专题 26.8 二次函数复习专题（3）——二次函数平移、对称、翻折变换（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

该初中数学讲义通过知识梳理系统构建二次函数变换知识体系，以框架图呈现平移、对称、翻折三大变换规律，用“左加右减、上加下减”口诀归纳平移规则，分类梳理三种核心对称及翻折变换特征，要点提示强调a值不变等关键联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于分层题型设计，基础题型如单一平移求解析式夯实运算能力，综合题型如一般式平移、平移逆运算培养推理意识，方法指导“先配方转化顶点式”提升解题效率，同步检测覆盖选择填空解答题，助力不同学生提升，支持教师精准教学。

专题 26.8 二次函数复习专题（3）——二次函数平移、对称、翻折变换（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】二次函数平移变换规律（必考口诀） 1 【知识点2】二次函数对称变换（三种核心对称） 2 【知识点3】二次函数翻折变换（中考压轴高频） 2 【知识点4】变换通用核心结论 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】单一平移变换求解析式 3 【题型2】对称变换求解析式 3 【题型3】翻折变换基础判断 4 三.题型精析（综合提升） 5 【题型4】一般式平移（高频易错题型） 5 【题型5】平移逆运算（已知新旧图像求平移过程或原抛物线解析式） 6 【题型6】配方+平移+对称综合运算 7 四.同步检测 8 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 11 一.知识梳理 【知识点1】二次函数平移变换规律（必考口诀） 二次函数平移仅改变抛物线顶点位置，不会改变开口大小与开口方向，因此平移前后二次项系数 保持恒定不变。所有平移运算均依托顶点式 中 的变化完成。 平移核心口诀：左加右减，上加下减（仅适用于顶点式） 1. 左右平移（改变自变量） 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 2. 上下平移（改变常数项） 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 【要点提示】 1. 口诀仅限顶点式使用，一般式不可直接套用平移口诀，必须先配方化为顶点式，再进行平移运算； 2. “左加右减”针对单独自变量运算，切勿对整体括号内代数式随意加减； 3. 平移变换核心特征： 值全程不变，只需更新顶点 坐标即可确定新解析式。 【知识点2】二次函数对称变换（三种核心对称） 二次函数对称变换后，抛物线开口宽窄保持不变（ 不变），开口方向、顶点坐标随对称方式发生对应改变。设原抛物线顶点式为：。 1. 关于x轴对称 变换特征：开口方向反向，顶点横坐标不变，纵坐标变号 新解析式： 2. 关于y轴对称 变换特征：开口方向不变，顶点横坐标变号，纵坐标不变 新解析式： 3. 关于原点对称 变换特征：开口方向反向，顶点横、纵坐标全部变号 新解析式： 【要点提示】 1. 对称变换最优解题思路：先确定原抛物线顶点与，根据对称规则更新顶点与符号，直接写新顶点式； 2. 关于轴对称，符号不变；关于轴、原点对称， 符号取反； 3. 题干给出一般式时，优先配方为顶点式再计算，规避复杂的整式展开运算。 【知识点3】二次函数翻折变换（中考压轴高频） 翻折变换本质为局部轴对称变换，主要分为沿轴翻折、沿轴翻折两类，常结合绝对值函数、分段函数考查，是中考高频考点。 1. 沿x轴翻折（下方翻上） 变换规则：将轴下方的图像翻折至轴上方，轴上方图像保持不变 解析式特征：，x轴下方函数值取相反数，上方函数值保持不变。 2. 沿y轴翻折（右侧翻左） 变换规则：图像整体关于轴对称，左右两侧图像互换位置 解析式特征：将原式中替换为，即 【要点提示】 1. 沿轴翻折后图像为分段函数，顶点位置、函数最值会发生改变，需重新分析判断； 2. 若原抛物线全部位于轴上方，无下方图像，则沿翻折后图像保持不变； 3. 沿轴翻折与关于轴对称完全等价，可直接套用对称变换公式解题。 【知识点4】变换通用核心结论 1. 平移变换： 完全不变，仅改变抛物线顶点坐标； 2. 关于轴对称、沿轴翻折： 符号保持不变； 3. 关于轴、原点对称、沿轴翻折： 符号取反； 4. 所有二次函数图像变换题型，优先转化为顶点式求解，可大幅简化运算、减少出错。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】单一平移变换求解析式 解题技巧：统一先化为顶点式，严格套用“左加右减、上加下减”平移口诀，计算完成后可根据需求展开为一般式。 【例题1】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）将抛物线平移后得到抛物线，这个平移的过程可能是（    ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将抛物线先向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则平移后的抛物线的函数解析式为___________． 【变式2】（2026·安徽芜湖·一模）把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【变式3】（23-24九年级上·福建福州·阶段检测）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移变化是向上平移_______个单位长度． 【题型2】对称变换求解析式 解题技巧：锁定原抛物线顶点坐标与符号，根据对称变换规则，同步更新与顶点坐标，直接写出新解析式。 【例题2】（2025·陕西西安·模拟预测）若抛物线与抛物线关于直线对称，则m，n的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式1】（25-26九年级上·北京房山·期中）抛物线上有一点，点是点A关于抛物线对称轴的对称点，则点的坐标为________． 【变式2】（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折．若原函数图象的顶点、与轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，若为直角三角形，则长为_____ 【题型3】翻折变换基础判断 解题技巧：先分析原抛物线顶点、开口方向与x轴交点，判断是否存在x轴下方图像，再确定翻折后图像形态、顶点与最值。 【例题3】（2025九年级上·湖南长沙·竞赛）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，将第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折．若直线与翻折后的图象有四个交点，则的取值范围是____________． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 三.题型精析（综合提升） 【题型4】一般式平移（高频易错题型） 解题技巧：一般式无法直接平移，必须先配方转化为标准顶点式，再套用平移口诀计算，最后可展开还原为一般式。 【例题4】（2024·江苏南京·二模）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为． （1）求b，c的值； （2）将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，直接写出经过两次平移后的二次函数的关系式． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后对应的函数表达式为，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【变式3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． （1）求点D的坐标； （2）将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________． 【题型5】平移逆运算（已知新旧图像求平移过程或原抛物线解析式） 解题技巧：分别求出原抛物线、新抛物线的顶点坐标，通过对比顶点横、纵坐标的变化，反向推导完整平移规律。 【例题9】（25-26九年级上·吉林长春·期中）将抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位，回答下列问题： （1）原抛物线的对称轴为____________； （2）所得抛物线的顶点坐标为____________； （3）所得抛物线的解析式为____________． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）抛物线是由原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，则原抛物线解析式为______． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）将二次函数（）的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的表达式是，则原函数的表达式是________． 【变式3】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线经过、、三点． （1）求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； （2）该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【题型6】配方+平移+对称综合运算 解题技巧：分步解题、逐步化简，先配方转化顶点式，再完成平移变换，最后根据对称规则更新参数，避免步骤混淆出错。 【例题9】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）将抛物线绕顶点旋转，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为___________． 【变式2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【变式3】（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）已知抛物线． （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为______． （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为______． （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为______． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分 1．24-25九年级上·四川自贡·阶段检测）将抛物线通过平移后得到，则这个平移过程正确的是（    ） A．向右平移2个单位，向下平移1个单位 B．向左平移2个单位，向下平移1个单位 C．向右平移2个单位，向上平移1个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 2．（25-26九年级上·山西大同·期中）在平面直角坐标系中，保持抛物线不动，若将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为（    ）． A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，先将抛物线向右平移1个单位长度，再将平移后的图象位于直线上方的部分沿该直线向下翻折，得到如图所示的图象．当直线与图象有四个交点时，的取值范围是（   ） A． B．1 C． D． 5．（2024·湖北·二模）平移是初中学习过的重要初等变换，如：抛物线向右平移两个单位可以得到抛物线．依据这个规律，则方程的根的个数共有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 6．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 7．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）在函数、、的图象中，具有沿某条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合的性质的图象有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 8．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）将抛物线沿着其对称轴上下平移，当平移后的抛物线的顶点在直线上时，平移后的抛物线与轴交点的纵坐标为______． 10．（24-25九年级上·上海·阶段检测）函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为______． 11．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数（为常数）． （1）当时，该函数图象的顶点坐标为________； （2）若将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的图象与轴两交点之间的距离为2，则的值为________． 12．（25-26九年级上·北京房山·期中）抛物线上有一点，点是点A关于抛物线对称轴的对称点，则点的坐标为________． 13．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左边，交y轴于C点，现将抛物线沿射线方向平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________． 14．（25-26九年级上·福建厦门·周测）已知二次函数的与的部分对应值如下表 x 0 1 2 y 1 2 1 下列结论：①该函数图象是抛物线，且开口向下；②该函数图象关于直线对称；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于．其中正确的结论有________．（仅填序号） 15．（2025·广东河源·一模）抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为________． 16．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为点，将其向左平移一个单位长度后图象关于轴对称．下列四个命题，其中真命题的序号是_________； ①；      ②对于任意实数，总有； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25九年级上·全国·单元测试）把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度． （1）写出平移后的抛物线的解析式； （2）指出平移后的抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）当平移后y随x 的增大而减小时，x的取值范围是什么？ 18．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； （3）点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标． 19．（24-25九年级·浙江温州·学业考试模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． （1）求该抛物线的函数表达式和对称轴． （2）将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 20．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.8 二次函数复习专题（3）——二次函数平移、对称、翻折变换（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理 1 【知识点1】二次函数平移变换规律（必考口诀） 1 【知识点2】二次函数对称变换（三种核心对称） 2 【知识点3】二次函数翻折变换（中考压轴高频） 2 【知识点4】变换通用核心结论 3 二.题型精析（夯实基础） 3 【题型1】单一平移变换求解析式 3 【题型2】对称变换求解析式 4 【题型3】翻折变换基础判断 7 三.题型精析（综合提升） 14 【题型4】一般式平移（高频易错题型） 14 【题型5】平移逆运算（已知新旧图像求平移过程或原抛物线解析式） 16 【题型6】配方+平移+对称综合运算 19 四.同步检测 23 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分 23 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 29 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 36 一.知识梳理 【知识点1】二次函数平移变换规律（必考口诀） 二次函数平移仅改变抛物线顶点位置，不会改变开口大小与开口方向，因此平移前后二次项系数 保持恒定不变。所有平移运算均依托顶点式 中 的变化完成。 平移核心口诀：左加右减，上加下减（仅适用于顶点式） 1. 左右平移（改变自变量） 向左平移 个单位： 向右平移 个单位： 2. 上下平移（改变常数项） 向上平移 个单位： 向下平移 个单位： 【要点提示】 1. 口诀仅限顶点式使用，一般式不可直接套用平移口诀，必须先配方化为顶点式，再进行平移运算； 2. “左加右减”针对单独自变量运算，切勿对整体括号内代数式随意加减； 3. 平移变换核心特征： 值全程不变，只需更新顶点 坐标即可确定新解析式。 【知识点2】二次函数对称变换（三种核心对称） 二次函数对称变换后，抛物线开口宽窄保持不变（ 不变），开口方向、顶点坐标随对称方式发生对应改变。设原抛物线顶点式为：。 1. 关于x轴对称 变换特征：开口方向反向，顶点横坐标不变，纵坐标变号 新解析式： 2. 关于y轴对称 变换特征：开口方向不变，顶点横坐标变号，纵坐标不变 新解析式： 3. 关于原点对称 变换特征：开口方向反向，顶点横、纵坐标全部变号 新解析式： 【要点提示】 1. 对称变换最优解题思路：先确定原抛物线顶点与，根据对称规则更新顶点与符号，直接写新顶点式； 2. 关于轴对称，符号不变；关于轴、原点对称， 符号取反； 3. 题干给出一般式时，优先配方为顶点式再计算，规避复杂的整式展开运算。 【知识点3】二次函数翻折变换（中考压轴高频） 翻折变换本质为局部轴对称变换，主要分为沿轴翻折、沿轴翻折两类，常结合绝对值函数、分段函数考查，是中考高频考点。 1. 沿x轴翻折（下方翻上） 变换规则：将轴下方的图像翻折至轴上方，轴上方图像保持不变 解析式特征：，x轴下方函数值取相反数，上方函数值保持不变。 2. 沿y轴翻折（右侧翻左） 变换规则：图像整体关于轴对称，左右两侧图像互换位置 解析式特征：将原式中替换为，即 【要点提示】 1. 沿轴翻折后图像为分段函数，顶点位置、函数最值会发生改变，需重新分析判断； 2. 若原抛物线全部位于轴上方，无下方图像，则沿翻折后图像保持不变； 3. 沿轴翻折与关于轴对称完全等价，可直接套用对称变换公式解题。 【知识点4】变换通用核心结论 1. 平移变换： 完全不变，仅改变抛物线顶点坐标； 2. 关于轴对称、沿轴翻折： 符号保持不变； 3. 关于轴、原点对称、沿轴翻折： 符号取反； 4. 所有二次函数图像变换题型，优先转化为顶点式求解，可大幅简化运算、减少出错。 二.题型精析（夯实基础） 【题型1】单一平移变换求解析式 解题技巧：统一先化为顶点式，严格套用“左加右减、上加下减”平移口诀，计算完成后可根据需求展开为一般式。 【例题1】（25-26九年级上·贵州遵义·期末）将抛物线平移后得到抛物线，这个平移的过程可能是（    ） A．向上平移5个单位长度 B．向下平移5个单位长度 C．向左平移5个单位长度 D．向右平移5个单位长度 【答案】A 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，通过比较两抛物线的顶点坐标，原顶点与新顶点仅y坐标变化，故为上下平移，据此可解答． 解：∵原抛物线的顶点为，新抛物线的顶点为 ， ∴顶点纵坐标从变为2，增加了5，横坐标不变， ∴平移过程为向上平移5个单位. 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）将抛物线先向上平移2个单位长度，向左平移3个单位长度，则平移后的抛物线的函数解析式为___________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的平移，熟练掌握平移口诀是解题关键． 根据二次函数图象平移规则“左加右减，上加下减”进行计算即可． 解：由函数平移口诀“左加右减，上加下减”可得， 平移后的函数解析式为． 故答案为：． 【变式2】（2026·安徽芜湖·一模）把抛物线向右平移个单位，然后向上平移个单位，则平移后抛物线的解析式为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平移口诀“左加右减，上加下减”进行判断即可． 解：根据题意，平移后的抛物线的解析式为． 【变式3】（23-24九年级上·福建福州·阶段检测）将抛物线平移得到抛物线，则这个平移变化是向上平移_______个单位长度． 【答案】3 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，函数图象平移规律是：左加右减，上加下减．根据图象平移规律，可得答案． 解：将抛物线平移得到抛物线，则这个平移变化是向上平移3个单位长度． 故答案为：3 【题型2】对称变换求解析式 解题技巧：锁定原抛物线顶点坐标与符号，根据对称变换规则，同步更新与顶点坐标，直接写出新解析式。 【例题2】（2025·陕西西安·模拟预测）若抛物线与抛物线关于直线对称，则m，n的值为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】由抛物线可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点，抛物线的对称轴为直线，根据题意得到，点关于直线对称的点，在抛物线上，进而求得，． 解：由抛物线可知抛物线的对称轴为直线，交轴于点， 抛物线的对称轴为直线， 抛物线与抛物线关于直线对称， ， 解得， 点关于直线对称的点在抛物线上， 把点代入得， 解得， 故选：C． 【点拨】本题主要考查二次函数的性质，二次函数的图象与几何变换，表示出抛物线的对称轴以及轴对称的性质是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·北京房山·期中）抛物线上有一点，点是点A关于抛物线对称轴的对称点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查抛物线对称轴及轴对称：先求抛物线的对称轴，再利用对称性质求点的坐标． 解：抛物线（）的对称轴为， 点关于对称轴的对称点的横坐标满足，解得，纵坐标不变， 故点的坐标为， 故答案为：． 【变式2】（2026·陕西西安·三模）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象沿轴翻折．若原函数图象的顶点、与轴的两交点和翻折后图象的顶点，组成的四边形为正方形，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先对二次函数变形，求出原函数与x轴交点和顶点坐标，再得到沿x轴翻折后的顶点坐标，根据四个点组成正方形的性质，利用对角线相等列方程求解a． 解：∵， 令，解得或， ∴原函数与轴两交点为和，两交点间距离为，即四边形的一条对角线长为． 对原二次函数配方，得， ∴原函数顶点坐标为， ∵图象沿轴翻折，翻折后顶点横坐标不变，纵坐标变号， ∴翻折后顶点坐标为， ∴两顶点之间的距离为，即四边形的另一条对角线长为． ∵四个点组成的四边形对角线互相垂直平分，若为正方形则对角线相等， ∴， 解得． 【变式3】（2024·吉林长春·模拟预测）在平面直角坐标系中，抛物线的顶点为点，与轴交于点，点关于抛物线对称轴的对称点为，若为直角三角形，则长为_____ 【答案】 【分析】先求出抛物线顶点A、点B、点C的坐标，根据点A在BC的垂直平分线上得到，确定直角顶点为A，利用等腰直角三角形的性质求出的值，再用勾股定理计算的长度即可． 解：将代入得， 因此， 抛物线的对称轴为直线， ∵点是点关于对称轴的对称点， ∴， ∴， 将代入抛物线解析式得顶点的纵坐标为， 因此， ∵点在的垂直平分线上， ∴， 若为直角三角形，则直角顶点只能为， 如图，设中点为，连接， 则，， 由等腰直角三角形性质得， 即， 整理得， 当时，，此时三点重合，舍去， 因此，所以，即， 由勾股定理得， 代入得． 【题型3】翻折变换基础判断 解题技巧：先分析原抛物线顶点、开口方向与x轴交点，判断是否存在x轴下方图像，再确定翻折后图像形态、顶点与最值。 【例题3】（2024九年级上·湖南长沙·竞赛）如图，已知抛物线过点，，且它的对称轴为，点是抛物线对称轴上的一点，且点在第一象限．当的面积为15时，求的坐标为________． 【答案】 【分析】运用待定系数法求得解析式，设，运用待定系数法求得直线的解析式为，设直线与抛物线对称轴交于点H，则，可得到，利用三角形面积公式建立方程求解即可． 解：设抛物线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵点B是抛物线对称轴上的一点，且点B在第一象限， ∴设， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 设直线与抛物线对称轴交于点， 则， ∴， ∵的面积为15， ∴， ∴， 解得：， ∴点B的坐标为． 【变式1】（24-25九年级上·湖北武汉·阶段检测）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B，将第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据抛物线解析式，求出，，再利用特殊角的正切值，得到，根据轴对称的性质，作点关于的对称点，则点在抛物线上，连接，过点作于点，证明是等边三角形，进而得到，，设，则，利用特殊角的三角函数值，求出，则，根据点的纵坐标；列一元二次方程，求出，从而得到，即可得解． 解：抛物线， 令，则，解得：，， 点A是抛物线与x轴正半轴交点， ， ， 令，则， ， ， 在中，， ， 由题意可知，第一象限的抛物线沿翻折，翻折后的抛物线与y轴交于点C， 作点关于的对称点，则点在抛物线上，连接，过点作于点， ，， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 设，则， ， ， 在中，， ， ， ， ， 解得：或（舍）， ， ， 点C的坐标为， 故选：D． 【点拨】本题考查了二次函数的图象和性质，解直角三角形的应用，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，一元二次方程的应用，坐标与图形，利用数形结合的思想解决问题是关键． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）如图，将抛物线的图象位于直线以上的部分向下翻折．若直线与翻折后的图象有四个交点，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象变换，涉及了二次函数与一次函数的交点问题，根据题意，画出新图象，找出直线与抛物线有四个交点的区间，再分别讨论直线与和重合时的的值，即可求解． 解：令，则， 解得，， ． 如图，当位于和之间时， 它与翻折后的图象有四个交点． ①若与重合，过点， ，； ②若与重合， 与函数的图象有一个公共点， 方程， 即有两个相等的实根， ， ． 故若直线与翻折后的图象有四个交点， 则的取值范围为． 故答案为：． 【变式3】（25-26八年级下·北京·期末）将二次函数的图象在轴上方的部分沿轴翻折后，所得新函数的图象如图所示，当直线与新函数的图象恰有个公共点时，的取值范围为______． 【答案】 【分析】当直线经过点时，直线与新函数的图象有个公共点，把点的坐标代入解析式求出，当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是，当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点，根据一元二次方程根的判别式求出的值，即可得到的取值范围． 解：解方程， 分解因式可得， 可得，， 点的坐标为，点的坐标为， 当直线经过点时， 可得， 解得， 此时，直线与新函数的图象有个公共点， 直线再往下平移，则直线与新函数的图象有个公共点， ， 把抛物线整理成顶点坐标式， 可得， 抛物线的顶点坐标是， 点关于轴对称的点的坐标是， 当时，抛物线关于轴翻折后的图象的解析式是， 当直线与的图象有一个交点时，直线与新函数图象有个交点， 方程有两个相等的实数根， 整理可得， ， 解得， 当时，直线与新函数的图象恰有个公共点． 三.题型精析（综合提升） 【题型4】一般式平移（高频易错题型） 解题技巧：一般式无法直接平移，必须先配方转化为标准顶点式，再套用平移口诀计算，最后可展开还原为一般式。 【例题4】（2024·江苏南京·二模）已知二次函数的图象与x轴的一个交点坐标为，与y轴的交点坐标为． （1）求b，c的值； （2）将二次函数的图象先向下平移2个单位，再向左平移1个单位，直接写出经过两次平移后的二次函数的关系式． 【答案】（1）2，3；（2） 【分析】（1）由题意把和代入即可求得结果； （2）先把（1）中的函数关系式化为顶点式，再根据抛物线的平移规律“左加右减，上加下减”求解． （1）解：把和代入得，， 解得，； （2）解：∵，， ∴， ∴向下平移2个单位，再向左平移1个单位后得到的表达式为． 【变式1】（25-26八年级下·山东济南·期末）将抛物线向左平移2个单位，向上平移1个单位，所得抛物线的表达式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先将原抛物线配方为顶点式，再按二次函数平移规律“上加下减常数项，左加右减自变量”，可得到结果． 解：∵ ∴向左平移2个单位，自变量加2，得 ， 再向上平移1个单位，常数项加1，得 ， ∴所得抛物线的表达式为 ． 【变式2】（25-26九年级上·云南昭通·阶段检测）二次函数的图象先向右平移2个单位，再向下平移1个单位后对应的函数表达式为，则（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象平移规律及多项式相等的条件，熟练掌握“左加右减，上加下减”的平移法则，以及通过比较多项式系数求解参数是解题的关键． 先根据函数平移的“左加右减，上加下减”法则，对原二次函数进行平移变换，得到平移后的函数表达式；再将其与题目给出的平移后函数进行对比，通过比较系数求出和的值． 解：∵原函数为， ∴向右平移2个单位后：， ∴向下平移1个单位后：，即， ∵平移后函数为， ∴， ∴， ∵等式左边无项， ∴，解得， ∴代入常数项：， 故选：B． 【变式3】（24-25九年级上·吉林长春·期中）如图，正方形的顶点A在抛物线上，顶点在x轴的正半轴上，且点B的坐标为． （1）求点D的坐标； （2）将抛物线沿x轴向右平移，使平移后的抛物线经过点D，平移后抛物线的表达式为___________． 【答案】（1）；（2）或 【分析】此题主要考查了二次函数图象的平移以及待定系数法求二次函数解析式，正方形的性质，正确得出各点坐标是解题关键． （1）根据题意得出点坐标，进而得出点坐标； （2）设平移后抛物线解析式为，把点代入求出答案． 解：（1）解：，点在抛物线上， ， 又正方形中，， ； （2）解：设抛物线沿x轴向右平移后抛物线解析式为：，把代入得： 则， 解得：，， 平移后抛物线解析式为：或． 故答案为：或． 【题型5】平移逆运算（已知新旧图像求平移过程或原抛物线解析式） 解题技巧：分别求出原抛物线、新抛物线的顶点坐标，通过对比顶点横、纵坐标的变化，反向推导完整平移规律。 【例题9】（25-26九年级上·吉林长春·期中）将抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位，回答下列问题： （1）原抛物线的对称轴为____________； （2）所得抛物线的顶点坐标为____________； （3）所得抛物线的解析式为____________． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，平移规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先把一般式化为顶点式，得出原抛物线的对称轴为，即可作答． （2）根据平移规律“左加右减，上加下减”进行分析，即可作答． （3）把平移后的顶点式化为一般式，即可作答． （1）解：∵ ∴， ∴抛物线的对称轴为； （2）解：由（1）得 ∵将抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位， ∴ 即平移所得抛物线的顶点坐标为； （3）解：由（2）得平移所得的抛物线解析式， 整理得抛物线的解析式为． 【变式1】（2025·广东深圳·三模）抛物线是由原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到，则原抛物线解析式为______． 【答案】 【分析】反向思考即可得到原抛物线的解析式，即把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到原抛物线． 解：∵抛物线是由原抛物线先向左平移3个单位，再向下平移2个单位得到 ∴把抛物线先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到原抛物线 ∴ 即 故答案为：． 【点拨】本题考查了抛物线的平移，关键是反向思考，另外掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 【变式2】（24-25九年级上·陕西西安·期末）将二次函数（）的图象先向右平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得图象的表达式是，则原函数的表达式是________． 【答案】 【分析】根据二次函数表达式是易得新抛物线的顶点，然后得到经过平移后的原抛物线的顶点，根据平移不改变二次项的系数可得原抛物线解析式． 解：∵平移后抛物线的解析式是， ∴此抛物线的顶点为（1，4）， ∵向左平移3个单位，再向上平移2个单位可得原抛物线顶点， ∴原抛物线顶点为（-2，6）， ∴原抛物线的解析式是． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数图象与性质，掌握二次函数图象的平移与坐标的变化规律是解题的关键． 【变式3】（24-25九年级上·上海·阶段检测）已知抛物线经过、、三点． （1）求抛物线的解析式，并写出抛物线的顶点的坐标； （2）该抛物线经过平移后得到新抛物线，求原抛物线平移的方向和距离． 【答案】（1）抛物线的解析式为，抛物线的顶点的坐标为；（2）原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析，二次函数的平移． （1）根据题意设抛物线的解析式为，将代入求解即可，再配成顶点式，即可写出顶点的坐标； （2）先求得新抛物线顶点的坐标为，利用平移的性质即可求解． 解：（1）解：∵抛物线经过、， ∴设抛物线的解析式为， 将代入得， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∴抛物线的顶点的坐标为； （2）解：∵， ∴新抛物线顶点的坐标为， ∵抛物线的顶点的坐标为， ∴原抛物线向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到新抛物线． 【题型6】配方+平移+对称综合运算 解题技巧：分步解题、逐步化简，先配方转化顶点式，再完成平移变换，最后根据对称规则更新参数，避免步骤混淆出错。 【例题9】（24-25九年级上·浙江宁波·期中）将抛物线绕顶点旋转，再向上平移2个单位，则平移后的抛物线解析式为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与几何变换与平移，根据抛物线绕它的顶点旋转后，开口方向与原方向相反，再根据抛物线的开口方向与a的正负有关，使旋转后的抛物线的开口方向相反，取a的相反数， 再结合“上加下减，左加右减”的法则进行解答即可． 解：抛物线的顶点坐标为：， 将抛物线绕顶点旋转，则抛物线变成， 再将抛物线再向上平移2个单位，则抛物线变成， 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·山东菏泽·阶段检测）在平面直角坐标系中，将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线，点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧．若，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象的平移问题，先求出抛物线的对称轴，再根据平移方式可得抛物线的对称轴，根据可得抛物线开口向下，则离对称轴越远函数值越小，据此结合列式求解即可． 解：∵抛物线的解析式为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵将抛物线（、为常数，且）沿轴向右平移7个单位得到抛物线， ∴抛物线的对称轴为直线，且开口向下， ∴抛物线图象上的点离直线越远，函数值越小， ∵点、均在抛物线上，且位于抛物线对称轴的两侧，， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式2】（24-25九年级上·广东珠海·期中）函数（，）的图象（如图所示）是由函数（，）的图象x轴上方部分不变，下方部分沿x轴向上翻折而成，则下列结论：①；②；③；④将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，其中正确的是（   ）    A．①②④ B．①③ C．①② D．②③ 【答案】A 【分析】本题考查二次函数的图象与系数之间的关系．二次函数的平移，待定系数法求函数解析式，熟练掌握抛物线的对称性，利用数形结合的思想进行求解是解题的关键．①根据图象与轴的两个交点，求出对称轴，即可得到结论；②由的图象可知：与轴的交点为，根据翻折特点，即可解题；③根据对称轴，判断的符号，结合，的符号，即可得到的符号；④先求出图象的顶点坐标，得到平移后的顶点坐标，即可得出结论． 解：由图知，函数（，）的图象与轴交于，， 函数对称轴为直线， ， 则，，故①正确； 函数图象与轴交于， 由翻折性质可知，，故②正确； ，对称轴为直线， ， ， ，故③错误； 由图知，， 函数图象与轴交于， 过点， 即， 解得， 函数为， 即， 当时，， 即的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后的顶点坐标为， 将图象向上平移1个单位长度后与直线有3个交点，故④正确． 综上所述，正确的有①②④， 故选：A． 【变式3】（25-26九年级上·北京西城·阶段检测）已知抛物线． （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为______． （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为______． （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为______． 【答案】 【分析】先将抛物线解析式化为顶点式，再根据二次函数图象平移规律（左加右减，上加下减）与翻折的规律（沿x轴翻折，x不变y变为相反数，沿y轴翻折，y不变，x变为相反数）分别求解（1）（2）（3）即可． 解：解， （1）将向右平移3个单位长度，向下平移2个单位长度得到函数的解析式为， 即， 故答案为：； （2）将沿x轴翻折得到函数的解析式为， 即， 故答案为：； （3）将沿y轴翻折得到函数的解析式为， 即， 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数图象的平移与翻折规律，熟练掌握二次函数图象的平移与翻折规律是解题的关键． 四.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分 1．24-25九年级上·四川自贡·阶段检测）将抛物线通过平移后得到，则这个平移过程正确的是（    ） A．向右平移2个单位，向下平移1个单位 B．向左平移2个单位，向下平移1个单位 C．向右平移2个单位，向上平移1个单位 D．向左平移2个单位，向上平移1个单位 【答案】B 【分析】直接利用二次函数平移规律进而得出答案． 解：抛物线的顶点坐标为（1，0） 抛牪线的顶点坐标为（-1，-1） ∵把点（1，0）先向左平移2个单位，再向下平移1个单位得到（-1，-1） ∴将抛物线向左平移2个单位，再向下平移1个单位可得到． 故选：B． 【点拨】此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键． 2．（25-26九年级上·山西大同·期中）在平面直角坐标系中，保持抛物线不动，若将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，则该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，由，由将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度，则相当于把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度，据此根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可，解题的关键是掌握平移的规律：左加右减，上加下减． 解：由， ∵将平面直角坐标系水平向右平移个单位长度，竖直向上平移个单位长度， ∴相当于把抛物线向左平移个单位长度，向下平移个单位长度， ∴该抛物线在新的平面直角坐标系中的解析式为， 故选：． 3．（24-25九年级上·湖南长沙·期中）将抛物线向左平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，得到的抛物线的顶点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，依据题意，由抛物线为，再结合由抛物线的变化规律“上加下减，左加右减”，从而可得新的抛物线为，进而可以判断得解． 解：由题意，抛物线为， 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，可得新抛物线为，即． 此时顶点坐标为． 故选：B． 4．（2025·内蒙古·模拟预测）如图，先将抛物线向右平移1个单位长度，再将平移后的图象位于直线上方的部分沿该直线向下翻折，得到如图所示的图象．当直线与图象有四个交点时，的取值范围是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换、一次函数的性质及函数图象交点问题，解题关键是掌握一次函数在坐标系中的平移与变换后的二次函数图象的位置关系． 先找到一次函数与新图象有三个交点的和，再求出此时m的取值，即可得到答案． 解：将抛物线向右平移1个单位长度，得， 令，则， 解得或， ∴， 平移直线知：直线位于和时，它与新图象有三个不同的公共点，如图所示： ①当直线位于时，此时l1过点， ∴，即； ②当直线位于时，此时与函数的图象有一个公共点， ∴方程， 即有两个相等实根， ∴， 即 由①②知若直线与新图象只有四个交点，m的取值范围为． 故选C． 5．（2024·湖北·二模）平移是初中学习过的重要初等变换，如：抛物线向右平移两个单位可以得到抛物线．依据这个规律，则方程的根的个数共有（    ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】C 【分析】本题考查函数图像法解方程，反比例函数、二次函数的性质与平移，画函数图像，掌握函数图像法解方程，反比例函数、二次函数的性质与平移，画函数图像是解题关键．先将方程变形整理，得出函数与函数都向右平移两个单位，可得交点个数与的交点个数相同，，反比例函数位于一三象限，在每个象限内y随x的增大而减小，画出的图像，二次函数顶点为，对称轴y轴，函数图像经过一、二象限，在第一象限，随x的增大而增大，画出函数图像，得出两函数只有一个交点即可． 解：∵ ∴ ∴ ∴函数与函数，都向右平移两个单位， ∴交点个数与的交点个数相同， ∵，反比例函数位于一、三象限，在每个象限内y随x的增大而减小， 列表 x … 1 2 3 … 3 1.5 1 描点，连线如图 二次函数顶点为，对称轴y轴，函数图像经过一、二象限，在第一象限，随x的增大而增大， 列表 x … 0 1 2 … … 4 1 0 1 1 … 描点连线 ∴两函数只有一个交点， ∴只有一个交点， ∴方程的只有一个根． 故选：C． 6．（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线，将抛物线C平移得到抛物线，若两条抛物线关于直线对称，则平移的方法是（    ） A．将抛物线C向右平移4个单位 B．将抛物线C向右平移5个单位 C．将抛物线C向右平移6个单位 D．将抛物线C向右平移7个单位 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数图象的平移，抛物线与坐标轴的交点坐标的求法，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．找一个点，经过平移后这个点与直线对称，抛物线C与y轴的交点为，与A点以对称轴对称的点是，若将抛物线C平移到，就是要将B点平移后以对称轴与A点对称，则B点平移后坐标应为，因此将抛物线C向右平移6个单位． 解：抛物线， 抛物线对称轴为， 抛物线与y轴的交点为， 则与A点以对称轴对称的点是， 若将抛物线C平移到，并且C，关于直线对称， 就是要将B点平移后以对称轴与A点对称， 则B点平移后坐标应为， 因此将抛物线C向右平移6个单位． 故选：C ． 7．（24-25九年级下·安徽合肥·开学考试）在函数、、的图象中，具有沿某条直线翻折，直线两旁的部分能够互相重合的性质的图象有（　　） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数、反比例函数和二次函数所具有的性质及其图象的特点． 先分别判断函数、、的图象形状，然后沿某条直线翻折，看直线两旁的部分能够互相重合． 解：函数是正比例函数，其图象是一条直线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合； 函数是反比例函数，其图象是双曲线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合； 函数是二次函数，其图象是抛物线，沿某条直线翻折后，直线两旁的部分能够互相重合． 故选：D． 8．（2025·内蒙古呼伦贝尔·二模） 已知二次函数及一次函数，将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方，图象的其余部分不变，得到一个新图象（如图所示），当直线与新图象有4个交点时，的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．也考查了二次函数图象与几何变换．解方程得，，再利用折叠的性质求出折叠部分的解析式为，即，然后求出直线经过点时的值和当直线与抛物线有唯一公共点时的值，从而得到当直线与新图象有4个交点时，的取值范围． 解：如图， 当时，，解得，，则，， 将该二次函数在轴上方的图象沿轴翻折到轴下方的部分图象的解析式为， 即， 当直线经过点时，，解得； 当直线与抛物线有唯一公共点时，方程有相等的实数解，解得， 所以当直线与新图象有4个交点时，的取值范围为． 故选：B． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 9．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）将抛物线沿着其对称轴上下平移，当平移后的抛物线的顶点在直线上时，平移后的抛物线与轴交点的纵坐标为______． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，二次函数图象上点的坐标特征，根据平移规律表示出平移后的函数解析式是解题的关键．根据题意设平移后的抛物线的解析式为，顶点为，代入从而求得，令即可求得y的值． 解：∵， ∴设平移后的抛物线的解析式为，顶点为， ∵平移后的抛物线的顶点在直线上， ∴， ∴， ∴当时，， ∴平移后的抛物线与y轴交点的纵坐标为1， 故答案为：1． 10．（24-25九年级上·上海·阶段检测）函数的图像与轴交于点、，将函数的图像向上平移，平移后的图像与轴交于点、．若，则平移后的图像对应的函数表达式为______． 【答案】 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，二次函数的性质．先解方程得到，，则，所以，由于函数的图象向上平移时对称轴不变，对称轴为直线，而C、D关于直线对称，所以，，然后利用交点式写出平移后抛物线的解析式． 解：当时，， 解得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵函数的图象向上平移时对称轴不变，仍然为直线， ∴，， ∴平移后抛物线的解析式为， 即． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·安徽阜阳·期末）已知二次函数（为常数）． （1）当时，该函数图象的顶点坐标为________； （2）若将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的图象与轴两交点之间的距离为2，则的值为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，平移的性质： （1）把函数解析式化为顶点式，即可求解； （2）根据平移的性质可得到新函数的解析式为，令，解出方程可得，再根据新函数的图象与轴两交点之间的距离为2，即可求解． 解：（1）当时，， ∴该函数图象的顶点坐标为； 故答案为：； （2）∵， ∴将该函数图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得新函数的解析式为， 当时，， 解得：， ∴新函数与x轴的交点坐标为， ∵新函数的图象与轴两交点之间的距离为2， ∴， 解得：． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·北京房山·期中）抛物线上有一点，点是点A关于抛物线对称轴的对称点，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】本题考查抛物线对称轴及轴对称：先求抛物线的对称轴，再利用对称性质求点的坐标． 解：抛物线（）的对称轴为， 点关于对称轴的对称点的横坐标满足，解得，纵坐标不变， 故点的坐标为， 故答案为：． 13．（25-26九年级上·重庆綦江·期中）如图，二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左边，交y轴于C点，现将抛物线沿射线方向平移个单位，则平移后的抛物线的解析式为__________． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数图象的平移，勾股定理等，将沿射线方向平移转化为左右平移是解决问题的关键．先求出点B、C的坐标，利用勾股定理得到长度，进而确定平移方式，然后把解析式化为顶点式，再根据平移规律：自变量加减左右移，函数值加减上下移，即可解答． 解：对于，令，则， ∴， ∴； 令，则， 解得，， ∵二次函数的图象交x轴于A、B两点，B在A的左面， ∴， ∴， ∴， ∴点C沿射线方向平移个单位后与点B重合， ∴抛物线沿射线方向平移个单位，相当于先向下平移3个单位，再向左平移3个单位， ∵原抛物线解析式， ∴平移后抛物线解析式为， 故答案为：． 14．（25-26九年级上·福建厦门·周测）已知二次函数的与的部分对应值如下表 x 0 1 2 y 1 2 1 下列结论：①该函数图象是抛物线，且开口向下；②该函数图象关于直线对称；③当时，函数值随的增大而增大；④方程有一个根大于．其中正确的结论有________．（仅填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查二次函数，采用待定系数法可求得二次函数的表达式，根据二次函数图象的性质，逐项判断即可． 解：因为点在二次函数图象上，可得 ． 因为点和点在二次函数图象上，可得 解得 所以二次函数表达式为． 所以该函数是抛物线，开口向下，结论①正确． 二次函数的对称轴，结论②正确． 二次函数开口向下，对称轴为，所以当时，函数值y随的增大而增大，结论③正确． 解一元二次方程，解得，，两个根都小于，结论④错误． 故答案为：①②③ 15．（2025·广东河源·一模）抛物线的图象先向左平移3个单位，再向上平移4个单位，再把抛物线绕顶点旋转180°，得到的新图象的解析式为________． 【答案】 【分析】易得抛物线的顶点坐标，进而可得到平移后的新坐标，也就得到了平移后的抛物线的解析式，绕抛物线顶点旋转180°得到新抛物线的解析式的二次项系数互为相反数，顶点坐标不变，即可解答． 解： 所以原抛物线的顶点为，向左平移3个单位，再向上平移4个单位，那么新抛物线的顶点为； 可设新抛物线的解析式为， 代入得：， 把抛物线绕顶点旋转180°， 可得新抛物线的解析式的二次项的系数为，顶点不变， 所以，所求的抛物线解析式为：， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·湖北武汉·期中）抛物线交轴于点和，交轴于点，顶点为点，将其向左平移一个单位长度后图象关于轴对称．下列四个命题，其中真命题的序号是_________； ①；      ②对于任意实数，总有； ③抛物线上有两点和，若，且，则； ④点关于抛物线对称轴的对称点为，点分别在轴和轴上，当时，四边形周长的最小值为． 【答案】①③ 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质、轴对称最短路径等内容．由抛物线与x轴两交点关于对称轴对称即可判断①；由题易得抛物线关于直线对称，所以当有最大值，对于任意实数t，，当时取等，即可判断②；根据，且，可以得到点Q距离对称轴更远，因此再根据开口方向即可判断出③；先求出抛物线解析式，再求出D和E坐标，进而画出图形，作对称，根据两点距离公式求解即可判断④． 解：∵将抛物线向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称， ∴平移后的交点和关于y轴对称， ∴， ∴， 故①正确，符合题意； ∵将抛物线向左平移一个单位长度后图象关于y轴对称， ∴抛物线关于直线对称， ∴当时，y有最大值，即， ∴对于任意实数t，， ∴， 故②错误，不符合题意； ∵， ∴点P和点Q在对称轴两侧，即点P在对称轴左侧，点Q在对称轴右侧， ∵， ∴， ∴点Q距离对称轴更远， ∵开口向下， ∴， 故③正确，符合题意； ∵抛物线关于直线对称， ∴， ∴， 当时，抛物线解析式为， ∴，， ∵点C和点E关于对称轴对称， ∴， ∴， 如图，作点D关于y轴对称点，作点E关于x轴对称点，则，， ∴， 四边形周长， 当四点共线时，， 此时四边形周长有最小值为， 故④错误，不符合题意； 综上，真命题的有①③， 故答案为：①③． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（24-25九年级上·全国·单元测试）把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度． （1）写出平移后的抛物线的解析式； （2）指出平移后的抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标； （3）当平移后y随x 的增大而减小时，x的取值范围是什么？ 【答案】（1）；（2）开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为；（3） 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，二次函数的平移问题： （1）根据“上加下减，左加右减”的平移规律求解即可； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）平移后的抛物线解析式开口向下，则在对称轴右侧，y随x 的增大而减小，据此可得答案． （1）解：把抛物线向左平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度后得到的抛物线解析式为； （2）解：∵平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线解析式开口向下，对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：∵平移后的抛物线解析式开口向下， ∴在对称轴右侧，y随x 的增大而减小， 又∵对称轴为直线， ∴当y随x 的增大而减小时，． 18．（23-24九年级上·全国·课后作业）如图，已知二次函数的图象经过点和点． （1）求该二次函数的解析式； （2）求该二次函数图象的对称轴及顶点坐标； （3）点（其中）与点均在该函数图象上，且这两点关于函数图象的对称轴对称，求的值及点的坐标． 【答案】（1）；（2）该二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为；（3） ， 点的坐标为 【分析】（1）用待定系数法（将图像上两点坐标代入解析式即可）； （2）由（1）得出的抛物线解析式，配方确定出对称轴和顶点坐标； （3）将点代入二次函数解析式求出m的值，由于点C和点D关于抛物线的对称轴对称即可求得． （1）解：二次函数的图象经过点和点， 得：， 解得：， 二次函数的解析式为：； （2）解：， 二次函数图象的对称轴为直线，顶点坐标为； （3）解：点函数图象上， ， 解得：， ， 舍去， ， 点C和点D关于抛物线的对称轴对称，对称轴为直线， ． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数及二次函数的性质，正确求出二次函数的表达式是解题关键． 19．（24-25九年级·浙江温州·学业考试模拟）如图，抛物线与轴交于点，与轴交于点，已知． （1）求该抛物线的函数表达式和对称轴． （2）将点向上平移个单位得到点，将向左平移个单位得到，将向右平移个单位得到，已知和均在抛物线上，求和的值． 【答案】（1）；直线；（2）， 【分析】（1）根据待定系数法即可求解解析式，进而可知对称轴； （2）根据平移的性质即可求得坐标，进而代入即可求解． （1）解：当时，， ． ， ，， ，， 代入到抛物线的表达式得， 解得， 抛物线的函数表达式为， 对称轴为直线． （2）解：由（1）得，点， 由平移的性质得，点，， 将点代入函数表达式可知： 解得或（舍去）． 20．（24-25九年级下·广东惠州·开学考试）如图1，已知抛物线与轴交于、两点，与轴交于点． （1）求抛物线的函数表达式； （2）若矩形的顶点，在位于轴上方的抛物线上，一边在轴上（如图2），设点的坐标为，矩形的周长为，求的最大值及此时点的坐标； （3）在（2）的前提下（即当取得最大值时），在抛物线的对称轴上是否存在一点，使沿直线折叠后，点刚好落在轴上？若存在，请求出所有满足条件的点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）的最大值为，；（3）或 【分析】此题考查了二次函数的图象和性质、矩形的性质、轴对称的性质等知识，数形结合是关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）设点，根据对称性得到，则矩形的周长为，即可求出答案； （3）设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点， 由题意可知，，且,即，且，即可求出答案． 解：（1）解：∵抛物线与轴交于、两点， ∴ 解得 ∴抛物线的函数表达式为； （2）设点， ∵， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵点M和点F关于直线对称， ∴， ∴矩形的周长为， 即的最大值为，此时，即； （3）存在， 设点，由（2）可知，点，则点，沿直线折叠后，点刚好落在轴上，即为点， 由题意可知，，且, 即，且， 解得，， ∴或 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $