以圆为背景的定点问题、以圆为背景的定值问题同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 练习聚焦圆的定点与定值问题，通过“例题+变式”分层设计，构建从基础轨迹方程到综合证明的知识巩固路径，培养几何直观与逻辑推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|轨迹方程求解、切线方程基础|例题1-2（求圆方程、切线条件），夯实概念应用| |技能应用|定点证明、定值计算|例题3（面积最大与定点证明），变式1-2（切线与定点综合），强化推理运算| |综合拓展|多考点交汇应用|变式3（斜率乘积与定点），结合几何直观与代数推理，提升创新意识|

暑假预习：以圆为背景的定点问题、以圆为背景的定值问题专项训练 暑假预习：以圆为背景的定点问题、以圆为背景的定值问题专项训练 考点目录 以圆为背景的定点问题 以圆为背景的定值问题 考点一 以圆为背景的定点问题 例1．（25-26高二上·广东惠州·期中）设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． (1)当最大时，求点的坐标； (2)求证：直线恒过定点； (3)当最小时，求直线的方程． 例2．（25-26高二上·上海·期中）圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 例3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 变式1．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为. (1)求点的轨迹方程. (2)若是直线上的动点，为坐标原点， （i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值； （ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为.证明：直线过定点. 变式2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 变式3．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． (1)若点，求点M的坐标； (2)探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 考点二 以圆为背景的定值问题 例1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 例2．（24-25高二上·湖南常德·期中）已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 例3．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，点满足. (1)求点P的轨迹方程C； (2)过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 变式1．（25-26高三上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线，直线l与圆C相交于点A，B，圆C与x轴正半轴交于点D． (1)若，求直线l的方程； (2)记直线AD，BD的斜率分别为，，求证：为定值． 变式2．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交于点，过点的直线与圆交不同的两点，． (1)若直线与轴交于点，且，求直线的方程； (2)设直线，的斜率分别是，，证明：为定值． 变式3．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知圆与直线，动直线过定点. (1)求直线关于点的对称直线，并判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆相交于P、Q两点，点是PQ的中点，直线与直线相交于点.探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：以圆为背景的定点问题、以圆为背景的定值问题专项训练 暑假预习：以圆为背景的定点问题、以圆为背景的定值问题专项训练 考点目录 以圆为背景的定点问题 以圆为背景的定值问题 考点一 以圆为背景的定点问题 例1．（25-26高二上·广东惠州·期中）设圆，直线，点为上的一个动点．过点作圆的两条切线，切点分别为． (1)当最大时，求点的坐标； (2)求证：直线恒过定点； (3)当最小时，求直线的方程． 【答案】(1) (2)直线恒过定点为 (3) 【分析】（1）当时，最大，得直线的方程为：与直线的方程联立即可求出点的坐标； （2）由，得点在以为直径的圆上，求出圆的方程与圆的方程联立，相减得直线的方程，进而求出定点即可得证； （3）由，即当时，取最小值，即取最小值，利用（1）和（2）求出直线的方程即可. 【详解】（1）由直线的斜率为， 当时，最大， 所以直线的方程为：， 所以，解得， 所以； （2）设点， 由，所以点在以为直径的圆上， 所以的中点为，半径为， 所以圆的方程为， 化简整理得：， 由，两式相减得：， 即直线的方程为：， 又，令，即，解得， 所以直线恒过定点为； （3）由题意得：，， 所以， 又， 所以当时，取最小值，即取最小值， 由（1）得当时，点， 由（2）得点，此时直线的方程为：， 所以，代入得， 所以直线的方程为. 例2．（25-26高二上·上海·期中）圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 【答案】(1)或. (2)证明见解析 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，然后利用圆心到轴距离等于半径列式，求解即可； （2）将圆的方程变形，然后解方程组即可求得圆经过的定点. 【详解】（1）圆的方程：， 其中恒成立，圆心为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 解得或， 所以圆的方程为或. （2）证明：圆的方程即：， 联立方程组：可得或， 则圆恒过定点和. 例3．（25-26高二上·江苏扬州·期中）动点到点的距离是到点的距离的3倍，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程； (2)直线与曲线交于，两点，，当面积最大时，求的值； (3)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)或 (3)直线过定点. 【分析】（1）设，然后根据列等式，最后整理即可； （2）根据三角形面积公式得到，即可得到当时，面积最大，然后利用等腰三角形的性质列方程，解方程即可； （3）根据圆的性质得到为以为直径的圆与圆的相交线，然后根据圆的方程得到的方程，最后求定点即可. 【详解】（1）由题意得，所以. 设，因为点，，所以， 化简得. 所以曲线的方程为. （2）曲线是圆心为，半径的圆， ， 当时，面积最大，所以为等腰直角三角形， 圆心到直线距离为，解得或. （3） 圆的圆心，半径， 因为点为直线上一动点，则可设， 因为，都是圆的切线，所以，， 所以，也在以为直径的圆上， 以为直径的圆的圆心为，半径为， 所以以为直径的圆的方程为，即①，化为②， 由①-②整理得， 所以直线的方程为，即， 令，解得，所以直线过定点. 变式1．（25-26高二上·浙江·阶段检测）已知点，，且点满足直线与直线的斜率乘积为. (1)求点的轨迹方程. (2)若是直线上的动点，为坐标原点， （i）过点作曲线的一条切线，切点为，求的最大值； （ii）连接，，直线与曲线的交点为，直线与曲线的交点为.证明：直线过定点. 【答案】(1) (2)（i）； （ii）设，，， 则，， 联立，则， 则，即，故， 联立，则， 则，即，故， 即，， 由图形的对称性可知，直线的定点在轴上， 记直线与轴交点坐标为，当直线斜率不存在时， 即，得，即，此时直线过点； 当直线斜率存在时，即时，有， 即，化简得， 又，故，即，故此时直线过点； 综上所述直线过定点. 【分析】（1）设出点，结合斜率乘积计算即可得； （2）（i）结合圆的切线的性质可得取最小值时有最大值，计算即可得；（ii）设出点坐标后表示出直线、，即可通过计算表示出、坐标，结合圆的对称性分直线斜率存在与斜率不存在计算即可得. 【详解】（1）设点，则有. 化简得； （2）（i）记为，则，因为为锐角，即求最大值， 即求最大值，又，故只需取最小值即可， 则当时，最小，此时取，则， 所以的最大值为； （ii）略 变式2．（25-26高二上·河南新乡·阶段检测）已知点，，动点到点的距离是到点的距离的2倍，记动点的轨迹为曲线. (1)求曲线的方程. (2)已知动点在直线上，过点作曲线的两条切线，，切点分别为，，直线是否过定点？如果是，求出定点坐标；如果不是，说明理由. 【答案】(1) (2)是，定点为 【分析】（1）设，根据两点距离公式得到方程，化简即可； （2）设，写出以为直径的圆的方程，再与圆方程做差即可得到直线方程，分析即可得到定点坐标. 【详解】（1）由题意得，所以. 设，因为点，， 所以，化简得. 所以曲线的方程为. （2）由（1）知，曲线是圆心为，半径的圆， 因为和是圆的两条切线，，为切点， 所以点，在以为直径的圆上，所以圆与圆相交， 因为点在直线上，所以设， 因为，所以， 所以， 所以圆的方程为， 化简得. 因为圆的方程为， 上面两圆方程做差得直线的方程为， 即. 解得，所以直线过定点. 变式3．（25-26高二上·甘肃庆阳·期中）已知圆O：交x轴于点A，B，P是直线x＝4上一点，直线PA，PB分别交圆O于点N，M． (1)若点，求点M的坐标； (2)探究直线MN是否过定点，若过定点，求出该定点；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)过定点 【分析】（1）分别由斜截式得到直线AN和直线BP的方程，再解方程组可得点M的坐标； （2）设，由斜截式得到直线AN的方程，联立曲线方程解出点M的坐标；同理解出点N的坐标，分别讨论当直线MN垂直于x轴时和、、时四种情况可得. 【详解】（1）∵点，∴直线AN的方程为． 令，则．又，∴直线BP的方程为． 由及，解得． （2）设，∵点，∴直线AN的方程为． 由及，解得． ∵点，∴直线BM的方程为． 由及，解得． 当直线MN垂直于x轴时，则，解得， 或，直线MN的方程为； 当时，，直线MN的方程为， 故若直线MN过定点，则该定点为． 当时，直线MN的方程为，显然过点； 当时，，， ∴，∴M，N，C三点共线，即直线MN经过定点． 考点二 以圆为背景的定值问题 例1．（25-26高二上·江苏无锡·期中）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得， 易知,； 此时 , 令，解得或或 易知时,取定值为4，时,取定值为12， 当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4； 当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 【分析】（1）根据“伴随点”的定义得出点满足的方程即可求出点所在曲线的方程； （2）（i）由“共生点”定义可求直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线，可得其方程； （ii）易知圆H的方程为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线和圆的方程利用韦达定理得出的表达式，由其为定值解得的值可得结论. 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. （2）（i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）略 例2．（24-25高二上·湖南常德·期中）已知直线与圆相交于两点，且. (1)若直线过点，求直线的方程； (2)①若线段的中点为点，求点的轨迹方程； ②过点作直线与曲线交于两点，若点的坐标为，直线的斜率分别为，求证：为定值. 【答案】(1)或. (2)①； ②因为过点作直线与曲线交于两点，所以直线的斜率必存在， 设直线的方程为，即，点 联立方程，消去可得， 则，解得， 由韦达定理可得， 则 ， 所以为定值. 【分析】（1）根据题意可知圆心到直线的距离，分析讨论直线的斜率是否存在，结合点到直线的距离公式运算求解； （2）①由是线段的中点，可得，即，进而可得的轨迹方程；②设直线的方程为，设，将直线方程与圆的方程联立，列出韦达定理，利用斜率公式和韦达定理可计算出的值，即可证得结论成立. 【详解】（1）由题意可知：圆的圆心为，半径， 则圆心到直线的距离， 若直线的斜率不存在，即直线，满足题意； 若直线的斜率存在，设直线，即， 则，解得， 所以直线； 综上所述：直线的方程为或. （2）①若线段的中点为，由可得，即， 所以点的轨迹是以为圆心，半径为1的圆， 所以点的轨迹方程； ②略 例3．（25-26高二上·江苏宿迁·阶段检测）已知，，点满足. (1)求点P的轨迹方程C； (2)过点A作直线l交轨迹C于点M，N，交y轴于点. ①若，求直线l的方程； ②若，，试探究是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1) (2)①；②是定值， 【分析】（1）设动点坐标，由条件建立等式，整理后得到动点的轨迹方程； （2）设直线方程后联立曲线方程，整理得关于的一元二次方程，设交点坐标，由韦达定理得到交点横坐标与参数的关系. ①由条件建立方程，结合为韦达定理的结果，求得斜率，即求得直线方程. ②分别求出向量，由条件建立方程组，解得，即可表示出，结合韦达定理化简求值，即可得出结论. 【详解】（1）设，因为，所以， 化简得点P的轨迹方程C：. （2）因为过点的直线与y轴有交点，所以直线l的斜率存在， 设直线l的方程为，由， 消去y得，， 设，， 则，. ，， ①因为，所以，所以，即， 由得， 代入，得， 解得此时直线方程： ②， 则，，，， 因为，， 所以，解得， 为定值. 变式1．（25-26高三上·江苏南通·期中）在平面直角坐标系xOy中，已知圆，直线，直线l与圆C相交于点A，B，圆C与x轴正半轴交于点D． (1)若，求直线l的方程； (2)记直线AD，BD的斜率分别为，，求证：为定值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据圆得垂径定理可求出的值，从而可求直线l的方程； （2）令，结合圆的方程求出点的坐标，设，，联立直线与圆的方程，利用韦达定理，得利用斜率公式得从而可求出为定值． 【详解】（1）圆的方程化为标准形式： 故圆心，半径长 设圆心到直线（即）的距离为，根据弦长公式： ，已知 代入得：，解得： 由点到直线的距离公式，圆心到直线的距离， 解得 因此，直线的方程为或． （2）由圆，令，得（取正半轴），故 ； 设，， 联立直线与圆的方程得方程组， 消去，整理得 由韦达定理，得 又直线AD，BD的分别为 因此： 又 故 故为定值． 变式2．（25-26高二上·河北保定·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知点，圆与轴的正半轴的交于点，过点的直线与圆交不同的两点，． (1)若直线与轴交于点，且，求直线的方程； (2)设直线，的斜率分别是，，证明：为定值． 【答案】(1) (2) 设直线的方程为，联立， 可得， 设，则，① 可得， 则 ，② 而 ， 将①代入②化简可得， 即；则为定值得证. 【分析】（1）可设点，表示出，可求出参数或4，结合题意可舍去，再由两点已知求出直线的方程即可. （2）可设，设直线方程为，联立直线和圆的方程求出关于的一元二次方程，表示出韦达定理，再分别求出，结合前式求解即可. 【详解】（1）设，求出，， 则或4， 当时，，此时直线的方程为， 且圆心到直线距离，满足题意； 当时，，，直线的方程为， 圆心到直线距离（舍去）. （2）略 变式3．（25-26高二上·湖北孝感·期中）已知圆与直线，动直线过定点. (1)求直线关于点的对称直线，并判断直线与圆的位置关系； (2)若直线与圆相交于P、Q两点，点是PQ的中点，直线与直线相交于点.探索是否为定值，若是，求出该定值；若不是，请说明理由. 【答案】(1)直线为，相离； (2)是，. 【分析】（1）根据直线关于点对称，即有两直线平行且该点到两直线的距离相等，设直线，利用点到直线的距离公式列方程求参数，进而判断直线与圆的位置关系； （2）设的方程为，联立圆和直线求坐标，再应用向量数量积的坐标运算求，即可得结论. 【详解】（1）点到直线的距离为， 设直线，则，解得（舍）或， 所以直线为，又圆的圆心为且半径， 圆心到直线的距离，所以直线和圆相离；    （2）由题意，直线的斜率存在，设的方程为， 由，消去得， 所以，则， ，则， ， 由，得，则， ， ， 为定值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $