数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割（导学案）-2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程，核心内容为探究方程有公共解的条件及线段分割的数量关系与尺规作图。通过“三个方程有公共解的规律”“线段分三段满足特定条件”两个任务问题导入，搭建复习与新知的连接支架，引导学生经历“猜想—验证—推导”的探究过程。 资料以合作探究为主线，通过问题链引导学生设公共解、代入方程、构造关系式，培养逻辑推理能力，线段分割结合尺规作图发展几何直观，当堂反馈强化应用，有效提升学生的推理意识与创新意识，激发主动探究兴趣。

第25章 一元二次方程 数学活动：探究方程有公共解的条件和神奇的线段分割 【学习目标】 1. 通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割. 2. 经历“猜想一验证一推导”的探究过程，提升逻辑推理与数形结合能力，在互动中感受数学的关联性，激发主动探究的兴趣. 学习重点：通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割. 学习难点：通过探究，归纳方程有公共解的条件，理解线段分割的数量关系，尝试尺规作图实现特定分割. 【复习导入】 如何解决下列两个任务： 任务一：“三个一元二次方程，系数不同却有公共解”背后藏着什么规律？ 任务二：线段分三段，既要“最长段＝另两段和”，又要满足分式等式，是巧合还是必然？ 【合作探究】 探究点一：探究方程有公共解的条件 活动1：已知 abc≠0，下列方程： ax² + bx + c = 0， ① bx² + cx + a = 0， ② cx² + ax + b = 0. ③ 恰有一个公共解. 给出 a，b，c 满足的条件，并求出方程①②③的解. 问题1：要找三个方程的公共解，第一步可以怎么做？ 问题2：将 k 代入三个方程，能得到什么式子？ 问题3：如何处理这三个式子，得到 a，b，c 的关系？ 归纳小结 多个方程公共解问题的通用思路： 设公共解 → 代入方程 →构造关系式→分析系数条件 探究点二：探究方程有公共解的条件 活动2 神奇的线段分割 王芳：李明，我们来做个智力游戏吧. 你能把任意一条线段分成两两不等的三条线段，使其中最长的线段等于另外两条线段的和吗？ 李明：这简单，你来试试这个. 还是把一条线段分成两两不等的三条线段，如果三条线段的长度分别为 a，b，c，且 a > b > c，你能找到合适的 a，b，c，使 a = b + c 和 同时成立吗？ 思考：怎么用尺规作出李明提出的问题中线段的两个分点？ 当堂反馈 1. 已知三个一元二次方程：x² + bx + c = 0、bx² + cx + 1 = 0、cx² + x + b = 0 有唯一公共解，且 b = 2，则 c = . 2. 将一条长为 10 cm 的线段分成三段 m，n，p ( p 为最长段)，满足 p = m + n 且 . n 与 m 的数量关系 . 参考答案 【合作探究】 探究点一：探究方程有公共解的条件 活动1： 问题1：设公共解为 k 问题2： 问题3：将三式相加：(a + b + c)k² + (b + c + a)k + (c + a + b) = 0 提取公因式：(a + b + c)(k² + k + 1) = 0 分析：k²+ k + 1 = 因此必有 a + b + c = 0. 当 a + b + c = 0 时，c = －a－b，代入方程①: ax²+ bx－a－b = 0 因式分解：a(x²－1) + b(x－1) = 0 (x－1) [ a(x + 1) + b] = 0解得 x = 1 或 验证：将 x = 1 代入方程 ②、③，均满足 a + b + c = 0，因此公共解为 x = 1，条件为a + b + c = 0 (abc≠0). 探究点二：探究方程有公共解的条件 活动2 神奇的线段分割 王芳： 依据“线段和差的拼接规则”：若线段总长为 L = a + b + c，当 a = b + c 时，只需在原线段上先截取长为 b 的段，再截取长为 c 的段，剩余部分即为 a (a = L － b － c = b + c )，可实现共线的三段分割. 李明： 思考： 当堂反馈 1. －3 2. 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $