1.2.3 直线与平面的夹角-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

1．2．3　直线与平面的夹角

知识点一　直线与平面的夹角

1．已知斜线段长是它在平面上的射影长的2倍，则斜线与平面所成的角为(　　)

A．30° B．45°

C．60° D．120°

答案　C

解析　如图所示，斜线段AB的长度是它在平面α内的射影AC的长度的2倍．连接BC，易知△ABC为直角三角形，所以cos∠BAC＝．故所求的角为60°．

2．在正四棱锥P－ABCD中，侧棱与底面所成的角为，则侧棱所在直线与底面的边所在直线所成角的余弦值为(　　)

A． B． C． D．

答案　A

解析　如图，正四棱锥P－ABCD中，PO⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，记∠PDO＝θ1，∠CDO＝θ2，∠PDC＝θ．依题意θ1＝，θ2＝，∵cosθ＝cosθ1·cosθ2＝×＝，∴PD与DC所成角的余弦值为，即侧棱所在直线与底面的边所在直线所成角的余弦值为．

知识点二　用空间向量求直线与平面的夹角

3．平面α的一个法向量为m＝(，1，－1)，直线l的一个方向向量＝(0，0，)，则直线l与平面α所成的角为(　　)

A． B．

C． D．

答案　D

解析　设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，又因为0≤θ≤，故θ＝，即直线l与平面α所成的角为．故选D．

4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成角的大小为(　　)

A． B．

C． D．

答案　B

解析　y轴的一个方向向量s＝(0，1，0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成角的大小是．故选B．

5．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(　　)

A． B．

C． D．

答案　C

解析　建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．由题意得A(1，－1，0)，C(－1，1，0)，B(1，1，0)，S(0，0，)．∴＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，)，＝(1，－1，)．设平面SBC的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则∴

令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0，2，)．设直线AC与平面SBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝．故选C．

6．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1(λ≠0)．若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，则实数λ的值为________．

答案　

解析　建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．由题意可知，＝(0，0，2)，＝(1，2，2)，＝(2，0，2λ)．设平面APQ的一个法向量为n＝(x，y，z)，

则即

令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ．所以n＝(2λ，2－λ，－2)．又因为直线AA1与平面APQ所成的角为45°，所以|cos〈n，〉|＝＝＝，可得5λ2－4λ＝0，又λ≠0，所以λ＝．