线面角的向量求法、二面角的向量求法专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教B版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦线面角与二面角的向量求法，通过典型例题与变式题系统覆盖不同几何体情境，强化空间向量工具的应用逻辑。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |线面角的向量求法|3例+3变式|涉及直三棱柱、四棱锥等几何体，含证明与存在性问题|空间向量运算→法向量求解→线面角公式应用| |二面角的向量求法|3例+3变式|涵盖菱形、多面体等情境，包含面面垂直证明与夹角计算|向量数量积→法向量夹角→二面角余弦值确定|

暑假预习：线面角的向量求法、二面角的向量求法专项训练 暑假预习：线面角的向量求法、二面角的向量求法专项训练 考点目录 线面角的向量求法 二面角的向量求法 考点一 线面角的向量求法 例1．（25-26高二上·北京昌平·期中）如图，直三棱柱中，，是棱的中点，．    (1)证明：； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 在矩形中，是棱的中点，，则， 因平面，平面，所以， 故可得， 由可得. 又因为平面，所以平面． 因平面，所以. (2)． 【分析】（1）根据题设利用勾股定理先证明，结合，由线线垂直证得平面，再利用线面垂直的性质即得； （2）先利用条件证明平面，得，依题建系，写出相关点和向量的坐标，利用空间向量的夹角公式计算即得. 【详解】（1）略 （2）由直三棱柱可知，由（1）已证， 因平面，则平面， 又平面，故，即两两垂直， 故可以点为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图的空间直角坐标系，    设，则，，，， 设平面的一个法向量为， 则，故可取． 设直线与平面所成角为， 则， 故直线与平面所成角的正弦值为． 例2．（25-26高三上·北京丰台·期中）如图，在四棱锥中，是等边三角形，四边形是直角梯形，，，，. (1)证明：平面平面. (2)线段上是否存在点E，使得直线与平面所成角的正弦值为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)证明见解析 (2)当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 【分析】（1）取棱的中点O，连接，由题设条件结合勾股定理依次求出和，接着由线面垂直判定定理得证平面，再由面面垂直判定定理即可得证命题； （2）建立适当空间直角坐标系，设，，求出向量和平面的法向量，根据线面角的向量法公式即可建立关于的方程，解方程即可得解. 【详解】（1）证明：取棱的中点O，连接， ，则，， 因为是等边三角形，且O是的中点，所以. 因为，所以，所以，则. 因为平面，平面，且， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2）取棱CD的中点F，连接OF，则两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向，建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，，则，， 设，,则， 又，所以. 设平面的法向量为， 则令，得. 设直线与平面所成的角为， 则， 解得或， 故当或时，直线与平面所成角的正弦值为. 例3．（25-26高二上·北京房山·期中）如图，在长方体中，，，，分别是，的中点. (1)求证：； (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 如图以分别为轴，建立空间直角坐标系， 因为，，，分别是，的中点， 所以， 所以， 所以， 所以； (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，应用空间向量数量积为0证明即可； （2）建立空间直角坐标系，先求出平面的法向量，再应用线面角的正弦公式计算. 【详解】（1）略 （2）因为， 所以， 设平面的法向量为， ， 所以， 所以， 令，则，所以， 设直线与平面所成角为， 所以； 变式1．（2025·辽宁辽阳·一模）如图，在直三棱柱中，为的中点，.    (1)证明：平面. (2)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1) 连接， ∵E为中点，为的中点， ∴， ∵平面，平面， ∴平面； (2) 【分析】（1）先连接，再根据中位线得出，最后应用线面平行判定定理证明平面； （2）求出平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式能求出与平面所成角的正弦值． 【详解】（1）略 （2）以点C为坐标原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则， 设平面的法向量， 则，取，则， 设与平面所成角为， 则与平面所成角的正弦值为： ．    变式2．（24-25高三上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在四棱柱中，． (1)求证：； (2)设为棱的中点，线段交于点平面，且，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1) 设交于点，连接，如图， 因为，则点在线段的垂直平分线上， 即有为的中点 又因为，则， 又平面，因此平面， 而平面， 所以． (2) 【分析】（1）设交于点，连接，通过，即可求证； （2）建系，求得平面法向量，代入夹角公式即可求解； 【详解】（1）略 （2）由（1）知，平面，而平面，则平面平面，在平面内过作，又平面平面，因此平面， 射线两两垂直，以为原点，射线的方向为轴正方向，建立空间直角坐标系， 因为为棱的中点，则点是正的重心， 又平面，且， 则， 所以， 因为， 所以, 设平面的法向量为， 则，令，得， 设直线与平面的夹角为，则． 变式3．（24-25高二上·辽宁葫芦岛·期末）如图，在正三棱柱中，是棱的中点. (1)证明：平面； (2)若，求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)连接，与相交于点，连接，如下图： 因为四边形为矩形，故为的中点. 又为的中点，故， 又平面平面， 所以平面 (2) 【分析】（1）根据中位线性质利用线面平行判定定理即可证明得出结论； （2）建立空间直角坐标系，求得平面的法向量即可计算得出直线与平面所成角的正弦值. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，则， 由于平面，故平面， 故以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 因为， 所以， 设平面的法向量为， 则， 解得，令得，故， 又 设直线与平面所成的角为， 所以， 故直线与平面所成角正弦值为. 考点二 二面角的向量求法 例1．（25-26高二上·辽宁锦州·期末）如图所示，四边形与均为菱形，，且. (1)求证：平面； (2)求面与面所成二面角的余弦值. 【答案】(1) 设与相交于点，连接，为菱形，， 连接，四边形为菱形且，为等边三角形， 又为中点， ， 又平面，平面，， 平面. (2) 【分析】（1）用线面垂直的判定定理证明即可； （2）通过建立空间直角坐标系，求出平面的法向量和平面的法向量，再代入公式即可求出. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知 ，又为中点，，， 又平面，平面，，平面， 两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，如图所示， 设，四边形为菱形且，， 为等边三角形，， 则 ， 设平面的法向量为， 则，令，则，得， 由图可知平面的法向量为， ， 故平面与平面所成二面角的余弦值为. 例2．（25-26高二上·辽宁大连·期末）在如图所示的几何体中，底面是菱形，，底面，，，且平面平面． (1)在线段EB上是否存在点M，使得四点共面？若存在，请给出证明；若不存在，请说明理由． (2)若，求二面角的正弦值． 【答案】(1) 线段上存在点，且为的中点，使得四点共面.证明如下： 连接.∵四边形是菱形，. 又平面，平面，. 又，平面，平面. 连接.∵为的中点，，. 又平面平面，平面平面，平面，平面. ，（垂直于同一个平面的两条直线互相平行）， ∴在线段上存在点，且为的中点，使得四点共面. (2) 【分析】（1）由线面垂直的判定定理证明得平面，再由面面垂直的性质定理证明得平面，从而证明得，可得四点共面； （2）建立空间直角坐标系，写出对应点的坐标与向量的坐标，求解平面与平面的法向量，利用空间向量的夹角计算公式计算即可. 【详解】（1）略 （2）取的中点，连接，设交于点，连接，， 则，且. 平面，平面. 又，∴以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示的空间直角坐标系.    ∵底面是菱形，，，. ，. 由（1）知，∴四边形是矩形，， ∴，，，， ，，. 设平面的法向量为， 则，即， 取，则. 设平面的法向量为， 所以，即， 取，则. ， 所以二面角的正弦值为. 例3．（2026·山东泰安·二模）如图，在四棱锥中，平面，. (1)证明：； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)如图，连接. 易知四边形为梯形，且 ， ， . 平面平面， . 平面. 平面. 平面， . 方法二：在四棱锥 中，平面， 平面， 所以 . 又，且，， 所以以为坐标原点，分别以 所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系， 由，，得，. . (2) 【分析】（1）在梯形中，证明，根据线面垂直的判定定理证明 平面，即可得；或建立恰当的空间直角坐标系，根据向量垂直的坐标表示证明； （2）利用平面与平面所成角的向量求法求平面 与平面 夹角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）设平面 的一个法向量为. 则，即 取，则 设平面 的一个法向量为 则，即 取 ，则 ∴平面 与平面 夹角的余弦值为 变式1．（2026·北京密云·一模）如图，在三棱柱中，平面，分别为的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值. 【答案】(1) 取的中点，连接， 因为分别为的中点，所以， 又因为，所以， 所以四边形为平行四边形. 所以，因为平面平面， 所以平面. (2) 【分析】（1）取的中点，连接，先证四边形为平行四边形，则根据线面平行的判定定理证明； （2）因为两两垂直，如图建立空间直角坐标系，利用空间向量法求二面角. 【详解】（1）略 （2）由题知平面，所以， 又因为， 所以两两垂直，如图建立空间直角坐标系. 所以， 则. 根据题意平面的一个法向量是，设平面的法向量为， 则即， 令，则.于是， 设二面角的平面角为， 则，由图可知为锐角，所以. 变式2．（2026·山东聊城·模拟预测）如图，在多面体中，四边形为矩形，平面，，，，为的中点. (1)证明：平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，通过证明与该法向量垂直可证得平面； （2）利用两个平面的夹角的向量求法可求得平面与平面夹角的余弦值. 【详解】（1）因为四边形为矩形，平面，所以两两垂直， 如图所示，以为坐标原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系. 因为，所以平面. 又，，为的中点， 所以， 所以， 设平面的法向量为， 则. 令，则， 所以平面的一个法向量为. 因为 ，所以， 因为平面，所以平面. （2）在（1）的坐标系中，. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则平面的一个法向量为. 设平面的一个法向量为， 则， 令，则平面的一个法向量为. ， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 变式3．（2026·山东菏泽·模拟预测）如图，在直三棱柱中，为的中点，记四棱锥的体积为，三棱锥的体积为． (1)证明：； (2)已知，，，，求二面角的余弦值． 【答案】(1) 在直三棱柱中，为的中点，设， 由直线平面，得点到平面的距离相等， ，， ， 所以. (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用割补法，结合等体积法及锥体、柱体的体积公式计算得证. （2）由（1）的信息求出，以点为原点建立空间直角坐标系，求出平面与平面的法向量，再利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）略 （2）由（1）知，而，，则， 以点为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， ， ， 设平面的法向量，则，取，得， 设平面的法向量，则，取，得， ，由图形知，二面角的大小为锐角， 所以二面角的余弦值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：线面角的向量求法、二面角的向量求法专项训练 暑假预习：线面角的向量求法、二面角的向量求法专项训练 考点一 线面角的向量求法 考点目录 线面角的向量求法 二面角的向量求法 例1,2526离=上北京昌平期中)知图.直三枝柱AC-4G中，4C-4,D足棱4的中点， CD⊥BD C D -9B CD⊥BC (1)证明： 2若MC=BC,求直线 CD BCD 与平面 所成角的正弦值. 例2.(25-26高三上北京丰台期中)如图，在四棱锥P-ABCD中，△PAB是等边三角形，四边形ABCD是直角 梯形， AB L AD BC//ADAD=2AB=2BC=4 PC=2AB 暑假预习：线面角的向量求法、二面角的向量求法专项训练 -5 D B C (1)证明：平面PAB⊥平面ABCD PE (2)线段PC上是否存在点B,使得直线BE与平面PCD所成角的正弦值为5？若存在，求EC的值；若不存在，请 说明理由 2 暑假预习：线面角的向量求法、二面角的向量求法专项训练 例3.(25-26高二上北京房山期中)如图，在长方 ABCD-AB,CD由AM=2AB=AD=4,E,F分别 中， 是AB,BC的中点 D K E EF⊥BD (1)求证： (2)求直 CD,与平面 ACFE 所成角的正弦值. 变式1.(2025辽宁辽阳·一模)如图，在直三棱柱 MBC-4BG中，AC L BC,.AC=BC=2,D为4B的中点， A4=1 C D (1)证明： AC1I平面 BCD 与平面48C BD (2)求直线 所成角的正弦值 3 暑假预习：线面角的向量求法、二面角的向量求法专项训练 ABCD-ABCD 变式2.(2425高三上辽宁葫芦岛期末)如图，在四棱柱 中， BC=CD=DB=2AB=2AD,AB=AD D A B BD⊥AC (1)求证： (②设E为棱BC的中点，线段 C,DE、 F,CF⊥ DF CBC “交于点 平面4BCD,且CGF=BC=2 求直线 与平面心所成 角的正弦值. 变式3.(24-25高二上辽宁葫芦岛期末)如图，在正三棱柱 BC-4B,G中，D是棱4C的中点 B C D (1)证明： B平面BCD. AB=1,A4=2 BB与平面 BCD (2)若 ,求直 所成角的正弦值 暑假预习：线面角的向量求法、二面角的向量求法专项训练 考点二 二面角的向量求法 例1.(25-26高二上辽宁锦州期末)如图所示，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC,且 ∠DAB=∠DBF=60° E D B (I)求证：BD⊥平面ACF: (2)求面ABF与面ABCD所成二面角的余弦值 例2.(25-26高二上辽宁大连期末)在如图所示的几何体中，底面ABCD是菱形，AD=DB=2,ED⊥底面 ABCD,ED/ICF,BF=FE,且平面FEB⊥平面EDB. (1)在线段EB上是否存在点M,使得A,C,M,F四点共面？若存在，请给出证明：若不存在，请说明理由. (2)若ED=4,求二面角A-BE-F的正弦值. 暑假预习：线面角的向量求法、二面角的向量求法专项训练 例3.(2026山东秦安二模)如图，在四棱锥P-ABCD中，AB‖CD,MBLD,PA1 ABCD,PA=AD=2√2 平面 AB=2CD=4」 D (I)证明：BD⊥PC； (2)求平面PBC与平面PCD夹角的余弦值 变式1.(2026北京密云·一模)如图，在三棱柱 BC-4BC中.B8上平面4BC,BLBC,MB=BC=B服=2， 一平面 M,N AB,AC 分别为 的中点 B M C ',B BCCB (①求证：MWl平面 (2)求二面角M-AC-B的余弦值， 6 暑假预习：线面角的向量求法、二面角的向量求法专项训练 变式2.(2026~山东聊城模拟预测)如图，在多面体ABCDPE中，四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD, PA∥BE,PA=AB=4,BC=BE=2,F为PD的中点 (I)证明：BD/1平面PEC: (2)求平面ABF与平面BEF夹角的余弦值： BC-ABG中，D为M的中点，记四枝 B-CDAC 变式3.(2026山东菏泽模拟预测)如图，在直三棱柱 的体积为匕，三楼鞋8-BDC的体积为 Bi A D B 0证明： 2%=3Y2 ②已知片=6，B14C,4B=25,4C=2,求二面角8 B-DC-B 的余弦值，