葫芦岛市第一高级中学2026年高二升高三暑假数学练习试卷-函数与导数

**基本信息** 高二数学函数与导数基础卷，聚焦核心知识巩固与能力分层提升，通过单调性、极值等问题设计，培养抽象能力与推理意识，适配暑假拓展训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数单调性、导数应用|基础巩固，如区间单调性求参数范围| |多选|3/18|函数性质、极值点|能力辨析，如奇偶性与周期性判断| |填空|3/15|切线方程、最值|综合应用，如含参函数最值讨论| |解答|5/77|单调性讨论、实际应用|分层提升，如汽车利润模型构建与极值求解|

葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（三） 高二数学试题 函数与导数 基础卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】由函数在区间上的单调性求参数 【分析】把题意转化为在内应有异号实数根，利用零点存在定理列不等式即可求得. 【详解】∵，∴ ∵函数在区间上不是单调函数 ∴在区间上有根 ∴当a＝0时，x＝－1不满足条件 当时，∵，∴， ∴. 故选：D． 2．函数f（x）=（x2+2x）e2x的图象大致是 A．   B．   C．   D．   【答案】A 【知识点】函数图像的识别、用导数判断或证明已知函数的单调性 【解析】利用导数判断出的单调区间，结合函数值的符号，选出正确选项. 【详解】由于，而的判别式，所以开口向上且有两个根，不妨设，所以在上递增，在上递减.所以C,D选项不正确.当时，，所以B选项不正确.由此得出A选项正确. 故选：A 【点睛】本小题主要考查利用导数判断函数的图像，属于基础题. 3．已知，若2025，则等于（    ） A． B．1 C． D．e 【答案】B 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、求某点处的导数值 【分析】求函数的导函数，由条件列方程求. 【详解】， 由， 所以， 则，解得． 故选：B． 4．下列四个命题中，不正确的是（    ） A．若函数在处连续，则 B．函数的不连续点是和 C．若函数，满足，则 D． 【答案】C 【知识点】导数定义中极限的简单计算、函数新定义 【分析】根据连续函数的定义判断A，连续点的定义判断B，由极限的计算公式计算极限判断D，根据极限定义举反例判断C． 【详解】由连续函数的定义知A正确； 函数的定义域是，因此其不连续点是和，B正确； ，D正确； 例如，，，但与不存在，C错． 故选：C． 5．已知，函数满足，且在区间上恰好存在两个极值点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】利用正弦函数的对称性求参数、函数极值点的辨析 【分析】由已知等式得函数图象的一个对称中心是，由极值点的个数结合对称中心得出周期的范围，即得的范围，然后可验证选项A满足题意． 【详解】，所以， 所以点是函数图象的一个对称中心． ，，．排除C． ，则． 函数在区间上恰好存在两个极值点，记最小正周期为，， 所以，，又，所以，排除B， 若，则，是对称中心，，， 即对称中心右侧第一个极值点在上，而第二个极值点在区间外．满足题意． 故选：A． 6．已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【知识点】函数奇偶性的应用、简单复合函数的导数、由函数的周期性求函数值 【分析】借助奇函数的性质，结合复合函数的导数公式可得，结合已知条件可得的周期，再利用赋值法结合其周期计算即可得解. 【详解】由函数为奇函数，则，则， 由，则，即， 即有，则， 即具有周期性，且其周期为，则， 对，令，则有，即，即. 故选：D. 7．定义在上的函数满足对任意的，有.若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】由题意得在上为减函数，构造函数，利用导数判断函数的单调性，，，利用单调性比较大小可得，，令，利用导数求出函数的单调性，可得，即，可得，利用单调性比较大小即可判断. 【详解】由题意得在上为减函数， 设，则， 所以当时，，在上单调递减， ， ， 因为，所以 所以， 又，， 所以，即， ， ， 所以， 令，， 当时，，为增函数， 所以， 所以，所以， 所以， 所以，又在上为减函数， 所以. 故选：. 8．已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、比较函数值的大小关系 【分析】根据所给不等式，构造新函数，利用导数的性质判断新函数的单调性，然后逐一判断即可. 【详解】当时， ， 设， 所以当时，函数单调递增. A：因为当时，函数单调递增，所以 ， 所以无法判断之间的大小关系，故本选项说法不正确； B：因为当时，函数单调递增，所以 ， 显然无法判断之间的大小，所以本选项说法不正确； C：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法正确； D：因为当时，函数单调递增，所以 所以本选项说法不正确. 故选：C 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值； B．有两个不同的零点； C． D． 【答案】AC 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】A选项，对函数求导，可以判断出单调区间，即可求得极值； B选项，令函数，求得零点；C选项，根据A选项得到的单调性来比较大小即可；D选项，根据单调性可知，代入即可比较大小. 【详解】的定义域为，且.令，得在上单调递增，在上单调递减，因此在处取得极大值正确. 令，解得，故函数有且仅有一个零点，错误. 由在上单调递减，得，则正确. 因为，即，所以，则错误. 故选：AC. 10．已知函数，则下列说法正确的有（ ） A．两个函数的图象在处的切线互相平行 B．函数在上单调递增 C．存在实数，使得 D．的图象与的图象关于对称. 【答案】ABD 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数图象及性质 【分析】通过求导得切线斜率判断A；构造新函数，并分析导函数符号验证B；分析与的单调性求最值，比较最值判断C；利用中心对称的代数特征推导对称点，可判断D. 【详解】对于A，求的导数得，故； 求的导数得，故. 两函数的图像在处切线斜率相等，且，， 所以切线不重合，故切线互相平行，故A正确. 对于B，设，可得， 当时，，故分子， 即，故在上单调递增，故B正确. 对于C，， 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 故在处取最小值； ，当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减， 故在处取最大值.因， 故的值始终大于的值，不存在实数，使得，故C错误； 对于D，若函数与关于点中心对称， 则对任意，有，因为， 对应得，解得， 故与的图像关于点对称，故D正确. 故选：ABD 11．已知函数，其中是自然对数的底数，则下列说法正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是的周期 C．在上单调递减 D．在上有3个极值点 【答案】AD 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数极值点的辨析 【分析】对于A:化简 即可. 对于B:计算出与，由即可. 对于C:计算出，则可判断其在上得正负号，则可得出 在上的单调性，再利用，，则可得到在上单调的单调性. 对于D:结合在上单调递增，在上单调递减与偶函数，即可判断. 【详解】对于A: 因为的定义域为，且， 所以函数是偶函数，故A正确． 对于B:因为，， 所以，所以不是函数的周期，故B错误． 对于C:， 令，则， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 因为，， 所以存在唯一，使得， 当时，，单调递增． 当时，，单调递减； 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故C错误． 对于D:函数在上有2个极大值点，，1个极小值点0，共3个极值点，故D正确． 故选：AD． 【点睛】本题主要考查函数的奇偶性、周期性、单调性和极值点，属于难题.考查考生的逻辑思维能力、运算求解能力，考查的学科素养是理性思维、数学探索． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．曲线过原点的切线方程为______. 【答案】或. 【知识点】求过一点的切线方程、导数的运算法则 【分析】利用导数的几何意义计算即可. 【详解】由题意可得， 设切点为，则， 所以函数过原点的切线方程为， 解之得，则， 此时切线方程为， 若切点为原点，则，此时切线方程为. 故答案为：或. 13．函数在区间（其中）上存在最小值，则实数的取值范围为______ 【答案】 【知识点】函数单调性、极值与最值的综合应用 【解析】对函数求导得，求得函数的极小值点，可得不等式解不等式可得答案； 【详解】因为，所以，， 所以在单调递减，在单调递增， 因为在区间（其中）上存在最小值， 所以解得：， 故答案为：. 14．已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是______． 【答案】 【知识点】抽象函数的奇偶性、用导数判断或证明已知函数的单调性、根据函数的单调性解不等式 【分析】根据已知条件构造函数并得出函数为偶函数，利用导数与单调性的关系得出函数的单调性进而可以即可求解. 【详解】设，则 因为是定义在上的奇函数， 所以， 所以是上的偶函数， 当时，，所以在上单调递增， 所以在上单调递减．因为，所以， 所以． 对于不等式， 当时，，即，解得； 当时，，即，解得， 所以不等式的解集是． 故答案为： 【点睛】解决此题的关键是构造函数，进而讨论新函数的单调性与奇偶性，根据函数的性质即可求解不等式的解集. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．设函数． (1)若，求的导数； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1)，其中. (2)时，故的减区间为，增区间为. 当时，故的减区间为，增区间为. 若，故的减区间为，增区间为. 若， 的增区间为，无减区间. 【知识点】基本初等函数的导数公式、导数的运算法则、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）根据导数的运算规则结合初等函数的导数可求的导数； （2）就、、、分类讨论后可得函数的单调性. 【详解】（1）若，则，故，其中. （2）， 当时， 当时，；当时，. 故的减区间为，增区间为. 当时， 若，则当时，； 当时，， 故的减区间为，增区间为. 若，则当时，； 当时，， 故的减区间为，增区间为. 若， 恒成立（不恒为零），故的增区间为，无减区间. 综上： 当时，故的减区间为，增区间为. 当时，故的减区间为，增区间为. 若，故的减区间为，增区间为. 若， 的增区间为，无减区间. 16．已知函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为，极小值； (2)当时，有个解；当或时，有个解；当时，有个解. 【知识点】画出具体函数图象、利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）直接对于求导，判断单调性，进而求解极值；（2）由（1）的单调性与极值，最值，画出函数图像，利用数形结合求出的解的个数. 【详解】（1）由题意可知，的定义域为， 则， 令，则， 当时，，则单调递减， 当时，，则单调递增. 所以故; （2）由（1）可知作出函数图像， 由图，当时，方程的解个数为个； 当或时，方程的解个数为个； 当时，方程的解个数为个. 17．已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) ，且， ①当时，，令，求导得， 时，，单调递减；时，，单调递增； 故在处取得最小值，即恒成立， 因此不是极值点； ②当时，，不可能是极值点； 综上，不是函数的极值点． (3)存在， 【知识点】已知切线（斜率）求参数、求已知函数的极值、由导数求函数的最值（含参） 【分析】（1）根据导数即可求解； （2）根据、两种情况分析即可证明； （3）根据、、三种情况分析的导数，并据此求出最值，并根据题干求出对应a的值，判断是否符合情况即可． 【详解】（1），由题意， 解得，，解得． （2）略 （3），，求导， ①，此时恒成立，在上单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； ②，即，此时在上为负，单调递减； 在上为正，单调递增， 最小值在处，即， 令，得，满足，成立； ③，即此时在上恒成立，单调递减， 最小值在处，即， 令，得，与矛盾，舍去； 综上，存在，使得在上的最小值为2． 18．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； (2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】(1) (2)当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元 【知识点】利用二次函数模型解决实际问题、由导数求函数的最值（不含参）、利润最大问题 【分析】（1）根据年利润公式代入得出p(万元)关于x的函数； （2）写出本年度的年利润函数，利用导数讨论函数的单调性得出最大值. 【详解】（1）由题意得：本年度每辆车的投入成本为，出厂价为，年销售量为. 因此本年度的年利润 . （2）本年度的年利润为 ， 则， 令，解得或(舍去). 当时，，当时，， 所以时，有最大值. 所以当时，本年度的年利润最大，最大年利润为万元. 19．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时， （ⅰ）若，且互不相同的正实数和满足，求证：； （ⅱ）若对任意，且，都有恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增，在上单调递减. (2)（i）由，，得， 所以， 所以，由（1）知在上单调递增； 若正实数满足，则，， 所以，得证. （ii） 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数证明不等式、利用导数研究不等式恒成立问题 【分析】（1）求导，按照和讨论导数的正负，进而得函数的单调性； （2）（i）由题可得，结合函数单调性可得，利用基本不等式证明； （ii）令，则，问题转化为，，，分和讨论求解. 【详解】（1）当时，，则，， 令，， 当，即时，有，即，故在上单调递增； 当，即或， 当时，，有，即，故在上单调递增； 当时，方程有两个不等的正根，，且， 当时，有，即， 所以在和上单调递增， 当时，，即，所以在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在和上单调递增， 在上单调递减. （2）（i）略 （ii）由，且，令，则， 所以，即恒成立， 所以，，， 由（i）知函数在上单调递增，故， 当时，有恒成立； 当时，， 令，，则， 若，则，即，故在上单调递增， 所以，满足题意； 若，令，，在上， 所以在上，故在上单调递减， 所以，不合题意； 综上，满足题意的实数的取值范围为. 高二数学暑假基础卷3 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷3 第2页 共4页 高二数学暑假基础卷3 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷3 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（三） 高二数学试题 函数与导数 基础卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．已知函数在区间上不是单调函数，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．函数f（x）=（x2+2x）e2x的图象大致是 A．   B．   C．   D．   3．已知，若2025，则等于（    ） A． B．1 C． D．e 4．下列四个命题中，不正确的是（    ） A．若函数在处连续，则 B．函数的不连续点是和 C．若函数，满足，则 D． 5．已知，函数满足，且在区间上恰好存在两个极值点，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 6．已知奇函数及其导函数的定义域均为，若，则（    ） A． B． C．0 D．1 7．定义在上的函数满足对任意的，有.若，则的大小关系是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数对任意，成立，则（    ）． A． B． C． D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．对于函数，下列说法正确的是（    ） A．在处取得极大值； B．有两个不同的零点； C． D． 10．已知函数，则下列说法正确的有（ ） A．两个函数的图象在处的切线互相平行 B．函数在上单调递增 C．存在实数，使得 D．的图象与的图象关于对称. 11．已知函数，其中是自然对数的底数，则下列说法正确的是（    ）． A．是偶函数 B．是的周期 C．在上单调递减 D．在上有3个极值点 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．曲线过原点的切线方程为______. 13．函数在区间（其中）上存在最小值，则实数的取值范围为______ 14．已知是定义在上的奇函数，当时，且，则不等式的解集是______． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．设函数． (1)若，求的导数； (2)讨论函数的单调性． 16．已知函数 (1)判断函数的单调性，并求出的极值； (2)画出函数的大致图像并求出方程的解的个数． 17．已知函数． (1)已知曲线在处的切线方程为，求和的值； (2)求证：不是函数的极值点； (3)设，，是否存在，使得函数的最小值为2？若存在，求出的值；若不存在，说明理由． 18．某汽车生产企业上年度生产一品牌汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为13万元/辆，年销售量为辆，本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适当增加投入成本，若每辆车投入成本增加的比例为，则出厂价相应提高的比例为，年销售量也相应增加.已知年利润＝(每辆车的出厂价－每辆车的投入成本)×年销售量. (1)若年销售量增加的比例为，写出本年度的年利润p(万元)关于x的函数关系式； (2)若年销售量关于x的函数为，则当x为何值时，本年度年利润最大？最大年利润是多少？ 19．已知函数． (1)当时，讨论函数的单调性； (2)当时， （ⅰ）若，且互不相同的正实数和满足，求证：； （ⅱ）若对任意，且，都有恒成立，求实数a的取值范围． 高二数学暑假基础卷3 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷3 第2页 共4页 高二数学暑假基础卷3 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷3 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $