专题 26.1 二次函数的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测）- 2026-2027学年人教版九年级数学上册基础知识专项突破讲与练

本讲义聚焦二次函数的概念这一核心知识点，系统梳理形如y=ax²+bx+c（a,b,c为常数,a≠0）的定义及三大条件，通过基础题型（列关系式、识别、求参数）到巩固提升题型（列解析式、函数值）的递进设计，构建从概念理解到实际应用的完整学习支架。 该资料以情境化例题（如头盔销售增长率、矩形窗框面积）培养学生用数学眼光观察现实世界的抽象能力，分层题型设计（基础到提升）发展推理意识，同步检测多样化题型（选择、填空、解答）强化模型意识。课中辅助教师高效授课，课后助力学生回顾练习、查漏补缺。

专题 26.1 二次函数的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二次函数定义 1 【题型 1】列二次函数关系式 1 【题型 2】二次函数的识别 3 【题型 3】根据二次函数定义求参数 5 二.题型精析（巩固提升） 7 【题型 4】列二次函数解析式 7 【题型 5】二次函数解析式与函数值 10 三.同步检测 12 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 12 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 16 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 19 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二次函数定义 一般地，形如 （是常数，）的函数，叫作二次函数。其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 【特别提示】构造二次函数条件（1）函数解析式是整式形式（分母不含自变量、根号内不含自变量）；（2）化简后自变量的最高次数为2；（3）二次项系数不等于0（）。三大条件缺一不可。 【题型 1】列二次函数关系式 【例题1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据题意列函数关系式． 根据每月的增长百分率，依次推导8月、9月的销售量，从而得到9月销售量关于x的函数解析式． 解：∵7月份销售量为1500个，每月销售量的增长百分率为x， ∴8月份的销售量为个， ∴9月份的销售量． 故选：A． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数，正方形的性质，掌握知识点是解题的关键． 根据面积增加的定义，等于新正方形面积减去原正方形面积 解：原正方形边长为，面积为． 边长增加后，新边长为，新面积为． 因此，面积增加，即． ∴与之间的函数关系式为． 故答案为：． 【变式2】（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意得米，进而根据矩形的面积公式解答即可求解，正确识图是解题的关键． 解：由题意得，米， ∴， 故选：． 【变式3】（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，解决本题的难点是求得另一正方形的边长，找到所求量的等量关系是解决问题的关键． 根据两个正方形的周长之和为，可求出另一个正方形的边长为 ，再利用正方形面积公式得到面积之和的函数关系式． 解：设其中一个正方形的边长为，则其周长为， 由于两个正方形的周长之和为， 因此另一个正方形的周长为， 故另一个正方形的边长为， 第一个正方形的面积为， 第二个正方形的面积为， 所以两个正方形的面积之和，即． 故答案为：． 【题型 2】二次函数的识别 【例题2】（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【答案】（2），（3）是二次函数 解：（1）是一次函数，不是二次函数； （2），符合的形式，是二次函数； （3），符合的形式，是二次函数； （4），化简后自变量最高次数为1，是一次函数，不是二次函数； （5）中，是否为0未知，若，则函数退化为一次函数或常数函数，因此不一定是二次函数． 结论：（2），（3）是二次函数． 【变式1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数定义逐一判断选项即可. 解：二次函数的定义为：一般地，形如（，，是常数，）的函数，叫做二次函数. ∵选项A中是一次函数， ∴A不符合题意； ∵选项B中 ，符合二次函数的定义， ∴B符合题意； ∵选项C中，未说明，当时不是二次函数， ∴C不符合题意； ∵选项D中 里，是分式，不是整式，不符合二次函数定义， ∴D不符合题意. 【变式2】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，关键是熟练应用定义解题； 二次函数的一般形式为 （其中 ，， 是常数且），称为二次项系数，称为一次项系数，称为常数项． 解：对于二次函数 ，其一般形式中，，， 因此二次项系数为，一次项系数为，常数项为． 故答案为：，，． 【变式3】（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 【答案】①②③为二次函数，不是二次函数的有：④⑤；各对应项的系数及常数项见分析 【分析】本题主要考查二次函数的相关定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 由二次函数的定义可得①②③是二次函数，然后分别写成各二次函数的二次项系数、一次项系数、常数项即可． 解：①②③为二次函数， 其中①的二次项系数为，一次项系数为0，常数项为1． ②的二次项系数为6，一次项系数为2，常数项为0； ③，二次项系数为1，一次项系数为，常数项为2． ④、⑤不是二次函数． 【题型 3】根据二次函数定义求参数 【例题3】（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【答案】（1）；（2），纵坐标为的点的横坐标 【分析】本题考查一次函数和二次函数的定义，熟练掌握系数和次数的值是关键． （1）由一次函数定义得出，且，求出的值；（2）由二次函数定义得出，且，求出的值． 解：（1）解：（1）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的一次函数； （2）由题意，得 ，且， 解得， 当时，y是x的二次函数， 当时，， 解得， 纵坐标为64的点的横坐标． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次函数二次项系数不为的要求，列不等式求解即可． 解：∵二次函数的二次项系数不能为，是二次函数， ∴， 解得． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【答案】 解：由题意，可得 ， 解方程，得， 解得或； 由，得， 故. 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）已知是y关于x的二次函数，求a的值并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 【答案】；二次项系数、一次项系数和常数项分别为12，和0 【分析】本题考查了二次函数的定义，解题关键是掌握二次函数的一般形式，既要保证自变量的最高次数是，又要保证二次项系数不为． 根据二次函数的定义来确定未知数的指数和系数的条件，从而求解的值，再确定各项系数． 解：根据题意，得，解得，． 又， 且， ， ， ． 二次项系数为、一次项系数为、常数项为． 二.题型精析（巩固提升） 【题型 4】列二次函数解析式 【例题4】（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． （1）当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； （2）设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【答案】（1）（或）；（2） 【分析】（1）一直角边的长为，则另一直角边长为即可求出面积； （2）一直角边的长为，则另一直角边长为，即可表示出面积． 解：（1）解：已知一直角边的长为， 则另一直角边长为， 所以这个直角三角形的面积 （2）解：由题意，得另一条直角边的长为， 则． 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，由题意知剪去四个角的小正方形后，折成的无盖长方体盒子的底面长和宽各减少，因此底面积等于减少后的长与宽的乘积，再结合的取值范围即可确定函数关系式，理解题意是解题的关键． 解：∵矩形原长，宽，四个角剪去边长为的小正方形， ∴折起后，长方体底面的长为，宽为， ∴， 又∵，且，， ∴， ∴函数关系式为， 故选：． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 【答案】 【分析】本题考查了函数关系式，线段垂直平分线的性质和勾股定理，连接，过点作交于点，可知，，，在中由勾股定理即可求解． 解：如图，连接，过点作交于点， 线段的垂直平分线为， ， 点的坐标是， ，，， 在中，根据勾股定理得：， ， ， 故答案为：． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： （2）设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【答案】（1）， ；（2）设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米 【分析】本题考查了根据题意列二次函数关系式，一元二次方程的应用等知识﹒ （1）根据矩形的面积公式即可列出函数关系式，根据矩形的两条边都为正数即可确定自变量的取值范围； （2）根据设计费为24000元得到矩形面积为12平方米，据此列出方程，解方程即可﹒ 解：（1）解：∵矩形一边长为米，周长为16米, ∴矩形的另一边为米， ∴，其中， 即， ； （2）解：能，理由如下： 当设计费能达到24000元时，矩形面积为（平方米）， 即， 解得﹒ 答：设计费能达到24000元，此时矩形的边长为2米或6米﹒ 【题型 5】二次函数解析式与函数值 【例题5】（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数． （1）求的值． （2）当时，的值为多少？ 【答案】（1）3；（2） 【分析】本题考查了二次函数的定义，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的定义是解题的关键． （1）根据二次函数的定义列式计算，得到答案； （2）把代入二次函数即可解答． 解：（1）解：由题意得，，， 解得， 的值为； （2）解：当时，， 把代入可得． 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把选项坐标代入二次函数验证即可． 解：A． ，选项错误，不符合题意； B． ，选项正确，符合题意； C． ，选项错误，不符合题意； D． ，选项错误，不符合题意． 故选：B． 【点拨】此题考查了二次函数，解题的关键是把选项坐标代入二次函数验证． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为______． 【答案】10或11 【分析】本题考查了二次函数的概念和三角形三边关系，根据二次函数的特点，得到，且，求得后，再根据三角形三边关系确定三角形周长． 解：由题意，得，且， 由得， 解得，， ∵， ∴， ． ①若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为； ②若以为腰长，则三边长分别为，，，，能构成三角形，符合题意， 周长为． 故答案为：． 【变式3】（2024·广东广州·一模）已知． （1）化简A； （2）若点是抛物线上的一点，求A的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题考查了分式的化简求值、抛物线上的点的特征，准确掌握分式的混合运算顺序和二次函数的性质是解题的关键． （1）先计算括号内的加法，再计算除法即可化简A； （2）再把点代入得到，则，整体代入化简的A中计算即可． 解：（1）解： ； （2）解：∵点是抛物线上的一点， ∴ ∴ ∴． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数图象特征作出判断即可． 解：对于选项A：是二次函数，图象是一条抛物线，符合题意； 对于选项B： 是一次函数，图象是一条直线，不符合题意； 对于选项C： 是一条平行于轴的直线，不符合题意； 对于选项D： 是正比例函数，图象是一条直线，不符合题意． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查列函数关系式，利润由每件利润乘以销售数量得出，每件利润为售价减成本，销售数量由题干给出，由此可解． 解：∵ 每件利润为元，每天销售件， ∴ 每天利润 ． 故选：A． 3．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，为常数）的整式函数，据此逐一判断即可． 解：A、是分式，不是整式，不符合定义，该选项不符合题意； B、整理得，符合，符合二次函数定义，该选项符合题意； C、中x的最高次数为1，是一次函数，该选项不符合题意； D、中，一个x对应两个不同的y值，y不是x的函数，该选项不符合题意． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义求解，二次函数要求的最高次数为，且二次项系数不为，据此列出关系式即可求出的值． 解：函数是关于的二次函数， ，且， 解方程，即， 解得或， 又∵， ， ． 5．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次函数的定义判断，二次函数是形如（，，是常数，）的整式函数，据此逐一分析选项即可． 解：A. 不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意； B. ，该函数是一次函数，不是二次函数，故不符合题意； C. 符合（，，）的形式，是二次函数，故符合题意； D. ，不是整式函数，不符合二次函数的定义，故不符合题意， 综上，选C． 6．（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 【答案】C 【分析】根据各问题中的数量关系列出y与x的函数解析式，再判断函数类型即可． 解：① 由矩形面积公式可得，即，y是x的反比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ② 由圆柱侧面积公式可得，y是x的正比例函数，不符合二次函数定义，故此选项不符合题意； ③∵利润（售价进价）销售量， ∴， 符合二次函数定义，y是x的二次函数，故此选项符合题意； 综上，y与满足的函数关系是二次函数的是③． 7．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 【答案】B 【分析】本题主要考查二次函数的定义，列出关于的方程和不等式是解题的关键．根据二次函数的定义即可得出关于的一元一次不等式及一元二次方程，解之即可得出结论． 解：是关于的二次函数， ， 解得：． 故选：B． 8．（24-25九年级上·北京·期中）下面的四个问题中都有两个变量： ①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y； ②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y； ③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y； ④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，利润为y元． 其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ 【答案】D 【分析】分别求出每个问题的函数关系式，根据函数关系式即可作出判断． 解：①的函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线； ②的函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线； ③的函数关系式为：，其图象是一条开口向上的抛物线； ④的函数关系式为：，其图象是一条开口向下的抛物线； 故满足题意的为①②③； 故选：D． 【点拨】本题考查了列二次函数，根据二次函数确定其图象的开口方向，正确列出二次函数是关键． （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____． 【答案】18 【分析】本题重点考查二次函数的一般形式及多项式乘法法则，将二次函数表达式展开为一般形式，常数项即为． 解：， 故常数项为． 故答案为：18． 10．（23-24九年级上·安徽六安·阶段检测）二次函数的二次项系数是 ___________． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数的一般形式，解决本题的关键是将二次函数化为一般式． 通过去括号，移项，合并同类项，得到二次函数的一般形式，即可得出二次项系数． 解：变形为， 二次项系数为． 故答案为：． 11．（2025九年级·全国·专题练习）报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据实际问题列二次函数的关系式，掌握年均增长率下的增长公式，通过逐年推导得出函数关系式是解题的关键． 根据增长率模型，从初始值经过两年增长，利用年均增长率公式求解． 解：年收入为亿美元，年均增长率为， 年收入为亿美元， 年收入为亿美元， 因此与之间的函数关系式为． 故答案为：． 12．（25-26九年级上·安徽池州·期末）已知关于的函数是二次函数，则 __________． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，掌握二次函数的定义是解题的关键． 根据二次函数的定义，二次项系数不为零，即可求解． 解：是二次函数， ，即． 故答案为：． 13．（25-26九年级上·广西南宁·期中）若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的定义；根据二次函数的定义，二次项系数不能为零，计算即可． 解：∵函数是二次函数， 因此二次项系数，解得． 故答案为：． 14．（2025九年级·全国·专题练习）已知． （1）当的值为______时，它是关于的一次函数． （2）当的值为______时，它是关于的二次函数． 【答案】 或或或或或 【分析】（1）根据一次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值； （2）根据二次函数的定义，分析各项的次数和系数的条件来求解的值． 解：（1）要使该函数为关于的一次函数，则化简后含的最高次项的次数为，原式中存在项，因此必须使二次项系数之和为，且不存在更高次项， 故需满足，解得， 当时，原函数为，是一次函数， 故答案为：． （2）可分以下四种情况讨论： ①当时，解得； ②当时，解得； ③当时，解得； ④当时，解得． 综上所述，当的值为4或或或或0或1时，它是关于的二次函数． 故答案为：或或或或或． 【点拨】本题考查了一次函数和二次函数的定义，解题关键是根据函数定义，分情况讨论各项的次数和系数的取值条件，确保函数符合一次或二次函数的形式． 15．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，根据题意先求出平行于墙的一边长为米，再根据长方形面积计算公式求解即可． 解：由题意得，平行于墙的一边长为米， ∴， 故答案为：． 16．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______． 【答案】 【分析】图（1）中只有一层，有个正方形，图（2）中有两层，在图（1）的基础上增加了一层，第二层有个，图（3）中有三层，在图（2）的基础长增加了一层，第三层有，依此类推出第n层正方形的个数，即可推出当有n层时总的正方形个数． 解：经分析，可知：第一层的正方形个数为， 第二层的正方形个数为， 第三层的正方形个数为， …… 第n层的个数为：， 第n个叠放的图形中，小正方体木块总数为： ， 即． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·广东中山·期中）若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题考查了二次函数的定义，解一元二次方程． （1）根据二次函数的定义得到，，进而求解即可； （2）当时，，求解即可． 解：（1）解：∵函数是二次函数， ∴，， ∴，， 即； （2）解：由（1）可得，该二次函数为， 当时， ∴， 解得：，． 18．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 【答案】（1）；（2）二次项系数是12，一次项系数是0，常数项是 【分析】本题主要考查二次函数的定义，熟练掌握二次函数的定义，二次函数一般式是解决本题的关键． （1）根据二次函数的定义，即列式求解即可； （2）根据二次函数一般式判定即可． 解：（1）解：根据二次函数的定义得， 由得， 由得且， ∴． （2）解：由（1）得：二次函数解析式为， 故二次项系数是12，一次项系数是0，常数项为． 19．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数． （1）若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； （2）若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 【答案】（1）；（2）且 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，二次函数的定义，求一次函数值， 对于（1），根据一次函数的定义可得且，再求出m的值，然后将点B的坐标代入关系式可得n； 对于（2），根据二次函数的定义可得求出解即可． 解：（1）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得， ∴一次函数. ∵点在一次函数的图象上， ∴， 解得； （2）解：∵函数是二次函数， ∴ ∴且． 故答案为：且． 20．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． （1）写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； （2）求自变量的取值范围； （3）当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，求自变量取值范围，二次函数与一元二次方程， 对于（1），先表示花圃的长，再根据面积相等列出函数关系式； 对于（2），根据墙的长度可得，求出解集即可； 对于（3），将代入函数关系式，求出解即可. 解：（1）解：∵为x米、篱笆长为24米， ∴花圃长为米， ∴ ； （2）解：∵墙的可用长度为8米， ∴， 解得； （3）解：当时， ， 解得， ∵， ∴. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 26.1 二次函数的概念（知识梳理 + 题型精析 +同步检测） 目录 一.知识梳理与基础题型精析 1 【知识点一】二次函数定义 1 【题型 1】列二次函数关系式 1 【题型 2】二次函数的识别 2 【题型 3】根据二次函数定义求参数 3 二.题型精析（巩固提升） 3 【题型 4】列二次函数解析式 3 【题型 5】二次函数解析式与函数值 4 三.同步检测 5 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 5 （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 6 （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 7 一.知识梳理与基础题型精析 【知识点一】二次函数定义 一般地，形如 （是常数，）的函数，叫作二次函数。其中是自变量，分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 【特别提示】构造二次函数条件（1）函数解析式是整式形式（分母不含自变量、根号内不含自变量）；（2）化简后自变量的最高次数为2；（3）二次项系数不等于0（）。三大条件缺一不可。 【题型 1】列二次函数关系式 【例题1】（25-26九年级上·广东珠海·期末）公安部门提醒市民，骑车出门必须严格遵守“一盔一带”的规定．经销商统计某品牌头盔，7月份售出1500个，若每月的销售量比上一月份增加相同的百分率，请问9月份的销售量关于每月增加的百分率的函数解析式是（   ） A． B． C． D． 【变式1】（25-26九年级上·陕西榆林·阶段检测）一个边长为的正方形，若边长增加，面积增加，则与之间的函数关系式为______． 【变式2】（25-26九年级上·河北沧州·期中）用长为的铝合金条制成如图所示的矩形窗框，设为（单位：米），则窗框的透光面积（单位：），关于（单位：m）的函数解析式为（铝合金条粗细忽略不计）（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26九年级上·河南许昌·阶段检测）两个正方形的周长之和是．若以两个正方形面积之和为因变量，其中一个正方形的边长（单位：）为自变量，则它们之间的关系式是_______． 【题型 2】二次函数的识别 【例题2】（26-27九年级·上海·暑假作业）下列函数中，哪些是二次函数？ （1）； （2）； （3）； （4）； （5）（为常数）． 【变式1】（25-26八年级下·山东东营·期中）下列各式中，是的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26九年级上·新疆喀什·期中）二次函数中，二次项系数为_______，一次项系数为_______，常数项为_______． 【变式3】（24-25九年级上·广东中山·阶段检测）下列函数中，哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，请指出各对应项的系数及常数项． ①；  ②；  ③；  ④；  ⑤． 【题型 3】根据二次函数定义求参数 【例题3】（25-26九年级上·广西崇左·期末）已知函数（m为常数），求当m为何值时： （1）y是x的一次函数？ （2）y是x的二次函数？并求出此时纵坐标为64的点的横坐标． 【变式1】（25-26八年级下·江苏南通·阶段检测）已知是二次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【变式2】（25-26八年级下·黑龙江大庆·期末）如果函数是关于x的二次函数，则_______． 【变式3】（2025九年级·全国·专题练习）已知是y关于x的二次函数，求a的值并指出二次项系数、一次项系数和常数项． 二.题型精析（巩固提升） 【题型 4】列二次函数解析式 【例题4】（25-26九年级下·全国·课后作业）已知直角三角形两条直角边的长的和为． （1）当它的一条直角边的长为时，求这个直角三角形的面积； （2）设这个直角三角形的一条直角边的长为，面积为，求与之间的函数关系式． 【变式1】（25-26九年级上·安徽淮南·期末）长为，宽为的矩形，四个角上分别剪去边长为的小正方形，然后把四边折起来，做成底面积为的无盖的长方体盒子，则与之间的函数关系式为（ ） A． B． C． D． 【变式2】（24-25九年级上·辽宁大连·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点是轴上一动点，连接，作线段的垂直平分线，过点作轴的垂线，记，的交点为，改变点的位置，可以得到相应的点，设点的坐标是，则关于的函数解析式为_______________． 【变式3】（25-26九年级上·内蒙古呼和浩特·阶段检测）某广告公司设计一幅周长为16米的矩形广告牌，广告设计费为每平方米2000元．设矩形一边长为米，面积为平方米． （1）求与之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围： （2）设计费能达到24000元吗？如果能请求出此时的边长米，如果不能请说明理由﹒ 【题型 5】二次函数解析式与函数值 【例题5】（25-26九年级上·江西宜春·期中）已知是关于的二次函数． （1）求的值． （2）当时，的值为多少？ 【变式1】（2025·上海徐汇·一模）下列各点中，在二次函数图象上的点是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2025九年级·全国·专题练习）若函数是关于的二次函数，则以和4为两边长的等腰三角形的周长为______． 【变式3】（2024·广东广州·一模）已知． （1）化简A； （2）若点是抛物线上的一点，求A的值． 三.同步检测 （一）选择题（共8题，每小题4分，合计32分） 1．（2026·上海闵行·二模）下列函数，图象不是一条直线的是（    ）． A． B． C． D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）某商店销售一种商品，每件成本为a元，售价为x元，每天可销售件，则每天的利润y（元）与售价x（元）之间的函数关系式是（　　） A． B． C． D． 3．（2026·河南周口·一模）下列各式中，是关于的二次函数的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·浙江宁波·期中）若函数是关于的二次函数，则为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26九年级下·河南周口·阶段检测）下列函数中，属于二次函数的是（    ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级下·甘肃兰州·开学考试）下面问题中，y与满足的函数关系是二次函数的是（    ） ①面积为的矩形中，矩形的长与宽的关系； ②底面圆的半径为的圆柱中，侧面积与圆柱的高的关系； ③某商品每件进价为80元，在某段时间内以每件x元出售，可卖出件．利润y（元）与每件售价（元）的关系． A．① B．② C．③ D．①③ 7．（25-26九年级上·云南昆明·开学考试）若函数是关于的二次函数．则常数的值是（    ） A．1 B． C．2 D．2或 8．（24-25九年级上·北京·期中）下面的四个问题中都有两个变量： ①一个圆柱的高等于底面半径x，这个圆柱的表面积为y； ②x个球队比赛，每两队之间进行一场比赛，比赛的场次为y； ③某产品现在的年产量是20t，计划今后两年增加产量，如果每年都比上一年增加x倍，两年后这种产品的产量为y； ④某种商品每件的进价为30元，在某段时间内若以每件x元出售，可卖出（100－x）件，利润为y元． 其中，变量y与变量x之间的函数关系（不考虑自变量取值范围）可以用一条开口向上的抛物线表示的是（    ） A．②③④ B．①③④ C．①②④ D．①②③ （二）填空题（共8题，每小题4分，合计32分） 9．（2025九年级上·全国·专题练习）把变成一般式，它的常数项为_____． 10．（23-24九年级上·安徽六安·阶段检测）二次函数的二次项系数是 ___________． 11．（2025九年级·全国·专题练习）报告显示，2023年全球金属增材制造市场的总收入达到28.5亿美元．若2025年的市场规模为y亿美元，平均每年的增长率为x，则y与x之间的函数关系式为________． 12．（25-26九年级上·安徽池州·期末）已知关于的函数是二次函数，则 __________． 13．（25-26九年级上·广西南宁·期中）若函数（是常数）是二次函数，则的取值范围是_____． 14．（2025九年级·全国·专题练习）已知． （1）当的值为______时，它是关于的一次函数． （2）当的值为______时，它是关于的二次函数． 15．（25-26九年级上·青海西宁·期中）建筑队在工地一边靠墙处，用81米长的铁栅栏围成三个相连的长方形仓库，仓库总面积为平方米，为方便取物，在各个仓库之间留出了1米宽的缺口作通道，在平行于墙的一边留下一个1米宽的缺口作为小门，若设米，则关于的函数关系式为________________________． 16．（24-25九年级上·山东青岛·阶段检测）图（1）是一个水平摆放的小正方体木块，图（2）、（3）是由这样的小正方体木块叠放而成，按照这样的规律继续叠放下去，则第n个叠放的图形中，小正方体木块总数m与n的解析式是______． （三）解答题（共4题，每小题9分，合计36分） 17．（25-26九年级上·广东中山·期中）若函数是二次函数． （1）求k的值； （2）当时，求自变量x的值． 18．（25-26九年级上·山东德州·阶段检测）已知函数是关于x的二次函数． （1）求m的值； （2）写出二次项系数、一次项系数及常数项． 19．（2025九年级上·江苏连云港·专题练习）已知函数． （1）若这个函数是一次函数，且点，在一次函数上，求，的值； （2）若这个函数是二次函数，则满足的条件为______． 20．（25-26九年级上·河北唐山·阶段检测）如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有两道篱笆的长方形花圃，若墙的最大可用长度为8米，设花圃的宽为x米，面积为S平方米． （1）写出S与x的函数关系式，并化为一般形式； （2）求自变量的取值范围； （3）当这个花圃的面积为20平方米时，求x的值． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $