精品解析：辽宁大连市王府高级中学2025-2026学年高一下学期第二学段考试数学试题

大连王府高级中学2025－2026学年下学期第二学段考试 高一数学试题 命题人：王中华 审题人：袁庆祝 考试时间：120分钟 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设 ，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 已知向量与的夹角为， ， ，则 （ ） A. 3 B. C. 7 D. 3. 若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形，高为，所有侧棱均相等，则侧棱长为（ ） A. B. C. D. 4. 已知 ， ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知菱形的边长为，．将沿对角 折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足 ，， ，则三角形的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 已知集合，其中 为虚数单位，则下列元素属于集合的是( ) A. B. C. D. 10. 下列命题中，正确的是( ) A. 若向量，则与的夹角为 B. 若非零向量与的夹角为 ，则” “是” 为锐角”的充分不必要条件 C. 若平面向量，，，若，则的最小值为 D. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 11. 下列说法正确的有（ ） A. B. 已知，则 C. D. 在中，角的对边分别为，若 ，则 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 求值:______． 13. 如图，已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体的体积为______． 14. 函数的图象向右平移个单位长度后，所得的函数为奇函数，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知复数 （1）若，求实数的值； （2）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围. 16. 设． （1）若，求实数的值； （2）若，且，与的夹角为，求实数的值． 17. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求． （2）若，且 边上的中线长为，求的面积． （3）若角的平分线长为，求的面积的最小值． 18. 位于某小岛 的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于小岛 北偏东 且与该小岛相距10海里的 处，并正以20海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设该快艇沿直线方向以 海里／时的航行速度匀速行驶，经过 小时与货轮相遇． （1）若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？ （2）若经过1小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？ （3）假设快艇的最高航行速度只能达到海里／时，试问快艇能否在1个小时内（包括一个小时）完成送货任务？如果能够完成任务，请确定航行方向与航行速度的大小． 19. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求 的值． （3）在锐角中，若 ，求 的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 大连王府高级中学2025－2026学年下学期第二学段考试 高一数学试题 命题人：王中华 审题人：袁庆祝 考试时间：120分钟 一、单选题：共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设 ，则复数的虚部为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求得 ，即可得答案. 【详解】因为 ，所以 ， 所以的虚部为 2. 已知向量与的夹角为， ， ，则 （ ） A. 3 B. C. 7 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由向量模长公式，向量数量积定义结合题设可得答案. 【详解】 3. 若一个三棱锥的底面是边长为3的正三角形，高为，所有侧棱均相等，则侧棱长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 设在平面的投影为，则，根据是 的重心求出 ，即可求出侧棱长. 【详解】如图所示三棱锥中，由题可得， 设在平面的投影为，则， 则是 的重心， ， 则在 中，. 故选：C. 4. 已知 ， ，则 （ ） A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题设及两角和的正切公式可得答案. 【详解】 5. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用同角关系得到，进而利用配角法与两角差余弦公式可得结果. 【详解】∵，∴， 又，∴， ∴ . 故选：A 6. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平面向量的加减法坐标运算得出，再结合，最后利用向量垂直的坐标运算得出，即可求出的值. 【详解】解：由题可知，， ， 由于，则， 解得：. 故选：B. 7. 已知菱形 的边长为，．将沿对角 折起，折起后，两点的距离为，则折起后所得三棱锥的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题可知三棱锥为正四面体，由的截面圆半径、球心到截面圆距离和球半径构成的直角三角形求出球的半径，进而得到表面积. 【详解】已知菱形 边长为​，， 可得，折叠后​， 因此三棱锥的所有棱长均为，即该三棱锥是正四面体. 设的外接圆圆心为，连接,则 平面,三棱锥 的外接球球心必在上， 连接并延长交于，则为中点，则， 则, 设三棱锥 的外接球半径为 ，由，得， 解得，所以外接球的表面积 . 8. 在等边三角形的三边上各取一点，，，满足 ，， ，则三角形的面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先求出，设，，在 、分别利用正弦定理表示出、，由，利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出 的最大值，即可求出三角形面积最大值. 【详解】因为 ，， ，所以， 设，， 则，，， 在 中由正弦定理，即， 所以， 在中由正弦定理，即， 所以， 所以 （其中）， 所以， 则， 即三角形的面积的最大值是. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题关键是用含 的式子表示出、，再利用三角恒等变换公式及辅助角公式求出 的最大值，进而求出三角形面积最大值. 二、多选题：本小题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分．若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分． 9. 已知集合，其中 为虚数单位，则下列元素属于集合的是( ) A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】先利用虚数单位幂的周期性确定集合的全部元素，再逐一化简四个选项的复数，判断化简结果是否属于. 【详解】由虚数单位的幂次周期性，时： ， ， ， ，， 得集合 . 分别化简各选项： A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 下列命题中，正确的是( ) A. 若向量，则与的夹角为 B. 若非零向量与的夹角为 ，则” “是” 为锐角”的充分不必要条件 C. 若平面向量，，，若，则的最小值为 D. 已知向量，则向量在向量上的投影向量的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】分别利用向量夹角余弦公式、向量数量积与夹角逻辑关系、垂直条件结合二次函数求模长最小值、投影向量公式逐项验证命题真假. 【详解】选项A，由 ， ， 则 ， ，， 设与的夹角为 ，所以， 而 ，则，命题A正确； 选项B， 时，，即 ， 当 时，同向共线，满足 ，但 不是锐角. 因此“ ”是“ 为锐角”的必要不充分条件，命题B错误； 选项C，由， ， ， 则 ，化简得 ， 而 ，则， 令 ，二次函数开口向上，对称轴， 则，即，命题C正确； 选项D，由 ， ， 则 ， ， 则在上的投影向量为，命题D正确. 11. 下列说法正确的有（ ） A. B. 已知，则 C. D. 在 中，角的对边分别为，若 ，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】对A，利用诱导公式化简原式各项，再用两角差的正弦公式计算结果验证等式；对B，将目标角变形为已知角的二倍加，结合诱导公式和二倍角公式计算结果验证；对C，利用诱导公式化简各正切项，结合两角和的正切公式变形计算结果验证等式；对D，根据 判断三个内角均为锐角，结合三角形正切恒等式证明不等式成立. 【详解】对于A：，A正确； 对于B：，B正确； 对于C：因为，所以， 所以 .C错误； 对于D：在 中，因为，所以， 又， 所以 ， 由 ，可知 均为锐角（若一个为钝角，乘积为负，不满足不等式），因此 ，又 ，可得 ，即也为锐角， 设 ，由均值不等式​， 则， 令， 因为 ， 所以 ，即 ，所以 ，因此 恒成立， D正确. 三、填空题：本小题共3小题，每小题5分，共15分．把答案填在答题卡中的横线上． 12. 求值:______． 【答案】. 【解析】 【详解】分析：直接应用正弦函数的二倍角公式即可. 详解： 故答案为. 点睛：本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦公式的应用，属于基础题．一般，，这三者我们成为三姐妹，结合，可以知一求三. 13. 如图，已知是某一棱长为2的正方体展开图中的两条线段，则原正方体中几何体 的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】画出原图，根据锥体体积公式求得正确答案. 【详解】如下图所示，则. 14. 函数的图象向右平移个单位长度后，所得的函数为奇函数，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】由平移后为奇函数，展开式中的系数须为零，得，利用诱导公式和万能公式将目标式化为关于的分式，再换元并运用基本不等式确定新变量范围，最后根据函数单调性求最小值. 【详解】原函数平移后得 ，  整理得 ， 因为是奇函数，则 ，即. 利用诱导公式 ，则原式可化为 . 由万能公式​，代入得，代入原式得 原式​ . 因为，令，由基本不等式 ， 当且仅当​即时取等号， . 原式化为​，对勾函数在 上单调递增， 故最小值为 . 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15. 已知复数 （1）若，求实数的值； （2）若复数对应的点在第四象限，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用复数的乘法运算与复数相等的条件可得的条件，计算即可. （2）利用复数的除法运算化简，根据象限内实部虚部的符号建立不等式组求解. 【小问1详解】 由题意得，， ，； 【小问2详解】 由题意得， 复数对应的点在第四象限，，所以， 故的取值范围为. 16. 设． （1）若，求实数的值； （2）若，且，与的夹角为，求实数的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直则它们的数量积为代入计算； （2）根据向量模的坐标公式列第一个方程，利用向量夹角的数量积公式列第二个方程，联立两个方程求解. 【小问1详解】 已知， 计算得：， 由两向量垂直则数量积为0， 得：，解得； 【小问2详解】 已知，根据条件列方程： 由，对模长平方得：①； 由向量夹角公式，时， 代入，得：， 化简得：②； 将②代入①，得，解得，即 或 ； 当 时，代入②得； 当 时，代入②得； 因此最终解为：或. 17. 已知 的内角的对边分别为，且． （1）求． （2）若，且 边上的中线长为，求 的面积． （3）若角的平分线长为，求 的面积的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）在 中使用余弦定理计算，再由面积公式即可求解； （3）由，结合基本不等式即可求解. 【小问1详解】 由余弦定理 ，又， 代入可得： ， 又，故 【小问2详解】 记边上的中线为，则， 在 中，由余弦定理得 ， 化简可得： ，解得 或（舍）， 所以. 【小问3详解】 设角平分线交 于，， 由得：  ， 化简得 ，由基本不等式得， 解得： ，当且仅当 时等号成立， 故面积最小值. 18. 位于某小岛 的快艇要完成将一件物品送到一艘正在航行的货轮上的任务．在快艇出发时，货轮位于小岛 北偏东 且与该小岛相距10海里的 处，并正以20海里／时的速度沿正西方向匀速行驶．假设该快艇沿直线方向以 海里／时的航行速度匀速行驶，经过 小时与货轮相遇． （1）若希望相遇时快艇的航行距离最小，则快艇的航行速度应为多少？ （2）若经过1小时快艇与货轮相遇，则快艇的航行速度应为多少？ （3）假设快艇的最高航行速度只能达到海里／时，试问快艇能否在1个小时内（包括一个小时）完成送货任务？如果能够完成任务，请确定航行方向与航行速度的大小． 【答案】（1）海里/时 （2）海里/时 （3）能完成任务，航行方向为北偏西 ，航行速度为海里/时，相遇时间为1小时. 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理可求最小距离，进而确定速度； （2）由1小时可确定边 ，再利用余弦定理可得及速度； （3）设相遇时间为 ， ，在 中，由余弦定理得到，再结合 ，求解即可. 【小问1详解】 货轮沿正西方向行驶，快艇的最短航行距离为小岛到货轮行驶航线的垂线段长度， 由题意得 海里，，最短航行距离海里， 此时货轮行驶路程 海里，行驶时间小时， 故快艇航速海里/时； 【小问2详解】 经过1小时，货轮行驶路程 海里， 在 中， ， ， 由余弦定理得：   ， 故海里， 故快艇航速海里/时； 【小问3详解】 设相遇时间为 ，在 中 ， 由余弦定理得：   ， 整理得， 若 且，则 ， 代入得：  ，  仅当 时等号成立，此时海里/时，符合最高航速限制， 设航行方向为北偏西 ，即 ， 则， 得， 即能完成任务，航行方向为北偏西，航行速度为海里/时，相遇时间为1小时. 19. 已知向量，，函数． （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，且，求 的值． （3）在锐角 中，若 ，求 的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量数量积的坐标表示，写出函数解析式，根据三角恒等变换对函数解析式进行化简，进而求出结果； （2）根据函数解析式求出，进而根据同角三角函数关系，求出，再由两角和的正弦公式求出结果即可； （3）根据函数关系式求出，根据三角恒等变换，对 进行化简，进而根据三角形形状求出角的范围，再构造函数，根据函数单调性，判定函数值域求出结果. 【小问1详解】 可知 ， 所以函数的最小正周期为 ， 可知，解得， 即函数的单调增区间为. 【小问2详解】 ， 因为，所以，所以， 可知. 【小问3详解】 ，因为 为锐角三角形，所以， 则，所以，解得， 则 方法一：因为， 令 ，， 则， 因为因为 为锐角三角形，， 所以，所以， 所以 ， 当时，即时， 取最大值，最大值为， 当趋近时，， 当趋近时， ， 所以 的取值范围为 . 方法二：因为 为锐角三角形，所以，即 ，即 ， 所以 ， 因为，所以，即，解得，所以， 令，其中， 设，则 ， 可知 ， 令 ，即，即 ， 得 ， 可知当时， ，此时满足 ，即 ， 即当时，此时 ，即在上函数单调递增， 当时，此时 ，即在上函数单调递减， 当时， ， 当时，， 可知，所以当时， ， 所以 ，即， 即 的取值范围为 . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $