第27章 反比例函数讲义 2026-2027学年人教版数学九年级上册

本初中数学讲义聚焦反比例函数的概念与性质，系统梳理定义（含三种表达形式及k的意义）、图像（描点法绘制双曲线及对称性）、性质（k的符号与象限分布、增减性）等核心知识点，以待定系数法为纽带构建从概念到应用的学习支架。 该资料通过知识梳理夯实基础，题型演练分层设计（含例题、练习及变式拓展），结合图像分析培养几何直观（如综合函数图像判断k值），通过性质应用提升推理意识（如利用增减性比较函数值）。课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固练习，查漏补缺。

目录 第8讲：反比例函数的概念与性质 1 【知识梳理】 1 知识点1：反比例函数定义 1 知识点2：反比例函数图像 1 知识点3：反比例函数性质 2 【题型演练】 3 【题型一：反比例函数定义】 3 【题型二：求反比例函数解析式】 4 【题型三：反比例函数图像】 5 【题型四：反比例函数增减性运用】 8 【题型五：反比例函数的不等式求解】 9 【巩固练习】 11 第8讲：反比例函数的概念与性质 【知识梳理】 知识点1：反比例函数定义 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 5. 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点2：反比例函数图像 1. 描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2. 图象的特点： （1）反比例函数 (k为常数，且k≠0)的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； （4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x 和直线y=-x).如图： 知识点3：反比例函数性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【题型演练】 【题型一：反比例函数定义】 【例题1】下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【练习1-1】下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【练习1-2】有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【例题2】若是反比例函数，则m的值为_______． 【练习2-1】已知是反比例函数，则函数的图像在第_______象限． 【练习2-2】已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是_______． 【题型二：求反比例函数解析式】 【例题3-1】已知反比例函数图象经过点，则反比例函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【例题3-2】如图，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，6），将线段AB绕点B顺时针旋转90°后得到A'B，若反比例函数y＝的图象经过A′B的中点D，则k的值为____． 【练习3-1】已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 【练习3-2】如图，正方形的顶点A、B在y轴的正半轴上，点E在边上，且，反比例函数的图象经过点C、E，若，则k的值为________． 【练习3-3】如图，的边与轴重合，已知点的坐标为，，．将绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），若点，都在反比例函数的图象上，则的值为________． 【题型三：反比例函数图像】 【例题4】如图所示的是反比例函数与二次函数的图象，则k与a的值可能为（    ）． A． B． C． D． 【练习4-1】函数与y＝ax2﹣bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx+b的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【练习4-2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【练习4-3】定义新运算：a⊕b＝，则函数y＝2⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【变式拓展1】如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【变式拓展2】已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【题型四：反比例函数增减性运用】 【例题5】已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【练习5-1】已知点 都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【练习5-2】若点在函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【练习5-3】若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【变式拓展1】已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 【变式拓展2】已知点和均在反比例函数的图象上，若，，则下列结论一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式拓展3】已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【题型五：反比例函数的不等式求解】 【例题6】如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【练习6-1】如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，．的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【练习6-2】如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【巩固练习】 1．下列函数中是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 3．设，，是反比例函数图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 4．函数 是反比例函数，则m的值是__________． 5．双曲线如图所示，边长为2的正方形顶点A横坐标为2，轴．将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，则k的值是______． 6．已知． (1)化简T； (2)如图，若反比例函数的图象经过点A，且矩形的面积为3，求T的值． 7．如图，已知反比例函数与直线交于点，． (1)求，的值及反比例函数解析式； (2)根据函数图象，直接写出的解集． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 目录 第8讲：反比例函数的概念与性质 1 【知识梳理】 1 知识点1：反比例函数定义 1 知识点2：反比例函数图像 1 知识点3：反比例函数性质 2 【题型演练】 3 【题型一：反比例函数定义】 3 【题型二：求反比例函数解析式】 5 【题型三：反比例函数图像】 10 【题型四：反比例函数增减性运用】 14 【题型五：反比例函数的不等式求解】 20 【巩固练习】 23 第8讲：反比例函数的概念与性质 【知识梳理】 知识点1：反比例函数定义 1. 定义：一般地，如果两个变量x，y之间的对应关系可以表示成（k为常数，）的形式，那么称y是x的反比例函数． 2. 自变量取值范围：，因变量取值范围：． 3. 反比例函数的形式：①；②；③． 4. k称为这个反比例函数的比例系数，无论反比例函数形式如何，k始终为常数且． 5. 利用待定系数法确定反比例函数表达式的一般步骤 步骤 设 代 解 写 设反比例函数表达式为 把已知条件（自变量与函数的对应值）代入所设函数表达式，得到关于k的方程 解方程，求出待定系数k的值 写出函数表达式 知识点2：反比例函数图像 1. 描点法做图 步骤 解读 图示 ①列表 自变量通常取原点附近的相反数，如±1，±2，±3等，然后求出对应的y值 ②描点 以表中的各组对应值作为点的坐标，在平面直角坐标系内描出相应的点 ③连线 用光滑的曲线顺次连接各点并延伸，逐渐靠近坐标轴，但永不与坐标轴相交 2. 图象的特点： （1）反比例函数 (k为常数，且k≠0)的图象是双曲线； （2）反比例函数图象的两支分别位于第一、第三象限或第二、第四象限； （3）双曲线的两支都无限接近坐标轴，但永远不与坐标轴相交； （4）双曲线既是中心对称图形(对称中心是原点)，又是轴对称图形(对称轴是直线y=x 和直线y=-x).如图： 知识点3：反比例函数性质 反比例函数 x，y的取值范围 0，0（与坐标轴无交点） k的符号 k＞0 k＜0 图像 图像的位置 两支曲线分别位于第一、三象限 两支曲线分别位于第二、四象限 性质 在每一象限内，y的值随x值的增大而减小 在每一象限内，y的值随x值的增大而增大 【题型演练】 【题型一：反比例函数定义】 【例题1】下列选项中，表示y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【详解】解：根据反比例函数的定义：满足形式的函数是反比例函数，可知只有是反比例函数； 选项A、B、D不满足反比例函数的定义，不是反比例函数． 【练习1-1】下列函数关系式中，y是x的反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】一般地，形如的函数即为反比例函数，其变形形式为或，由此判断即可． 【详解】解：根据反比例函数定义知，，均不是反比例函数，是一次函数，只有，即是反比例函数， 故选：B． 【点睛】本题考查反比例函数的判断，掌握反比例函数的基本定义以及变形形式是解题关键． 【练习1-2】有下列函数：①；②；③；④；⑤；⑥，是的反比例函数的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】本题考查反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，即形如（为常数，）或（为常数，）的函数为反比例函数，逐一分析各函数即可． 【详解】解：∵反比例函数的定义为（为常数，）或可变形为该形式， ①，符合（），是反比例函数； ②，是正比例函数，不是反比例函数； ③，符合（），是反比例函数； ④可变形为，符合（），是反比例函数； ⑤，分母为不是，不符合反比例函数定义，不是反比例函数； ⑥，不是的形式，不是反比例函数； ∴是反比例函数的有①③④，共3个． 故选：B． 【例题2】若是反比例函数，则m的值为_______． 【答案】3 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】反比例函数的一般形式为 (, 为常数)，可得分母中的次数为，据此列方程计算即可得到的值． 【详解】解：根据反比例函数的定义，可得， 解得． 【练习2-1】已知是反比例函数，则函数的图像在第_______象限． 【答案】二、四 【知识点】判断反比例函数图象所在象限、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的图像分布，熟练判定反比例函数系数的正负性是解题的关键． 先根据反比例函数定义，列方程且，求出，得到函数，再由，得出图像在第二、四象限． 【详解】因为是反比例函数， 所以． 解得． 又因为，满足条件． 所以反比例函数的表达式为， 因为，当时，函数的图像在第二、四象限． 综上，函数的图像在第二、四象限． 故答案为：二、四． 【练习2-2】已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是_______． 【答案】 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围、根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，指数部分应为，且图象在第二、四象限时比例系数小于0． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得，或， 又∵图象在第二、四象限， ∴比例系数，即， ∴不符合，符合， 故答案为． 【题型二：求反比例函数解析式】 【例题3-1】已知反比例函数图象经过点，则反比例函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】求反比例函数解析式 【分析】本题考查了用待定系数法求反比例函数的解析式，设反比例函数的解析式为，然后把点代入求出的值即可，掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：设反比例函数的解析式为， ∵反比例函数图象经过点， ∴， ∴， ∴反比例函数的解析式为：， 故选：． 【例题3-2】如图，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（0，6），将线段AB绕点B顺时针旋转90°后得到A'B，若反比例函数y＝的图象经过A′B的中点D，则k的值为____． 【答案】 【知识点】旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、根据旋转的性质求解、求反比例函数解析式 【分析】作于点，根据全等三角形求得点的坐标，利用中点坐标公式求得点的坐标即可求解． 【详解】解：作于点，如下图： 由题意可得，，， ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∴ 又∵A′B的中点D ∴ ∵反比例函数y＝的图象经过A′B的中点D ∴ 故答案为： 【点睛】本题考查了反比例函数图形上的点的坐标特征，坐标与图形的变换-旋转，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是添加辅助线，构造全等三角形解决问题． 【练习3-1】已知是同一个反比例函数图像上的两个点，则的值为___________． 【答案】 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上的点的坐标特征， 根据反比例函数图象上点的坐标特征，横纵坐标之积相等，列出方程求解． 【详解】解：∵点和点在同一个反比例函数图象上， ∴， 解得． 故答案为：． 【练习3-2】如图，正方形的顶点A、B在y轴的正半轴上，点E在边上，且，反比例函数的图象经过点C、E，若，则k的值为________． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、反比例函数与几何综合、求反比例函数解析式 【分析】过点E作轴于点N，交于点G，延长交x轴于点M，根据正方形，，得,设，则，根据反比例函数的图象经过点C、E，得到，解答即可．本题考查了反比例函数的性质，正方形的性质，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作轴于点N，交于点G，延长交x轴于点M， ∵正方形，，， ∴, 设，则， 根据反比例函数的图象经过点C、E， ∴， 解得． 故答案为：． 【练习3-3】如图，的边与轴重合，已知点的坐标为，，．将绕点逆时针旋转得到（点，的对应点分别为点，），若点，都在反比例函数的图象上，则的值为________． 【答案】/ 【知识点】根据旋转的性质求解、解直角三角形的相关计算、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，解直角三角形，旋转的性质，设，解直角三角形得到，则可求出；再由旋转的性质得到，则可推出，则，解方程即可得到答案． 【详解】解：设， 在中，， ∵点的坐标为， ∴， ∴， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∵点，都在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 故答案为：． 【题型三：反比例函数图像】 【例题4】如图所示的是反比例函数与二次函数的图象，则k与a的值可能为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】根据图象判断出的符号，再进行判读即可． 【详解】解：由图象可知：双曲线过二，四象限，抛物线开口向下， ∴， 只有B选项符合题意； 故选B． 【点睛】本题考查反比例函数的图象，以及二次函数的图象与系数的关系．熟练掌握反比例函数和二次函数的图象和性质，是解题的关键． 【练习4-1】函数与y＝ax2﹣bx+c的图象如图所示，则函数y＝kx+b的大致图象为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、已知反比例函数的图象，判断其解析式、根据一次函数解析式判断其经过的象限 【分析】根据二次函数和反比例函数的图象确定k与b的符号，然后利用一次函数的性质即可求解. 【详解】解：根据反比例函数的图象位于一、三象限知k＞0， 根据二次函数的图象可知a＜0，-b＜0，即b＞0， ∴函数y＝kx+b的大致图象经过一、二、三象限， 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象的知识，熟练掌握三种函数图象和性质是解题的关键. 【练习4-2】二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，反比例函数y＝与正比例函数y＝（2a+c）x在同一坐标系内的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】二次函数图象与各项系数符号、判断（画）反比例函数图象、正比例函数的图象 【分析】首先根据二次函数图象的开口方向确定a＜0，再根据对称轴在y轴右，可确定a与b异号，然后再根据对称轴可以确定2a+c＜0，再根据反比例函数图象的性质和正比例函数图象的性质确定出两个函数图象所在象限，进而得到答案． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴a＜0， ∵， ∴b＝﹣a＞0， ∴ab＜0，反比例函数y＝在第二、四象限， ∵当x＝﹣1时，y＜0，即a-b+c＜0， 把b＝﹣a代入得，2a+c＜0， ∴正比例函数y＝（2a+c）x的图象经过原点，且在第二、四象限， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，正比例函数和反比例函数图象与比例系数的关系，解题关键是通过二次函数图象得出关于正比例函数和反比例函数比例系数的符号解决问题． 【练习4-3】定义新运算：a⊕b＝，则函数y＝2⊕x（x≠0）的图象大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断（画）反比例函数图象 【分析】根据题干中定义的新运算求出y＝2⊕x的解析式，进而判断． 【详解】解：由题意得y＝2⊕x＝， ∴函数图象大致为: 故选：D． 【点睛】本题考查反比例函数图象，解题关键是理解题意，正确得出y＝2⊕x的解析式． 【变式拓展1】如图为反比例函数，，在同一坐标系的图象，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】已知双曲线分布的象限，求参数范围 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据函数所在象限判断出，，，再利用取特殊值的方法得出，即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：由图象可得，，，， 结合图象可得，当时，有， 故， 故选：D． 【变式拓展2】已知a是方程的实数根，则a的取值范围为（    ） A． B． C． D．不能确定 【答案】A 【知识点】判断（画）反比例函数图象、根据交点确定不等式的解集 【分析】本题考查二次函数与反比例函数综合，画出函数和的大致图象，结合函数交点位置判断即可． 【详解】解：函数和的大致位置如图： 根据图形可得函数和交点的横坐标， ∴的解， ∵a是方程的实数根， ∴， 故选：A ． 【题型四：反比例函数增减性运用】 【例题5】已知点，都在反比例函数的图象上，且，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题利用反比例函数的性质解题，先根据函数解析式判断比例系数的符号，得到函数在第三象限的增减性，再结合的大小关系比较的大小． 【详解】解：反比例函数中，， 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内，随的增大而减小， ， 点、都在第三象限的函数图象上， ． 【练习5-1】已知点 都在反比例函数的图象上，且，则的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的性质，掌握反比例函数图象的性质成为解题的关键． 根据反比例函数图象的性质的增减性解答即可． 【详解】解：∵在反比例函数中，， ∴该函数的图象分布在第二、四象限，在每一象限y随x的增大而增大， ∵， ∴． ∴． 故选：D． 【练习5-2】若点在函数的图象上，则a，b，c的大小关系是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．根据题意得出反比例函数图象在第一、三象限，得到在每个象限内随的增大而减小，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象在第一、三象限， ∴在每个象限内随的增大而减小， ∵在反比例函数图象上，且，， ∴， 故选：D ． 【练习5-3】若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：，， ∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大； ∵， ∴， ∴； 故选D． 【点睛】本题考查反比例函数的图象和性质．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键． 【变式拓展1】已知反比例函数（k为常数且），当时，y的最大值是6，则当时，y的最小值为___________． 【答案】 【知识点】判断反比例函数的增减性、求反比例函数值、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查了求反比例函数解析式，反比例函数的增减性，反比例函数的性质，根据题意可得函数图象分别在第二、四象限，则在每个象限内y随x增大而增大，据此可得当时，，利用待定系数法求出函数解析式，再根据增减性可得当时，且当时，函数有最小值，据此可得答案． 【详解】解：∵当时，y的最大值是6， ∴，即函数图象分别在第二、四象限， ∴在每个象限内y随x增大而增大， ∴当时，， ∴， ∴反比例函数解析式为， 当时，则当时，函数有最小值，最小值为， 故答案为：． 【变式拓展2】已知点和均在反比例函数的图象上，若，，则下列结论一定不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断反比例函数的增减性、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】根据反比例函数的性质，结合，分别求出和的取值范围，相加得到的范围，即可判断结论． 【详解】∵反比例函数 中 ∴在每个象限内， 随 的增大而增大，且时，时 对于，，可得当时，，当时， ∴ 对于，，可得当时，，当时， ∴ 将两范围相加，得： 即 ∵ ，∴ A选项符合范围，成立； B选项符合范围，成立； C选项不符合范围，一定不成立； D选项是范围最大值，符合范围，成立． 【变式拓展3】已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A．或 B．且， C．或 D．且， 【答案】D 【知识点】已知反比例函数的增减性求参数、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 【题型五：反比例函数的不等式求解】 【例题6】如图，直线与双曲线交于点和点，则不等式的解集是________． 【答案】或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据两条直线的交点求不等式的解集，求反比例函数解析式，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 先利用点在双曲线的图象上，求出反比例函数解析式，再求出点的横坐标，从而可结合图象求出不等式的解集． 【详解】解：∵点在双曲线的图象上， ∴， ∴双曲线的解析式为， ∵点在双曲线的图象上， ∴，解得：， ∴， 当时，在第一象限内点的左边符合，此时； 在第三象限内点的左边符合，此时， 综上所述，不等式的解集是或， 故答案为：或． 【练习6-1】如图，一次函数与反比例函数的图像交于点，．的解集是（    ） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】D 【知识点】一次函数与反比例函数图象综合判断、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】本题考查了反比例函数解析式，图像法解不等式等知识，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．首先利用待定系数法解得反比例函数解析式，进而确定点坐标，然后根据不等式的解集是一次函数图像在反比例函数图像上方所对应的取值范围，进行求解即可． 【详解】解：将点代入反比例函数， 可得，解得， ∴该反比例函数解析式为， 将代入， 可得，， 解得， ∴， 由图像知，不等式的解集是或． 故选：D． 【练习6-2】如图，在同一直角坐标系中抛物线与双曲线交于，，三点，则满足的自变量x的取值范围是（   ） A．或 B．或 C．或或 D．或或 【答案】D 【知识点】y=ax²+bx+c的图象与性质、比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查了反比例函数与二次函数的图象的性质．观察函数图象，找到抛物线在双曲线上方时的自变量的取值范围即可求解． 【详解】解：观察函数图象，可知当时，或或， 故选：D． 【巩固练习】 1．下列函数中是反比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】根据定义判断是否是反比例函数 【分析】根据反比例函数的定义判断即可． 【详解】解：A、是正比例函数，不符合题意； B、是反比例函数，符合题意； C、是二次函数，不符合题意； D、不是反比例函数，不符合题意； 故选：B． 【点睛】题目主要考查了反比例函数的定义，解题关键是掌握反比例函数的定义并能和其他函数进行区分 2．a≠0，函数y＝与y＝﹣ax2+a在同一直角坐标系中的大致图象可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】反比例函数、二次函数图象综合判断、已知反比例函数的图象，判断其解析式 【分析】分a＞0和a＜0两种情况分类讨论即可确定正确的选项 【详解】当a＞0时，函数y＝ 的图象位于一、三象限，y＝﹣ax2+a的开口向下，交y轴的正半轴，没有符合的选项， 当a＜0时，函数y＝的图象位于二、四象限，y＝﹣ax2+a的开口向上，交y轴的负半轴，D选项符合； 故选D． 【点睛】本题考查了反比例函数的图象及二次函数的图象的知识，解题的关键是根据比例系数的符号确定其图象的位置，难度不大． 3．设，，是反比例函数图象上的三点，则，，的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】比较反比例函数值或自变量的大小 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数在每个象限内的增减性是解题关键． 根据反比例函数的图象与性质对三个点的值进行排序． 【详解】解：∵反比例函数解析式为，， ∴图象分布在第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ∴在第二象限，， ∴，在第四象限，，， ∵在第四象限，越大，越大， ∴，则， ∴． 故选：． 4．函数 是反比例函数，则m的值是__________． 【答案】4 【知识点】根据反比例函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了反比例函数的定义，函数需满足指数为且系数不为零． 【详解】解：由反比例函数的定义，得 且 ． 解方程 ， 解得 或 ． 又因为 ，所以 ．因此 ， 故答案为4． 5．双曲线如图所示，边长为2的正方形顶点A横坐标为2，轴．将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上，则k的值是______． 【答案】 【知识点】根据正方形的性质求线段长、利用平移的性质求解、求反比例函数解析式 【分析】本题考查的是正方形的性质，平移的性质，反比例函数的应用；先判断落在双曲线上，设平移后，则，再进一步求解即可． 【详解】解：∵将正方形向正下方平移，两个顶点可同时落在双曲线上， ∴落在双曲线上， ∵边长为2的正方形顶点A横坐标为2， ∴设平移后，则， ∴， 解得：， ∴， ∴， 故答案为：． 6．已知． (1)化简T； (2)如图，若反比例函数的图象经过点A，且矩形的面积为3，求T的值． 【答案】(1)； (2)． 【知识点】反比例函数与几何综合、分式加减乘除混合运算、求反比例函数解析式 【分析】本题主要考查分式的化简求值以及反比例函数（）中的几何意义．解题关键在于熟练运用分式运算规则进行化简，准确利用反比例函数的性质确定的值，再代入求值． （1）先对进行通分计算，再根据除法运算法则，将除法转化为乘法进行化简．这一步主要依据分式的基本运算规则，通分是为了将两个分式化为同分母分式进行减法运算，除法变乘法是利用除以一个数等于乘以它的倒数这一规则． （2）利用反比例函数中的几何意义，由矩形的面积得出的值，再结合函数图象所在象限确定的值，最后代入化简后的表达式求值．这里反比例函数（为常数，）中，过双曲线上任意一点作轴、轴的垂线，所得矩形面积为 是关键知识点． 【详解】（1）解： （2）解：∵反比例函数的图象经过点，矩形的面积为． ∴，即 ． ∵反比例函数图象在第二、四象限， ∴，则． 把代入，得． 7．如图，已知反比例函数与直线交于点，． (1)求，的值及反比例函数解析式； (2)根据函数图象，直接写出的解集． 【答案】(1)，，反比例函数的解析式为 (2)或 【知识点】根据两条直线的交点求不等式的解集、一次函数与反比例函数的交点问题、求反比例函数解析式 【分析】（1）先根据一次函数图象上点的坐标特征求出、的值，得出点、点的坐标，再根据待定系数法求反比例函数的解析式即可； （2）根据图象，结合点、点的坐标，即可求解． 【详解】（1）解：∵点，在直线的图象上， 故将代入，得， 将代入，得， 解得； 故点的坐标为，点的坐标为； ∵点在反比例函数的图象上， 故将代入，得， 解得， 故反比例函数的解析式为． （2）解：点的坐标为，点的坐标为，结合图象可得的解集为或． 2 学科网（北京）股份有限公司 $