葫芦岛市第一高级中学 2026年暑假拓展训练（一） 高二升高三数学试题基础卷

**基本信息** 聚焦集合与不等式核心知识，通过基础巩固与分层设计，培养抽象能力与推理意识，适配高二暑假拓展训练需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|集合运算、不等式解集|基础概念辨析，如第3题考查子集个数| |多选|3/18|高斯函数性质、不等式应用|引入取整函数（第11题），培养创新意识| |填空|3/15|集合元素特征、最值问题|第14题结合代数式求最值，强化运算能力| |解答|5/77|集合与数列综合、不等式参数讨论|第19题融合数列与集合子集，体现知识综合应用，发展逻辑推理|

葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（一） 高二数学试题 基础卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据元素与集合的关系求参数 【分析】根据题意列出不等式组即可求出结果. 【详解】由题可知且解得.故选：C. 2．已知集合，下列选项中为的元素的是（   ） ①  ②  ③  ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 【答案】B 【知识点】判断元素与集合的关系 【分析】根据集合元素的定义，判断所给选项中的元素是否在集合中. 【详解】已知集合，所以集合A有两个元素：和．故选：B. 3．若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 【答案】D 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】分类讨论和时，的可能取值，得出集合，即可求出集合的真子集. 【详解】集合，集合， 若，则或；若，则或1， ∴， ∴的真子集的个数为.故选：D. 4．设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据交集结果求集合或参数 【分析】根据题意可得所满足的条件，即可求解. 【详解】因为，，集合中有且仅有2个元素， 则，所以实数的取值范围为.故选：C. 5．已知集合，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数 【分析】分两种情况讨论，当时，当时，分别列不等式求解即可. 【详解】∵，∴， 当时，,符合题意；当时， ，∴，综上：.故选：C. 【点睛】本题主要考查集合的交集以及根据包含关系求参数，考查了分类讨论思想的应用，属于基础题. 6．已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（   ） A． B．，或 C．，或 D． 【答案】A 【知识点】由一元二次不等式的解确定参数、解不含参数的一元二次不等式 【分析】先根据一元二次不等式的解集得出，再化简得出，即可得出不等式的解集. 【详解】关于的一元二次不等式的解集为， 则，且是一元二次方程的两根， 于是，解得，则不等式化为， 即，解得，所以不等式的解集是.故选：A. 7．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求积的最大值 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以，当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值．故选：B. 8．已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【知识点】基本不等式求和的最小值 【分析】将原式变形为，利用基本不等式求解. 【详解】，，则，， 当且仅当时，等号成立，所以的最小值为.故选：B. 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 【答案】ABD 【知识点】二次函数的图象分析与判断、解不含参数的一元二次不等式、由一元二次不等式的解确定参数、公式法解绝对值不等式 【分析】根据不等式的解集与方程的根的关系可得，且，结合二次函数的性质及不等式的解法可逐项判断求解． 【详解】∵关于的不等式的解集为， ∴是方程的两根，且， ∴且，∴． 函数的图象开口向下，对称轴为， ∵定义域为，∴当时，函数取最大值，故A正确； 由，得，故B正确，C错误； 不等式即为， 也即，即，∴， ∵，∴，解得或， 所以的解集为，故D正确．故选：ABD． 10．已知为正实数，，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值3 D．的最小值为16 【答案】AD 【知识点】基本不等式求积的最大值、求二次函数的值域或最值、基本不等式求和的最小值 【分析】由基本不等式可得A正确；举反例可得B错误；反向代入结合基本不等式可得C正确；展开之后由完全平方式可得D正确； 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，故A正确； 对于B，令，则，故B错误； 对于C，因为，则，故， 当且仅当，时取等号成立，故C错误； 对于D，， 当且仅当 或等号成立，故D正确；故选：AD. 11．对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A．函数图像在直线y = x的上方 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 【答案】BCD 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、函数新定义、解不含参数的一元二次不等式 【分析】对于A，根据取整函数的定义结合奇函数的定义分析判断，对于B，根据取整函数的定义求解判断，对于C，根据取整函数的定义结合不等式的性质分析判断，对于D，先解一元二次不等式，再利用取整函数定义求解. 【详解】对于A，由取整函数的定义知，，所以， 所以A．函数图像在直线y = x的下方，所以A错误， 对于B，因为表示不超过的最大整数，所以当时，， 所以函数的值域为，所以B正确， 对于C，因为时，， 所以，所以C正确， 对于D，由，得， 因为表示不超过的最大整数，所以，所以D正确. 故选：BCD 【点睛】思路点睛：关于新定义题的思路有： （1）找出新定义有几个要素，找出要素分别代表什么意思； （2）由已知条件，看所求的是什么问题，进行分析，转换成数学语言； （3）将已知条件代入新定义的要素中； （4）结合数学知识进行解答. 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为______． 【答案】 【知识点】判断集合的子集（真子集）的个数 【分析】根据真子集的个数得，即可求解. 【详解】因为集合有15个真子集，所以集合中包含4个元素， 所以，所以，则实数的取值范围为． 故答案为： 13．已知集合各元素之和等于3，则实数___________ 【答案】或 【知识点】列举法表示集合、利用集合元素的互异性求参数 【分析】先求得方程的解为，根据题意，结合集合元素的互异性，列出方程，分类讨论，即可求解. 【详解】由方程，可得化为， 解得， 当时，此时，可得，不符合题意，舍去； 当时，即时，可得，此时，符合题意； 当且时，可得，解得，符合题意，所以实数的值为或.故答案为：或. 14．，则的最小值是__，此时a＝__． 【答案】 2； 0 【知识点】二次与二次（或一次）的商式的最值 【分析】化简，根据基本不等式求解即可. 【详解】显然，，则，， 当且仅当，即时，等号成立.所以，的最小值是2，此时. 故答案为：2；0． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或. (2) 【知识点】根据补集运算确定集合或参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数、交并补混合运算 【分析】（1）求得集合，得到或，结合并集的运算，即可求额吉；或. （2）由（1）知，分和，两种情况讨论，结合集合的运算法则，列出不等式组，即可求解. 【详解】（1）解：由集合，或， 可得或，则或. （2）解：由（1）知，，或， 所以或，可得， 当时，即时，，此时满足； 当时，即时，要使得， 则满足或，解得或， 综上可得，实数的取值范围为. 16．设集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)或 (2) 【知识点】根据集合的包含关系求参数、根据交集结果求集合或参数、根据并集结果求集合或参数 【分析】（1）求出集合A，由给定交集的结果，求出a并验证得解. （2）由给定条件，可得，再利用集合的包含关系讨论求解即得. 【详解】（1）依题意，， 由，得，则，解得或， 当时，则，满足； 当时，则，满足，所以或. （2）由（1）可知，，， 若，则，解得； 若，则，无解； 若，由（1）知； 若，则，无解，所以实数的取值范围是. 17．已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【知识点】基本不等式求积的最大值、基本不等式求和的最小值、条件等式求最值、基本不等式的恒成立问题 【分析】（1）由基本不等式得到，然后以解出的范围； （2）由等式化简，然后由基本不等式得到的最小值，由不等式恒成立建立不等式求得实数的取值范围. 【详解】（1），，当且仅当时等号成立， ，或（舍去），则的最小值为4. （2），当且仅当，即时等号成立， 即，∴ 18．已知关于的不等式. (1)该不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若该不等式的解集为集合的子集，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】一元二次不等式在实数集上恒成立问题、由一元二次不等式的解确定参数、一元二次方程根的分布问题、解不含参数的一元二次不等式 【分析】（1）可知1和4是方程的两根，且，利用韦达定理即可求解； （2）恒成立，分和两种情况，结合二次函数运算求解； （3）分和两种情况，根据子集关系结合二次函数列式求解. 【详解】（1）因为的解集为， 可知1和4是方程的两根，且， 由根与系数关系可得，解得. （2）因为的解集为，即恒成立， 若，则不恒成立，不合题意； 若，则，解得；综上所述：所以实数的取值范围为. （3）设不等式的解集为，可知， 若，则，解得，即，不合题意； 若，可知，则有： 当时，由（2）可知：； 当时，必有，令，可知其开口向上，对称轴为， 若，则；若，则； 结合二次函数图象有，解得； 综上所述：实数的取值范围是. 19．已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求． 【答案】(1) (2) 【知识点】组合数的性质及应用、利用an与sn关系求通项或项、判断集合的子集（真子集）的个数、错位相减法求和 【分析】（1）直接利用数列的递推关系求出数列的通项公式； （2）利用（1）的结论和乘公比错位相减法求出数列的和． 【详解】（1）当时，，则，且； 当时，，，两式相减得， ∴（）， ∴当时，，即， 则，∴． 综上，对任意都成立． （2），集合的非空子集有个， 其中最小元素为1的集合中，含1个元素的集合有1个，含2个元素的集合有个， 含3个元素的集合有个，……，含个元素的集合有个， 所以最小元素为1的子集个数为个， 同理，最小元素为2的子集个数为个， ……，最小元素为的子集个数为1个， ∴， ， ∴，则． 高二数学暑假基础卷1 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷1 第2页 共4页 高二数学暑假基础卷1 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷1 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $ 葫芦岛市第一高级中学2026年暑假拓展训练（一） 高二数学试题 基础卷 一､单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合要求） 1．已知关于x的不等式的解集为A，若且，则（ ） A． B． C． D． 2．已知集合，下列选项中为的元素的是（   ） ①  ②  ③  ④ A．①② B．①③ C．②③ D．②④ 3．若集合，则集合的真子集的个数为（   ） A．3 B．4 C．7 D．15 4．设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 5．已知集合，.若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 6．已知关于的不等式的解集为，其中为常数，则不等式的解集是（   ） A． B．，或 C．，或 D． 7．已知，求的最大值为（    ） A． B． C． D． 8．已知实数，则的最小值为（   ） A． B． C．0 D． 二､多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分） 9．已知关于的不等式的解集为，则（    ） A．有最大值 B． C． D．的解集为 10．已知为正实数，，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值为 C．的最小值3 D．的最小值为16 11．对于任意的表示不超过的最大整数．十八世纪，被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”．下列说法正确的是（    ） A．函数图像在直线y = x的上方 B．函数的值域为 C．对于任意的，不等式恒成立 D．不等式的解集为 三､填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．已知集合，若集合有15个真子集，则实数的取值范围为______． 13．已知集合各元素之和等于3，则实数___________ 14．，则的最小值是__，此时a＝__． 四､解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15．已知集合，或，. (1)求； (2)若，求实数的取值范围. 16．设集合. (1)若，求实数的值； (2)若，求实数的取值范围. 17．已知：，求： (1)的最小值； (2)，恒成立，求实数的取值范围. 18．已知关于的不等式. (1)该不等式的解集为，求实数的值； (2)若不等式的解集为，求实数的取值范围； (3)若该不等式的解集为集合的子集，求实数的取值范围. 19．已知数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式； (2)集合，将集合的所有非空子集中最小的元素相加，其和记为，求． 高二数学暑假基础卷1 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷1 第2页 共4页 高二数学暑假基础卷1 第1页 共4页 ◎ 高二数学暑假基础卷1 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $