数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

 第25章  一元二次方程

数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割

【学习目标】

1. 通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割.

2. 经历“猜想一验证一推导”的探究过程，提升逻辑推理与数形结合能力，在互动中感受数学的关联性，激发主动探究的兴趣.

学习重点：通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割.

学习难点：通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割.

【复习导入】

如何解决下列两个任务：

任务一：“三个一元二次方程，系数不同却有公共解”背后藏着什么规律？

任务二：线段分三段，既要“最长段＝另两段和”，又要满足分式等式，是巧合还是必然？

 

 

                     

【合作探究】

探究点一：探究方程有公共解的条件

活动1：已知 abc≠0，下列方程：

ax² + bx + c = 0，   ①

bx² + cx + a = 0，   ②

cx² + ax + b = 0.     ③

恰有一个公共解. 给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解.

问题1：要找三个方程的公共解，第一步可以怎么做？

 

问题2：将 k 代入三个方程，能得到什么式子？

 

问题3：如何处理这三个式子，得到 a，b，c 的关系？

 

 

 

 

 

归纳小结

多个方程公共解问题的通用思路：

设公共解 → 代入方程 →构造关系式→分析系数条件

                      

探究点二：探究方程有公共解的条件

活动2  神奇的线段分割

王芳：李明，我们来做个智力游戏吧. 你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗？

 

 

 

 

李明：这简单，你来试试这个. 还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为 a，b，c，且 a > b > c，你能找到合适的 a，b，c，使 a = b + c 和   同时成立吗？

      

 

 

  

 

 

思考：怎么用尺规作出李明提出的问题中线段的两个分点？

 

 

 

 

 

 

                

当堂反馈

 

1. 已知三个一元二次方程：x² + bx + c = 0、bx² + cx + 1 = 0、cx² + x + b = 0 有唯一公共解，且 b = 2，则 c =              .

2. 将一条长为 10 cm 的线段分成三段 m，n，p ( p 为最长段)，满足 p = m + n 且

.  n 与 m 的数量关系             .