专题 26.2（1）二次函数y=ax²(a≠0)的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦二次函数y=ax²（a≠0）的图象与性质，先通过知识回顾列表描点连线画函数图象奠定基础，再系统梳理抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最值及增减性，构建从基础画图到性质应用的学习支架。 资料特色在于知识梳理与题型精析紧密结合，分层设计基础到综合培优题型，如描点法画图培养几何直观（数学眼光），增减性分析发展推理意识（数学思维），几何与函数综合题提升模型意识（数学语言）。课中辅助教师分层教学，课后同步检测帮助学生查漏补缺，巩固知识。

专题 26.2（1） 二次函数y=ax²（a≠0）的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识回顾】用列表、描点、连线画函数图象 1 【题型 1】描点法画函数图象 1 【知识点】二次函数（）的图象与性质 3 【题型 2】二次函数开口大小与方向 4 【题型 2】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 6 【题型 3】二次函数的增减性 9 二.综合培优题型精析 11 【题型 4】二次函数的图象和性质与几何综合 11 【题型 5】二次函数的图象和性质与一次函数综合 15 三.同步检测 19 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 19 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 25 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 30 一.知识梳理与基础题型精析 【知识回顾】用列表、描点、连线画函数图象 1. 列表：精准取值、算准函数值； 2. 描点：坐标对应、位置准确； 3. 连线：顺序平滑、贴合函数形态。 【要点提示】函数图象直观反映函数的增减性、最值、对称性等核心性质，是数形结合思想的基础应用。 【题型 1】描点法画函数图象 【例题1】（24-25九年级上·全国·课后作业）通过列表、描点、连线的方法画函数的图象． 【答案】见分析 【分析】首先列表求出图象上点的坐标，进而描点连线画出图象． 解：列表得： x … 0 1 2 3 … y … 0 … 描点、连线． 【点拨】本题主要是考查了利用列表描点连线法画二次函数图形，熟练掌握画函数图像的基本步骤，是求解本题的关键． 【变式】（25-26九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象． （1）列表： x … 0 1 3 … … … … … （2）描点并连线． （3）写出这两个图象的位置关系：______________． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）关于x轴对称 【分析】本题主要考查二次函数图象的绘制及性质．本题先通过代入计算得到函数值完成列表，再根据函数性质判断图象位置关系． （1）根据函数表达式，将给定的值代入计算和的值； （2）直接根据（1）的表格数据描点并连线即可； （3）通过观察所绘制的图象得出两个图象的位置关系． 解：（1）解：列表如下： x … 0 1 3 … … 3 0 3 … … 0 … （2）解：如图所示． （3）解：观察图像可知：关于x轴对称． 【知识点】二次函数（）的图象与性质 1. 二次函数图象：二次函数 的图象叫做抛物线. 2. 二次函数 的图象与性质： 一般地，当时，抛物线 的开口向上，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是拋物线的最低点，的值越大，抛物线的开口越小.反之，越大；当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大. 当时，抛物线 的开口向下，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是拋物线的最高点，的值越大，抛物线的开口越大.反之，越小；当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小. 按图象与性质归纳如下： 性质 a > 0（开口向上） a < 0（开口向下） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线（即轴） 直线（即轴） 顶点坐标 最值 顶点为最低点，当时，，无最大值 顶点为最高点，当时，，无最小值 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小 【特别提示】 的大小意义：越大，抛物线开口越窄；越小，抛物线开口越宽。原理：越大，随变化的速度越快，曲线越陡峭。 【题型 2】二次函数开口大小与方向 【例题2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）在函数①，②，③中，图像开口大小顺序用序号表示应为（　　） A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③ 【答案】C 【分析】由越小，开口越大即可判断． 解：∵，，， ∴， ∵越小，开口越大， ∴， 故选：C． 【点拨】本题考查二次函数图像性质，解题关键是熟练掌握越小，开口越大． 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线①；②，③的开口大小，从大到小依次为_______． 【答案】③①② 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，它的开口方向由的值决定，开口大小则由决定，越大，抛物线的开口越小，越小，抛物线的开口越大，据此解答即可． 解：∵抛物线①；②，③中，， ∴抛物线①；②，③的开口大小，从大到小依次为③①②． 故答案为：③①②． 【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（    ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 二次函数中，系数决定抛物线的开口方向和大小；的符号改变时，开口方向改变，但不变则开口大小不变；对称轴和顶点坐标均不变. 解：∵原函数，，开口向上；新函数，，开口向下， ∴开口方向改变； ∵， ∴开口大小不变； ∵对称轴均为， ∴对称轴不变； ∵顶点坐标均为， ∴顶点坐标不变． 故选：B． 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了二次函数的图象，抛物线开口大小与二次项系数的绝对值大小成反比，正确记忆开口方向和大小与a的关系是解题关键． 直接利用二次函数的图象开口大小和方向与a的关系进而得出答案． 解：如图所示：的开口向上，， 与开口向下，则， ∵的开口大于开口， ∴ ∴， ∴ 故选：D． 【题型 2】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 【例题2】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的解析式，并画出其图象； （2）请说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴及最值． 【答案】（1），图像见分析；（2），y轴，最大值0 【分析】（1）直接将点的坐标代入求出关系式，再画出图像即可； （2）观察图像即可得出答案． 解：（1）将，代入，得 ． 所以二次函数的关系式为． 如图所示．    （2）观察图象可知二次函数的顶点坐标是，对称轴是y轴，开口向下有最大值0． 【点拨】本题主要考查了二次函数图象和性质，画出图像，并能从图像中获取信息是解题的关键． 【变式1】（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 【答案】C 【分析】本题考查了的图象和性质，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据的性质求解即可． 解：函数，，都是形式， 二次函数， 顶点坐标均为，对称轴均为y轴，最低点均为， 但a值分别为，1，2，不相等， ∴图象开口大小不同，形状不同， 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）抛物线，开口 _____，顶点坐标为 __，对称轴为 __；抛物线，开口____，顶点坐标为 ______，对称轴为 ____．相比之下，抛物线 _____的开口程度较大． 【答案】 向上 y轴 向上 y轴 【分析】本题考查二次函数的相关知识．根据二次函数的性质逐一填写即可． 解：抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴； 抛物线，开口向上，顶点坐标为，对称轴为y轴． 相比之下，抛物线的开口程度较大． 故答案为：向上，，y轴，向上，，y轴，． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）填表 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 【答案】见分析 【分析】根据二次函数，，的图象与性质即可完成填表． 解： 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 上 y轴 最小值0 y随x增大而增大 下 y轴 最大值1 y随x增大而减小 上 直线 最小值0 y随x增大而增大 【点拨】本题考查了一类特殊的二次函数的图象与性质，掌握这些知识是关键． 【题型 3】二次函数的增减性 【例题3】（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）根据下列条件求的取值范围： （1）二次函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （2）二次函数有最小值； 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解一元一次不等式等知识点，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据二次项的系数小于0，对称轴左边随的增大而增大，对称轴右边随的增大而减小，可列出一元一次不等式，解之即可得出答案； （2）根据二次函数有最小值，可得二次项的系数大于 0 ，据此列出一元一次不等式，解之即可得出答案； 解：（1）解：∵当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大， ∴， 解得：； （2）解：∵函数有最小值， ∴， 解得：． 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）对于二次函数，当时，随的增大而（    ） A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，根据二次函数的性质判断开口方向，再根据对称轴分析增减性即可． 解：∵， ∴二次函数开口向下， ∵二次函数的对称轴为， ∴当时，随的增大而增大． 故选：C． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）已知， （1）当________时，它的图象是开口向下的抛物线；当x________（填取值范围）时，y随x的增大而增大． （2）当________时，它的图象是开口向上的抛物线；当x________（填取值范围）时，y随x的增大而增大． 【答案】（1）；；（2）1； 【分析】本题考查了二次函数的定义及函数的增减性，牢记二次函数的增减性是解答本题的关键． （1）（2）函数 的图像为抛物线时，指数 ，解得 ，开口方向由系数 的符号决定： 时开口向下， 时开口向上，增减性根据二次函数的性质判断即可． 解：（1）解：当图像是开口向下的抛物线时，需满足 且 解 得 ，所以 ， 由 ，得 ， 此时函数为 ，是开口向下的抛物线， 当 时，y 随 x 的增大而增大； （2）解：当图像是开口向上的抛物线时，需满足 且 ， 解 得 ，所以 ， 由 ，得 此时函数为 ，是开口向上的抛物线， 当 时，y 随 x 的增大而增大． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）已知函数是关于的二次函数． （1）求满足条件的的值． （2）当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．为何值时，随的增大而增大？ （3）当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？为何值时，随的增大而减小？ 【答案】（1）；（2）；最高点的坐标为；当时，随的增大而增大；（3）；最小值为；当时，随的增大而减小 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题关键． （1）由于函数是二次函数，所以的次数为，且系数不为，即可求出满足条件的的值； （2）抛物线有最高点，所以开口向下，系数小于，再根据（1）中结论即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质作答； （3）函数有最小值，则开口向上，系数大于，根据（1）中结论即可确定满足条件的值，再根据二次函数性质作答． 解：（1）解：函数是关于的二次函数， 且， 解得：． （2）解：当抛物线有最高点时，抛物线开口向下，即， ， 最高点的坐标为． 当时，随的增大而增大． （3）解：当函数有最小值时，抛物线开口向上，即， ， 最小值为． 当时，随的增大而减小． 二.综合培优题型精析 【题型 4】二次函数的图象和性质与几何综合 【例题4】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． （1）求二次函数的解析式； （2）为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）；（2）或 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解、函数与直线的交点坐标计算，以及等边三角形的性质，熟练结合函数与几何图形的性质是解题关键． （1）利用二次函数图象上点的坐标特征，代入已知点坐标求出函数解析式； （2）先结合直线方程与二次函数解析式求出交点坐标，再根据等边三角形的中线、高的性质，计算出顶点的坐标． 解：（1）解：二次函数的图象经过点， ， 解得：， 二次函数的解析式为； （2）解：将代入， 解得：，， 点、的坐标分别为，， ，， 是等边三角形， 易得点在轴上，且， 轴， ， ， 点的坐标为， 点的坐标为或． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】根据正方形的性质求出直线的解析式，然后联立方程求出交点坐标，根据勾股定理求解即可． 解：根据正方形的性质可得， ∴直线的解析式为， 联立， 解得或， ∴， ∴， 在正方形中， ∴． 【变式2】（2026·山东东营·模拟预测）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 【答案】 【分析】根据点的坐标确定和的横坐标，代入函数解析式求出纵坐标，进而表示出线段的长度． 解：点的坐标为，且轴， 点和的横坐标均为， 点在抛物线上，点在直线上， 点的坐标为，点的坐标为， ， ， ， ， ， ． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． （1）求的值； （2）若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）把点代入抛物线解析式进行求解即可； （2）由（1）可得点的坐标，然后代入得出点的坐标，进而问题可求解． 解：（1）解：把代入抛物线得： ， 解得：； （2）解：由（1）可知抛物线的解析式为， ∴当时，则有，解得：， 当时，则有， ∴， ∴． 【题型 5】二次函数的图象和性质与一次函数综合 【例题6】（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点． （1）求a和b的值； （2）当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ （3）求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【答案】（1），；（2）当时，二次函数的函数值随的增大而增大；（3）点的坐标为． 【分析】（1）先求出点A的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）根据二次函数的性质求解即可； （3）联立两函数解析式，解之即可得到答案． 解：（1）解：在中，当时，， ∴，即， 把点A的坐标代入得， ∴； （2）解：由（1）得二次函数的解析式为， ∴对称轴为y轴，函数图象开口向下， ∴当时，二次函数的函数值随的增大而增大； （3）解：联立，解得或， ∴点B的坐标为． 【变式1】（25-26九年级上·上海·课后作业）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数和二次函数的图象，熟练掌握二次函数的图象和一次函数的图象与系数之间的关系是解题的关键．由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，即可排除A，然后根据二次函数的开口方向，一次函数经过的象限进行判断． 解：由一次函数可知，一次函数的图象与轴交于点，排除A； 当时，二次函数开口向上，一次函数经过一、二、三象限，排除B； 当时，二次函数开口向下，一次函数经过二、三、四象限，排除C． 故选：D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是__________． 【答案】或或 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小．分别把M、N点的坐标代入得a的值，根据二次函数的性质得到a的取值范围． 解：当时， 把点代入，得； 把点代入，得， 如图： ∵如果抛物线与线段没有公共点， ∴a的取值范围为或． 当时。抛物线开口向下，与线段没有公共点， 综上，a的取值范围是或或． 故答案为：或或． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 【答案】（1）；（2），的最小值为 【分析】本题考查了二次函数的应用、一次函数的应用、轴对称的性质等知识，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）先根据二次函数的解析式求出，，再利用待定系数法求解即可得； （2）先求出，再作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，则点即为所求，利用待定系数法求出直线的解析式，则可得点的坐标，然后利用两点之间的距离公式即可得最小值． 解：（1）解：将代入得：， ∴， 将代入得：， ∴， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为． （2）解：将代入得：， ∴， 如图，作点关于轴的对称点，连接，交轴于点， 由轴对称的性质得：， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，即的值最小，最小值为， ∴与轴的交点即为所求， 设直线的函数解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入得：，解得， ∴此时点的坐标为， 综上，此时点的坐标为，的最小值为． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】函数图象上的点的坐标一定满足函数解析式，将各选项点的横坐标代入解析式，计算得到的y值与点的纵坐标相等，该点就在函数图象上，由此判断选项即可． 解：A选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； B选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意； C选项，当时，，与点的纵坐标相等， ∴在该函数图象上，符合题意； D选项，当时，， ∴不在该函数图象上，不符合题意． 2．（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据反比例函数，一次函数，二次函数的性质，逐项判断，即可求解． 解：A、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； B、因为，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； C、因为，且对称轴为y轴，则当时，的值随值的增大而增大，故本选项不符合题意； D、因为，则当时，的值随值的增大而减小，故本选项符合题意； 3．（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 解：∵二次函数中，， ∴抛物线开口向上，对称轴为轴， ∴当时，随的增大而增大， ∵点、、的横坐标满足，都在对称轴右侧， ∴． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键． 将点代入二次函数解析式求解的值即可． 解：∵函数经过点， 当时，， 代入得：, 解得： 故选：A． 5．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查二次函数图象的开口性质，抛物线的开口大小由二次项系数的绝对值决定，的绝对值越小，抛物线开口越大，只需比较三个二次项系数的绝对值大小即可得出结果 解：三个抛物线的二次项系数分别为，，，分别计算它们的绝对值得： ，， ∵ ，即 又∵对于抛物线，二次项系数的绝对值越小，图象开口越大， ∴ 抛物线的开口最大， 6．（2026·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N．若M是的中点，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】由抛物线的对称性可知点的坐标，可得，将代入两个抛物线方程即可求得的关系． 解：由题意可知，抛物线的对称轴为y轴，抛物线的对称轴为直线． 抛物线与抛物线相交于点，M是的中点， 由抛物线的对称性可知，，即． 将点代入，可知，，， 则， ， ， ． 7．（2026·河南洛阳·一模）如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则．设直线的解析式，求出、两点的横坐标，再利用证得三角形相似，结合的线段比例关系建立与的等式，最终推导出二者的数量关系． 解：如图，分别过点，向轴作垂线，垂足分别为，，则． 设直线的解析式，点，的横坐标分别为，. ∵点在和上， ∴，解得， 同理，． ∵， ∴， ∴， 即，化简得． 故选：D． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的图象与性质，需根据二次函数的开口方向、形状、顶点坐标及增减性的相关知识逐一分析选项． 解：∵二次函数（）中，决定开口方向和形状，两个函数的相同 ∴开口方向相同，形状相同，故A、B选项结论正确． ∵的顶点坐标为，的顶点坐标为， ∴两个函数顶点坐标不同，故C选项结论不正确． ∵两个函数的对称轴均为轴，且开口向上 ∴当时，随着的增大而减小，故D选项结论正确． 故选：C． 9．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的解析式求解、图形的旋转变换，解题的关键是利用旋转的坐标变化规律确定线段的位置，再结合抛物线解析式求交点坐标． 1． 代入点坐标求出抛物线解析式； 2． 根据旋转规则确定点的坐标，得到的纵坐标； 3． 将的纵坐标代入抛物线解析式，求出点的横坐标，得到点坐标． 解：将代入， 得， 解得， 故抛物线解析式为． 绕点顺时针旋转得到， 则旋转后对应 且， 故的纵坐标为． 点在上，故其纵坐标为； 将代入抛物线，得（舍去负根，因在第一象限）， 旋转后对应， 故是从到的线段， 纵坐标恒为． 代入得（舍去）， 故． 故选：C． 10．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数与垂直于x轴的直线交点坐标问题，以及由特殊到一般的归纳总结方法，掌握归纳总结的方法是解题的关键． 由可得，，则可得，则可得，再利用，进行计算即可． 解：∵过点的垂线，交的图象于点，交直线于点， ∴令，可得纵坐标为，纵坐标为 ， ，， ． ， ． 故选：D． （2） 填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 【答案】下 【分析】根据二次函数的性质即可得到二次函数图象的开口方向； 解：∵二次函数中，， ∴二次函数的图象开口向下； 12．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据二次函数的性质，抛物线在对称轴右侧部分下降，说明抛物线开口向下，据此可得的取值范围． 解：抛物线在对称轴的右侧部分下降， 抛物线开口向下， ， 故答案为：． 13．（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】将两点的横坐标分别代入二次函数解析式，求出对应函数值，再比较大小即可． 解：将代入，得， 将代入，得， ∵， ∴． 14．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知，是二次函数的图象上的两点．若，则__________ ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．解决本题的关键是熟练掌握二次函数的性质．确定抛物线的对称轴为y轴，由于抛物线开口向下，在对称轴左侧，y随x的增大而增大，于是可判断与的大小． 解：∵二次函数， ∴抛物线开口向下，对称轴为y轴， ∴在对称轴左侧，y随x的增大而增大， ∵， ∴， 故答案为：． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 【答案】 【分析】本题考查图形的平移、二次函数的图象性质、勾股定理，熟练掌握二次函数的图象性质是解题的关键．设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位，得到点、的坐标，根据抛物线，求得、的值，进而求出点到点的距离即可． 解：设沿轴正方向平移个单位，沿轴正方向平移个单位， 则点、， 由于点、都在抛物线上， 则， 解得， 将代入得：， ∴， 故答案为：． 16．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形ABCD的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 【答案】/0.5 【分析】本题考查二次函数与几何的综合应用，正方形的性质，全等三角形的性质和判定等知识，过点B作轴于点F，过点D作轴于点E，结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得，进而求解即可．解题的关键是构造全等三角形． 解：过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ，， ． ， ， ，， ，， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ， ， ∵， ∴． 故答案为：． 17．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）若抛物线上两点和，与原点点围成等腰直角三角形，且斜边轴，．则_________． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，求二次函数的解析式．由题意得到两点关于轴对称的解题的关键． 利用等腰直角三角形的性质，且斜边轴，即可得到两点关于轴对称，再由的长度即可求出点的坐标，最后利用待定系数法即可求出的值． 解：是等腰直角三角形，且斜边轴， 轴垂直平分线段， 两点关于轴对称， ， ， 把代入中，解得． 故答案为：． 18．（25-26九年级上·广东江门·期中）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ 【答案】/8米 【分析】本题考查了的图象和性质，拱桥问题（实际问题与二次函数）等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先求得抛物线的解析式，再求出的纵坐标，从而可求得水位上升的距离． 解：设抛物线的解析式为， ∵当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为， ∴，， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为， 当水面宽时， 的横坐标为， ∴的纵坐标为， ∴水位上升 ， 故答案为：． （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线经过点． （1）试判断点是否在此抛物线上． （2）设点，是此抛物线上的两点．若，试判断，的大小关系． 【答案】（1）点不在此抛物线上，理由见分析；（2），理由见分析 【分析】本题主要考查二次函数，牢记二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入，求得解析式后，将代入后可判断； （2）由条件可知、两点都在对称轴左侧，利用二次函数的单调性质可比较大小． 解：（1）解：将代入，得， 这个函数的表达式为． 当时，， 点不在此抛物线上． （2）解：当时，函数值随的增大而增大， 又∵， ． 20．（本小题满分8分）（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯形的顶点都在抛物线上，且轴．点的坐标为，点的坐标为． （1）求a，b的值． （2）求，两点的坐标． 【答案】（1），；（2）点的坐标为，点的坐标为 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）分别将和的坐标代入解析式即可； （2）由抛物线的对称性和、的坐标即可得到答案． 解：（1）解：当时，， ． 点在第三象限， ． 当时，， ． 综上：． （2）解：轴， 点与点，点与点的纵坐标相同． 关于轴对称， 点的坐标为，点的坐标为． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析；（4）见分析 【分析】本题考查了二次函数的图像和性质，结合图象求解是解题关键． （1）根据题意画出函数图象即可； （2）结合图象求解即可； （3）结合图象求解即可； （4）结合图象求解即可． 解：（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、图象，如图所示： ； （2）函数顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向上，对称轴是y轴， 顶点坐标是，开口向下，对称轴是y轴； （3）图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是， 图象中的最低点的坐标是， 图象中的最高点的坐标是； （4），时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小， ，时，y随x的增大而减小，时，y随x的增大而增大， ，时，y随x的增大而增大，时，y随x的增大而减小． 22．（本小题满分10分）（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． （1） _______； _______； （2）求直线的函数表达式； （3）当 时， 的取值范围为_____． 【答案】（1）；；（2）；；（3） 【分析】此题主要考查了运用待定系数法求函数解析式，二次函数的图象及性质，熟练求解直线的解析式是解题的关键． （1）将点代入求出的值，再将点代入求解即可； （2）运用待定系数法求出直线的解析式即可； （3）观察图象，利用数形结合法求解即可； 解：（1）解：∵点在的图象上， ∴， 解得， ∴， 当时，； 故答案为：；； （2）解：∵，， 设直线的解析式为， 把，点坐标代入得， 解得，， ∴直线的解析式为：； （3）解：对于抛物线， ∵， ∴当时，有最小值为0， ∵，， ∴当时，y的取值范围为． 23．（本小题满分10分） （2025九年级上·福建厦门·专题练习）二次函数的图像与直线交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)当x取何值时，二次函数值y随x的增大而减小？ (3)当时，求二次函数值y的最大值和最小值． 【答案】(1) (2) (3)最大值为，最小值为0 【分析】（1）先求出点的纵坐标，再求出二次函数的解析式； （2）根据（1）中求得的二次函数解析式，得出开口方向与对称轴，再确定增减性； （3）根据（1）中求得的二次函数解析式，在范围内求出二次函数值y的最大值和最小值． （1）解：∵直线过点， ∴， ∴， 又二次函数的图像与直线交于点， ∴， ∴， ∴二次函数的表达式为． （2）∵二次函数， ∴开口向上，对称轴为轴， ∴当时，二次函数值y随x的增大而减小； （3）二次函数， 当时，； 当时，； 当时，， 所以当时，求二次函数值y的最大值为，最小值为0． 【点睛】本题考查了求一次函数自变量或函数值，的图象和性质，的最值，待定系数法求二次函数解析式等知识，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 【答案】(1) (2)是， 【分析】（1）结合菱形的性质，得出，由勾股定理得，得到，再把代入进行计算，即可作答． （2）结合正方形的性质和二次函数的性质，得出，再通过证明，把数值代入进行计算，得因为点B，D在y轴的同侧，所以即，据此即可作答． （1）解：设交y轴于点E， 设菱形的边长为， 则． 关于y轴对称， ． ， ， ， 把代入， 得， 解得或（舍去）， ∴菱形的边长为； （2）解：为定值．理由如下： 过点B作轴于点F，过点D作轴于点E．如图所示： ∵点B，D的横坐标分别为m，n，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上， ， ． ∵四边形是正方形， ， ． ， ， ， ， ∵点B，D在y轴的同侧， ． 【点睛】本题考查了二次函数的图象性质，菱形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.2（1） 二次函数y=ax²（a≠0）的图象与性质（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识回顾】用列表、描点、连线画函数图象 1 【题型 1】描点法画函数图象 1 【知识点】二次函数（）的图象与性质 2 【题型 2】二次函数开口大小与方向 3 【题型 2】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 4 【题型 3】二次函数的增减性 5 二.综合培优题型精析 5 【题型 4】二次函数的图象和性质与几何综合 5 【题型 5】二次函数的图象和性质与一次函数综合 7 三.同步检测 8 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 8 （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 10 （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 11 一.知识梳理与基础题型精析 【知识回顾】用列表、描点、连线画函数图象 1. 列表：精准取值、算准函数值； 2. 描点：坐标对应、位置准确； 3. 连线：顺序平滑、贴合函数形态。 【要点提示】函数图象直观反映函数的增减性、最值、对称性等核心性质，是数形结合思想的基础应用。 【题型 1】描点法画函数图象 【例题1】（24-25九年级上·全国·课后作业）通过列表、描点、连线的方法画函数的图象． 【变式】（25-26九年级上·全国·课后作业）在同一平面直角坐标系中，画出函数与的图象． （1）列表： x … 0 1 3 … … … … … （2）描点并连线． （3）写出这两个图象的位置关系：______________． 【知识点】二次函数（）的图象与性质 1. 二次函数图象：二次函数 的图象叫做抛物线. 2. 二次函数 的图象与性质： 一般地，当时，抛物线 的开口向上，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是拋物线的最低点，的值越大，抛物线的开口越小.反之，越大；当时,随的增大而减小;当时,随的增大而增大. 当时，抛物线 的开口向下，对称轴是轴，顶点是原点，顶点是拋物线的最高点，的值越大，抛物线的开口越大.反之，越小；当时,随的增大而增大;当时,随的增大而减小. 按图象与性质归纳如下： 性质 a > 0（开口向上） a < 0（开口向下） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线（即轴） 直线（即轴） 顶点坐标 最值 顶点为最低点，当时，，无最大值 顶点为最高点，当时，，无最小值 增减性 当时，随的增大而减小； 当时，随的增大而增大 当时，随的增大而增大； 当时，随的增大而减小 【特别提示】 的大小意义：越大，抛物线开口越窄；越小，抛物线开口越宽。原理：越大，随变化的速度越快，曲线越陡峭。 【题型 2】二次函数开口大小与方向 【例题2】（24-25九年级上·安徽安庆·阶段检测）在函数①，②，③中，图像开口大小顺序用序号表示应为（　　） A．①＞②＞③ B．①＞③＞② C．②＞③＞① D．②＞①＞③ 【变式1】（25-26九年级上·福建厦门·阶段检测）抛物线①；②，③的开口大小，从大到小依次为_______． 【变式2】（25-26九年级上·广东汕头·期末）嘉嘉用软件绘制抛物线时，将“”按成了“”，和原图象相比，发生改变的是（    ） A．开口大小 B．开口方向 C．对称轴 D．顶点坐标 【变式3】（25-26九年级上·浙江金华·期末）已知三个二次函数的图象如图所示，那么，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【题型 2】二次函数对称轴、开口方向、顶点坐标、最值 【例题2】（23-24九年级上·全国·课后作业）已知二次函数的图象经过点． （1）求这个二次函数的解析式，并画出其图象； （2）请说出这个二次函数图象的顶点坐标、对称轴及最值． 【变式1】（25-26九年级上·浙江衢州·阶段检测）关于函数，，的图象，下列说法中不正确的是（    ） A．顶点坐标相同 B．对称轴相同 C．图象形状相同 D．最低点相同 【变式2】（24-25九年级上·全国·期末）抛物线，开口 _____，顶点坐标为 __，对称轴为 __；抛物线，开口____，顶点坐标为 ______，对称轴为 ____．相比之下，抛物线 _____的开口程度较大． 【变式3】（25-26八年级下·全国·课后作业）填表 函数 开口方向 顶点 对称轴 最值 对称轴右侧的增减性 【题型 3】二次函数的增减性 【例题3】（25-26九年级上·甘肃临夏·阶段检测）根据下列条件求的取值范围： （1）二次函数，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大； （2）二次函数有最小值； 【变式1】（25-26九年级上·广东东莞·期末）对于二次函数，当时，随的增大而（    ） A．先增大后减小 B．减小 C．增大 D．先减小后增大 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）已知， （1）当________时，它的图象是开口向下的抛物线；当x________（填取值范围）时，y随x的增大而增大． （2）当________时，它的图象是开口向上的抛物线；当x________（填取值范围）时，y随x的增大而增大． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）已知函数是关于的二次函数． （1）求满足条件的的值． （2）当为何值时，抛物线有最高点？求出这个最高点．为何值时，随的增大而增大？ （3）当为何值时，函数有最小值？最小值是多少？为何值时，随的增大而减小？ 二.综合培优题型精析 【题型 4】二次函数的图象和性质与几何综合 【例题4】（25-26九年级上·吉林松原·期中）如图，二次函数的图象经过点，过点作轴的平行线交该二次函数的图象于两点． （1）求二次函数的解析式； （2）为平面内一点，当是等边三角形时，求点的坐标． 【变式1】（2026·内蒙古通辽·二模）如图，四边形是正方形，且点、恰好在抛物线上，点在轴上，则的长为（     ） A．2 B． C．4 D． 【变式2】（2026·山东东营·模拟预测）观察规律，，，…，运用你观察到的规律解决以下问题：如图，分别过点（、2、…）作x轴的垂线，交的图象于点，交直线于点，则的值为________． 【变式3】（24-25九年级上·广东广州·期中）如图，已知点在抛物线上，过点且平行于轴的直线交抛物线于点． （1）求的值； （2）若点是抛物线上一点，且的横坐标为1，求的面积． 【题型 5】二次函数的图象和性质与一次函数综合 【例题6】（25-26九年级上·山东烟台·阶段检测）已知二次函数的图象与直线交于点． （1）求a和b的值； （2）当x取何值时，二次函数中的函数值y随x值的增大而增大？ （3）求抛物线与直线的另一个交点 B的坐标． 【变式1】（25-26九年级上·上海·课后作业）二次函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·浙江杭州·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中有，两点，如果抛物线与线段没有公共点，则a的取值范围是__________． 【变式3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，点A，B在抛物线上．已知点A，B的横坐标分别为，4，直线与y轴交于点． （1）求直线的函数解析式； （2）在x轴上找一点P，使的值最小，请求出此时点P的坐标及的最小值． 三.同步检测 （一）选择题（本大题共10个小题,每小题3分,共30分） 1．（25-26八年级下·全国·课后作业）下列各点在函数的图象上的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·安徽蚌埠·二模）下列函数中，当时，的值随值的增大而减小的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·广西南宁·期末）二次函数的图象上有三个点，，，则、、的大小关系为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）二次函数的图象经过点，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）抛物线 的图象开口最大的是（    ） A． B． C． D．无法确定 6．（2026·安徽阜阳·一模）如图，抛物线与抛物线相交于点，过点P作x轴的平行线，与两条抛物线分别交于点M，N．若M是的中点，则的值是（   ） A． B．2 C． D．3 7．（2026·河南洛阳·一模）如图，已知射线分别与二次函数，的图象交于点，，且，则下列有关，的关系，判断正确的是（   ） A． B． C． D． 8．（25-26九年级上·湖北武汉·期末）关于二次函数和的图象，下列结论不正确的是（   ） A．开口方向相同 B．形状相同 C．顶点坐标相同 D．当时，随着的增大而减小 9．（25-26九年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，的顶点在抛物线上，将绕点顺时针旋转，得到，边与该抛物线交于点，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 10．（25-26九年级上·山东青岛·阶段检测）如图，分别过点作轴的垂线，交的图象于点，交直线于点．则的值为（   ） A． B． C． D． （二）填空题（本大题共8小题，每小题4分，共32分） 11．（25-26八年级下·福建福州·期末）二次函数的图象开口向___________．（填“上”或“下”） 12．（2026·上海奉贤·二模）如果抛物线在对称轴的右侧部分下降，那么的取值范围是___________． 13．（2026·江西九江·一模）若二次函数的图象上有两点，，则，的大小关系是______． 14．（25-26九年级上·新疆乌鲁木齐·阶段检测）已知，是二次函数的图象上的两点．若，则__________ ． 15．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，已知点和，平移得到，顶点、分别与顶点对应.如果点都在抛物线上，那么点到点的距离是___________. 16．（25-26九年级上·江苏苏州·期中）如图，正方形ABCD的顶点B，D在开口向上的二次函数的图象上，点B在点D的左侧，点A在y轴正半轴上，设点B，D的横坐标分别为m、n，已知，则________． 17．（25-26九年级上·辽宁大连·阶段检测）若抛物线上两点和，与原点点围成等腰直角三角形，且斜边轴，．则_________． 18．（25-26九年级上·广东江门·期中）一个涵洞成抛物线形，它的截面如图所示．现测得：当水面宽时，涵洞顶点与水面的距离为．当水面宽时，水位上升___________ （三）解答题（本大题共6小题，共58分） 19．（本小题满分8分）（2025九年级·全国·专题练习）已知抛物线经过点． （1）试判断点是否在此抛物线上． （2）设点，是此抛物线上的两点．若，试判断，的大小关系． 20．（本小题满分8分）（2025九年级·全国·专题练习）如图，梯形的顶点都在抛物线上，且轴．点的坐标为，点的坐标为． （1）求a，b的值． （2）求，两点的坐标． 21．（本小题满分10分）（25-26九年级上·广西崇左·阶段检测）（1）在同一平面直角坐标系中，画出函数、、、的图象； （2）观察上述图象，并说出图象的顶点坐标、开口方向、对称轴； （3）说出各图象中的最高点或最低点的坐标； （4）说明各函数图象在对称轴两侧部分，函数y随x增大而变化的情况． 22．（本小题满分10分）（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）如图，点、在的图象上．直线与轴交于点，连接、． （1） _______； _______； （2）求直线的函数表达式； （3）当 时， 的取值范围为_____． 23．（本小题满分10分） （2025九年级上·福建厦门·专题练习）二次函数的图像与直线交于点． (1)求二次函数的表达式． (2)当x取何值时，二次函数值y随x的增大而减小？ (3)当时，求二次函数值y的最大值和最小值． 24．（本小题满分12分）（25-26九年级上·全国·课后作业）在平面直角坐标系中，已知点A在y轴正半轴上． (1)如图1，已知菱形的顶点B，C，D在二次函数的图象上，且轴，求菱形的边长； (2)如图2，已知正方形的顶点B，D在二次函数的图象上，点B，D在y轴的同侧，且点B在点D的左侧，设点B，D的横坐标分别为m，n，探究是否为定值？ 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $