精品解析：辽宁葫芦岛市第一高级中学2025-2026学年高二下学期3月练习一数学试题

高二年级3月练习一 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一 、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件可得，即可判断出结论. 【详解】因为，， 所以，所以，所以， 故选：A 2. 双曲线的焦距长为8，且渐近线方程为，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由焦距长和渐近线方程列方程组求解得到的值，即可得到双曲线方程. 【详解】因为焦距长为8，所以，即. 而渐近线方程为，所以， 又因为，即， 所以， 所以双曲线方程为. 故选：A. 3. 展开式中的系数为（ ） A. 56 B. 42 C. 84 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】求出二项式展开式的通项公式，再利用多项式乘法法则求出含的项即可. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 因此展开式中含的项为， 所以展开式中的系数为42. 故选：B 4. 设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. . 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意求出，；再根据椭圆的定义建立等式得出，即可得出答案. 【详解】如图，由题可知，，又因为，， 故，.又因为， 故， 故选：B. 5. 在平行六面体中，，．求直线与所成角的余弦值（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，利用基底表示，计算. 【详解】设，则，， 因为，， 则， 则，故直线与所成角的余弦值为. 故选：A 6. 在平面直角坐标系中，已知，，点为圆上一点，若存在点使得，则的可能取值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】易知点的轨迹方程为，再由两圆位置关系得出不等式即可求得的可能取值. 【详解】由题意知三角形的外接圆半径， 如图，三角形外接圆方程为， 要使得点满足，则圆与圆有公共点（不含端点）， 故，且(若，此时与重合，不合题意)， 解得. 故选：C. 7. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 【答案】C 【解析】 【分析】借助插空法解决不相邻要求，用排除法解决前3个节目至少有一个机器人节目要求 【详解】步骤1：先排 4 个歌舞节目：，排好后会产生 5 个空位（包括两端）； 步骤2：将 2 个机器人节目插入空位：； 步骤3：排除“前3个节目全是歌舞”的情况：先从4个歌舞节目中选3个排在前3个位置，有种方法， 剩下的1个歌舞节目和2个机器人节目排在后3个位置，且机器人节目不相邻，只能是“机器人-歌舞-机器人”的排列， 有种方法.故不满足条件的情况有. 故总数为： 故选：C 8. 已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可得抛物线方程为，则，设直线的方程为：，联立方程组，利用韦达定理和即可求解. 【详解】抛物线的焦点为，依题意可得，解得， 所以抛物线的方程为，则抛物线的准线为，所以， 依题意直线的斜率不为，设过的直线的方程为，， 联立方程组，整理可得，由， 所以，， 又因为，所以，又， 所以， 因为， 所以 即，解得，所以直线的方程为， 故选：A. 二 、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.) 9. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式的项数为6 B. 二项式系数和为64 C. 所有项的系数之和为2 D. 展开式中第3项为 【答案】BD 【解析】 【分析】由二项式展开的项数为，可判断A；求出二项式系数和为，可判断B；利用赋值法求出所有项的系数和，可判断C；求出第3项，可判断D. 【详解】对于A，因为，所以展开后共有7项，故A错误； 对于B，由题意可知二项式系数和为，故B正确； 对于C，令，则所有项的系数和，故C错误； 对于D，因为，故D正确. 故选：BD. 10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．现有阳马如下图所示，其中平面ABCD，，，点E在棱PC上运动．下列说法正确的有（ ） A. 平面PBC B. 直线PC与AB所成的角为 C. D. 当时，四棱锥的体积是四棱锥体积的 【答案】BD 【解析】 【分析】根据直角三角形中与不垂直，且，可判断A，找到异面直线所成的角（或其补角）解三角形判断B，利用反证法判断C，由四棱锥底面相同，根据E的位置确定棱锥高的比，得出体积关系判断D. 【详解】因为，，，， 且为等腰直角三角形，因为，AB与PB不垂直，所以CD与PB不垂直， 所以CD不垂直于平面PBC，故A错误； 因为，所以（或其补角）是直线PC与AB所成的角， 所以，所以，故B正确； 由平面ABCD得，假设成立，则平面PAC， 所以，与题意矛盾，故C错误； 因为，所以，故，所以D正确． 故选：BD 11. 已知点，，曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线上存在点，使得 B. 直线与曲线没有交点 C. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 D. 若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】分，与零的大小讨论，得到曲线方程，并画出图形，由双曲线的定义可判断A；由渐近线方程可判断B；由直线分别与椭圆和双曲线相切可判断D；由点到直线的距离公式可得C正确； 【详解】当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即不存在； 当，时，曲线，即； 当，时，曲线，即， 画出图形如图所示： 对于A：满足条件的曲线是双曲线的下支， 该双曲线的下支与曲线是没有交点的， 所以不存在曲线上的点，使得成立，故A错误； 对于B：一三象限曲线的渐近线方程为， 则直线与曲线没有交点，故B正确； 对于C：设，由点到直线距离公式得：，， 所以. 因为点是曲线上且在第三象限内的一点，则有， 所以，故C正确， 对于D：设过点的直线，显然. 联立； 联立； 直线与曲线有三个不同的交点，则直线斜率的取值范围是，D正确； 故选:BCD. 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据两直线平行的充要条件，列方程求解可得. 【详解】由题可知，，解得. 当时，直线的方程为：，即，与直线平行. 故答案为：2. 13. 甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有___________种.（用数字作答） 【答案】60 【解析】 【分析】利用间接法可求得甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位的分配方法数. 【详解】甲、乙、丙、丁等6名大学生被平均分到三个单位有. 其中甲、乙在同一个单位的分法有种， 丙、丁在同一个单位的分法有种， 甲、乙在同一个单位且丙、丁也在同一个单位的分法有种， 故甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有. 故答案为：. 14. 在现代通信技术中，信号的传输路径模拟常借助几何模型来实现优化.假设在一个特定的信号传输区域内，两个信号基站分别在双曲线的左､右焦点处，信号发射源在双曲线上，信号中转装置被安置在以基站为圆心，为半径的圆上.若从基站到发射源的信号传输路径与从发射源到中转装置的信号传输路径相互垂直，且，则双曲线的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，得到，由双曲线的定义，求得，在直角中，利用勾股定理，得到，转化为，即可求解. 【详解】如图所示，因为信号中转装置被安置在以基站为圆心，为半径的圆上， 可得，因为，所以三点共线，且， 由双曲线的定义，可得，所以， 在直角中，可得，即， 整理得，即， 两边同除以，可得，解得， 因为，所以. 故答案为：. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15. 已知点，点关于直线的对称点为. （1）求的外接圆的方程； （2）直线过抛物线的焦点，且与的外接圆相切，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）利用对称性质，由垂直与平分建立方程组得，结合图形可得为直角三角形，由几何法求出外接圆方程即可； （2）分斜率是否存在两种情况讨论，利用点到直线的距离可求得直线的方程. 【小问1详解】 设点由题意，解得，即， 的外接圆是以线段AB为直径的圆， 的中点为， 的外接圆方程是； 【小问2详解】 由抛物线，可得焦点， 由（1）可知与的外接圆方程为，所以圆心，半径. 当直线的斜率不存在时，直线方程为，显然与圆不相切； 当直线的斜率存在时，设切线方程为，即， 所以，所以，解得， 所以直线的方程为或或. 16. 如图，在四棱锥中，底面满足底面，且. （1）求四棱锥的体积； （2）若侧面与侧面的交线为，求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）. 【解析】 【分析】（1）根据已知四棱锥的高，再由棱锥的体积公式求体积； （2）由已知，再由线面平行的判定定理和性质定理得，根据线面垂直的性质和判定证得平面，即可证结论； （3）构建合适的空间直角坐标系，应用向量法求面面角的余弦值. 【小问1详解】 因为底面，则四棱锥的高，则其体积为； 【小问2详解】 由底面上，则， 由平面平面，则平面， 平面平面，平面，则， 又底面，底面，所以， 由题知，又，平面， 所以平面，故平面； 【小问3详解】 由上易知两两垂直，以为原点建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 所以， 由平面，故平面的法向量为， 设面的法向量为，则，取，则， 设平面与平面的夹角为， 故平面与平面的夹角的余弦值为. 17. 已知离心率为的双曲线经过点. （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据离心率公式和将点代入方程，求解即可； （2）设，，代入方程，再利用斜率公式化简得证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 所以的方程为； 【小问2详解】 设，， 因为点在双曲线上，所以，即， 所以， 所以为定值. 18. 如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，． （1）证明：； （2）当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据面面垂直的性质可得平面，进而得，进而根据菱形的性质可得，即可根据线面垂直的判定求解， （2）根据体积公式可求解长度，进而建立空间直角坐标系，求解平面法向量，利用向量的夹角即可得解. 【小问1详解】 证明：取中点，连接． 由得，． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 又因为平面，所以． 又，所以四边形是菱形，从而． 又，所以平面． 又平面，所以． 【小问2详解】 取的中点，连接，则， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． 所以三棱台的高． 设，则，， 从而，解得． 以为原点，直线分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系，如图， 则 ， 设平面的法向量， 则即令，则， 设直线与平面所成角为， 则． 故直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上位于轴同侧的两点，且直线与直线平行，若直线的斜率为1，求的长度； （3）设直线过点且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目信息求出，即可得到答案； （2）延长交椭圆于点，根据对称性得，所以，联立椭圆方程与直线方程，利用弦长公式求即可得解； （3）直线，联立直线方程与椭圆方程，求得的面积，令，则，借助于对勾函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 由椭圆的定义可得，则， 设椭圆的半焦距为，因为，所以， 则， 所以椭圆的标准方程为． 【小问2详解】 如下图，延长交椭圆于点，由对称性可知， ， 所以， 因为直线的斜率为1，且，则直线的方程为， 设， 联立，消得， 所以，， 所以， 所以的长度为． 【小问3详解】 由题意可知，直线的斜率存在，又直线经过， 设直线，，， 如图， 联立，消得， ， 令， 则， 又因为在单调递增， 所以当时，取最小值，面积取最大值， 此时，，即， 所以面积最大时，直线的方程为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二年级3月练习一 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 一 、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.) 1. 若直线的一个方向向量，平面的一个法向量，则（ ） A. B. C. D. 以上都有可能 2. 双曲线的焦距长为8，且渐近线方程为，则双曲线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 展开式中的系数为（ ） A. 56 B. 42 C. 84 D. 120 4. 设椭圆的左、右焦点分别为、，是上的点，轴，，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. . 5. 在平行六面体中，，．求直线与所成角的余弦值（ ） A. 0 B. C. D. 6. 在平面直角坐标系中，已知，，点为圆上一点，若存在点使得，则的可能取值为（ ） A. B. 2 C. D. 3 7. 某晚会由4个歌舞节目和2个机器人表演节目组成，若要求机器人表演节目不能相邻出演且前3个节目中至少有一个是机器人表演节目，则不同的节目安排方法有（ ）种. A. 216 B. 360 C. 432 D. 672 8. 已知抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点.准线与轴的交点为.当时，直线的方程为（ ） A. B. C. D. 二 、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.) 9. 在的展开式中，下列结论正确的是（ ） A. 展开式的项数为6 B. 二项式系数和为64 C. 所有项的系数之和为2 D. 展开式中第3项为 10. 《九章算术》中将底面为矩形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称为阳马．现有阳马如下图所示，其中平面ABCD，，，点E在棱PC上运动．下列说法正确的有（ ） A. 平面PBC B. 直线PC与AB所成的角为 C. D. 当时，四棱锥的体积是四棱锥体积的 11. 已知点，，曲线，则下列说法正确的是（ ） A. 曲线上存在点，使得 B. 直线与曲线没有交点 C. 点是曲线上在第三象限内的一点，过点向直线与直线作垂线，垂足分别为，，则 D. 若过点的直线与曲线有三个不同的交点，则直线的斜率的取值范围是 三、填空题(本大题共3小题，每小题5分，共15分.) 12. 已知直线与直线平行，则的值为_______________________. 13. 甲、乙、丙、丁等6名大学生被分配到三个单位实习，每个单位分配2人，甲、乙不在同一个单位，丙、丁也不在同一个单位，则不同的分配方案共有___________种.（用数字作答） 14. 在现代通信技术中，信号的传输路径模拟常借助几何模型来实现优化.假设在一个特定的信号传输区域内，两个信号基站分别在双曲线的左､右焦点处，信号发射源在双曲线上，信号中转装置被安置在以基站为圆心，为半径的圆上.若从基站到发射源的信号传输路径与从发射源到中转装置的信号传输路径相互垂直，且，则双曲线的离心率为__________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.) 15. 已知点，点关于直线的对称点为. （1）求的外接圆的方程； （2）直线过抛物线的焦点，且与的外接圆相切，求直线的方程. 16. 如图，在四棱锥中，底面满足底面，且. （1）求四棱锥的体积； （2）若侧面与侧面的交线为，求证：平面； （3）求平面与平面的夹角的余弦值. 17. 已知离心率为的双曲线经过点. （1）求的方程； （2）已知，是上关于原点对称的两点，直线，的斜率分别为，，求证：为定值. 18. 如图，在三棱台中，平面平面，为的中点，． （1）证明：； （2）当三棱台的体积为时，求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知椭圆的左、右焦点分别为，且长轴长为4，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）设是椭圆上位于轴同侧的两点，且直线与直线平行，若直线的斜率为1，求的长度； （3）设直线过点且与椭圆相交于两点，又点是椭圆的下顶点，当面积最大时，求直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $