⊥BC，然后在Rt△ABC中，利用锐角三角函数的定义进行计算，即可解答． 【解答】解：由题意得：AB⊥BC， 在Rt△ABC中，∠ACB＝42°，BC＝41米， ∴AB＝BC•tan42°≈41×0.9≈37（米）， ∴青秀塔AB的高度约为37米， 故答案为：37． 【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，准确熟练地进行计算是解题的关键． 16．（4分）如图，在边长为1的正方形网格中，AN与CM相交于点P，sin∠CPN的值为　　 ． 【答案】． 【分析】利用网格作MC的平行线，将∠CPN进行转化，据此可解决问题． 【解答】解：过点A作AE∥MC，连接NE， ∵AE∥MC， ∴∠EAN＝∠CPN． 由网格可知，AE＝NE，AE⊥NE， ∴△EAN是等腰直角三角形， ∴∠EAN＝45°， ∴∠CPN＝45°， ∴sin∠CPN＝sin45°． 故答案为：． 【点评】本题主要考查了解直角三角形，能构造出合适的直角三角形是解题的关键． 17．（4分）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，点D、E分别在边AC、BC上，连接AE、BD交于点F，且∠CBD＝2∠BAE，则下列结论：①AD＝DF；②；③CE＝BE；④若CD＝3，BE＝2，则线段AB的长为；其中正确结论的序号是：　①④　 ． 【答案】①④． 【分析】设∠BAE＝α，则∠CBD＝2α，利用三角形外角的性质及等腰直角三角形的性质表示出∠AFD与∠DAF，即可判断①；对于④，设AC＝BC＝x，利用相似三角形的性质及三角函数的定义构建关于x的方程，求出x的值，进而求出AB的长；结合④的计算结果可知，仅当AC＝4时结论成立，故②③不一定正确． 【解答】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠CAB＝∠CBA＝45°， 设∠BAE＝α，则∠CBD＝2α， ∴∠CAE＝∠CAB﹣∠BAE＝45°﹣α，∠ABF＝∠CBA﹣∠CBD＝45°﹣2α， ∵∠AFD＝∠ABF+∠BAF＝45°﹣2α+α＝45°﹣α， ∴∠AFD＝∠DAF， ∴AD＝DF，故①正确； 设AC＝BC＝x， ∵CD＝3，BE＝2， ∴AD＝AC﹣CD＝x﹣3，CE＝BC﹣BE＝x﹣2， 由①知，DF＝AD＝x﹣3， 在Rt△BCD中，， 过点F作FG⊥AC于点G， ∵∠ACB＝90°， ∴FG∥BC， ∴△DFG∽△DBC， ∴， ∴， ∴，， ∴， 在Rt△AFG中，， 在Rt△ACE中，， ∴， ∴2x3﹣8x2＝0， 由题意知x＞3， 则﹣2x+8＝0， 解得x＝4， 经检验x＝4是原方程的解， ∴AC＝BC＝4， ∴，故④正确； 当AC＝4时，CD＝3，，CE＝4﹣2＝2＝BE，但题目未给定AC的长度，∠CBD的度数及CE与BE的关系随AC的变化而变化， ∴②③不一定正确． 综上所述，正确的为①④， 故答案为：①④． 【点评】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 三．解答题（共7小题，满分82分） 18．（10分）计算：． 【答案】． 【分析】原式利用特殊角的三角函数值计算即可求出值． 【解答】解：原式 （1） ． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握二次根式的运算是解决问题的关键． 19．（10分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°，点D在BC边上，∠CAD＝30°，且． （1）求线段BD的长； （2）求sin∠BAD的值． 【答案】（1）1； （2）． 【分析】（1）利用直角三角形的三角函数性质，分别求出BC和CD的长度，再作差得到BD的长度．第一步：在Rt△ACD中，已知∠CAD＝30°，直角边，利用正切函数的定义求出CD；第二步：结合∠B＝45°，可得Rt△ABC是等腰直角三角形，因此；第三步：根据线段和差关系BD＝BC﹣CD，代入计算得到最终结果； （2）通过作辅助线构造包含∠BAD的直角三角形，结合正弦函数的定义计算结果．第一步：先在Rt△ACD中，利用三角函数求出斜边AD的长度；第二步：过D作AB的垂线DE，在等腰直角△BDE中，利用BD的长度求出高DE；第三步：在Rt△ADE中，根据正弦定义：正弦值等于对边比斜边，代入DE和AD的长度计算得到结果；本题也可利用角度差得到∠BAD＝15°，用两角差的正弦公式计算得到相同结果． 【解答】解：（1）在Rt△ACD中，∠C＝90°， ， CD＝AC•tan30°1， 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝45°， 可得， ． （2）在Rt△ACD中， ， 过点D作 DE⊥AB于点E， 在Rt△BDE中，∠B＝45°， ， 在Rt△ADE中， ． 【点评】题目考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形，解题的关键在于相关知识的灵活运用． 20．（10分）如图，四边形ABCD各个顶点的坐标分别为A（0，1），B（0，﹣2），C（﹣3，﹣1），D（﹣2，3）． （1）求这个四边形的面积； （2）如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点，所得的四边形和原四边形ABCD的面积相比是否发生变化？面积是多少？ 【答案】（1）； （2）面积不发生变化，其面积是． 【分析】（1）作DM⊥y轴于点M，CN⊥y轴于点N，如图所示，数形结合得到S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM，代值求解即可得到答案； （2）由题意可知，所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，即可得到答案． 【解答】解：（1）CN⊥y轴于点N，作DM⊥y轴于点M，如图所示： ∴S四边形ABCD＝S△CBN+S四边形ADCN＝S△CBN+S梯形MNCD﹣S△ADM ； （2）由题意可知，如果把原来四边形ABCD各个顶点的横坐标都乘﹣1，纵坐标都乘﹣1，再顺次连接得到的各点， 所得的四边形和原四边形ABCD关于原点对称，图形形状不变，则面积不发生变化，其面积是． 【点评】本题考查图形与坐标，数形结合是解决问题的关键． 21．（12分）在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米． （1）如图1建立平面直角坐标系． ①求此抛物线的表达式； ②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？ （2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？ 【答案】（1）①y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5． ②球出手时，他跳离地面的高度为0.2m； （2）此球不能投中这个篮圈． 【分析】（1）①依据题意，设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5．依题意可知图象经过的坐标，由此可得a的值； ②设球出手时，他跳离地面的高度为hm，则可得h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5； （2）依据题意，利用待定系数法求此时球运行抛物线形，然后令x＝7，求出y与3.05米比较即可得解． 【解答】解：（1）①∵当球运行的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米， ∴抛物线的顶点坐标为（2.5，3.5）， ∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣2.5）2+3.5． 由图知图象过点：（4，3.05）． ∴2.25a+3.5＝3.05， ∴a＝﹣0.2， ∴抛物线的表达式为y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5． ②设球出手时，他跳离地面的高度为hm， ∵（1）中求得y＝﹣0.2（x﹣2.5）2+3.5， ∴球出手时，球的高度为h+1.8+0.25＝（h+2.05）m， ∴h+2.05＝﹣0.2×（0﹣2.5）2+3.5， ∴h＝0.2（m）． 答：球出手时，他跳离地面的高度为0.2m； （2）由题意得，此时顶点为（4，4）， ∴可设y＝m（x﹣4）2+4． 又∵图象过（0，）， ∴16m+4． ∴m． ∴y（x﹣4）2+4． ∴令x＝7，则y＝3＜3.05． ∴此球不能投中这个篮圈． 【点评】本题主要考查了二次函数的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 22．（12分）如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，对角线AC、BD交于点O，AC2＝AD•BC，点E在线段AC的延长线上，联结DE． （1）求证：∠BAD＝∠DCE； （2）若∠ADB＝∠CDE，求证：AB2＝AC•CE． 【答案】（1）∵AC2＝AD•BC， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴△DAC∽△ACB， ∴∠ACD＝∠CBA， ∵∠BAD+∠CBA＝180°，∠DCE+∠ACD＝180°， ∴∠BAD＝∠DCE． （2）∵△DAC∽△ACB， ∴， ∴， ∵∠BAD＝∠DCE，∠ADB＝∠CDE， ∴△ADB∽△CDE， ∴， ∴， ∴AB2＝AC•CE． 【分析】（1）由AC2＝AD•BC，得，由AD∥BC，得∠DAC＝∠ACB，所以△DAC∽△ACB，则∠ACD＝∠CBA，即可由∠BAD+∠CBA＝180°，∠DCE+∠ACD＝180°，证明∠BAD＝∠DCE． （2）由△DAC∽△ACB，得，变形为，由∠BAD＝∠DCE，∠ADB＝∠CDE，证明△ADB∽△CDE，得，则，所以AB2＝AC•CE． 【解答】证明：（1）∵AC2＝AD•BC， ∴， ∵AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∴△DAC∽△ACB， ∴∠ACD＝∠CBA， ∵∠BAD+∠CBA＝180°，∠DCE+∠ACD＝180°， ∴∠BAD＝∠DCE． （2）∵△DAC∽△ACB， ∴， ∴， ∵∠BAD＝∠DCE，∠ADB＝∠CDE， ∴△ADB∽△CDE， ∴， ∴， ∴AB2＝AC•CE． 【点评】此题重点考查平行线的性质、等角的补角相等、相似三角形的判定与性质等知识，证明△DAC∽△ACB是解题的关键． 23．（13分）如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣3，0）、B（1，0）两点，与y轴交于点C（0，3），点P是抛物线上的一个动点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）如图1，当点P在直线AC上方的抛物线上时，连接AP、BP，BP交AC于点D，若S△APD＝kS△ABD，求k的取值范围； （3）已知M是直线AC上一动点，将点M绕着点O旋转90°得到点Q，若点Q恰好落在二次函数的图象上，请直接写出点M的坐标． 【答案】（1）y＝﹣x2﹣2x+3； （2）0＜k； （3）M（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）或（0，3）或（﹣5，﹣2）． 【分析】（1）运用待定系数法即可求得答案； （2）过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F，利用待定系数法可得直线AC的解析式为y＝x+3，设P（t，﹣t2﹣2t+3），且﹣3＜t＜0，则F（t，t+3），由BE∥PF，得△BDE∽△PDF，可得（t）2，即取得最大值，结合S△APD＝kS△ABD，即可求得答案； （3）过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，可证得△OMK≌△OQT（AAS），得出OK＝OT，MK＝QT，设点M（x，x+3），则OK＝﹣x，MK＝﹣x﹣3，可得Q（x+3，﹣x），当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q（﹣x﹣3，x），代入抛物线解析式即可求得答案． 【解答】解：（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣x1）（x﹣x2）＝a（x+3）（x﹣1）， 将点C的坐标代入上式得：3＝a（0+3）（0﹣1），解得a＝﹣1， 故抛物线的函数表达式为y＝﹣（x+3）（x﹣1）＝﹣x2﹣2x+3； （2）如图，过点B作BE∥y轴交AC于E，过点P作PF∥y轴交AC于F， 设直线AC的解析式为y＝kx+n，把A（﹣3，0），C（0，3）代入， 得， 解得：， ∴直线AC的解析式为y＝x+3， 设P（t，﹣t2﹣2t+3），且﹣3＜t＜0，则F（t，t+3）， ∵B（1，0）， ∴E（1，4）， ∴BE＝4，PF＝﹣t2﹣2t+3﹣（t+3）＝﹣t2﹣3t， ∵BE∥y轴，PF∥y轴， ∴BE∥PF， ∴△BDE∽△PDF， ∴（t）2， ∵﹣3＜t＜0， ∴当t时，取得最大值， ∵S△APD＝kS△ABD， ∴k， ∴k的最大值为， ∴0＜k； （3）如图，过点Q作QT⊥y轴于点T，过点M作MK⊥x轴于点K，则∠MKO＝∠QTO＝90°， 当点M绕着点O顺时针旋转90°得到点Q时， ∴OM＝OQ，∠MOQ＝90°， ∴∠MOK+∠QOK＝90°， ∵∠QOT+∠QOK＝90°， ∴∠MOK＝∠QOT， ∴△OMK≌△OQT（AAS）， ∴OK＝OT，MK＝QT， 设点M（x，x+3），则OK＝﹣x，MK＝﹣x﹣3， ∴OT＝﹣x，QT＝﹣x﹣3， ∴Q（x+3，﹣x）， ∵点Q在抛物线上， ∴﹣x＝﹣（x+3）2﹣2（x+3）+3， 解得：x1＝﹣3，x2＝﹣4， ∴M（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）； 当点M绕着点O逆时针旋转90°得到点Q时，则Q（﹣x﹣3，x）， ∵点Q在抛物线上， ∴x＝﹣（﹣x﹣3）2﹣2（﹣x﹣3）+3， 解得：x1＝﹣5，x2＝0（舍去）， ∴M（﹣5，﹣2）； 当点M（0，3）绕O逆时针旋转90°时，对应点Q（﹣3，0）刚好落在抛物线上； 综上所述，点M的坐标为（﹣3，0）或（﹣4，﹣1）或（0，3）或（﹣5，﹣2）． 【点评】本题考查了二次函数的性质、相似三角形的判定和性质、待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的解析式、直角三角形的性质，解题的关键是分类作出对应的图形利用相似三角形的性质求出点M． 24．（15分）在△ABC中，∠ACB＝45°．点D（与点B、C不重合）为射线BC上一动点，连接AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF． （1）如果AB＝AC．如图①，且点D在线段BC上运动．试判断线段CF与BD之间的位置关系，并证明你的结论． （2）如果AB＞AC，如图②，且点D在线段BC上运动．（1）中结论是否成立，为什么？ （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．（用含x的式子表示） 【答案】见试题解答内容 【分析】（1）由∠ACB＝45°，AB＝AC，得∠ABD＝∠ACB＝45°；∠BAC＝90°，由正方形ADEF，可得∠DAF＝90°，AD＝AF，∠DAF＝∠DAC+∠CAF；∠BAC＝∠BAD+∠DAC；可得∠CAF＝∠BAD．可证△DAB≌△FAC（SAS），得∠ACF＝∠ABD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD． （2）过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得出AC＝AG，易证：△GAD≌△CAF，所以∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD． （3）若正方形ADEF的边DE所在直线与线段CF所在直线相交于点P，设AC，BC＝3，CD＝x，求线段CP的长．考虑点D的位置，分两种情况去解答．①点D在线段BC上运动，已知∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4．即DQ＝4﹣x，易证△AQD∽△DCP，可得，，问题可求．②点D在线段BC延长线上运动时，由∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4，DQ＝4+x．过A作AQ⊥BC交CB延长线于点Q，则△AGD∽△ACF，得CF⊥BD，由△AQD∽△DCP，得，，问题解决． 【解答】解：（1）CF与BD位置关系是垂直； 证明如下： ∵AB＝AC，∠ACB＝45°， ∴∠ABC＝45°． 由正方形ADEF得AD＝AF， ∵∠DAF＝∠BAC＝90°， ∴∠DAB＝∠FAC， ∴△DAB≌△FAC（SAS）， ∴∠ACF＝∠ABD． ∴∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°． ∴CF⊥BC． ∴CF⊥BD． （2）AB＞AC时，CF⊥BD的结论成立． 理由是： 过点A作GA⊥AC交BC于点G， ∵∠ACB＝45°， ∴∠AGD＝45°， ∴AC＝AG， 同理可证：△GAD≌△CAF ∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°， 即CF⊥BD． （3）如图①，当AB＜AC时， 过点A作AG⊥AC交BC于点G，可得AC＝AG， ∴△GAD≌△CAF， ∴∠ACF＝∠AGD＝45°，∠BCF＝∠ACB+∠ACF＝90°．即CF⊥BD． 过点A作AQ⊥BC交CB的延长线于点Q， 如图②，点D在线段BC上运动时， ∵∠BCA＝45°，可求出AQ＝CQ＝4． ∴DQ＝4﹣x，△AQD∽△DCP， ∴， ∴， ∴． 如图③，点D在线段BC延长线上运动时， ∵∠BCA＝45°， ∴AQ＝CQ＝4， ∴DQ＝4+x． 过A作AQ⊥BC， ∵CF⊥BD， ∴∠P+∠PDC＝90°， ∵∠PDC+∠ADQ＝90°， ∴∠ADQ＝∠P， ∵∠Q＝∠PCD＝90°， ∴△AQD∽△DCP， ∴， ∴， ∴． 【点评】此题综合性强，须运用所学全等、相似、正方形等知识点，属能力拔高性的类型． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $