暑假预习：由直线与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求最值专项训练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

**基本信息** 聚焦直线与圆位置关系的参数求解及最值问题，通过精选例题与变式题构建从基础应用到综合拓展的训练体系，培养几何直观与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |由直线与圆的位置关系求参数|4例+4变式|选择/填空，涉及对称轴、恒有公共点、相切、存在性问题|基于位置关系判定（距离公式、圆心半径关系），直接应用求参数| |由直线与圆的位置关系求最值|4例+4变式|多选/解答，含代数式最值、切线长、面积范围|结合几何意义（斜率/距离）及代数转化，在位置关系基础上拓展求最值|

暑假预习：由直线与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求最值专项训练 暑假预习：由直线与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求最值专项训练 考点目录 由直线与圆的位置关系求参数 由直线与圆的位置关系求最值 考点一 由直线与圆的位置关系求参数 例1．（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知圆心坐标为， 因为直线是圆的一条对称轴， 所以在直线上， 所以，解得. 例2．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】直线对任意都过定点. 要使任意对应的直线与圆总有2个公共点，等价于过定点的所有斜率存在的直线都与圆相交于两点. 若定点在圆内，则过该点的任意直线都与圆交于两点，此时需满足，即 ； 若定点在圆上，即 ，此时过 的直线中只有一条是切线，即直线， 由于该切线斜率不存在，不在 的表示范围内，因此所有可表示的直线（斜率存在）均与圆相交于两点，满足题意； 若定点在圆外，即，则存在斜率存在的直线与圆相离，不满足条件. 综上，实数的取值范围为. 例3．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知圆的圆心在轴上，若圆过点且与直线相切，则圆的半径为___________． 【答案】 【详解】设圆心坐标为，半径为，则圆方程为， 则，而圆与直线相切，可得， 得到，解得，故圆的半径为． 例4．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 【答案】 【分析】由圆上存在两点使为等边三角形，所以，过作圆的切线，得到，进而得到，列出不等式，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心为，半径， 点在直线上，设. 因为圆上存在两点使为等边三角形，所以， 过作圆的切线，切点为，连接，则， 又因为，所以，即， 即，即，因式分解得， 解得，即点横坐标的取值范围为. 变式1．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 【答案】C 【分析】直线与圆相交转化为圆心到直线的距离小于半径，列不等式求解即可. 【详解】圆心到直线的距离， 因为直线与圆相交， 所以，化简得. 变式2．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 【答案】D 【分析】利用直线与圆相切时圆心到直线的距离等于半径的性质，列方程求解实数. 【详解】由圆，可得圆心坐标为，半径. 因为直线与圆C相切，所以圆心到直线l的距离等于半径， 根据点到直线的距离公式，圆心到直线的距离为， 令，即，解得或. 变式3．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 【答案】 【分析】根据直线与圆相交时圆心到直线的距离小于半径，列绝对值不等式求解即可 【详解】由题意得圆C的标准方程为 ， 可得圆心坐标为，圆的半径 而直线与圆相交，可得圆心到直线的距离小于圆的半径，即 ， 由题意得 ，得到， 整理得，解得 ， 因此实数的取值范围为. 变式4．（2026·重庆·模拟预测）若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 【答案】 【分析】首先变形曲线，并画出曲线的图象，再根据直线恒过点，利用数形结合，结合临界值，求实数的取值范围. 【详解】由题意得，所以，当时，曲线为； 当时，曲线为， 显然为半圆，如图所示， 易得直线经过定点，当直线与相切时， ，,所以，易得， 故当时，直线与曲线恰有三个公共点，即的取值范围为． 考点二 由直线与圆的位置关系求最值 例1．（25-26高二上·湖南常德·阶段检测·多选）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 【答案】ACD 【分析】ABD选项，可设，结合三角函数恒等变换，三角函数有界性求出最大值；C选项，可设，即，联立圆的方程，根据根的判别式得到不等式求出答案. 【详解】A选项，变形为， 圆心为，半径为， 设， 故， 故当时，取得最大值，最大值为，A错误； B选项，， 故当时，取得最大值，最大值为，B正确； C选项，设，即， 联立与得， 令，解得， 故的最大值为，C错误； D选项，， 故当时，取得最大值，最大值为 故选：ACD 例2．（25-26高二上·河北唐山·期中·多选）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 【答案】AD 【分析】令，，，根据其几何意义求解判断ABC，先求出直线所过的定点，然后求出圆上的点到直线距离的最大值，即可判断D. 【详解】根据题意，方程，即， 表示圆心为，半径为的圆， 对于A，设，即， 直线与圆有公共点， 所以，解得 则的最大值为，故A正确； 对于B，设，其几何意义为圆上的点到原点的距离， 所以的最大值为， 故的最大值为，故B错误； 对于C，设，则，直线与圆有公共点， 则，解得，即的最大值为，故C错误； 对于D，直线化为， 令，解得， 所以直线过圆心， 则圆上的点到直线距离的最大值为，且直线与圆相交， 因为， 所以曲线C上恒有四个点到直线的距离等于，故D正确. 故选：AD. 例3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）计算线段的垂直平分线，再计算线段的垂直平分线与直线交点得到圆心，再计算半径得到答案； （2）考虑直线斜率存在和不存在两种情况，根据点到直线的距离公式结合弦长公式计算得到答案； （3）设，原问题转化为求的最大值，当直线与圆相切时，能取得最值，再结合点到直线的距离公式得解. 【详解】（1）因为，， 所以，的中点坐标为， 所以的垂直平分线为，即， 联立，解得，所以圆心的坐标为， 又圆的半径为， 所以圆的方程为； （2）若直线的斜率不存在，则直线的方程为， 圆心到直线的距离为，所以，满足条件； 若直线的斜率存在，则设直线的方程为，即， 所以圆心到直线的距离为， 又，所以圆心到直线的距离为， 所以，解得， 所以直线的方程为，即， 综上所述，直线的方程为或； （3）设，则求的最大值即求的最大值， 当直线与圆相切时，能取最值， 此时圆心到该直线的距离为，即， 解得或， 所以的最大值为，即的最大值为    例4．（25-26高二上·浙江·期中）已知直线，圆；， (1)圆与轴交于，两点，求； (2)若圆与外切，求的值； (3)若直线与两坐标轴交于，两点，在圆上，求面积的取值范围. 【答案】(1)2 (2) (3) 【分析】（1）令，求出坐标，即可得到； （2）圆与圆外切得到，建立方程解得的值； （3）求出直线与坐标轴交点坐标，即可求得，由圆心到直线的距离得到点到直线的距离，然后得到三角形面积的范围. 【详解】（1）在中令，则， 不妨设，， 所以. （2），，，， ∴，即， ∴. （3）在直线中令，则，令，则， 不妨设，，所以， 设点到的距离为， 因为到的距离为， 所以， 所以. 变式1．（24-25高二上·江苏扬州·期中·多选）已知点、动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（   ） A．曲线的方程为 B．点到直线距离的最小值为 C．的最小值为 D．若点坐标为，则的最小值为 【答案】ACD 【分析】根据条件化简即可得圆的方程判断A；根据圆心到直线的距离及圆的性质判断B；根据切线及圆的几何性质判断C；利用,，利用三点共线即可求解D. 【详解】因为、，设， 由，得，化简得：， 故曲线的方程为，故A正确； 曲线的圆心， 到直线的距离为， 可知直线与圆相离，从而圆上动点到直线距离的最小值为，故B错误； 在中，，故C正确； 在直线中，令，得，即， 设点，满足,故， 化简可得， 由于在，即， 故，， 故,因此，， ， 当且仅当在线段与圆的交点时取得最小值，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：根据，利用待定系数法求解，进而根据以及三点共线求解. 变式2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测·多选）已知直线与圆，则（    ） A．圆心到直线的距离的最大值为4 B．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 C．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 D．若直线与圆相交于，两点，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】求出直线定点，根据当时求出最大值，判断A的正误；根据点到直线距离为1求出的取值，判断B的正误；根据圆心到直线的距离，求出的取值范围，判断C的正误；根据，，求出的取值范围，判断C的正误； 【详解】直线的方程可转化为，即直线过定点． 由圆的方程得圆心，易知当时， 圆心到直线的距离最大，最大值为． 此时直线的斜率为0，直线的斜率不存在，此时直线不存在，A错误； 由圆的方程得其半径， 因为圆上恰有3个点到直线的距离为1， 所以圆心到直线的距离为1，即， 解得，B正确； 因为直线与圆有公共点， 所以圆心到直线的距离，即， 解得，C正确； 因为， 因为，所以，所以，D错误． 故选：BC. 变式3．（25-26高二上·河南信阳·期中）已知圆． (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先判断点在圆外，再按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；进而得到直线方程即可. （2）先确定直线与圆相离，由切线长公式得到，再使分析最小的情况，只要求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值． 【详解】（1）由题意得，则点在圆外，故有2条切线， 若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为． 若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即． 因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2， 即，解得，所以切线l的方程为， 综上，切线l的方程为或． （2）如图，作出符合题意的图形，且， 由题意得圆心到直线的距离为，可得直线m与圆C相离， 由切线的性质得，则， 则当最小时，有最小值． 当时，最小，最小值为， 故的最小值为． 变式4．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (1)求直线的方程； (2)求圆的标准方程； (3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值. 【答案】(1) (2) (3)最大值，最小值. 【分析】（1）法一：利用直线的斜截式方程及两直线平行的条件及点斜式即可求解； 法二：利用直线的平行系方程及点在直线上即可求解； （2）法一：根据已知条件及圆心在弦的垂直平分线上，进而求出垂直平分线方程，联立方程组求出圆心，利用两点间的距离求出半径，结合圆的标准方程即可求解； 法二：利用待定系数法设出圆的方程，再结合点在圆上即可求解； （3）根据圆的性质及点到直线的距离公式即可求解. 【详解】（1）法一：由，得， 所以直线的斜率为， 因为直线与直线平行， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即. 法二：依题意可设直线的方程为， 由于直线过点，所以，所以 所以直线的方程为 （2）法一：由题意知，作出图形如图所示，    圆过，所以中点为， 直线垂直平分线记为，由得， 所以直线的方程为即， 又圆心在轴上，即上， 联立，解得， 所以圆心坐标为， 半径 所以圆的标准方程为. 法二：设圆的一般方程为，圆过， 所以，解得， 所以圆的一般方程为， 即. 所以圆的标准方程为. （3）由（2）知，圆心，半径为，作出图形如图所示，    所以圆心到直线的距离为， 所以点到直线的距离最大值为； 点到直线的距离最小值为. 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：由直线与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求最值专项训练 暑假预习：由直线与圆的位置关系求参数、由直线与圆的位置关系求最值专项训练 考点目录 由直线与圆的位置关系求参数 由直线与圆的位置关系求最值 考点一 由直线与圆的位置关系求参数 例1．（25-26高二下·湖北随州·期末）若直线是圆的一条对称轴，则实数（    ） A． B． C． D． 例2．（25-26高二下·河南驻马店·期末）若对任意的，直线与圆 （）总有2个公共点，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 例3．（25-26高二下·安徽蚌埠·阶段检测）已知圆的圆心在轴上，若圆过点且与直线相切，则圆的半径为___________． 例4．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知圆：，点在直线：上．若圆上存在两点，，使得是等边三角形，则点的横坐标的取值范围为________． 变式1．（25-26高二下·贵州毕节·期末）若直线与圆相交，则实数m的取值范围为（     ） A．R B． C． D． 变式2．（25-26高二下·宁夏石嘴山·期末）已知圆与直线相切，则实数（     ） A． B．0 C． D．0或 变式3．（25-26高二下·甘肃定西·期末）已知直线与圆：相交，则实数的取值范围为_________． 变式4．（2026·重庆·模拟预测）若直线与曲线恰有三个不同的公共点，则实数的取值范围为____________. 考点二 由直线与圆的位置关系求最值 例1．（25-26高二上·湖南常德·阶段检测·多选）已知实数，满足方程，则下列说法错误的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最大值为 例2．（25-26高二上·河北唐山·期中·多选）已知实数x，y满足曲线C的方程，则下列说法正确的是（    ） A．的最大值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．曲线C上恒有四个点到直线的距离等于 例3．（25-26高二上·广东广州·期中）已知圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)过点的直线与圆交于，两点，如果，求直线的方程； (3)已知是圆上动点，求的最大值. 例4．（25-26高二上·浙江·期中）已知直线，圆；， (1)圆与轴交于，两点，求； (2)若圆与外切，求的值； (3)若直线与两坐标轴交于，两点，在圆上，求面积的取值范围. 变式1．（24-25高二上·江苏扬州·期中·多选）已知点、动点满足，点的轨迹为曲线，点是直线上一点，过点作曲线的切线，切点为，直线与轴的交点为，则（   ） A．曲线的方程为 B．点到直线距离的最小值为 C．的最小值为 D．若点坐标为，则的最小值为 变式2．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测·多选）已知直线与圆，则（    ） A．圆心到直线的距离的最大值为4 B．若圆上恰有3个点到直线的距离为1，则 C．若直线与圆有公共点，则实数的取值范围为 D．若直线与圆相交于，两点，则的取值范围为 变式3．（25-26高二上·河南信阳·期中）已知圆． (1)过点向圆作切线，求切线的方程； (2)若为直线上的动点，过向圆作切线，切点为，求的最小值． 变式4．（25-26高二上·河南郑州·阶段检测）已知直线过点且与直线平行，圆经过点. (1)求直线的方程； (2)求圆的标准方程； (3)点是圆上的动点，求点到直线的距离最大值和最小值. 2 学科网（北京）股份有限公司 $