葫芦岛市第一高级中学 2026年暑假拓展训练（一）高二升高三数学试题提升卷

**基本信息** 葫芦岛市高二数学暑假提升卷，以集合、不等式、函数与数列为核心，通过新定义问题（如“完美集”“规范数集”）融合数学抽象与逻辑推理，适配暑假拓展训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、充要条件、不等式性质|基础巩固，如集合子集关系与参数求解| |多选|3/18|基本不等式、新定义函数|能力提升，如含[x]的充分条件判断| |填空|3/15|集合新定义（鲸吞/蚕食）、不等式整数解|情境创新，结合集合关系新表述| |解答|5/77|函数定义域、数列与新定义数集|综合应用，如“规范数集”范数最小值探究，体现数学思维与创新意识|

葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（一） 高二数学试题 提升卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．若集合，实数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】判断两个集合的包含关系、判断元素与集合的关系 【分析】求出实数，再利用集合与元素的关系逐一判断即可. 【详解】因为，所以，解得， 因为，所以．所以，，均为错误表述．故选：D 2．已知集合，，若，则实数a的取值是（   ） A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 【答案】D 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】由题设可得，根据交集的结果及集合的描述求参数值，即可得. 【详解】解方程，得或，所以，又，所以集合B是集合A的子集． 集合A的子集有，，，，显然集合最多有一个元素，所以a的可能取值有、、0．故选：D 3．设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】交并补混合运算 【分析】根据整数集的分类，以及补集的运算即可解出． 【详解】因为整数集，， 所以，．故选：A． 4．已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 【答案】B 【知识点】判断命题的必要不充分条件、分式不等式 【分析】求出集合的具体元素，再通过集合间的包含关系判断充分必要条件即可. 【详解】因为，且所以， 又因为，因此的可能取值为，即， 解不等式，整理得，所以，所以， 解得，又因为，所以， 因为，所以由“”能推出“”,故“”是“”的必要条件； 因为不包含于（中有不属于），所以“”不能推出“”，故“”是“”的非充分条件， 因此，“”是“”的必要非充分条件.故选B. 5．已知且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式“1”的妙用求最值 【分析】将变形为，借鉴“1”的妙用的处理方式，以及基本不等式求解即可. 【详解】 因为，故； 当且仅当，且，也即，且时取得等号. 故的最小值为.故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题处理的关键是能够观察到三者之间的关系，同时要熟练掌握“”的妙用的处理方式. 6．若，，且，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性 【分析】构造函数，求导可证明，即可得，根据二次式的性质即可求解. 【详解】令，则，令，则， 当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，则， 因此，即，整理得，则且，因此，故选：A． 7．若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【知识点】对数的运算、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】结合绝对值函数的最小值性质，确定的取值，再根据的区间最值条件求解的值，再代入对数公式计算。 【详解】关于x的不等式恒成立. 1、恒成立，即当时，恒成立， 所以只需，所以； 2、恒成立恒成立，即当时，恒成立，而， 当a=0时，不可能对整个区间成立， 故a>0，恒成立， 所以只需，所以， 联立即，计算. 8．已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】函数对称性的应用、条件等式求最值 【分析】由题可知，进而得到，则，再由基本不等式求解即可． 【详解】， 关于点对称，又， 在和单调递减，且时，时，， 又，，， 又（当且仅当时取等），则. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 【答案】ACD 【知识点】基本（均值）不等式的应用、条件等式求最值 【分析】将题设等式化成，可判断A项；将代入，利用基本不等式可判断B项；再将其化成，可利用基本不等式判断C项；将代入，利用换元后，利用基本不等式判断D项. 【详解】对于A，由去分母，整理得，因，， 则，且，因，则有，故A正确； 对于B，由A得，则， 因，则，当且仅当， 即时取等号，此时的最小值为，故B错误； 对于C，由去分母，得，即得， 因，，则，当且仅当时等号成立， 由解得，即当时，取得最小值为2，故C正确； 对于D，由A得，代入，得， 设，则， 当且仅当，即，也即时，等号成立，此时取得最小值，故D正确. 10．已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 【答案】BCD 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值、基本不等式求和的最小值 【详解】已知正实数满足，逐个分析选项： 选项A：，由基本不等式， 得，最小值为，A错误. 选项B：将代入得： ， 当时，等号成立，故B正确； 选项C：变形化简 ，由乘“1”法得： ， ， 所以， 等号成立当，即等号成立，故最大值为，C正确. 选项D：先化简前两项：， 由，得， 故原式， 两个等号均可同时取到（），故最小值为，D正确. 11．用表示不超过的最大整数，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C．函数的值域为 D．方程的解集为 【答案】BCD 【知识点】复杂（根式型、分式型等）函数的值域、判断命题的充分不必要条件、解不含参数的一元二次不等式、函数新定义 【分析】对 A，通过代入具体数值，验证取整函数与的关系；对 B，利用取整函数定义，先证明由可，再举反例 说明必要性不成立，判断充分不必要条件；对 C：先判断为偶函数，再分析的单调性与值域，分情况讨论 与的取值，确定的值域；对 D，利用先求出 的大致范围，再结合为整数的条件，枚举并检验所有可能的值，得到方程解集. 【详解】对于A，当时，，A错误； 对于B，若，设，则，， 所以，所以，充分性成立； 若，取，，则，，，必要性不成立，B正确； 对于C，由题意知是定义域为的偶函数， 由偶函数的性质得的值域与在上的值域一致，， 设，则，且， 在上单调递增，当时，，则， 所以，，故，所以的值域为，C正确； 对于D，由，得，即，所以， 因为及为整数，所以为整数，所以的可能取值为，0，，，，1， 经检验，原方程的解集为，D正确. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设集合，，已知且，则的取值集合为________. 【答案】 【知识点】根据元素与集合的关系求参数、利用集合元素的互异性求参数 【分析】根据元素与集合的关系以及集合的互异性可求出结果. 【详解】因为，即，所以或， 若，则或； 若，即，则或. 由与互异，得，故或， 又，即，所以，解得且，综上所述，的取值集合为.故答案为： 13．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____. 【答案】 【知识点】根据集合的包含关系求参数、集合新定义、根据交集结果求集合或参数 【分析】分“鲸吞”或“蚕食”两种情况分类讨论求出值，即可求解 【详解】当时，，此时满足，当时，，此时集合只能是“蚕食”关系， 所以当集合有公共元素时，解得， 当集合有公共元素时，解得，故的取值集合为.故答案为： 14．已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 【答案】 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、分式不等式 【分析】解不等式得或，分，，三种情况，结合的解集列不等式求解即可. 【详解】解不等式，得，得或； 解方程，得，， ①当时，原不等式无解，此时不满足题意； ②当，即时，不等式的解满足， 此时不等式组的解集为， 若不等式组的解集中仅有一个整数，则，即； ③当，即时，不等式的解为， 因为比大，且与最接近的整数是，所以若不等式组仅有一个整数解， 则，即，综上所述，可知的取值范围为，故答案为： 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 【答案】(1)或或； (2) 【知识点】具体函数的定义域、根据充分不必要条件求参数、交并补混合运算、解含有参数的一元二次不等式 【分析】（1）求定义域得集合，解不等式得集合，再由交集合的运算法则计算； （2）分，，解不等式得集合，根据充分条件的定义列不等式组求解． 【详解】（1）（1）由，解得且，所以集合且， 不等式可化为 当时，不等式可化为为，所以，故集合， 又或，所以或或； （2）因为是的充分条件，所以是的子集，又且， 当时，，满足题意， 当时，，所以或，结合解得，， 当时，，所以，得. 综上，实数的取值范围为. 16．（1）已知，求关于的不等式的解集； （2）已知集合，若，使得能成立，求实数的取值范围． 【答案】 （1）当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为； 当时，不等式解集为. （2） 【知识点】根据交并补混合运算确定集合或参数、解含有参数的一元二次不等式、分式不等式 【分析】（1）通过判别式求得二次方程的根，比较根的大小后分情况得到不等式的解集； （2）先求解集合并得到其补集，再结合的不同形式，分析与补集的交集非空的条件，进而确定参数范围. 【详解】（1）由题意知，即， 方程的根为，. 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为； 当时，，不等式解集为. （2）解不等式，移项通分得，等价于且， 解得，故. “使得”等价于. 当时，，需满足且，解得； 当时，，，不满足； 当时，，，故，不满足.综合可得a的取值范围为.. 17．已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”. (1)已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求； (2)已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由； (3)已知，且集合A为“完美集”，求A. 【答案】(1)－2 (2)略 (3)或 【知识点】求等比数列前n项和、集合新定义、等差中项的应用 【分析】（1）根据“完美集”的定义与等差数列性质即可求得结果. （2）根据“完美集”的定义得到等式，解得，不符合题意，得到结果. （3）根据题干，设，若集合A为“完美集”， 则，再对n分情况讨论即可. 【详解】（1）依题意，，，解得； （2）设数列的公比为q，依题意，，， 因为集合A为“完美集”，所以，整理得，解得，不符题意， 所以不存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”； （3）设，若集合A为“完美集”，则， 易知，，，当时，，当时，显然不符题意； 当时，不妨设，，故，所以； 当时，因为，所以，符合题意； 当时，，不符题意；综上，或. 【点睛】方法点睛：新定义有关的问题的求解策略：通过给出的一个新的定义，或约定一种新的运算，要求在阅读理解的基础上，依据题目提供的信息，联系所学的知识和方法，实现信息的迁移，达到灵活解题的目的. 18．已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设表示不超过的最大整数（如：），求集合中元素的个数． 【答案】(1) (2)36 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、集合新定义、利用定义求等差数列通项公式、集合元素互异性的应用 【分析】（1）设出公差，得到方程组，求出公差和，从而得到数列的通项公式； （2）先得到，进而求出当时，，又，故，依次类推，直至当时，，故，结合集合中的元素互异，求出集合中元素个数. 【详解】（1）设等差数列的公差为， 由题意可知，因为，所以， 解得，所以，，故． （2）因为，所以，所以． 因为，所以当时，，则，又，故； 当时，，则，故； 当时，，则，故； 当时，，则，故， 依次类推，当时，，则，故， 由于集合中的元素互异，需要减去重复出现的元素， 所以集合中元素的个数为个． 19．给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 【答案】(1)集合不是，集合是 (2)略 (3) 【知识点】集合新定义、函数新定义 【分析】（1）根据规范数集的定义，只需判断集合中的元素两两相减的差的绝对值，是否都大于等于1即可； （2）利用元规范数集的定义，得到，从而分、与讨论，结合去绝对值的方法即可证明； （3）利用规范数集的性质与（2）中结论即可得解. 【详解】（1）集合不是，集合是； 对于集合，，所以集合A不是规范数集； 对于集合，因为，，，，，，， 所以B相伴数集，即，故集合B是规范数集. （2）不妨设集合中的元素为，即， 因为为规范数集，则，则，且，使得， 当时，， 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当且时，等号成立； 当时，. 当且仅当时，等号成立；综上所述：. （3）不妨设，因为为规范数集， 所以，且，使得. 对于，同样有. 由（2）得.所以，当且仅当时，等号成立. 所以. 所以范数.所以范数的最小值为. 高二数学暑假提升卷1 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷1 第2页 共4页 高二数学暑假提升卷1 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷1 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（一） 高二数学试题 提升卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．若集合，实数满足，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 2．已知集合，，若，则实数a的取值是（   ） A．或 B．2或 C．2或或0 D．或或0 3．设全集,集合，（    ） A． B． C． D． 4．已知集合，集合，则“”是“”的（    ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分又非必要条件 5．已知且，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．若，，且，则（    ） A． B．2 C． D． 7．若关于x的不等式恒成立，则（   ） A． B．0 C．1 D．2 8．已知函数，若正数a，b，满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知，，，则下列选项正确的是（    ） A． B．的最小值为 C．的最小值为2 D．最小值为 10．已知正实数，，满足，则下列结论正确的有（     ） A．的最小值为 B．的最大值为 C．的最大值为 D．的最小值为 11．用表示不超过的最大整数，则（    ） A． B．是的充分不必要条件 C．函数的值域为 D．方程的解集为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．设集合，，已知且，则的取值集合为________. 13．若一个集合是另一个集合的子集，则称两个集合构成“鲸吞”；若两个集合有公共元素，且互不为对方子集，则称两个集合构成“蚕食”，对于集合，，若这两个集合构成“鲸吞”或“蚕食”，则a的取值集合为_____. 14．已知关于的不等式组有且仅有一个整数解，则的取值范围为______. 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知函数的定义域为，关于的不等式的解集为. (1)若时，求； (2)若是的充分条件，求实数的取值范围. 16．（1）已知，求关于的不等式的解集； （2）已知集合，若，使得能成立，求实数的取值范围． 17．已知有限集合（，），若，则称A为“完美集”. (1)已知，，，，成等差数列，若集合A为“完美集”，求； (2)已知，是否存在首项为3的等比数列，使得集合A为“完美集”，若存在，求集合A；若不存在，说明理由； (3)已知，且集合A为“完美集”，求A. 18．已知数列是首项为1的等差数列，数列是公比为2的等比数列，且． (1)求数列的通项公式； (2)设表示不超过的最大整数（如：），求集合中元素的个数． 19．给定整数，由元实数集合定义其相伴数集且，如果，则称集合为一个元规范数集，并定义的范数为其中所有元素绝对值之和. (1)判断是不是规范数集；（结论不要求说明理由） (2)任取一个元规范数集，求证：； (3)当取遍所有2026元规范数集时，求范数的最小值. 注：分别表示数集中的最小数与最大数. 高二数学暑假提升卷1 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷1 第2页 共4页 高二数学暑假提升卷1 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假提升卷1 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $