2.1 认识有理数 知识梳理与题型突破讲义 2026-2027学年北师大版七年级数学上册（八大题型）

本讲义聚焦北师大版七年级上册“认识有理数”核心内容，系统梳理正数负数概念及相反意义的量，有理数的定义与分类，数轴三要素及应用，相反数的代数与几何意义，绝对值的性质与非负性，形成从概念到工具再到性质的递进式学习支架。 该资料以八大题型突破知识应用，如相反意义的量结合温度、质量等生活情境，培养抽象能力与应用意识，绝对值性质题强化推理意识，数轴比较大小提升运算能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过典型题查漏补缺，夯实基础。

2.1认识有理数知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版七年级上册（八大题型） 知识梳理： 知识点1 ：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点2： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点3：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 知识点4 ：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点5:绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐a 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 题型突破： 题型一：正数和负数的概念 1.在﹣2，0，，2这四个数中，是负数的是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 2.下列各数是正数的是（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣0.3 3.在﹣1，π，0，11，﹣8，3这五个数中，正数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 4.用﹣a表示的数是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或正数 D．负数或正数或0 5．已知下列各数：，﹣2，3.14，0，0.2，﹣216，6，，其中正数有　 　；负数有　 ． 题型二：相反意义的量 1.下列各组量中具有相反意义的量是（　　） A．上升与下降 B．向东走3m与向南走5m C．长大4岁与减少5kg D．零上2℃与零下6℃ 2.某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约30cm3的水记为+30cm3，那么浪费10cm3的水记为（　　） A．+10cm3 B．﹣10cm3 C．+0cm3 D．﹣20cm3 3.月球表面的白天平均温度零上126℃记作+126℃夜间平均温度零下150℃应记 作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃ 4.某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（　　）范围内保存最合适． A．17℃～23℃ B．20℃～23℃ C．17℃～20℃ D．20℃～26℃ 5．某超市出售的三种品牌的大米袋上，分别标有质量为（50±0.2）kg、（50±0.3）kg、（50±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（　　） A．0.4kg B．0.5kg C．0.55kg D．0.6kg 题型三：有理数的定义与分类 1.在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2.下列各数中，是负整数的数是（　　） A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣2.5 3.在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，，314%．这八个有理数中非负数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4.把下列各数填在相应的括号里 ，，7，3.14，2024，，0，，，，53 整数集合：{        } 分数集合：{        } 非负数集合：{        } 非负整数集合：{        } 5.把下列各数的序号填入相应的集合中：①﹣5.3，②+31，③，④0，⑤﹣7，⑥，⑦2005，⑧﹣1.69． 负数集合：　 　； 整数集合：　 　； 负分数集合：　 　； 非负整数集合：　 　． 题型四：数轴和数轴上的点表示的数 1．判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ 　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 2．如图示，数轴上点A所表示的数为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．以上均不对 3．在数轴上，在原点的左边，距原点6个单位长度的点表示的数为　 　． 4.画出数轴并标出表示下列各数的点． ，4，2.5，0，﹣1． 5.如图的数轴上，每小格的宽度相等． （1）填空：数轴上点A表示的数是 　 ，点B表示的数是 　 　． （2）点C表示的数是，点D表示的数是﹣1，请在数轴上分别画出点C和点D的位置． （3）将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“＞”连接． 题型五：相反数的概念 1.﹣24的相反数为（　　） A．24 B．﹣24 C． D． 2.下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2和 B．﹣0.5和 C．﹣3和 D．和﹣2 3.下面说法：①π的相反数是﹣π；②符号相反的数互为相反数；③﹣（﹣3.8）的相反数是﹣3.8；④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4.如果a与1互为相反数，那么a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 5.如果a+5的相反数是﹣3，那么a＝　 　． 题型六：多重符号化简 1．下列表示﹣5的“相反数”的是（　　） A．﹣（﹣5） B．﹣（+5） C．﹣[﹣（﹣5）] D．﹣[+（+5）] 2.化简　 　． 3.填空： （1）+（﹣2）＝　 ；﹣（﹣2）＝　 　． （2）﹣[+（﹣2）]＝　 　；﹣{+[﹣（﹣2）]}＝　 　． 4.化简下列各数： ①﹣（﹣8）＝　 ； ②﹣（+0.75）＝　 　； ③　 　； ④﹣[+（﹣3.8）]＝　 　． 5．化简下列各数：①+（﹣3）；②﹣（+5）；③﹣（﹣3.4）； ④﹣[+（﹣8）]；⑤﹣[﹣（﹣9）]． 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数有什么关系？ 题型七：绝对值的定义与性质 1.绝对值是（　　） A． B． C． D． 2.﹣|﹣6|的相反数是（　　） A．﹣6 B． C． D．6 3.一个数的绝对值等于，则这个数是（　　） A． B． C．± D．± 4.如果|a﹣2|+|b|＝0，那么a，b的值为（　　） A．a＝1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2 5． 化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 6.写出下列各数的绝对值． （1）﹣1.5； （2）； （3）﹣6； （4）； （5）3． 题型八：比较有理数的大小 1.四个数﹣10，﹣1，0，10中，最小的数是（　　） A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．10 2.下列数中，最大的数是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 3.在﹣3、2、0、﹣1这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 4.某一天，温州、杭州、哈尔滨、北京四个城市的最低气温分别是5℃，0℃，﹣22℃，﹣10℃，其中最低气温是（　　） A．5℃ B．0℃ C．﹣22℃ D．﹣10℃ 5．比较下列各对数的大小： （1）3和﹣7． （2）﹣5.3和﹣（+5.4）． （3）和． （4）﹣（﹣7）和|﹣1|． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.1认识有理数知识梳理与题型突破2026-2027学年 北师大版七年级上册（八大题型） 知识梳理： 知识点1 ：正数和负数 （1）概念 正数：大于0的数叫做正数。 负数：在正数前面加上负号“—”的数叫做负数。 注：0既不是正数也不是负数，是正数和负数的分界线，是整数，自然数，有理数。 （不是带“—”号的数都是负数，而是在正数前加“—”的数。） （2）意义：在同一个问题上，用正数和负数表示具有相反意义的量。 知识点2： 有理数 （1）概念 整 数：正整数、0、负整数统称为整数。 分 数：正分数、负分数统称分数。（有限小数与无限循环小数都是有理数。） 注：正数和零统称为非负数，负数和零统称为非正数，正整数和零统称为非负整数，负整数和零统称为非正整数。 （2）分类：两种 ⑴按正、负性质分类： ⑵按整数、分数分类： 正有理数 正整数 正整数 有理数 正分数 整数 0 零 有理数 负整数 负有理数 负整数 分数 正分数 负分数 负分数 知识点3：数轴 （1）概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴。 三要素：原点、正方向、单位长度 （2）对应关系：数轴上的点和有理数是一一对应的。 比较大小：在数轴上，右边的数总比左边的数大 。 （3）应用 求两点之间的距离：两点在原点的同侧作减法，在原点的两侧作加法。 （注意不带“+”“—”号） 知识点4 ：相反数 （1）概念 代数：只有符号不同的两个数叫做相反数。 （0的相反数是0） 几何：在数轴上，离原点的距离相等的两个点所表示的数叫做相反数。 （2）性质：若a与b互为相反数，则a＋b=0，即a=-b；反之， 若a＋b=0，则a与b互为相反数。 两个符号：符号相同是正数，符号不同是负数。 （3）多重符号的化简 多个符号：三个或三个以上的符号的化简，看负号的个数 （注意：当“—”号的个数是偶数个时，结果取正号 当“—”号的个数是奇数个时，结果取负号） 知识点5:绝对值 （1）几何意义：一个数的数量大小叫作这个数的绝对值。 一个正数的绝对值是它的本身 （若|a|＝|b|，则a＝b或a＝﹣b） （2）代数意义 一个负数的绝对值是它的相反数 0的绝对值是0 （3）代数符号意义： a ＞0，|a|=a 反之，|a|＝a，则a≥0，|a|＝﹣a，则a≦0 a = 0， |a|=0 a＜0， |a|=‐a 注：非负数的绝对值是它本身，非正数的绝对值是它的相反数。 （4）性质：绝对值是a (a＞0) 的数有2个，他们互为相反数。即±a。 （5）非负性：任意一个有理数的绝对值都大于等于零，即|a|≥0。几个非负数之和等于0，则每个非负数都等于0。故若|a|＋|b|＝0，则a＝0，b＝0 1.数轴比较法：在数轴上，右边的数总比左边的数大。 （6）比较大小 2.代数比较法：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数。 两个负数比较大小时，绝对值大的反而小。 题型突破： 题型一：正数和负数的概念 1.在﹣2，0，，2这四个数中，是负数的是（　　） A．﹣2 B．0 C． D．2 【答案】A． 2.下列各数是正数的是（　　） A． B．0 C．﹣1 D．﹣0.3 【答案】A． 3.在﹣1，π，0，11，﹣8，3这五个数中，正数的个数是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C． 4.用﹣a表示的数是（　　） A．负数 B．正数 C．负数或正数 D．负数或正数或0 【答案】D． 5．已知下列各数：，﹣2，3.14，0，0.2，﹣216，6，，其中正数有　 　；负数有　 ． 【答案】解：在，﹣2，3.14，0，0.2，﹣216，6，中，正数3.14，0.2，6，；负数有，﹣2，﹣216． 故答案为3.14，0.2，6，；，﹣2，﹣216， 题型二：相反意义的量 1.下列各组量中具有相反意义的量是（　　） A．上升与下降 B．向东走3m与向南走5m C．长大4岁与减少5kg D．零上2℃与零下6℃ 【答案】D． 2.某地提倡“节约用水，保护环境”的口号，如果节约30cm3的水记为+30cm3，那么浪费10cm3的水记为（　　） A．+10cm3 B．﹣10cm3 C．+0cm3 D．﹣20cm3 【答案】B． 3.月球表面的白天平均温度零上126℃记作+126℃夜间平均温度零下150℃应记 作（　　） A．+150℃ B．﹣150℃ C．+276℃ D．﹣276℃ 【答案】B． 4.某种药品说明书上标明保存温度是（20±3）℃，则该药品在（　　）范围内保存最合适． A．17℃～23℃ B．20℃～23℃ C．17℃～20℃ D．20℃～26℃ 【答案】A． 5．某超市出售的三种品牌的大米袋上，分别标有质量为（50±0.2）kg、（50±0.3）kg、（50±0.25）kg的字样，从超市中任意拿出两袋大米，它们的质量最多相差（　　） A．0.4kg B．0.5kg C．0.55kg D．0.6kg 【答案】D． 题型三：有理数的定义与分类 1.在3.14，，0，，0.1010010001中有理数的个数有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D． 2.下列各数中，是负整数的数是（　　） A．2 B．2.5 C．﹣2 D．﹣2.5 【答案】C． 3.在﹣15，5，﹣0.23，0，7.6，2，，314%．这八个有理数中非负数有（　　） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 【答案】B． 4.把下列各数填在相应的括号里 ，，7，3.14，2024，，0，，，，53 整数集合：{        } 分数集合：{        } 非负数集合：{        } 非负整数集合：{        } 【答案】解：整数集合：{ ，7， 2024，0， 53，} 分数集合：{， 3.14， ， ，， } 非负数集合：{，7，3.14，2024，0，，，53，} 非负整数集合：{7，2024，0， 53，} 5.把下列各数的序号填入相应的集合中：①﹣5.3，②+31，③，④0，⑤﹣7，⑥，⑦2005，⑧﹣1.69． 负数集合：　 　； 整数集合：　 　； 负分数集合：　 　； 非负整数集合：　 　． 【答案】解：①﹣5.3，②+31，③，④0，⑤﹣7，⑥，⑦2005，⑧﹣1.69． 负数集合：（①③⑤⑧）； 整数集合：（②④⑤⑦）； 负分数集合：（①③⑧）； 非负整数集合：（②④⑦）． 故答案为：①③⑤⑧；②④⑤⑦；①③⑧；②④⑦． 题型四：数轴和数轴上的点表示的数 1．判断下列图中所画的数轴正确的个数是（ 　）个． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B． 2．如图示，数轴上点A所表示的数为（　　） A．﹣2 B．2 C．±2 D．以上均不对 【答案】A． 3．在数轴上，在原点的左边，距原点6个单位长度的点表示的数为　 　． 【答案】﹣6． 4.画出数轴并标出表示下列各数的点． ，4，2.5，0，﹣1． 【答案】解：如图， 5.如图的数轴上，每小格的宽度相等． （1）填空：数轴上点A表示的数是 　 ，点B表示的数是 　 　． （2）点C表示的数是，点D表示的数是﹣1，请在数轴上分别画出点C和点D的位置． （3）将A，B，C，D四个点所表示的数按从大到小的顺序排列，用“＞”连接． 【答案】解：（1）点A表示的数是，点B表示的数是， 故答案为：，； （2）如图， ； （3）由数轴知：2． 题型五：相反数的概念 1.﹣24的相反数为（　　） A．24 B．﹣24 C． D． 【答案】A． 2.下列各对数中，互为相反数的是（　　） A．2和 B．﹣0.5和 C．﹣3和 D．和﹣2 【答案】B． 3.下面说法：①π的相反数是﹣π；②符号相反的数互为相反数；③﹣（﹣3.8）的相反数是﹣3.8；④一个数和它的相反数可能相等；⑤正数与负数互为相反数．正确的有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D． 4.如果a与1互为相反数，那么a＝（　　） A．2 B．﹣2 C．1 D．﹣1 【答案】D． 5.如果a+5的相反数是﹣3，那么a＝　 　． 【答案】﹣2． 题型六：多重符号化简 1．下列表示﹣5的“相反数”的是（　　） A．﹣（﹣5） B．﹣（+5） C．﹣[﹣（﹣5）] D．﹣[+（+5）] 【答案】A． 2.化简　 　． 【答案】． 3.填空： （1）+（﹣2）＝　 ；﹣（﹣2）＝　 　． （2）﹣[+（﹣2）]＝　 　；﹣{+[﹣（﹣2）]}＝　 　． 【答案】解：（1）+（﹣2）＝﹣2； ﹣（﹣2）＝2； 故答案为：﹣2，2； （2）﹣[+（﹣2）]＝2； ﹣{+[﹣（﹣2）]}＝﹣2． 故答案为：2，﹣2． 4.化简下列各数： ①﹣（﹣8）＝　 ； ②﹣（+0.75）＝　 　； ③　 　； ④﹣[+（﹣3.8）]＝　 　． 【答案】解：①﹣（﹣8）＝8； ②﹣（+0.75）＝﹣0.75； ③； ④﹣[+（﹣3.8）]＝3.8． 故答案为：①8；②﹣0.75；③；④3.8． 5．化简下列各数：①+（﹣3）；②﹣（+5）；③﹣（﹣3.4）； ④﹣[+（﹣8）]；⑤﹣[﹣（﹣9）]． 化简过程中，你有何发现？化简结果的符号与原式中的“﹣”号的个数有什么关系？ 【答案】解：①+（﹣3）＝﹣3； ②﹣（+5）＝﹣5； ③﹣（﹣3.4）＝3.4； ④﹣[+（﹣8）]＝8； ⑤﹣[﹣（﹣9）]＝﹣9． 最后结果的符号与“﹣”的个数有着密切联系，当“﹣”的个数是奇数，最后结果为负数，当“﹣”的个数是偶数，最后结果为正数． 题型七：绝对值的定义与性质 1.绝对值是（　　） A． B． C． D． 【答案】B． 2.﹣|﹣6|的相反数是（　　） A．﹣6 B． C． D．6 【答案】D． 3.一个数的绝对值等于，则这个数是（　　） A． B． C．± D．± 【答案】C． 4.如果|a﹣2|+|b|＝0，那么a，b的值为（　　） A．a＝1，b＝1 B．a＝﹣1，b＝3 C．a＝2，b＝0 D．a＝0，b＝2 【答案】C． 5． 化简：|－|＝______；－|－1.5|＝______；|－(－2)|＝______． 【答案】解：|－|＝；－|－1.5|＝－1.5；|－(－2)|＝|2|＝2. 6.写出下列各数的绝对值． （1）﹣1.5； （2）； （3）﹣6； （4）； （5）3． 【答案】解：（1）|﹣1.5|＝1.5； （2）||； （3）|﹣6|＝6； （4）||； （5）|3|＝3． 题型八：比较有理数的大小 1.四个数﹣10，﹣1，0，10中，最小的数是（　　） A．﹣10 B．﹣1 C．0 D．10 【答案】A． 2.下列数中，最大的数是（　　） A．﹣1 B．0 C． D．1 【答案】C． 3.在﹣3、2、0、﹣1这四个数中，最小的数是（　　） A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．2 【答案】A． 4.某一天，温州、杭州、哈尔滨、北京四个城市的最低气温分别是5℃，0℃，﹣22℃，﹣10℃，其中最低气温是（　　） A．5℃ B．0℃ C．﹣22℃ D．﹣10℃ 【答案】C． 5．比较下列各对数的大小： （1）3和﹣7． （2）﹣5.3和﹣（+5.4）． （3）和． （4）﹣（﹣7）和|﹣1|． 【答案】解：（1）3＞﹣7； （2）﹣（+5.4）＝﹣5.4， ∵|﹣5.3|＝5.3，|﹣5.4|＝5.4，5.3＜5.4， ∴﹣5.3＞﹣（+5.4）； （3）∵||，||，， ∴； （4）﹣（﹣7）＝7，|﹣1|＝1， ∴﹣（﹣7）＞|﹣1|． 学科网（北京）股份有限公司 $