辽宁葫芦岛市第一高级中学2025-2026学年高二下学期4月校内自主训练数学试题

高二年级4月校内自主训练 数学学科 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知等差数列的前n项和为 ，且满足 则 （    ） A．30 B．60 C．90 D．120 3．已知数列的首项为，对于任意的都有，则“为单调递增的数列”是“”的（　　） A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．已知等比数列的公比，前项和为，且，，成等差数列，若，则（    ） A． B．4 C． D．2 5．已知数列满足，，则（    ）． A．1 B．2 C．4 D． 6．已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 7．已知数列满足，，，数列的前项和为，则（    ） A． B． C． D． 8．在数列中，，，为的前项和，则（ ） A．0 B．2458 C．2460 D．2459 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．下列说法中，不正确的是（    ） A．若，则成等比数列 B．若数列为等差数列，则数列为等比数列 C．若等比数列的前项和，则 D．为等比数列，为前项和，则…仍为等比数列 10．如图，已知点是的边的中点，为边上的一列点，连接交于，点满足，其中数列是首项为1的正项数列，是数列的前项和，则下列结论正确的是（    ）. A． B．数列是等比数列 C． D． 11．已知数列满足，且的前项和为，则下列选项正确的有（    ） A．数列是递减数列 B． C．存在，使得 D． 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知数列中，，，则的前200项和_________. 13．设函数，，．则数列的前n项和______． 14．已知数列满足，则的通项公式_____． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．（13分）已知正项数列的前n项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)若，求数列的前n项和． 16．（15分）已知数列满足，，数列满足． (1)求，的通项公式； (2)记，数列的前项和为，若不等式对任意正整数恒成立，求的取值范围． 17．（15分）已知数列满足 ． 记 ， (1)计算,并证明数列为等比数列； (2)设，且数列的前项和为，求证： ． 18．（17分）已知数列、的前n项和分别为、，，，为等比数列且，. (1)求、； (2)求数列的前n项和. 19．（17分）马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习､自然语言处理､金融领域､天气预测等方面都有着极其广泛的应用.其数学定义为：假设我们的序列状态是，，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即. 如图，一质点在x轴上，从原点O出发向右运动，每次平移一个单位或两个单位，且移动一个单位的概率为，移动2个单位的概率为，设质点运动到的概率为，则. （1）求； （2）求的通项公式，求 高二数学 第1页 共4页 ◎ 高二数学 第2页 共4页 高二数学 第1页 共4页 ◎ 高二数学 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级4月校内自主训练 数学学科参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 B D C D C B D D ACD ABD AB 1．B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、等差数列前n项和的基本量计算 【详解】设的公差为， 由，，得， 解方程组，得， 所以． 2．D 【知识点】利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、等差数列通项公式的基本量计算 【分析】先应用等差数列项的性质计算得出，再结合等差数列求和公式计算求解. 【详解】因为是等差数列，且 ， 又 ，所以，解得， 则 . 3．C 【知识点】充要条件的证明、判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质 【分析】根据题设易得数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，公差均为1，进而结合充分、必要条件的定义判断即可. 【详解】因为， 所以数列的奇数项、偶数项分别构成等差数列，且公差均为1. 若数列为单调递增的数列，则； 所以“为单调递增的数列”是“”的充分条件， 若，要证明数列单调递增， 只需证明对任意恒成立， 当为奇数时，设， ，， 当为偶数时，设， ，， 综上，恒成立，故数列是单调递增数列， “为单调递增的数列”是“”的充要条件． 故选：C． 4．D 【知识点】等比数列通项公式的基本量计算、等差中项的应用、等比数列前n项和的基本量计算 【分析】根据题意，利用等比数列的前项和公式，化简得到，求得，再根据，求出，即可得解. 【详解】由等比数列的前项和公式， 可得， 因为，，成等差数列，可得， 整理得，即，即， 所以，解得或（舍去）， 由，可得， 所以. 故选：D. 5．C 【知识点】数列周期性的应用 【详解】数列中，，， 则， 因此数列是周期数列，周期为3，而， 所以. 6．B 【知识点】等差数列通项公式的基本量计算、利用等差数列的性质计算、等差数列前n项和的基本量计算、求等差数列前n项和的最值 【分析】由可知，结合等差数列的通项公式及前n项和公式确定，即可得. 【详解】因为，所以， 令数列公差为，所以， 所以是单调递减数列，且，则， 所以，则取得最大值时对应，即， 因为，， 且，在开口向下的抛物线上， 所以成立的最大，即，故. 7．D 【知识点】裂项相消法求和、由Sn求通项公式 【分析】根据题意，由条件可求得，从而得到，，再由裂项相消法可得， 从而得到结果. 【详解】因为， 所以， 两式相减可得：，即，， 又当时，有也满足上式， 所以. 则，， 则数列的前项和. 所以. 故选:D 8．D 【知识点】由递推关系式求通项公式、分组（并项）法求和、累加法求数列通项、组合数的性质及应用 【分析】利用已知通项公式变形构造新数列，结合累加法分组求和以及等差数列求和公式分析求解即可. 【详解】由，两边同时除以得： ， 即， 令，则， 所以， 所以， ， ， ， 累加得：， 又，所以， 由，所以， 所以=2459 故选:D 9．【答案】ACD 【知识点】判断等差数列、等比中项的应用、由定义判定等比数列、利用an与sn关系求通项或项 【分析】根据等比、等差数列的概念可对AB进行判断，根据与的关系可由求出数列的通项公式，从而判断CD. 【详解】对于A，当时有，此时a，b，c不成等比数列，故A错； 对于B，数列为等差数列，设等差数列的公差为，则 ，且首项 数列是为首项，为公比的等比数列，故B对； 对于C，， 当时，; 当时， 数列为等比数列，，即，解得，故C错误； 对于D，当时，为等比数列，，， ，不满足则成等比数列，故D错误； 故选：ACD. 10．ABD 【知识点】平面向量基本定理的应用、求等比数列前n项和、分组（并项）法求和、构造法求数列通项 【分析】由平面向量基本定理和向量共线可得到，由此可确定递推关系式，得到可判断B；利用等比数列通项公式求得的通项，进而得到，可判断A和C；利用分组求和法，结合等比数列求和公式可求得，可判断D. 【详解】为中点，，即， 三点共线，， 又， 由平面向量基本定理得， 化简得：，， 是以为首项，为公比的等比数列，故B正确； ，，故C错误； 则，故A正确； ，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题的关键在于利用平面向量基本定理和向量共线得到，转化为数列求通项公式以及求和的问题. 11．AB 【知识点】判断数列的增减性、由递推数列研究数列的有关性质、数列求和的其他方法 【详解】选项A： 因为，则由递推关系，， 可知，所以，则，即， 所以，数列是递减数列，故A正确； 选项B：由，可得. 由A项结论，数列是递减数列，且， 则，所以， 因此，，故B正确； 故选：AB. 12． 【知识点】等比数列奇、偶项和的性质及应用 【解析】当时，可知，进而可知，即，从而可知的奇数项和偶数项都是等比数列，进而分奇偶两部分，可求出. 【详解】由，，得. 当时，，所以，即， 所以的奇数项是以1为首项，2为公比的等比数列；其偶数项是以2为首项，2为公比的等比数列. 则. 故答案为：. 【点睛】本题考查数列求和，考查等比数列前项和公式的应用，注意分奇偶项进行讨论，属于中档题. 13． 【知识点】求等差数列前n项和、倒序相加法求和 【分析】由题设，讨论n的奇偶性求的通项公式，再求. 【详解】由题设，， 所以， 即且n ≥ 2， 当时，， 当时，， 所以， 故答案为：. 14． 【知识点】由递推关系式求通项公式、构造法求数列通项、由递推关系证明等比数列 【分析】通过对递推公式相加、相减，分别构造出和为等比数列， 求出这两个数列的通项，再联立解出. 【详解】 ，则； 同理可得 ， 所以． 15．(1) (2) 【知识点】错位相减法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式 【分析】（1）可用与的关系消去，求出数列的通项公式； （2）是比较常见的等差数列与等比数列乘积的形式，用错位相减法求解即可. 【详解】（1）由，当时，， 则，即， 所以，即， 由数列为正项数列，所以，从而有，， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，． （2）由（1）知，所以， ，则， 从而， 即， 所以. 16．(1)， (2) 【知识点】裂项相消法求和、数列不等式恒成立问题、由递推关系式求通项公式、写出等比数列的通项公式 【分析】（1）根据等比数列的定义可求出的通项公式，对于取倒数处理，构造等差数列，得到的通项公式； （2）利用裂项求和，先得出表达式，对于不等式，可分离参数处理. 【详解】（1）因为且，所以， 所以数列是以1为首项，3为公比的等比数列， 所以的通项公式为：， 因为，，所以， 所以，所以． 又因为，所以数列是以1为首项，2为公差的等差数列． 所以 所以的通项公式为： （2）由（1）可知， 所以， 所以， 又因为不等式对任意正整数恒成立， 所以，，又因为， 所以，恒成立， 因为，所以， 所以的取值范围为 17．(1)，证明见解析； (2)证明见解析. 【知识点】由定义判定等比数列、分组（并项）法求和、求等比数列前n项和 【分析】（1）按等比数列的定义证明，用递推关系寻找与的关系，即可证明； （2）使用分组求和法，偶数项为等比、等差数列求和，奇数项可转化为偶数项求和； （3）先将放缩，再利用等比数列前n项和. 【详解】（1）由题可得 ， ， 又 ， 所以，数列为以为首项，为公比的等比数列． （2） ， 成立. 故 成立. 【点睛】关键点点晴：本题的关键在于第（2）问，通过放缩，得到. 18．(1)， (2) 【知识点】裂项相消法求和、利用an与sn关系求通项或项、利用定义求等差数列通项公式、求等比数列前n项和 【分析】（1）先由的递推关系式可构造一个等差数列，进而可得，再根据与的关系可得，对于求可用等比数列的前n项和性质解得，也可根据前n项和公式解得； （2）直接裂项求和可得，即可按裂项，也可按裂项可得. 【详解】（1）由得，即， 又，是以为首项，2为公差的等差数列， ，， 时，， 时，，符合上式， 综上， 求方法一： 设公比为，由，得， ，.. 求方法二： 若，则.， ，. （2）由（1）知，， （拆项方法二）：， 19．(1) (2)， 【知识点】递推法求概率、写出等比数列的通项公式、由递推关系证明等比数列、求等比数列前n项和 【分析】根据题意，结合等比数列通项公式，等比数列求和公式及累加法求得，即可判断各选项． 【详解】由题可知，质点运动到的概率，则， 运动到分两种情况，由点向右运动1个单位，由点向右运动2个单位， 所以，上式变形为：， 所以是以为公比的等比数列，首项为， 所以， 所以 ， 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $