1.2.3 直线与平面的夹角-【金版教程】2024-2025学年新教材高中数学选择性必修第一册作业与测评word（人教B版2019）

数学　选择性必修·第一册　作业与测评 1．2．3　直线与平面的夹角 知识点一　直线与平面的夹角 1．已知斜线段长是它在平面上的射影长的2倍，则斜线与平面所成的角为(　　) A．30° B．45° C．60° D．120° 答案　C 解析　如图所示，斜线段AB的长度是它在平面α内的射影AC的长度的2倍．连接BC，易知△ABC为直角三角形，所以cos∠BAC＝．故所求的角为60°． 2．在正四棱锥P－ABCD中，侧棱与底面所成的角为，则侧棱所在直线与底面的边所在直线所成角的余弦值为(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　如图，正四棱锥P－ABCD中，PO⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，记∠PDO＝θ1，∠CDO＝θ2，∠PDC＝θ．依题意θ1＝，θ2＝，∵cosθ＝cosθ1·cosθ2＝×＝，∴PD与DC所成角的余弦值为，即侧棱所在直线与底面的边所在直线所成角的余弦值为． 知识点二　用空间向量求直线与平面的夹角 3．平面α的一个法向量为m＝(，1，－1)，直线l的一个方向向量＝(0，0，)，则直线l与平面α所成的角为(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　设直线l与平面α所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，又因为0≤θ≤，故θ＝，即直线l与平面α所成的角为．故选D． 4．已知平面α的一个法向量为n＝(1，－1，0)，则y轴与平面α所成角的大小为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　y轴的一个方向向量s＝(0，1，0)，cos〈n，s〉＝＝－，即y轴与平面α所成角的正弦值是，故其所成角的大小是．故选B． 5．正四棱锥S－ABCD中，SA＝AB＝2，则直线AC与平面SBC所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．由题意得A(1，－1，0)，C(－1，1，0)，B(1，1，0)，S(0，0，)．∴＝(－2，2，0)，＝(－1，－1，)，＝(1，－1，)．设平面SBC的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 令z＝，得x＝0，y＝2，∴n＝(0，2，)．设直线AC与平面SBC所成的角为θ，则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝．故选C． 6．如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P为棱C1D1的中点，Q为棱BB1上的点，且BQ＝λBB1(λ≠0)．若直线AA1与平面APQ所成的角为45°，则实数λ的值为________． 答案　 解析　建立如图所示的空间直角坐标系Axyz．由题意可知，＝(0，0，2)，＝(1，2，2)，＝(2，0，2λ)．设平面APQ的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则即 令z＝－2，则x＝2λ，y＝2－λ．所以n＝(2λ，2－λ，－2)．又因为直线AA1与平面APQ所成的角为45°，所以|cos〈n，〉|＝＝＝，可得5λ2－4λ＝0，又λ≠0，所以λ＝． 7．已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长为a，侧棱长为a，M为A1B1的中点，求BC1与平面AMC1所成角的正弦值． 解　建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0，0，0)，M，C1，B(0，a，0)，故＝，＝， 设平面AMC1的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则∴ 令y＝2，则z＝－，x＝0，∴n＝． 又＝， ∴cos〈，n〉＝＝＝－． 设BC1与平面AMC1所成的角为θ， 则sinθ＝|cos〈，n〉|＝． 8．(2023·江西九江高二统考)在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，点B1在底面ABC的射影为边BC的中点，△ABC为正三角形，二面角B1－AB－C的正切值为2． (1)证明：AB1⊥A1C； (2)求直线A1C与平面AB1C所成角的正弦值． 解　(1)证明：取BC的中点O，连接OB1，OA， 由题意知，OB1⊥平面ABC，BC，OA⊂平面ABC， 则OB1⊥BC，OB1⊥OA， 又底面ABC为正三角形， 所以OA⊥BC， 故OB1，BC，OA两两垂直， 以O为原点，，，的方向分别为x轴、y轴、z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系． 设正三角形ABC的边长为2，OB1＝m，过O作OE⊥AB于点E，连接EB1， 因为AB⊂平面ABC，所以OB1⊥AB， 又OE⊥AB，OE∩OB1＝O，OE，OB1⊂平面OB1E，所以AB⊥平面OB1E， 又EB1⊂平面OB1E，所以AB⊥EB1． 综上，∠B1EO为二面角B1－AB－C的平面角， 在Rt△OBE中，OE＝OB·sin60°＝， 又tan∠B1EO＝＝2， 所以OB1＝2OE＝，即m＝， 所以BB1＝＝2，则AA1＝2， 则A(0，，0)，A1(1，，)，C(1，0，0)，B1(0，0，)， 所以＝(0，－，)，＝(0，－，－)， 所以·＝0＋3－3＝0，即⊥，故AB1⊥A1C． (2)因为＝(0，－，)，＝(1，－，0)， 设平面AB1C的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则有即 所以 令y＝1，则n＝(，1，1)， 设直线A1C与平面AB1C所成的角为θ， 又＝(0，－，－)，则sinθ＝|cos〈，n〉|＝＝＝． 一、选择题 1．设直线l与平面α相交，且l的一个方向向量为a，α的一个法向量为n，若〈a，n〉＝，则l与α所成的角为(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　设所求角为θ，则θ＝〈a，n〉－＝－＝．故选B． 2．已知长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝4，CC1＝2，则直线BC1与平面BDD1B1所成角的正弦值为(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　连接A1C1交B1D1于O点，由已知条件得C1O⊥B1D1，且平面BDD1B1⊥平面A1B1C1D1，平面BDD1B1∩平面A1B1C1D1＝B1D1，C1O⊂平面A1B1C1D1，所以C1O⊥平面BDD1B1，连接BO，则BO为BC1在平面BDD1B1上的射影，∠C1BO即为所求，通过计算得sin∠C1BO＝．故选C． 3．若平面α的一个法向量为n＝(4，1，1)，直线l的一个方向向量为a＝(－2，－3，3)，则l与α所成角的正弦值为(　　) A． B．－ C． D．－ 答案　A 解析　cos〈n，a〉＝＝＝．故l与α所成角的正弦值为．故选A． 4．直线l与平面α成45°角，若直线l在α内的射影与α内的直线m成45°角，则l与m所成的角是(　　) A．30° B．45° C．60° D．90° 答案　C 解析　设l与m所成的角为θ，cosθ＝cos45°·cos45°＝，∴θ＝60°．故选C． 5．[多选](2023·辽宁大连高二庄河高中阶段考试)已知正方体ABCD－A1B1C1D1，E，F分别为A1D1，CC1的中点，则(　　) A．直线BE与B1F所成的角为90° B．直线B1C与C1D所成的角为60° C．直线AA1与平面ABC1D1所成的角为45° D．直线AA1与平面BFD所成角的正弦值为 答案　ABC 解析　以D为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长为2，则D(0，0，0)，D1(0，0，2)，A(2，0，0)，B(2，2，0)，C(0，2，0)，E(1，0，2)，F(0，2，1)，A1(2，0，2)，B1(2，2，2)，C1(0，2，2)．＝(－1，－2，2)，＝(－2，0，－1)，故·＝2－2＝0，则⊥，故直线BE与B1F所成的角为90°，A正确；＝(－2，0，－2)，＝(0，－2，－2)，cos〈，〉＝＝＝，又0°≤〈，〉≤180°，故〈，〉＝60°，即直线B1C与C1D所成的角为60°，B正确；＝(0，2，0)，＝(－2，0，2)，＝(0，0，2)，设平面ABC1D1的一个法向量为n＝(x，y，z)，则令x＝1，则n＝(1，0，1)，故cos〈n，〉＝＝＝，故直线AA1与平面ABC1D1所成角的正弦值为，因为直线与平面所成角的范围为，所以直线AA1与平面ABC1D1所成的角为45°，C正确；＝(0，2，1)，＝(2，2，0)，设平面BFD的一个法向量为m＝(a，b，c)，则令a＝1，则m＝(1，－1，2)，故cos〈m，〉＝＝＝，故直线AA1与平面BFD所成角的正弦值为，D错误． 二、填空题 6．正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长都相等，则AC1与平面BB1C1C所成角的余弦值为________． 答案　 解析　设正三棱柱ABC－A1B1C1的所有棱长均为1，以B为原点，建立空间直角坐标系(如图)，则C1(0，1，1)，A，所以＝，又平面BB1C1C的一个法向量为n＝(1，0，0)，设AC1与平面BB1C1C所成的角为θ，则sinθ＝＝＝，所以cosθ＝＝． 7．如果∠APB＝∠BPC＝∠CPA＝60°，则PA与平面PBC所成角的余弦值为________． 答案　 解析　如图，设A在平面PBC内的射影为O，连接OP，∵∠APB＝∠APC，∴点O在∠BPC的平分线上，∴∠OPC＝30°，∠APO为PA与平面PBC所成的角．∴cos∠APC＝cos∠APO·cos∠OPC，即cos60°＝cos∠APO·cos30°，∴cos∠APO＝． 8．(2023·辽宁沈阳二中校考)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，O为线段BD的中点．设点P在线段BB1(P不与B重合)上，直线OP与平面A1BD所成的角为α，则sinα的最大值是________． 答案　 解析　如图，建立空间直角坐标系Axyz，不妨设正方体的棱长AB＝2，则A1(0，0，2)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，＝(2，0，－2)，＝(－2，2，0)，设平面A1BD的一个法向量为m＝(x，y，z)，所以即令x＝1，得m＝(1，1，1)，又O(1，1，0)，设P(2，0，t)，则t∈(0，2]，所以＝(1，－1，t)，故sinα＝＝＝≤，当t＝2时，等号成立，所以sinα的最大值是． 三、解答题 9．如图，平面ABDE⊥平面ABC，△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝4，四边形ABDE是直角梯形，BD∥AE，BD⊥AB，BD＝AE＝2，O，M分别为CE，AB的中点． (1)求异面直线AB与CE所成角的大小； (2)求直线CD与平面ODM所成角的正弦值． 解　(1)∵BD⊥AB，平面ABDE⊥平面ABC，平面ABDE∩平面ABC＝AB，BD⊂平面ABDE，∴BD⊥平面ABC． ∵BD∥AE，∴AE⊥平面ABC． 如图所示，以C为原点，，的方向分别为x轴、y轴正方向，过点C且与AE平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系． ∵AC＝BC＝AE＝4， ∴C(0，0，0)，A(4，0，0)，B(0，4，0)，E(4，0，4)， ∴＝(－4，4，0)，＝(4，0，4)． ∴cos〈，〉＝＝－， ∵异面直线所成角的范围是， ∴异面直线AB与CE所成角的大小为． (2)由(1)知O(2，0，2)，D(0，4，2)，M(2，2，0)， ∴＝(0，4，2)，＝(－2，4，0)，＝(－2，2，2)， 设平面ODM的一个法向量为n＝(x，y，z)， 则由可得 令x＝2，则y＝1，z＝1，∴n＝(2，1，1)． 设直线CD与平面ODM所成的角为θ， 则sinθ＝|cos〈n，〉|＝＝， ∴直线CD与平面ODM所成角的正弦值为． 10．(2023·广西柳州高二联考)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥AC，AB＝AC＝AA1＝1，M为线段A1C1的中点． (1)求证：BM⊥AB1； (2)求直线AB1与平面BCM所成角的大小． 解　(1)证明：因为AA1⊥平面ABC，AB，AC⊂平面ABC， 所以AA1⊥AB，AA1⊥AC， 因为AB⊥AC，AB∩AA1＝A，AB，AA1⊂平面AA1B1B， 所以AC⊥平面AA1B1B， 因为AB1⊂平面AA1B1B， 所以AC⊥AB1． 因为在三棱柱ABC－A1B1C1中，AC∥A1C1， 所以A1C1⊥AB1． 又AA1＝AB， 所以四边形AA1B1B为正方形． 连接A1B，BC1，则AB1⊥A1B． 又A1B∩A1C1＝A1，A1B，A1C1⊂平面BA1C1， 所以AB1⊥平面BA1C1． 因为BM⊂平面BA1C1， 所以BM⊥AB1． (2)因为AB，AC，AA1两两垂直，所以如图建立空间直角坐标系Axyz， 则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，C1(0，1，1)． 因为M为线段A1C1的中点， 所以M， 所以＝，＝(－1，1，0)，＝(1，0，1)， 设平面BCM的一个法向量为m＝(x，y，z)，则 令x＝1，则m＝， 设直线AB1与平面BCM所成的角为θ，则 sinθ＝|cos〈，m〉|＝＝＝， 因为θ∈，所以θ＝， 所以直线AB1与平面BCM所成角的大小为． 11．已知几何体EFG－ABCD，如图所示，其中四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形，且边长为1，点M在棱DG上． (1)求证：BM⊥EF； (2)是否存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°？若存在，确定点M的位置；若不存在，请说明理由． 解　(1)证明：∵四边形ABCD、四边形CDGF、四边形ADGE均为正方形， ∴DA，DC，DG两两垂直． 以D为原点，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz， 则B(1，1，0)，E(1，0，1)，F(0，1，1)． 点M在棱DG上，故可设M(0，0，t)(0≤t≤1)． ∵＝(1，1，－t)，＝(－1，1，0)， ∴·＝0，∴BM⊥EF． (2)假设存在点M，使得直线MB与平面BEF所成的角为45°． 设平面BEF的一个法向量为n＝(x，y，z)， ∵＝(0，－1，1)，＝(－1，0，1)， ∴∴ 令z＝1，得x＝y＝1， ∴n＝(1，1，1)为平面BEF的一个法向量， ∴cos〈n，〉＝＝． ∵直线MB与平面BEF所成的角为45°， ∴sin45°＝|cos〈n，〉|， ∴＝， 解得t＝－4±3． 又0≤t≤1，∴t＝3－4， ∴点M(0，0，3－4)． ∴当点M在DG上，且DM＝3－4时，直线MB与平面BEF所成的角为45°． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$