江苏扬中市第二高级中学2026年高二暑假数学（立体几何）复习自测练习

**基本信息** 2026年暑假高中数学立体几何复习自测练习，通过多样题型覆盖线面关系、球、棱柱、翻折等核心知识，解答题含证明与探究，强化空间观念与推理能力，适配暑假复习巩固需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|线面关系判定（第1题）、球表面积计算（第4题）|基础概念辨析，强调空间位置关系逻辑推理| |多选题|3/18|勒洛四面体（第11题结合科技情境）、动态几何体（第10题容器倾斜问题）|跨情境应用，培养数学眼光与批判性思维| |填空题|3/15|正方体截面周长（第12题）、二面角距离计算（第13题）|空间想象与计算结合，注重几何直观| |解答题|5/77|四棱锥线面平行证明（第15题）、三棱柱存在性探究（第17题）|分层设问，强化推理表达与创新意识，贴合高考命题趋势|

2026年暑假高中数学（ 立体几何）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是两条直线，是平面，若，则“”是“” （ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 2．下列命题正确的是 （ ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线不平行于平面，且，则平面内不存在与平行的直线 C．已知直线，平面，且，则直线平行 D．已知两条相交直线，且，则相交 3．若平面，则直线不可能 （ ） A．相交 B．垂直 C．平行 D． 异面 4．已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为 （ ） A． B． C． D． 5．如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为 （ ） A． B． C． D． 6．直四棱柱的底面是菱形，，，点为的中点，则二面角的余弦值为 （ ） A． B． C． D． 7．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论中正确的个数为 （ ） ① ②平面 ③的最大值为 ④的最小值为 ⑤与平面所成角正弦值的取值范围是 A． B． C． D． 8．如图，在等边三角形中，，点分别在边上，且，将三角形折起，将点翻折至点处，使得平面，则直线所成角的正切值为（ ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．设表示两个不同的平面，表示两条不同的直线，下列结论正确的有 （ ） A．若 B．若 C．若 D．若 10．如下图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是 （ ） A．有水的部分始终呈棱柱状，没有水的部分也始终呈棱柱状 B．水面所在四边形的面积为定值 C．棱始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图（3）所示时， 是定值 11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是 （ ） A. 勒洛四面体被平面截得的截面面积是 B. 勒洛四面体内切球的半径是 C. 勒洛四面体的截面面积的最大值为 D. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．如图，在棱长为6的正方体中，分别为棱的中点，则过三点的平面截此正方体所得截面的周长是 . 13．已知二面角的大小为，二面角内一点到平面的距离分别为3和5，则的距离为 . 14．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形， ，直线，则 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为侧棱的中点，求证：平面； （3）设平面平面，求证：. 16． 如图，直三棱柱中，点是上一点. （1）若点是的中点，求证平面； （2）若平面平面，求证. 17．如图，在三棱柱中，侧棱的中点， （1）求证：； （2）求证：； （3）在棱上是否存在点，使得平面？ 如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 18．如图，在四棱台， ，的中点，为棱上的点， （1）证明：平面； （2）求； （3）求二面角的大小. ( A M B D C )19．三棱柱中，面面ABC，，D是BC的中点，M为上的动点. （1）求证：； （2）若，求证：AD∥平面； （3）若面，求证：； 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年暑假高中数学（ 立体几何）复习自测练习 一､单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.在每小题提供的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知是两条直线，是平面，若，则“”是“” （ B ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D． 既不充分也不必要条件 2．下列命题正确的是 （ B ） A．若直线上有无数个点不在平面内，则 B．若直线不平行于平面，且，则平面内不存在与平行的直线 C．已知直线，平面，且，则直线平行 D．已知两条相交直线，且，则相交 3．若平面，则直线不可能 （ D ） A．相交 B．垂直 C．平行 D． 异面 4．已知为球的球面上的三个点，为的外接圆，若的面积为，，则球的表面积为 （ A ） A． B． C． D． 5．如图，直三棱柱的体积为6，的面积为，则点到平面的距离为 （ B ） A． B． C． D． 6．直四棱柱的底面是菱形，，，点为的中点，则二面角的余弦值为 （ B ） A． B． C． D． 7．如图，棱长为1的正方体中，为线段上的动点，则下列结论中正确的个数为 （ D ） ① ②平面 ③的最大值为 ④的最小值为 ⑤与平面所成角正弦值的取值范围是 A． B． C． D． 8．如图，在等边三角形中，，点分别在边上，且，将三角形折起，将点翻折至点处，使得平面，则直线所成角的正切值为（ B ） A． B． C． D． 二､多选题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9．设表示两个不同的平面，表示两条不同的直线，下列结论正确的有 （ BC ） A．若 B．若 C．若 D．若 10．如下图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，下列说法中正确的是 （ ACD ） A．有水的部分始终呈棱柱状，没有水的部分也始终呈棱柱状 B．水面所在四边形的面积为定值 C．棱始终与水面所在平面平行 D．当容器倾斜如图（3）所示时， 是定值 11．勒洛四面体是一个非常神奇的“四面体”，它能在两个平行平面间自由转动，并且始终保持与两平面都接触，因此它能像球一样来回滚动（如图甲），利用这一原理，科技人员发明了转子发动机．勒洛四面体是以正四面体的四个顶点为球心，以正四面体的棱长为半径的四个球的相交部分围成的几何体如图乙所示，若正四面体的棱长为2，则下列说法正确的是 （ CD ） A. 勒洛四面体被平面截得的截面面积是 B. 勒洛四面体内切球的半径是 C. 勒洛四面体的截面面积的最大值为 D. 勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为 【详解】对于A， 故A错误，截面示意图如下：对于B，由对称性知,勒洛四面体内切球球心是正四面体的内切球、外接球球心,如图：正外接圆半径,正四面体的高,令正四面体的外接球半径为, 在中,，解得, 此时我们再次完整地抽取部分勒洛四面体如图所示： 图中取正四面体中心为,连接交平面于点，交曲面于点，其中即为正四面体外接球半径，因为点ACDF均在以点B为球心的球面上，所以， 设勒洛四面体内切球半径为，则由图得，故B错误； 对于C，显然勒洛四面体截面面积的最大值为经过正四面体某三个顶点的截面，由对A的分析知，故C正确； 对于D，勒洛四面体能够容纳的最大球与勒洛四面体的4个弧面都相切,即为勒洛四面体内切球,所以勒洛四面体能够容纳的最大球的半径为，故D正确.故选：CD． 【点睛】本题实际上是勒洛三角形在三维层面的推广，对计算能力，空间想象能力要求高，记住正四面体的高，内切球半径，外接球半径与棱长关系的二级结论将会加快对本题的求解. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上. 12．如图，在棱长为6的正方体中，分别为棱的中点，则过三点的平面截此正方体所得截面的周长是 . 13．已知二面角的大小为，二面角内一点到平面的距离分别为3和5，则的距离为 . 14．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形， ，直线，则 . 四､解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．如图，已知四棱锥中，底面是平行四边形，为侧棱的中点. （1）求证：平面； （2）若为侧棱的中点，求证：平面； （3）设平面平面，求证：. 15．解：（1）设，连接， 因为是平行四边形，故， 又为侧棱的中点，故. 又平面，平面，故平面. （2）若为侧棱的中点，，则， 又平面，平面，故平面. 又，平面，平面，故平面. 又，平面，故平面平面. 又平面，故平面. （3）因为，平面，平面， 故平面. 又平面平面，平面，故 16． 如图，直三棱柱中，点是上一点. （1）若点是的中点，求证平面； （2）若平面平面，求证. 16．证明：（1）连接,设,则为的中点, 连接,由是的中点,得， 又,且, 所以平面 （2）在平面中过作， ( )因平面平面， 又平面平面， 所以平面， 所以， 在直三棱柱中，平面， 所以， 又，所以平面，所以. 17．如图，在三棱柱中，侧棱的中点， （1）求证：； （2）求证：； （3）在棱上是否存在点，使得平面？ 如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由. 17．解：（1）连接，两线交于点，连接，如图所示， 在中，因为分别为的中点，所以， 又因为， 所以； （2）因为侧棱， 又因为为棱的中点，， 因为， 所以， 因为， 又因为，所以在， 所以， 因为； （3）当点的中点，即时，平面， 证明如下：设的中点为，连接，如图所示， 因为分别为的中点，所以， 又因为的中点，所以， 由（2）知：，所以， 又因为，所以平面 18．如图，在四棱台， ，的中点，为棱上的点， （1）证明：平面； （2）求； （3）求二面角的大小. 18．解：（1）在四棱柱中， 因为， 所以， 又因为的中点，所以， 四棱台中，， 所以四边形是平行四边形，所以， 又， 又因为， 所以面； （2）由（1）知面， 又因为面， 所以，又因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 由（1）知，所以； （3）在梯形中，过点作的垂线，垂足为，连接， 因为， 所以， 在梯形中，因为， 所以四边形是平行四边形，所以， 所以， 又因为， ， ， 所以，又因为， 所以二面角的平面角为， 因为， 因为， 所以， 因为， 在， 所以， 所以二面角的大小是 ( A M B D C )19．三棱柱中，面面ABC，，D是BC的中点，M为上的动点.（1）求证：；（2）若，求证：AD∥平面； （3）若面，求证：； 19．证明：（1）在三棱柱中， ，D是BC的中点，， 面面ABC， 面面ABC， ； （2）设， ( A M B D C )是平行四边形， , ∥平面； （3）面， 面， 过点作 ， ( A M B D C )，， 共面，， ， ， 是BC的中点，为的中点， ， . 3 学科网（北京）股份有限公司 $