第二十五章 一元二次方程（四大考点+四大易错+易错训练）（知识清单）数学新教材人教版九年级上册

该初中数学“一元二次方程”单元知识清单系统梳理了方程概念、解法、根的关系及应用题四大核心内容，构建从基础定义（含一般形式、根的概念）到解法技巧（直接开平方法、因式分解法等），再到实际应用（四大模型）的递进式学习支架，配套易错点分析与分层训练题。 清单以“知识点分级+易错点警示”呈现知识体系，如将因式分解法标注“首选最快”、配方法强调“必考基础”，培养学生运算能力与推理意识。特设“参数问题需验a≠0”“韦达定理必看Δ≥0”等易错提醒，应用题明确“检验实际意义”步骤，助力学生精准掌握要点，教师可据此设计针对性教学，提升课堂效率。

第二十五章 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的有关概念 1. 定义 只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是_______，且是_______方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件：① 一个未知数； ② 最高次数为 2； ③ 整式方程（分母不含未知数、无根号含未知数）。 2. 一般形式 · ：______________，_______ 是核心前提（ 则变成______________方程）； · ：______________，可为 0； · ：______________，可为 0。 3. 方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（根）。已知根可代入方程求参数。 知识点二 一元二次方程的解法 1. 直接开平方法 · 适用形式： 或 · 要求： 才有实数根； 无解。 2. 因式分解法（首选最快） · 步骤：移项使右边=0 → 左边因式分解 → 令每个因式=0 → 直接得根。 · 常用：______________、______________、______________、______________。 3. 配方法（必考基础） · 步骤：二次项系数化为_______ → 移_______ → ____________________________ → 写成完全平方 → 开方求解。 · 作用：推导求根公式、求最值、代数式配方。 4. 公式法（万能解法） · 通用公式： · 步骤：化为一般式→找 、、→算 →代入公式。 知识点三 根的判别式、根与系数的关系（韦达定理） 1. 根的判别式 · ：方程有______________的实数根 · ：方程有______________的实数根 · ：方程没有______________ 含参题型：根据根的情况列不等式，求参数取值范围，务必保留 。 2. 韦达定理（根与系数关系） 若 的两根为 、，则： 3. 常用变形求值 注意：使用韦达定理前提：方程必须有实数根（）。 知识点四 列一元二次方程解应用题 1. 解题六步骤 审（审题找等量）→ _______（设未知数）→ _______（列方程）→ _______（解方程）→ _______（验方程 + 实际）→ _______（规范作答） 2. 四大必考模型 1. 增长率问题： 1. 面积问题：道路、边框、裁剪图形，利用面积差列方程 1. 销售利润问题：单件利润×销量=总利润 1. 传播、分支问题：病毒传播、树枝分支递增模型 易错点1 求参数时忽略二次方程的定义 易错提醒 易错点总结 1. 含参数方程题目，只考虑根的情况、方程解的情况，忘记保证二次项系数 a≠0。 2. 参数求解后不检验，出现 a=0 仍然保留解，使一元二次方程退化为一次方程，导致整题错误。 3. 题目明确说是“一元二次方程”，却忽略最高次数为 2 的隐藏条件。 注意事项总结 1. 只要题干出现一元二次方程，第一条件必写：二次项系数≠0。 2. 求参数取值范围时，必须同时满足判别式条件且a≠0。 3. 算出参数后代回检验，舍去使二次项系数为 0 的解。 【对点训练】1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 易错点2 利用根与系数的关系求参数的时忽略有实数根的前提 易错提醒 易错点总结 1. 直接套用韦达定理、，忘记前提 Δ≥0。 2. 算出参数后不验证方程是否真的存在实数根，出现无实数根仍用韦达的错误。 3. 只看式子代数成立，忽略“无根时韦达定理不能用”的规则，造成答案多解、错解。 注意事项总结 1. 韦达定理使用铁律：必须有实数根 Δ≥0。 2. 含参韦达题型解题顺序：先列式求值 → 再用 Δ≥0 筛解。 3. 最终参数取值必须同时满足 a≠0、Δ≥0 双重条件。 【对点训练】2．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 易错点3 解二次方程时的常见错误 易错提醒 易错点总结 1. 因式分解法漏根、丢根，直接除以含未知数式子导致少一个解。 2. 配方法时常数项移项符号错、配方时漏加平方数。 3. 公式法代错 a、b、c 符号，负号频繁出错、判别式算错。 4. 开平方法只写正根、漏掉负根，出现单解丢分。 注意事项总结 1. 解方程严禁两边同除含未知数式子，防止丢根。 2. 配方法牢记：移项变号、两边同时加“一次项系数一半的平方”。 3. 公式法先整理成标准式，再代入 a、b、c，先算 Δ 再求根。 4. 完全平方开方必须带 ±，保证两根齐全。 【对点训练】3．下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程． 甲同学 解：第一步 第二步 乙同学 解：∵ 第一步 ∴  第二步 ∴ 第三步 即， 第四步 (1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第 步开始出现错误，乙同学是第 步开始出现错误； (2)从两个方程中任选一个进行正确解答． 易错点4 实际应用问题中忽略未知数的实际意义 易错提醒 易错点总结 1. 应用题解出两根，不舍去负数解、不合理解，直接双解作答。 2. 增长率、边长、人数、价格等出现负数、小数、超范围数值，不筛选。 3. 只解方程不验实际，数学成立但现实不成立，造成大题扣分。 注意事项总结 1. 应用题必须两步检验：检验方程、检验实际意义。 2. 长度、人数、增长率、价格：负数一律舍去。 3. 超出题目限定范围（如增长率不超 1、边长超图形范围）的根全部舍去。 4. 最终答案一定符合生活实际，不盲目照搬方程解。 【对点训练】4．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 一、单选题 1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 3．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 二、填空题 6．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 7．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 8．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 9．若，是方程的两个实数根，则的值为______． 10．已知关于x的方程的两根分别为，，则________． 三、解答题 11．解一元二次方程： (1)； (2)． 12．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 13．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 14．某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)关于的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 15．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 一元二次方程 知识点一 一元二次方程的有关概念 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2，且是整式方程，叫做一元二次方程。 三个必备条件：① 一个未知数； ② 最高次数为 2； ③ 整式方程（分母不含未知数、无根号含未知数）。 2. 一般形式 · ：二次项系数， 是核心前提（ 则变成一元一次方程）； · ：一次项系数，可为 0； · ：常数项，可为 0。 3. 方程的根 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，叫做方程的解（根）。已知根可代入方程求参数。 知识点二 一元二次方程的解法 1. 直接开平方法 · 适用形式： 或 · 要求： 才有实数根； 无解。 2. 因式分解法（首选最快） · 步骤：移项使右边=0 → 左边因式分解 → 令每个因式=0 → 直接得根。 · 常用：提公因式、平方差、完全平方、十字相乘法。 3. 配方法（必考基础） · 步骤：二次项系数化为 1 → 移常数项 → 两边加一次项系数一半的平方 → 写成完全平方 → 开方求解。 · 作用：推导求根公式、求最值、代数式配方。 4. 公式法（万能解法） · 通用公式： · 步骤：化为一般式→找 、、→算 →代入公式。 知识点三 根的判别式、根与系数的关系（韦达定理） 1. 根的判别式 · ：方程有两个不相等的实数根 · ：方程有两个相等的实数根 · ：方程没有实数根 含参题型：根据根的情况列不等式，求参数取值范围，务必保留 。 2. 韦达定理（根与系数关系） 若 的两根为 、，则： 3. 常用变形求值 注意：使用韦达定理前提：方程必须有实数根（）。 知识点四 列一元二次方程解应用题 1. 解题六步骤 审（审题找等量）→ 设（设未知数）→ 列（列方程）→ 解（解方程）→ 验（验方程 + 实际）→ 答（规范作答） 2. 四大必考模型 1. 增长率问题： 1. 面积问题：道路、边框、裁剪图形，利用面积差列方程 1. 销售利润问题：单件利润×销量=总利润 1. 传播、分支问题：病毒传播、树枝分支递增模型 易错点1 求参数时忽略二次方程的定义 易错提醒 易错点总结 1. 含参数方程题目，只考虑根的情况、方程解的情况，忘记保证二次项系数 a≠0。 2. 参数求解后不检验，出现 a=0 仍然保留解，使一元二次方程退化为一次方程，导致整题错误。 3. 题目明确说是“一元二次方程”，却忽略最高次数为 2 的隐藏条件。 注意事项总结 1. 只要题干出现一元二次方程，第一条件必写：二次项系数≠0。 2. 求参数取值范围时，必须同时满足判别式条件且a≠0。 3. 算出参数后代回检验，舍去使二次项系数为 0 的解。 【对点训练】1．若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】B 【分析】将已知根代入原方程，得到关于的方程，解方程即可，并根据已知方程是一元二次方程排除，即可得到答案． 【详解】解：将代入方程， 得，解得， ∵已知方程是一元二次方程， ∴，即， ∴． 易错点2 利用根与系数的关系求参数的时忽略有实数根的前提 易错提醒 易错点总结 1. 直接套用韦达定理、，忘记前提 Δ≥0。 2. 算出参数后不验证方程是否真的存在实数根，出现无实数根仍用韦达的错误。 3. 只看式子代数成立，忽略“无根时韦达定理不能用”的规则，造成答案多解、错解。 注意事项总结 1. 韦达定理使用铁律：必须有实数根 Δ≥0。 2. 含参韦达题型解题顺序：先列式求值 → 再用 Δ≥0 筛解。 3. 最终参数取值必须同时满足 a≠0、Δ≥0 双重条件。 【对点训练】2．已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求实数的取值范围； (2)若，是该方程的两个根，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据根的判别式列不等式求解； （2）根据一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得； （2）解：∵，是该方程的两个根， ∴，， ∴， 解得，， 由（1）可知：， ∴． 易错点3 解二次方程时的常见错误 易错提醒 易错点总结 1. 因式分解法漏根、丢根，直接除以含未知数式子导致少一个解。 2. 配方法时常数项移项符号错、配方时漏加平方数。 3. 公式法代错 a、b、c 符号，负号频繁出错、判别式算错。 4. 开平方法只写正根、漏掉负根，出现单解丢分。 注意事项总结 1. 解方程严禁两边同除含未知数式子，防止丢根。 2. 配方法牢记：移项变号、两边同时加“一次项系数一半的平方”。 3. 公式法先整理成标准式，再代入 a、b、c，先算 Δ 再求根。 4. 完全平方开方必须带 ±，保证两根齐全。 【对点训练】3．下面分别是甲、乙两位同学解方程的过程． 甲同学 解：第一步 第二步 乙同学 解：∵ 第一步 ∴  第二步 ∴ 第三步 即， 第四步 (1)甲、乙两位同学的解题过程都出现了错误，甲同学是第 步开始出现错误，乙同学是第 步开始出现错误； (2)从两个方程中任选一个进行正确解答． 【答案】(1)一，一 (2)选甲：方程的解为；选乙：方程的解为 【分析】（）根据解答过程判断即可求解； （）选甲的方程：利用因式分解法直接解答即可；选乙的方程：先把方程转化为一般式，再利用公式法解答即可； 本题考查了解一元二次方程，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：甲同学第一步开始出现错误，漏了的情况；乙同学第一步开始出现错误，没有把方程转化为一般式，误得到， 故答案为：一，一； （2）解：选甲的方程： ∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； 选乙的方程： ∵， ∴， ∴，，， ∴， ∴， ∴，． 易错点4 实际应用问题中忽略未知数的实际意义 易错提醒 易错点总结 1. 应用题解出两根，不舍去负数解、不合理解，直接双解作答。 2. 增长率、边长、人数、价格等出现负数、小数、超范围数值，不筛选。 3. 只解方程不验实际，数学成立但现实不成立，造成大题扣分。 注意事项总结 1. 应用题必须两步检验：检验方程、检验实际意义。 2. 长度、人数、增长率、价格：负数一律舍去。 3. 超出题目限定范围（如增长率不超 1、边长超图形范围）的根全部舍去。 4. 最终答案一定符合生活实际，不盲目照搬方程解。 【对点训练】4．小西家有一块空地，空地上有一面长为米的围墙，小西打算利用围墙和木栏围一块长方形养蜂场，已知木栏总长为米，与墙相对的一面木栏需开一扇宽为米的门，门不消耗木栏，设长为米． (1)如图①，当时， ①___________米（用含的代数式表示）． ②若围成的养蜂场面积为平方米，求的长． (2)如图②，当时，养蜂场的面积是否可以达到平方米？请说明理由． 【答案】(1)①；②米 (2)养蜂场的面积不能达到平方米．理由如下： 假设养蜂场的面积可以达到平方米， ∵长为米， ∴， 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴原方程没有实数根， ∴假设不正确，即养蜂场的面积不能达到平方米． 【分析】（1）①利用“的长的长木栏总长门的宽度的长”，可用含的代数式表示出的长； ②根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，解之可得出的值，再结合，即可确定结论； （2）假设养蜂场的面积可以达到平方米，由长为米，可得出长为米，根据“围成的养蜂场面积为平方米”可列出关于的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不正确． 【详解】（1）解：①依题意，得：（米）； ②依题意，得：， 解得：，， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意， ∴的长为米； （2）略． 一、单选题 1．关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，据此列不等式求解参数范围即可． 【详解】解：∵ 一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 2．若关于的方程有实数根，则的取值范围是（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】当，即时，原方程为一元一次方程，满足题意；当，即时，原方程是一元二次方程，利用判别式求出此时m的取值范围即可得到答案． 【详解】解：当，即时，此时原方程为，解得，有实数根，符合题意； 当，即时，原方程是一元二次方程， ∵原方程有实数根， ∴， ∴， 解得，即此时满足条件的范围是且， 综上所述，的取值范围是． 3．定义运算：，例如，时，．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新定义的运算规则，将整理为一元二次方程的一般形式，再利用一元二次方程根的判别式，当方程有两个不相等实数根时判别式大于，求解得到的取值范围． 【详解】解：∵定义运算， ∴， ∵， ∴， 即， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 化简得， 解得． 4．若关于x的一元二次方程的两根互为倒数，则k的值为（     ） A． B．2 C．2或 D．1 【答案】A 【分析】先根据两根互为倒数得到两根乘积为1，求出k的可能值，再利用判别式验证方程存在实根，舍去不符合的解得到结果． 【详解】解：设方程的两根为． ∵ 方程两根互为倒数， ∴ ． 又∵由根与系数的关系得． ∴ ，解得或． ∵ 一元二次方程有两个实数根， ∴． ∴． ∵ ，不符合要求舍去， ∴ ． 5．已知，是一元二次方程的两个根，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】若一元二次方程的两根为，，则有，，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴． 二、填空题 6．已知，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则的最小值是______________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根的判别式确定参数的取值范围，再利用根与系数的关系将变形为关于的一次式，结合一次函数的增减性求出最小值． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两个实数根， ， 解得， 由根与系数的关系得：，， ， ， 随的增大而减小， 当取最大值时，取得最小值， 代入得，最小值为． 7．若关于的一元二次方程有两个相等实数根，则的值是________． 【答案】 【分析】根据一元二次方程的定义可得二次项系数不为，再根据方程有两个相等的实数根，可得根的判别式的值为，列方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵方程是关于的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个相等的实数根， ∴根的判别式， 将，，代入得， 解得， 满足， ∴的值是． 8．已知的两个根为，则_______，_______，_______，_______，_______． 【答案】 / 【分析】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，先根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，再将所求代数式变形为含两根之和与两根之积的形式，代入计算即可得到结果． 【详解】解：对于一元二次方程，其中二次项系数，一次项系数，常数项， 根据根与系数的关系可得：，， ∴； ； ， ． 9．若，是方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【分析】利用一元二次方程的解得到，根据根与系数的关系得到，将所求代数式变形后整体代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵是方程的根， ∴，即， ∵，是方程的两个实数根， ∴由根与系数的关系得， ∴． 10．已知关于x的方程的两根分别为，，则________． 【答案】1 【分析】已知一元二次方程的两个根，利用根与系数的关系求出和的值，再计算即可. 【详解】解：∵方程的两根为，， ∴， ， ∴. 三、解答题 11．解一元二次方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解： 或 ，． （2）解： 或 ，． 12．阅读材料： 为解方程，我们可以将视为一个整体，然后设，则，原方程可化为，① 解得，． 当时，，，． 当时，，，． 原方程的解为，，，． 以上方法就叫换元法，体现了转化的思想． 请仿照材料解决问题： (1)解方程：． (2)若四个连续正整数的积为，求出这四个连续的正整数． 【答案】(1)原方程的解为，， (2)这四个整数为2，3，4，5 【分析】（1）将原方程整理，设，则原方程可化为，利用因式分解法解方程，再求x． （2）设最小数为，由题意得，即，设，则再利用因式分解法解一元二次方程，最后再求出x即可． 【详解】（1）解：原方程整理得 ， 设， 则原方程可化为， 因式分解得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得，， 当时，，配方，得， 解得， 原方程的解为，，． （2）解：设最小数为， 由题意得， 即， 设， 则，即， 因式分解得 ， ，， 为正整数，，即， 因式分解得， 解得， 舍去． 这四个整数为． 13．已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，方程一定有两个实数根； (2)若等腰的边长，另两边长，恰好是这个方程的根，求的周长． 【答案】(1)证明：， ∴无论取何实数，该方程总有两个实数根； (2)的周长为或 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式证明即可； （2）根据等腰三角形的定义，分两种情况讨论：当时；当或时，分别求出的值，进而得到另两边边长，再根据三角形的三边关系判断即可． 【详解】（1）略 （2）解：①当时，则，即， ， ． ，即， ∴三边为2，2，3，满足， 的周长； ②解：当或者时，得， 解得． ∴方程为，解得另一根为． ∴三边为2，3，3，满足， 的周长； 综上所述，的周长为或． 14．某网店销售一批同款护眼台灯，在销售过程中发现，这款护眼台灯销售单价为元时，每星期卖出个．如果调整销售单价，每降价元，每星期就可以多卖出个．现网店决定降价销售，设销售单价为元，每星期的销售量为个． (1)关于的函数解析式为 ； (2)若销售单价不低于元时，求最大销售量； (3)若这款护眼台灯进价为每个元，该网店能否达到元的利润？ 【答案】(1) (2) 个 (3) 不能达到 【分析】（1）根据降价金额与销量增加的关系，推导y与x的函数解析式； （2）利用一次函数的增减性，结合自变量的取值范围，求出最大销售量； （3）根据总利润单个利润销售量列方程，通过判断方程是否存在实数解，得到能否达到目标利润的结论. 【详解】（1）解： 由题意可得，销售单价为元时，降价金额为元， 每降价1元多卖出2个，因此多卖出的销量为个， 总销量， 整理得； （2）解：由题意得，结合(1)可得， 函数中，， ∴随的增大而减小， 当取最小值时，取得最大值， 将代入得； 答：最大销售量为（个）. （3）解：由题意， ， 展开整理得， ∵， ∴该方程没有实数根， ∴不存在满足条件的销售单价； 答：该网店不能达到元的利润. 15．定义：若关于的一元二次方程中的常数项是该方程的一个根，则称该一元二次方程为理想方程． (1)已知关于的方程是理想方程，求的值； (2)当，满足什么条件时，方程是理想方程； (3)关于的理想方程的两个实根为，，若，求的取值范围． 【答案】(1)或 (2)当或时，方程是理想方程 (3)的取值范围是或 【分析】（1）根据理想方程的定义求解即可； （2）根据理想方程的定义求解即可； （3）根据理想方程的定义结合根与系数的关系求得，再分两种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵是理想方程， ∴是方程的解， ∴， 解得或； （2）解：∵方程是理想方程， ∴， ∴或， 即当或时，方程是理想方程； （3）解：∵方程有两个实数根， ∴， 由理想方程的定义知是方程的解， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ， 这个不等式对于所有非0实数a都成立， 由根与系数关系得（其中）， 又由理想方程定义知有一根为， 不妨设，则， ∴， ①当时，； ②当时，； 综上所述，的取值范围是或． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $