葫芦岛市第一高级中学 2026年暑假拓展训练（四）高二升高三数学试题-数列基础卷

**基本信息** 聚焦数列核心考点，精选2024-2026年高考真题，融合文化情境（如一百零八塔建筑）与创新应用（如数阵新定义），适配高二暑假基础巩固与能力提升，培养数学眼光、思维及模型观念。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择|10|等差/等比数列定义、性质、前n项和|第2题以一百零八塔为背景，考查等差数列分组求和，体现文化传承与数学思维| |填空|6|公差/公比计算、前n项和区间分析|第4题结合前n项和区间条件求公差范围，提升逻辑推理能力| |解答|3|递推证明、等差等比综合、新定义探究|第19题新定义数阵性质证明，强化创新意识与数学语言表达，贴合高考命题趋势|

葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（四） 高二数学试题 数列 基础卷 考点01 等差数列 1．（2026·上海卷·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 2．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 3．（2026·北京卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 4．（2026·上海卷·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 5．（2025·新高考Ⅱ卷）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 6．（2025·新高考Ⅰ卷）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 7．（2024·全国甲卷理科）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C．1 D．2 8．（2024·全国甲卷文科）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 9．（2026·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 考点02 等比数列 10．设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 11．（2026·上海卷·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 12．（2025·北京卷）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 13．（2025·新高考Ⅱ卷）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B．a6= C． D． 14．（2025·新高考Ⅰ卷）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 考点03 数列的递推公式与求和 15．（2026·天津卷·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 16．（2026·北京卷·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 17．（2025·天津卷），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 18．（2026·天津卷·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 考点04 数列中的新定义 19．（2026·北京卷·高考真题）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质． (1)判断下列两个数表是否具有性质． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)若，则具有性质的数阵A中的个数最多是多少？ (3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有． 高二数学暑假基础卷4 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷4 第2页 共4页 高二数学暑假基础卷4 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷4 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（四） 高二数学试题 数列 基础卷 考点01 等差数列 1．（2026·上海卷·高考真题）下列数列中是等差数列也是等比数列的是（    ） A．1，，1，，1 B．1，2，3，4，5 C．5，5，5，5，5 D．1，2，3，5，7 【答案】C 【知识点】判断等差数列、由定义判定等比数列 【分析】设该数列为，由题可得，其中为常数，据此推得，即得该数列为非零常数列，即可判断. 【详解】设该数列为，则该数列满足，其中. 则，因为常数，该式对任意正整数成立，则， 从而该数列为非零常数列，由选项知只有C满足题意. 故选：C 2．（2026·新课标全国Ⅰ卷·高考真题）一百零八塔位于宁夏回族自治区青铜峡市，以其独特的建筑格局和深远的历史文化闻名遐迩．该塔群共有108座塔，依山势自上而下排成12行，将第行中塔的座数记为，其中，，，且，，…，是一个首项为7，公差为2的等差数列．将，，…，分为6组，每组2个数，使得每组的2个数之和可构成一个项数为6且公差为的等差数列，则（     ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算 【分析】由条件求出数列的前项的和，设新数列为，设其公差为，由条件可得，结合选项判断即可. 【详解】由已知，，，，， 设新数列为，， 由已知数列为等差数列，设其公差为，， 又的前项都为奇数，所有项都为偶数， 由已知为正偶数，为正偶数， 则，故， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，矛盾， 若，则，此时可取，，， ，，，满足要求. 3．（2026·北京卷·高考真题）已知等差数列的前项和为，且，则公差________，若恒成立，则符合条件的的一个取值为________． 【答案】 （答案不唯一，满足即可） 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算、根据等差数列前n项和的最值求参数 【分析】利用等差数列前项和公式与通项公式，代入已知等式建立关于公差的方程求解；由恒成立可知为前项和的最大值，结合数列的单调性得到且，代入公差解不等式即可得到的取值范围，选取范围内任意值即可. 【详解】等差数列的前项和公式为，通项公式为. ∵ ，， ∴ . 由，得， 消去等式两侧的，整理得，解得. ∵ ，等差数列为递减数列，且恒成立， ∴ 为前项和的最大值，即数列前项非负，第项及以后非正，即 ， 代入通项公式得，解得， 取即为符合条件的一个取值. 4．（2026·上海卷·高考真题）已知等差数列中，，公差为，其前项和在区间内至少有两项，则公差的取值范围是__________． 【答案】 【知识点】等差数列前n项和的基本量计算 【分析】根据等差数列求和公式列式计算求解. 【详解】根据已知前项和在区间内至少有两项，则得出， 且，是单调递增的，所以必须满足， 所以，所以. 5．（2025·新高考Ⅱ卷）记为等差数列的前n项和.若则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】求等差数列前n项和、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由等差数列前n项和公式结合题意列出关于首项和公差d的方程求出首项和公差d，再由等差数列前n项和公式即可计算求解. 【详解】设等差数列的公差为d，则由题可得 ， 所以. 故选：B. 6．（2025·新高考Ⅰ卷）已知数列中，，. (1)证明：数列是等差数列； (2)给定正整数m，设函数，求． 【答案】(1)证明：由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴，即， ∴是以为首项，1为公差的等差数列. (2) 【知识点】导数的运算法则、由递推关系证明数列是等差数列、求等比数列前n项和、错位相减法求和 【分析】（1）根据题目所给条件化简，即可证明结论； （2）先求出的通项公式，代入函数并求导，函数两边同乘以，作差并利用等比数列前项和得出导函数表达式，即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）由题意及（1）得，， 在数列中，首项为3，公差为1， ∴，即， 在中， ， ∴， 当且时， ∴， ∴ ∴ . 7．（2024·全国甲卷理科）记为等差数列的前项和，已知，，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】由结合等差中项的性质可得，即可计算出公差，即可得的值. 【详解】由，则， 则等差数列的公差，故. 故选：B. 8．（2024·全国甲卷文科）已知等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算 【分析】可以根据等差数列的基本量，即将题目条件全转化成和来处理，亦可用等差数列的性质进行处理，或者特殊值法处理. 【详解】方法一：利用等差数列的基本量 由，根据等差数列的求和公式，， 又. 故选：D 方法二：利用等差数列的性质 根据等差数列的性质，，由，根据等差数列的求和公式， ，故. 故选：D 方法三：特殊值法 不妨取等差数列公差，则，则. 故选：D 9．（2026·新课标Ⅰ卷·高考真题）记为等差数列的前n项和，若，，则________. 【答案】95 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、求等差数列前n项和 【分析】利用等差数列通项公式得到方程组，解出，再利用等差数列的求和公式即可得到答案. 【详解】因为数列为等差数列，则由题意得，解得， 则. 故答案为：. 考点02 等比数列 10．设实数满足：存在数列，使得对于任意，均有，且中有某连续9项，，，是公比为的等比数列．则的最大值为__________． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和 【分析】由前项和公式推出每连续三项的和. 将连续9项按起始位置模3分类，每类中利用三项块和等于得到关于公比的比例关系，通过相邻块和之比解得的上界，即可取得最大值. 【详解】令，由题意得， 因此每个三项块的和为. 设这9项为，记. 由于，且完整三项块和均为正， 下面按除以3的余数讨论. 若，这9项正好包含三个完整三项块， 得，，， 于是且，矛盾，故这种起点不存在. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 若，其中两个完整三项块为第块，第块， 得，，所以. 综上，所以，即的最大值为. 11．（2026·上海卷·高考真题）已知为等比数列，，，则__________． 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、利用等比数列的通项公式求数列中的项 【详解】设数列的公比为，则，则. 12．（2025·北京卷）已知是公差不为零的等差数列，，若成等比数列，则（   ） A． B． C．16 D．18 【答案】C 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比中项的应用、利用等差数列通项公式求数列中的项 【分析】由等比中项的性质结合等差数列的基本量运算即可求解. 【详解】设等差数列的公差为， 因为成等比数列，且， 所以，即，解得或（舍去）， 所以. 故选：C. 13．（2025·新高考Ⅱ卷）（多选）记为等比数列的前n项和，为的公比，若，则（   ） A． B．a6= C． D． 【答案】AD 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、求等比数列前n项和、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】对A，根据等比数列通项公式和前项和公式得到方程组，解出，再利用其通项公式和前项和公式一一计算分析即可. 【详解】对A，由题意得，结合，解得或（舍去），故A正确； 对B，则a6=a1q5=4×()5=，故B错误； 对C，，故C错误； 对D，，， 则，故D正确； 故选：AD. 14．（2025·新高考Ⅰ卷）若一个等比数列的各项均为正数，且前4项的和等于4，前8项的和等于68，则这个数列的公比等于_________. 【答案】 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】法一：利用等比数列的求和公式作商即可得解；法二：利用等比数列的通项公式与前项和的定义，得到关于的方程，解之即可得解；法三：利用等比数列的前项和性质得到关于的方程，解之即可得解. 【详解】法一：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 当时，，即，则，显然不成立，舍去； 当时，则， 两式相除得，即， 则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：. 法二：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 所以， ， 所以，则，所以， 所以该等比数列公比为2. 故答案为：2. 法三：设该等比数列为，是其前项和，则， 设的公比为， 因为， 又， 所以，所以，所以该等比数列公比为. 故答案为：. 考点03 数列的递推公式与求和 15．（2026·天津卷·高考真题）已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 【答案】C 【知识点】根据数列递推公式写出数列的项、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 16．（2026·北京卷·高考真题），是无穷数列，则“存在常数，使”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【知识点】充分条件、必要条件、有穷数列和无穷数列、数列不等式恒成立问题 【分析】通过验证充分性与必要性，即可得出结论. 【详解】由题意， ，是无穷数列， 验证充分性： 当存在常数，使时， ，， 显然成立， 验证必要性： 当，时，此时满足, 假设存在常数，使成立， 当时，，， 此时，需同时“不小于无限增大的”和“不大于无限增大的”， 但不存在这样的固定常数， ∴当时，无法必然推出“存在常数”，即必要性不成立， ∴“存在常数，使”是“”的充分不必要条件. 17．（2025·天津卷），则数列的前项和为（   ） A．112 B．48 C．80 D．64 【答案】C 【知识点】含绝对值的等差数列前n项和、利用an与sn关系求通项或项 【分析】先由题设结合求出数列的通项公式，再结合数列各项正负情况即可求解. 【详解】因为， 所以当时，， 当时，， 经检验，满足上式， 所以，令，， 设数列的前n项和为， 则数列的前项和为 数列的前项和为 . 故选：C 18．（2026·天津卷·高考真题）已知等差数列与等比数列满足：，，，． (1)求数列，的通项公式； (2)记，，或，记为中的元素个数． （i）求； （ii）求． 【答案】(1) (2)（i）；（ii）. 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等比数列通项公式的基本量计算、错位相减法求和、分组（并项）法求和 【分析】（1）通过基本量计算即可求得通项公式； （2）（i）分析和项的特征，结合集合的定义即可得解；（ii）利用分组求和法和错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 因为， 所以，即，解得或（公比不能为0，舍去）， 所以 （2）（i）由（1）知为偶数，为奇数，所以数列和没有相同项， 根据题意，集合中的元素由数列和中小于等于项组成， 小于的正偶数有个，由得，， 所以数列中小于等于的项有个，中小于等于的项有个， 所以. （ii）当时，中小于等于的项有个， 又为偶数时，中小于等于的项有个，为奇数时，中小于等于的项有个， 所以， 所以， 从到共有项， 又为奇数时， 所以 ， 所以 令①，则②， ①-②得， 所以，所以 考点04 数列中的新定义 19．（2026·北京卷·高考真题）设是一个行列的数阵，且数阵中的每一项，都等于或．若对任意，，其中，，且都有则称数阵具有性质． (1)判断下列两个数表是否具有性质． 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 (2)若，则具有性质的数阵A中的个数最多是多少？ (3)若，，且数阵具有性质，证明：对任意，，都有． 【答案】(1)数表不具有性质，数表具有性质； (2) (3)性质中的四个数都属于，且四个数的和为，所以其中恰有两个和两个． 因此，对任意满足性质下标条件的四个位置，都有①， 对，，令 先取行距为、列距为的矩形． 由①，对及，有 由于，所以②， 下面比较第行与第行的值． 对，取第、行和第、列． 此时行距为，列距为，由①得 由②知，故③， 令 则由③得，所以 再取第、行和第、列． 此时行距为，列距为，由①得即 由于且，所以． 从而④， 同理，取第、行和相距的两列，再取第、行和相距的两列，可得⑤， 结合②、④、⑤，可知对于每个，都有⑥， 当时，由，显然有 当时，由⑥，由中间因子均成对出现，且，有 再由⑥， 两边同乘，并利用，得 命题得证． 【知识点】数与式中的归纳推理、矩阵，行列式、数列新定义 【分析】（1）性质的下标约束条件，选取符合要求的四元组代入验证，若存在不满足和为0的组合则不具有性质，反之则具有性质. （2）由性质的和约束推导行列符号的等价乘积约束，确定每行1的最大可行数量，结合行之间的符号交替规律计算总1的个数的上界，构造符合条件的实例证明上界可达. （3）利用性质的乘积等价性质，结合的初始条件，先验证差为2的下标组合，再通过递推推广到所有下标，完成证明. 【详解】（1）对于，只有两行，所以行距只能为． 要满足|行距列距|，列距只能为． 取第、行和第、列，四个顶点之和为 所以不具有性质． 对于，行距为时，列距只能为；行距为时，不存在符合条件的列距． 因此，只需检验相邻两行与第、列组成的两个矩形． 第、行对应的四个顶点之和为 第、行对应的四个顶点之和为 所以具有性质． （2）设第行元素之和为 先考察第行与第行． 令 对，第、行的行距为，第、列的列距为，由性质得 因此从而 同理，考察第行与第行，可得 所以整个数阵所有元素之和为 设数阵中的个数为． 数阵中共有个数，因此的个数为，从而解得 下面说明可以达到． 取 该数阵中共有个． 对于的数阵，可能的行距、列距组合只有 当行距、列距为时，相邻两行第、列的四个数之和均为； 当行距、列距为时，第、行以及第、行对应各列的元素之和均为； 当行距、列距为时，第、行与相距的两列组成的四个数之和也为． 所以该数阵具有性质，且的个数为． 因此，的个数最多为 （3）略 高二数学暑假基础卷4 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷4 第2页 共4页 高二数学暑假基础卷4 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷4 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $