专题 2.1 认识有理数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年北师大版七年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦有理数核心知识，从正负数定义及相反意义的量切入，梳理有理数分类标准，延伸至相反数、绝对值的性质，最终通过数轴实现数与形的结合，构建从具体到抽象的完整学习支架。 资料亮点在于分层题型设计与核心素养融合，如用收入支出实例理解正负数培养数学眼光，通过绝对值非负性综合题提升推理能力，同步检测覆盖选择填空解答题，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺。

专题 2.1 认识有理数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】正数与负数 1 【知识点二】有理数的概念与分类 2 【知识点三】相反数 2 【知识点四】绝对值 2 【知识点五】数轴 3 二.题型精析 3 【题型 1】正负数表示与相反意义的量（基础必会） 3 【题型 2】有理数的分类（基础常考） 5 【题型 3】求相反数与绝对值（中档核心） 6 【题型 4】有理数大小比较（中档易错） 8 【题型 5】数轴作图与数的表示（提升题型） 10 【题型 6】绝对值非负性综合应用（压轴题型） 12 三.同步检测 14 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 14 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 17 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 21 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】正数与负数 1. 基本定义 正数：大于0的数，正号“+”可省略不写； 负数：在正数前加负号“−”的数，负号不可省略； 0 既不是正数，也不是负数。 【要点提示】0是正负数的分界数，是唯一没有正负属性的中性数，不属于任何一方。 2. 相反意义的量 在生活中，成对出现、意义完全相反的同类量，可用正负数区分：规定其中一个为正，另一个即为负。 常见实例：零上/零下、收入/支出、上升/下降、盈利/亏损、海平面上/海平面下。 【要点提示】相反意义的量必须是同一类量，单位一致、属性一致，仅意义相反；单独一个量不能构成相反意义的量。 3. 误差范围表示 生活中常见形如 的标注，表示标准值为a，浮动范围在 至 之间。 【知识点二】有理数的概念与分类 1. 基本概念 整数和分数统称为有理数。 整数包含：正整数、0、负整数； 分数包含：正分数、负分数。 【要点提示】有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。 2. 有理数两种分类方法 （1）按定义分类： （2）按正负性分类： 【要点提示】0是整数，但不是正有理数，也不是负有理数，分类题目中极易遗漏。 【知识点三】相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。 2. 求法：在一个数的前面添加负号“−”，即可得到这个数的相反数。 【要点提示】互为相反数的两个数，绝对值相等，在数轴上位于原点两侧，且到原点的距离相等。 【知识点四】绝对值 1. 定义：数轴上一个数对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作。 2. 绝对值性质： 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 【要点提示】绝对值具有非负性，即，所有绝对值结果都大于或等于0。 3. 有理数大小比较规则 正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 【要点提示】负数比较大小是高频易错点，必须先比较绝对值，再反向判断大小。 【知识点五】数轴 1. 数轴定义与三要素 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 【要点提示】数轴是无限延伸的直线，全程单位长度必须统一，不可长短不一。 2. 数轴核心性质 （1）所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都是有理数； （2）数轴上右边的数始终大于左边的数； （3）互为相反数的两点关于原点对称。 二.题型精析 【题型 1】正负数表示与相反意义的量（基础必会） 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请任意写出3个正数与3个负数： 正数：{                                  …}． 负数：{                                  …}． 【答案】正数：（答案不唯一）；负数：（答案不唯一） 【分析】本题考查了正数与负数，熟练掌握正数与负数的定义是解题关键．根据大于0的数是正数、小于0的数是负数解答即可得． 解：正数：； 负数：． 【变式1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，，中，负数的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据负数“小于0”的定义，逐个判断给定的数，统计负数的个数即可得到结果． 解：∵ 负数是小于0的数，对给出的数逐个判断： ，是负数； 既不是正数也不是负数； ，是负数； ，是正数； ，是负数； ，是正数； ∴ 一共有3个负数． 【变式2】（2026·河南平顶山·三模）临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作元，那么购买劳动工具支出290元，记作_________． 【答案】元 解：如果收入380元记作元，那么支出290元记作元． 【变式3】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图有两张卡片，上面各标有四组词语． Ⅰ．前进20米； ①收入300元； Ⅱ．运出250吨； ②后退50米； Ⅲ．上升； ③运进800吨； Ⅳ．支出100元． ④下降． （1）将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号： Ⅰ—②，Ⅱ—______，Ⅲ—______，Ⅳ—______； （2）若“”表示增加，则“”表示______． 【答案】（1）③，④，①；（2）减少 【分析】（1）根据相反意义的量的定义，找出与各组词语意义相反的量； （2）根据正负数表示相反意义的量的规则，分析“”的意义． （1）解：相反意义的量配对 II“运出250吨”，相反意义的量是“运进”，所以II－③， III“上升”，相反意义的量是“下降”，所以III—④， IV“支出100元”，相反意义的量是“收入”，所以IV－① 故答案为：③，④，①； （2）解：因为“＂表示增加， 所以“”表示与“增加”相反的意义，即“减少”，因此“”表示减少． 【题型 2】有理数的分类（基础常考） 【例题2】（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）将下列各数填在相应的括号里： 、5、、、、0、102、、、 分数集合：{ }； 非正有理数集合：{ }； 负数集合：{ } 【答案】； ； 解：分数集合：； 非正有理数集合：； 负数集合： 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【答案】B 【分析】根据有理数的分类解答即可． 解：B选项中 0不是正数． 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【答案】 ，5，1.2 ，， ，0，5 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数的分类，正数是大于0的数，负数是小于0的数，整数包括正整数、0和负整数，据此进行分类判断即可． 解：正数集合：{ ，5，1.2 }；负数集合：{ ，， }；整数集合：{ ，0，5 }． 故答案为：，5，1.2；，，；，0，5． 【变式3】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，， 整数集合：                       分数集合：                       有理数集合：                       非负整数集合：                       【答案】整数集合：；分数集合：；有理数集合：；非负整数集合： 【分析】本题考查了有理数的分类，根据有理数分类的定义逐项分析即可 解：整数集合：； 分数集合：； 有理数集合：； 非负整数集合： 【题型 3】求相反数与绝对值（中档核心） 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）分别写出的相反数和绝对值． 【答案】，；，；， 【分析】本题考查的是相反数的含义，绝对值的含义，根据相反数与绝对值的含义逐一求解即可． 解：的相反数是，的绝对值是； 的相反数是，的绝对值是； 的相反数是，的绝对值是． 【变式1】（25-26七年级上·广西崇左·期末）下列说法正确的是（    ） A．0没有绝对值 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是－2 【答案】C 解：0的绝对值是0，故A选错误； 2的相反数是，是2的倒数，故B选错误； 0的相反数是它本身，即0，故C选正确； 2是正数，，故D选错误． 【变式2】（25-26七年级上·全国·阶段检测）若a与互为相反数，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了相反数、绝对值，掌握相反数、绝对值的定义是解答此题的关键．根据相反数、绝对值的定义解答即可求得答案． 解：∵a与互为相反数， ∴， ∴． 故答案为：1． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出下列各数： （1）一个正数，它的绝对值等于7.2． （2）一个负数，它的绝对值等于24． （3）绝对值等于的数． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了绝对值与数的符号的关系，熟练掌握绝对值与数的符号的关系是解题的关键． （1）根据正数的绝对值是它本身，即可得出结论． （2）根据负数的绝对值是它的相反数，即可得出结论． （3）根据正数的绝对值是它本身，0的绝对值是0，负数的绝对值是它的相反数，即可得出结论． （1）解：，是正数， ． （2），是负数， ． （3）， ． 【题型 4】有理数大小比较（中档易错） 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）请比较下列各组中两个数的大小： （1）和； （2）和． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查的是有理数的大小比较，求解绝对值； （1）先求解两数的绝对值，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案； （2）先化简各数，再根据两个负数绝对值大的反而小可得答案． 解：（1）解：∵，，， ∴； （2）， ∵，，， ∴． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各式比较大小正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先化简各选项中的绝对值、多重符号式子，再逐项比较大小即可． 解：A、，，， ，故A错误； B、，故B错误； C、，， ，故C正确； D、，，， ，故D错误． 【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）比较大小： （1）_________； （2）_________； 【答案】 【分析】（1）根据负数小于的性质直接判断； （2）先求两个负数的绝对值并通分比较大小，再根据绝对值大的负数反而小判断． 解：（1）∵负数都小于， ∴； （2）∵，，， ∴． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请比较下列各组中两个数的大小： （1）3和； （2）0和； （3）和； （4）和． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查有理数的大小比较，结合绝对值的化简和相反数，熟练掌握有理数大小的比较法则是解题的关键． （1）利用一个正数和一个负数比较大小的法则比较即可； （2）根据零大于负数即可求解； （3）利用两个负数比较大小的法则比较即可． （4）利用两个负数比较大小的法则比较即可． （1）解： （2） （3）， ∴； （4）∵， ∴． 【题型 5】数轴作图与数的表示（提升题型） 【例题5】（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； （2）补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【答案】（1）；4； （2）， 【分析】（1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）先化简，，再在数轴上确定表示各数的点的位置，最后根据在数轴上右边的数总比左边的数大，用“”号把这些数连接起来即可． 解：（1）略 （2）略 【变式1】（2026·河南周口·二模）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b互为相反数．若点A在原点左侧，且到原点的距离为，则b的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 解：点A在原点左侧，且到原点的距离为， ， 与互为相反数， ． 【变式2】（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数绝对值相等，那么点A表示的数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴、用数轴表示有理数等知识点，确定点B表示的数是解题的关键． 由图可得，再由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，，即可得出点B所表示的数为，即可求出点A表示的数． 解：由点A、B在数轴上的位置可知，， 又∵由点B，C表示的数的绝对值相等，且点B在点C的左边，， ∴点B所表示的数为， ∴点A表示的数是． 故答案为：． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． （1）_____，_____． （2）在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【答案】（1）2，；（2）数轴见分析， 【分析】（1）根据点在数轴上的位置，确定a的值，根据绝对值的意义，确定b的值； （2）先在数轴上表示出各数，根据数轴上的数右边的比左边的大，进行判断即可． （1）解：∵数a在数轴上对应点M，b是负数，且b在数轴上对应的点与原点的距离为3， ∴，； （2）解：，，， 在数轴上表示各数，如图： 用“”连接各数为：． 【题型 6】绝对值非负性综合应用（压轴题型） 【例题6】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）已知． （1）求与的值； （2）若，求的相反数． 【答案】（1），；（2）的相反数为或． 【分析】本题考查了绝对值概念和绝对值非负性，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据非负数的性质即可求出、的值； （）将与的值代入代数式进行计算，然后解出 的值，再求 的相反数即可． 解：（1）解：因为， 所以，， 解得，； （2）解：因为，， 所以， 所以， 所以的相反数为或． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的非负性及代数式最值的求法． 由于绝对值非负，代数式在绝对值最小时取得最大值，据此求解即可． 解：∵， ∴， ∴， 当时，即，代数式取得最大值． 故选：C． 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【答案】 0 0 6 0 解：（1）∵，，， ∴， ∴； （2）∵，，， ∴， ∴ ∴． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： （1）当_____时，有最小值，这个最小值是_____． （2）当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 【答案】（1），0；（2）1， 【分析】（1）仅当时，有最小值； （2）,要使得有最大值，则只需满足即可. 解：（1）解：根据题意得：， 仅当时， 即,. 当时，有最小值，这个最小值为0. （2）解：， ， 仅当时，即， ， 当时，有最大值，这个最大值为2025. 【点拨】本题考查了绝对值的非负性质，熟练掌握绝对值的相关运算是解本题的关键. 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27六年级上·上海青浦·开学考试）若规定收入为“”，则元表示（     ） A．收入200元 B．支出200元 C．支出元 D．收出元 【答案】B 【分析】规定收入用“”表示，所以“”对应的是收入的相反意义的量，结合生活中收入的相反概念，确定负号对应的实际含义，再对应数值即可得到结果． 解：元表示支出了200元． 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 解：根据定义，小于0的数是负数． ∵，，，，既不是正数也不是负数，， ∴ 题目中的负数为，，，一共3个． 3．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 【答案】C 【分析】本题考查非负数的概念，解题思路是先明确非负数的定义，非负数指大于或等于的数，包括和正数．再逐个判断给出的数，统计符合要求的数的个数即可． 解： ，，二者为负数，不符合要求． ，，，，四个数均满足大于或等于，属于非负数． 非负数共有个． 4．（2026·吉林通化·模拟预测）如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点，根据它在数轴上的位置估计即可． 解：数轴上点位于原点右侧一个单位距离， 点表示的数是， 由图可知：小蘑菇所在的点在和之间，并且偏左一点， 小蘑菇所在点表示的数可能为． 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 解：， ， 的相反数是． 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 【答案】B 解： ，，，， 又 ， 绝对值最小的数是． 7．（2026·山东济南·二模）如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】在数轴上，原点右侧为正数，原点左侧为负数，且数轴上的点越往右数越大，越往左数越小． 解：因为被遮住的左边是整数，右边的整数是0， 因此被遮挡的整数是． 8．（2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的大小比较，利用有理数比较大小的规则即可找出最低气温； 解：四个城市的平均气温分别为，，，. ∵ 正数大于一切负数， ∴ 和都大于两个负数，只需比较两个负数的大小. ∵ ，，且， ∴ 根据两个负数比较大小，绝对值大的数反而小，可得. ∴ 最低气温是； 9．（24-25九年级下·吉林松原·期中）公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 【分析】本题主要考查了数轴和数学常识，熟练掌握数轴上点表示的数的方法进行求解是解题的关键． 根据题意可得M所表示的数在与之间，然后再进行判定即可解答． 解：设M表示的数为x， 由数轴可知：， 所以点M所表示的数可能是． 故选：B． 10．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 【答案】C 【分析】本题考查了相反数的定义，化简多重符号，掌握相关知识是解题的关键．判断每组数是否互为相反数，需化简表达式后比较符号是否相反、绝对值相等． 解：① ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故①符合题意； ② ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故②符合题意； ③ ∵，与符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故③符合题意； ④ ∵，，与1符号相反、绝对值相等， ∴与互为相反数，故④符合题意； ⑤ ∵，与两者相等， ∴与不是相反数，故⑤不符合题意， 综上，互为相反数的有4组， 故选：C． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27七年级上·上海·开学考试）一个水库，如果水位下降厘米记作厘米，那么，（ ）表示水位上升厘米；厘米表示（ ）． 【答案】 厘米 水位下降厘米 【分析】正负数主要用来表示具有相反意义的两种量，如果规定其中一个为正，那么相反的量就用负数表示． 解：由题意可知，一个水库，如果水位下降厘米记作厘米， 那么，厘米表示水位上升厘米； 厘米表示水位下降厘米． 12．（25-26七年级上·全国·期末）在，，0，中，有理数有_____个． 【答案】3 【分析】本题考查了有理数的定义，根据有理数的定义逐个判断，即可求解． 解：，，0，是有理数；不是有理数，有理数有3个． 故答案为3． 13．（2026·陕西渭南·二模）如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 【答案】 【分析】根据数轴上点的位置判断的取值范围，进而确定的取值范围，再与比较大小． 解：由数轴可知，， 根据相反数的性质，负数的相反数为正数，且绝对值相等，可得： ， 又由数轴得：， 因此． 14．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）比较大小： ______ ．（用“”或“”填空） 【答案】 【分析】先根据绝对值和相反数的定义化简两个数，再根据有理数的大小比较法则，判断结果即可． 解：∵，， 又， ∴． 15．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知点在数轴上的位置如图所示，则点所表示的数的绝对值为______． 【答案】 【分析】此题考查的是求一个数的绝对值，数轴上的点表示有理数，根据绝对值的定义：数轴上一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值，即可得出结论． 解：由数轴可知：点所表示的数为 ∴点所表示的数的绝对值是 故答案为：． 16．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 【答案】 4 2或6 【分析】本题考查了在数轴上表示有理数，解题关键是正确在数轴上确定表示各数的点的位置． （1）根据点A表示即可得原点位置，进一步得到点B所表示的数； （2）分两种情况讨论即可求解． 解：（1）如图，∵数轴上每个刻度为1个单位长度上点A表示的数是． ∴O为原点，点B所表示的数是4， 故答案为：4； （2）点C表示的数为或． 故答案为：2或6； 17．（25-26七年级上·重庆渝北·阶段检测）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示且，则a，b，，的大小关系是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据数轴比较大小． 根据数轴得到，结合判断大小关系即可． 解：由数轴可知， ∵， ∴，， ∴． 故答案为：． 18．（25-26七年级上·河北保定·期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字_________的点重合． 【答案】2 【分析】本题考查了数轴上的数字规律问题，找出圆周上表示数字的点与数轴上表示数字的点重合的规律是解决此类题目的关键．根据圆周上表示数字的点与数轴上表示数字的点重合的规律可知，每四个数2，3，0，1一个循环，再根据即可得解． 解：由题意知，圆周上表示数字2的点与数轴上表示1的点重合， 圆周上表示数字3的点与数轴上表示2的点重合， 圆周上表示数字0的点与数轴上表示3的点重合， 圆周上表示数字1的点与数轴上表示4的点重合， 圆周上表示数字2的点与数轴上表示5的点重合， ， 每四个数2，3，0，1一个循环， ， 数轴上表示2025的点与循环数中第一个数2的点重合， 故答案为：2． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{___________}； 负分数：{___________}； 负有理数：{___________}． 【答案】0，；，，；，，， 解：非正整数：{0，}； 负分数：{，，}； 负有理数：{，，，}． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·山东德州·期末）如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． （1）在图中所示的数轴上标出原点，记为点， （2）在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 【答案】（1）原点位置如图， ； （2）把各数表示在数轴上，如下： ∴． 【分析】本题考查有理数大小比较，数轴， （1）根据点表示的数是．点表示的数是判断原点的位置即可； （2）根据数轴上数的特点把各数表示在数轴上，并根据数轴上右边的数总比左边的数大得出比较结果； 熟练掌握数轴的性质是解题的关键． 解：（1）略 （2）略 21．（本小题满分10分）（25-26六年级上·山东烟台·期中）操作与实践： （1）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： 0，，，，，5． （2）按从小到大的顺序用“”连接起来． 比较大小：_________________________________________________________________ （3）观察数轴，回答问题：大于并且小于5的整数有哪几个？ 【答案】（1）在数轴上表示各数，如图所示． （2）；（3），，，0，1，2，3，4 【分析】本题考查数轴与有理数，正确的在数轴上表示出各数，是解题的关键： （1）确定原点，正方向和单位长度，画出数轴，进行把各数在数轴上进行表示即可； （2）根据数轴上的数右边的比左边的大，比较大小即可； （3）数形结合，求出大于并且小于5的整数即可。 解：（1），， （2）按从小到大的顺序用“”连接起来为： ； （3）由数轴得，大于并且小于5的整数有8个：，，，0，1，2，3，4． 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·山西晋城·阶段检测）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 【答案】（1）2；（2）；（3）；（4）；问：①；②，规律见详解 【分析】本题考查了利用相反数的定义化简，熟记概念并仔细观察化简结果与负号的关系是解题的关键． （1）根据相反数的定义进行化简即可； （2）根据相反数的定义进行化简即可； （3）根据相反数的定义进行化简即可； （4）根据相反数的定义进行化简即可； 问：①根据前面的计算结果猜想即可得解； ②根据前面的计算结果猜想即可得解． 解：（1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是； ②当前面有2024个负号，即前面有2025个负号，化简后结果， 总结规律：一个数的前面有奇数个负号，化简的结果等于它的相反数，有偶数个负号，化简的结果等于它本身． 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·河南新乡·阶段检测）已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 （1）指出哪件样品的直径大小最符合要求． （2）如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 【答案】（1）编号为4的样品的大小最符合要求；（2）见分析 【分析】本题考查正负数的应用、绝对值的应用、有理数的大小比较，理解绝对值的性质是解答的关键． （1）先求得各数据的绝对值，再比较大小，根据绝对值最小的最符合要求即可解答； （2）比较各绝对值与、的大小，根据正品、次品和废品定义可得结论． 解：（1）解：，，，，， ∵， ∴编号为4的样品的大小最符合要求； （2）解：因为，，， 所以编号为1，2，4的样品是正品； 因为， 所以编号为3的样品是次品； 因为， 所以编号为5的样品是废品． 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： （1）比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） （2）请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 【答案】（1），；（2）当时，；当时， 【分析】本题主要考查了求一个数的绝对值，有理数比较大小，利用分类讨论的思想求解是解题的关键。 （1）直接根据去绝对值的方法及有理数的大小比较即可得出答案； （2）根据绝对值的三种情况，进行分析求解即可． 解：（1）解：，， 故答案为：，； （2）解：当时，， 当时，， 当时，， 综上，当时，；当时，． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 2.1 认识有理数（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】正数与负数 1 【知识点二】有理数的概念与分类 2 【知识点三】相反数 2 【知识点四】绝对值 2 【知识点五】数轴 3 二.题型精析 3 【题型 1】正负数表示与相反意义的量（基础必会） 3 【题型 2】有理数的分类（基础常考） 4 【题型 3】求相反数与绝对值（中档核心） 5 【题型 4】有理数大小比较（中档易错） 5 【题型 5】数轴作图与数的表示（提升题型） 5 【题型 6】绝对值非负性综合应用（压轴题型） 6 三.同步检测 7 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 7 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 8 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 9 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】正数与负数 1. 基本定义 正数：大于0的数，正号“+”可省略不写； 负数：在正数前加负号“−”的数，负号不可省略； 0 既不是正数，也不是负数。 【要点提示】0是正负数的分界数，是唯一没有正负属性的中性数，不属于任何一方。 2. 相反意义的量 在生活中，成对出现、意义完全相反的同类量，可用正负数区分：规定其中一个为正，另一个即为负。 常见实例：零上/零下、收入/支出、上升/下降、盈利/亏损、海平面上/海平面下。 【要点提示】相反意义的量必须是同一类量，单位一致、属性一致，仅意义相反；单独一个量不能构成相反意义的量。 3. 误差范围表示 生活中常见形如 的标注，表示标准值为a，浮动范围在 至 之间。 【知识点二】有理数的概念与分类 1. 基本概念 整数和分数统称为有理数。 整数包含：正整数、0、负整数； 分数包含：正分数、负分数。 【要点提示】有限小数、无限循环小数都可以化为分数，属于有理数；无限不循环小数（如π）不是有理数。 2. 有理数两种分类方法 （1）按定义分类： （2）按正负性分类： 【要点提示】0是整数，但不是正有理数，也不是负有理数，分类题目中极易遗漏。 【知识点三】相反数 1. 定义：只有符号不同的两个数互为相反数，0的相反数是0。 2. 求法：在一个数的前面添加负号“−”，即可得到这个数的相反数。 【要点提示】互为相反数的两个数，绝对值相等，在数轴上位于原点两侧，且到原点的距离相等。 【知识点四】绝对值 1. 定义：数轴上一个数对应的点与原点的距离，叫做这个数的绝对值，记作。 2. 绝对值性质： 正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0。 【要点提示】绝对值具有非负性，即，所有绝对值结果都大于或等于0。 3. 有理数大小比较规则 正数＞0＞负数；两个负数比较大小，绝对值大的反而小。 【要点提示】负数比较大小是高频易错点，必须先比较绝对值，再反向判断大小。 【知识点五】数轴 1. 数轴定义与三要素 规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可。 【要点提示】数轴是无限延伸的直线，全程单位长度必须统一，不可长短不一。 2. 数轴核心性质 （1）所有有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都是有理数； （2）数轴上右边的数始终大于左边的数； （3）互为相反数的两点关于原点对称。 二.题型精析 【题型 1】正负数表示与相反意义的量（基础必会） 【例题1】（25-26七年级上·全国·课后作业）请任意写出3个正数与3个负数： 正数：{                                  …}． 负数：{                                  …}． 【变式1】（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在，，，，，中，负数的个数有（     ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】（2026·河南平顶山·三模）临近期末，某班班委会将班级的废品卖掉后收入380元，如果把它记作元，那么购买劳动工具支出290元，记作_________． 【变式3】（25-26七年级上·河北唐山·阶段检测）如图有两张卡片，上面各标有四组词语． Ⅰ．前进20米； ①收入300元； Ⅱ．运出250吨； ②后退50米； Ⅲ．上升； ③运进800吨； Ⅳ．支出100元． ④下降． （1）将具有相反意义的量配对，直接在横线上填序号： Ⅰ—②，Ⅱ—______，Ⅲ—______，Ⅳ—______； （2）若“”表示增加，则“”表示______． 【题型 2】有理数的分类（基础常考） 【例题2】（24-25六年级上·山东烟台·阶段检测）将下列各数填在相应的括号里： 、5、、、、0、102、、、 分数集合：{ }； 非正有理数集合：{ }； 负数集合：{ } 【变式1】（25-26七年级上·广东广州·阶段检测）关于，，0.41，，0，3.14这六个数，下列说法错误的是（   ） A．，0不是正数 B．，0.41，0，3.14是正数 C．，，0.41，，0，3.14是有理数 D．，是负数 【变式2】（25-26七年级上·全国·期末）把下列各数填入相应的集合：，0，，，5，，1.2 正数集合：｛________｝；负数集合：｛________｝；整数集合：｛________｝． 【变式3】（25-26七年级上·福建泉州·阶段检测）把下列各数填在相应的括号里 ，，，，，，，， 整数集合：                       分数集合：                       有理数集合：                       非负整数集合：                       【题型 3】求相反数与绝对值（中档核心） 【例题3】（25-26七年级上·全国·课后作业）分别写出的相反数和绝对值． 【变式1】（25-26七年级上·广西崇左·期末）下列说法正确的是（    ） A．0没有绝对值 B．2与互为相反数 C．0的相反数是0 D．2的绝对值是－2 【变式2】（25-26七年级上·全国·阶段检测）若a与互为相反数，则______． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请写出下列各数： （1）一个正数，它的绝对值等于7.2． （2）一个负数，它的绝对值等于24． （3）绝对值等于的数． 【题型 4】有理数大小比较（中档易错） 【例题4】（25-26七年级上·全国·课后作业）请比较下列各组中两个数的大小： （1）和； （2）和． 【变式1】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）下列各式比较大小正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·江苏无锡·阶段检测）比较大小： （1）_________； （2）_________； 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）请比较下列各组中两个数的大小： （1）3和； （2）0和； （3）和； （4）和． 【题型 5】数轴作图与数的表示（提升题型） 【例题5】（25-26七年级上·广东东莞·期中）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度，点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是__________； （2）补全数轴，并在数轴上表示下列各数，然后用“”号把这些数按从小到大连接起来． 2.5，，，． 【变式1】（2026·河南周口·二模）如图，数轴上点A表示的数为a，点B表示的数为b，且a与b互为相反数．若点A在原点左侧，且到原点的距离为，则b的值是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26七年级上·广东佛山·期末）如图，数轴的单位长度为1，如果点B，C表示的数绝对值相等，那么点A表示的数为________． 【变式3】（25-26七年级下·黑龙江绥化·阶段检测）已知有理数a，b，其中数a在如图所示的数轴上对应点M，b是负数且b在数轴上对应的点与原点的距离为3． （1）_____，_____． （2）在数轴上表示下列各数：，，，，，，并用“”把这些数连接起来． 【题型 6】绝对值非负性综合应用（压轴题型） 【例题6】（24-25七年级上·陕西西安·阶段检测）已知． （1）求与的值； （2）若，求的相反数． 【变式1】（2025七年级上·全国·专题练习）如果为有理数，代数式存在最大值，这个最大值是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式2】（26-27七年级·浙江·暑假作业）（1）若，则______， _______． （2）若，则_____， _____． 【变式3】（25-26七年级上·全国·课后作业）根据是非负数，且非负数中最小的数是0，解答下列问题： （1）当_____时，有最小值，这个最小值是_____． （2）当_____时，有最大值，这个最大值是_____． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（26-27六年级上·上海青浦·开学考试）若规定收入为“”，则元表示（     ） A．收入200元 B．支出200元 C．支出元 D．收出元 2．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在、，，，0，，中负数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（25-26七年级上·河南南阳·阶段检测）在，，，，，中，非负数有（） A．6个 B．5个 C．4个 D．3个 4．（2026·吉林通化·模拟预测）如图，数轴上点位于原点右侧一个单位距离，小蘑菇所在点表示的数可能为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级下·黑龙江绥化·期末）下列各数中，与互为相反数的是（     ）． A．3 B． C． D． 6．（2026·安徽合肥·模拟预测）在数，0，1，4中，绝对值最小的数是（     ） A． B．0 C．1 D．4 7．（2026·山东济南·二模）如图，数轴上被遮挡住的整数是（    ） A．1 B． C． D．0 8．（2026·广东东莞·二模）我国几个城市某年1月份的平均气温如下表所示，其中最低气温是（     ） 城市 北京 广州 重庆 哈尔滨 平均气温/ A． B． C． D． 9．（24-25九年级下·吉林松原·期中）公元十七世纪，法国数学家笛卡尔从蜘蛛网获得了启示，提出了“数轴”的概念．如图，数轴上点所表示的数可能是（　　） A． B． C． D．5 10．（25-26七年级上·河南周口·期中）下列各组数中，互为相反数的有（   ） ①与；②与；③与； ④与；⑤与． A．2组 B．3组 C．4组 D．5组 （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（26-27七年级上·上海·开学考试）一个水库，如果水位下降厘米记作厘米，那么，（ ）表示水位上升厘米；厘米表示（ ）． 12．（25-26七年级上·全国·期末）在，，0，中，有理数有_____个． 13．（2026·陕西渭南·二模）如图，在数轴上，点表示的数分别为，则_________．（填“”“”或“”） 14．（24-25七年级下·云南楚雄·期末）比较大小： ______ ．（用“”或“”填空） 15．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知点在数轴上的位置如图所示，则点所表示的数的绝对值为______． 16．（24-25七年级上·江苏镇江·阶段检测）如图，数轴上每个刻度为1个单位长度上点表示的数是． （1）在数轴上标出原点，并指出点所表示的数是___________． （2）在数轴上找一点，使它与点的距离为2个单位长度，那么点表示的数为___________． 17．（25-26七年级上·重庆渝北·阶段检测）有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示且，则a，b，，的大小关系是________． 18．（25-26七年级上·河北保定·期中）如图，圆的周长为4个单位长度．在该圆的四等分点处分别标上0，1，2，3，先让圆周上表示数字0的点与数轴上表示的点重合，再将圆向右在数轴上滚动，则数轴上表示2025的点与圆周上表示数字_________的点重合． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（26-27七年级·浙江·暑假作业）把下列各数填在相应的大括号里： ，0，，，，，，2.56，． 非正整数：{___________}； 负分数：{___________}； 负有理数：{___________}． 20．（本小题满分8分）（24-25七年级上·山东德州·期末）如图．数轴上点表示的数是．点表示的数是． （1）在图中所示的数轴上标出原点，记为点， （2）在图中所示的数轴上表示下列各数，再把它们按照从大到小的顺序排列，并用“”连接． 21．（本小题满分10分）（25-26六年级上·山东烟台·期中）操作与实践： （1）把下面的直线补充成一条数轴，然后在数轴上标出下列各数： 0，，，，，5． （2）按从小到大的顺序用“”连接起来． 比较大小：_________________________________________________________________ （3）观察数轴，回答问题：大于并且小于5的整数有哪几个？ 22．（本小题满分10分）（24-25七年级上·山西晋城·阶段检测）化简下列各式的符号，并回答问题： （1）； （2）； （3）； （4）； 问：①当前面有2023个负号，化简后结果是多少？ ②当前面有2024个负号，化简后结果是多少？你能总结出什么规律？ 23．（本小题满分10分）（24-25七年级上·河南新乡·阶段检测）已知零件的标准直径是，超过标准直径长度的数量记作正数，不足标准直径长度的数量记作负数，检验员某次抽查了件样品，检查结果如下表： 样品编号 偏差 （1）指出哪件样品的直径大小最符合要求． （2）如果规定误差的绝对值在以内的是正品，误差的绝对值在之间的是次品，误差的绝对值超过的是废品，那么这件样品分别属于哪类产品？ 24．（本小题满分12分）（25-26七年级上·山西朔州·阶段检测）阅读下列材料： 当时，如，则，此时的绝对值是它本身； 当时，，此时的绝对值是0； 当时，如，则，此时的绝对值是它的相反数． 综上可得， 这种分析方法体现了数学中常用的分类讨论思想．请解答下列问题： （1）比较大小：_____5， _____；（填“”“”或“”） （2）请仿照上述分类讨论的方法，分析与的大小关系． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $