2026年高二数学秋季开学学情自测卷01（广东专用）

**基本信息** 以环保知识测试、湿地公园测量等现实情境为载体，覆盖集合、立体几何、统计等知识，通过基础题与创新探究题梯度设计，检测高二学生综合素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|11题/58分|集合运算、线面关系、统计图表|第4题结合环保测试频率分布直方图，考查数据分析能力| |填空题|3题/15分|方程根、解三角形|第13题以云星塔测量为情境，体现数学眼光观察现实世界| |解答题|5题/77分|统计、解三角形、函数、立体几何、双曲函数|第19题类比三角函数探究双曲函数性质，培养创新意识与数学思维|

2026年高二数学秋季开学学情自测卷01 ! 数学·答题卡 姓 名： 准考证号： 注意事项 1.答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清 贴条形码区 楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2.选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用 0.5m黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答 题；字体工整、笔迹清晰。 烘 3, 请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出 区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题 缺考 无效。 此栏考生禁填 4. 保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 标记 5,正确填涂 选择题（每小题5分，共40分) 1 [A][B]ICIIDI 5[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C]D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C]D] 4[A][B][C][D] 8 [A][B][C][D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0 分，共18分) 9[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 11[A]B][C][D] 舒 三、填空题（每小题5分，共15分） 舸 12 13 剂 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第1页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15.(13分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第2页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第3页（共6页） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17.(15分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第4页（共6页） (道9并)道S患索谁 :必壬耄品，海习马的到狂鲜毋盖用避‘易锡海☒璐品阴目酷号平巢 0 0 (女LI)8I :￥差号阴海习马的到狂毋黉吊避‘号卦4海习踞品阳目酷号安 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19.(17分) 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 数学第6页（共6页） 2026年高二数学秋季开学学情自测卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修一+必修二+选必一部分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（   ） A．估计样本数据的中位数为75分 B．样本中得分低于80分的人数大约为35人 C．估计样本数据的众数为70分 D． 5．正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，且在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件B相互独立 B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期 B．函数在上单调递增 C．函数在上的值域为 D．函数的图像关于直线对称 11．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中错误的是（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为 C．的最小值为 D．三棱锥的外接球体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，是方程的两个根，则________. 13．某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 14．在中，，，点在直线上，若的面积为，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则据此频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？ 16．（15分） 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，且，求△ABC的面积. (3)若的面积为，求c. 17．（15分） 已知函数的图象关于点对称． (1)求； (2)若，求函数的最值及取最值时的的值； (3)若，且，求． 18．（17分） 如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点． (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小． 19．（17分） 双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质.给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数： 根据定义，解决下列问题： (1)通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质； ① ② ③ 请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是_____填入其中一个序号，多选只按第一个计分 (2)已知函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2026年高二数学秋季开学学情自测卷01 : (考试时间：120分钟试卷满分：150分) O 注意事项： : : 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 : 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡 : 皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 : : 4.考试范围：人教A版2019必修一+必修二+选必一部分 第一部分（选择题共58分） .: : : 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目 要求的。 1.设集合A={x-2≤x≤2}，B=1,2,3,4},则A∩B=() : : A. B.{2} c.1,2} D.{-2,-1,0,1,2,3,4} 2.如图，M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点，Q是MN上靠近点N的三等分点，OA=a,OB=b, 0C=,则00=() : : O : A-8.名-5+ c.a+5- D.2a+2b+ : 6 3 69 3 3 3.设1，是两条不同的直线，，B是两个不同的平面，以下说法正确的是() : A.若l⊥m,m/a,则l⊥a B.若l11B,a⊥B,则l⊥a : C.若I⊥，m⊥B,a⊥B,则l⊥aD.若l⊥B,m⊥B,mL,则l⊥ .. 4.为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单 O : 位：分)，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的 : 是() 频率/组距 0.025 0.020--- 0.010-- 0.005 405060708090100分数 : 试题第1页（共6页） 6学科网·上好课 A.估计样本数据的中位数为75分 B.样本中得分低于80分的人数大约为35人 C.估计样本数据的众数为70分 D.a=0.035 5.正四棱锥S-ABCD中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且SO=OD=2,则异面直线 BD与PC的距离是() A.10 8.210 c.25 0.5 10 5 5 5 6.已知函数y=log。(3ax-2)(a>0,且a≠1)在[1,2]上单调递减，则实数a的取值范围是() c.(1,3) D.(L,+m) 7.在三棱锥P-ABC中，△ABC为边长为2的等边三角形，PA=PB=3,PC=V11,则三棱锥P-ABC的 外接球的表面积为() 310元 275π 23π A. 27 24 c.241z 21 0. 2 8.在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E是棱AB的中点，PF=2FB,PG=2GC,D,E, F,G四点共面，则1=() B. c 3 A.1 0.4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全 部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.随机事件A、B清是P团=分，P)=分，P®)号，下列说法正确的是（) A.事件A与事件B相互独立 6.a网=号 cA-合 D.P(B)=P(AB) 10.已知函数f(x)=2cos对，则() A.函数f(x)的最小正周期T=2π B.函数f(x)在 受上卓河选用 c.函数f()在-44 3ππ 上的值域为(0，√2) D.函数f(x)的图像关于直线x=2025π对称 11.如图，在棱长为4的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别为BC,CC的中点，P为线段BD上 动点（包括端点），点Q在平面ABD内，则下列说法中错误的是() 试题第2页（共6页） 6学科网·上好课 D C B A.三棱锥P-ABD的体积为定值 B.若C0=2W6,则点e的轨迹长度为2W6m 3 C.AP+MP的最小值为V7+2√3 D.三棱锥N-ABD的外接球体积为I11π 6 第二部分（非选择题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.若tan&,-tamB是方程x2+6x-7=0的两个根，则tan(a-B)= 13.某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏 围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底O同一水平面内共线的三个点A,B,C, 且在点A,B,C处测得塔顶端P的仰角分别为45°，60°，45°，同时测得AB=40m,BC=60m(如下 图)，则塔的高度为 m 14.在△4BC中，5=2AB,A7=2AC,点P在直线ST上，若△ABC的面积为4，则PB.PC+BC的 最小值是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15.(13分) 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞 赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按[50,60)， [60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分为5组，得到如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 0.035 0.025 0.020 0 5060708090100竞赛成绩/分 (1)求图中a的值： 试题第3页（共6页） (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数：（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前17%的为优异）的学生进行嘉奖，则据此 频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？ 16.(15分) 年 记△ABC的内角A、B、C的对边分别为a,b,c,己知sinC=√2cosB,ad+b2-c2=√2ab (1)求B: 帐 (2)若B的角平分线交AC于点D,且BD=1,求△ABC的面积. (3)若△ABC的面积为3+√5，求c. 擗 习 17.(15分) 已知函数fe)-sm2x+cosp+cos2x+m90<p<刊的图象关于点()对称。 肉 (1)求p: (2)若xe 求函数f(x)的最值及取最值时的x的值 性 3)若0<a<π，且f 求cos(u+p) O 试题第4页（共6页） 18.（17分) 如图，在三棱锥D-ABC中，平面ACD⊥平面ABC,AD⊥AC,AB⊥BC,E、F分别为棱BC、CD的 中点. (1)求证：直线EF/平面ABD; (2)若直线CD与平面ABC所成的角为45°，直线CD与平面ABD所成角为30°，求二面角B-AD-C的大小. % 蝶 凝 试题第5页（共6页） 可学科网·上好课 19.(17分) 双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦 函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数 hy)=e,e,双曲余弦函数：cosy)=e+6 2 根据定义，解决下列问题： (1)通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质： ①cosh(x]-simh(x〗=1 ②sinh(2x)=2·sinh(x)cosh(x) 3 cosh(2x)=cosh(x+sin 请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是（填入其中一个序号，多选只按第一个计分） (2)已知函数f(x)=cosh(2x)-m.sinh(x)+m2-3在区间h(N2-1,ln(V2+1上有两个不同的零点，求实 数m的取值范围. 试题第6页（共6页）………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2026年高二数学秋季开学学情自测卷01 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：人教A版2019必修一+必修二+选必一部分 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（    ） A． B． C． D． 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 4．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（   ） A．估计样本数据的中位数为75分 B．样本中得分低于80分的人数大约为35人 C．估计样本数据的众数为70分 D． 5．正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，且在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 8．在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件B相互独立 B． C． D． 10．已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期 B．函数在上单调递增 C．函数在上的值域为 D．函数的图像关于直线对称 11．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中错误的是（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为 C．的最小值为 D．三棱锥的外接球体积为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，是方程的两个根，则________. 13．某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 14．在中，，，点在直线上，若的面积为，则的最小值是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则据此频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？ 16．（15分） 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，且，求△ABC的面积. (3)若的面积为，求c. 17．（15分） 已知函数的图象关于点对称． (1)求； (2)若，求函数的最值及取最值时的的值； (3)若，且，求． 18．（17分） 如图，在三棱锥中，平面平面，，， E、F分别为棱、的中点． (1)求证：直线平面； (2)若直线与平面所成的角为，直线与平面所成角为，求二面角的大小． 19．（17分） 双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质.给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数： 根据定义，解决下列问题： (1)通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质； ① ② ③ 请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是_____填入其中一个序号，多选只按第一个计分 (2)已知函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 试题 第3页（共6页） 试题 第4页（共6页） 试题 第5页（共6页） 试题 第6页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年高二数学秋季开学学情自测卷01 数学•全解全析 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．设集合，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接利用集合交集运算即可. 【详解】因为集合，由交集的定义可得. 故选：C. 2．如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量基本定理，以为基底表示出即可. 【详解】易知 . 故选：D 3．设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，以下说法正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，则 D．若，，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，则或或l与相交，故A错误； 对于B，若，，则或或l与相交，故B错误； 对于C，若，，，则或或l与相交不垂直或l与垂直，故C错误； 对于D，若，，则，又因为，则，故D正确. 4．为普及环保知识，增强环保意识，某中学随机抽取100名学生参加环保知识测试，整理他们的成绩（单位：分），进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出如图所示的频率分布直方图，下列结论正确的是（   ）    A．估计样本数据的中位数为75分 B．样本中得分低于80分的人数大约为35人 C．估计样本数据的众数为70分 D． 【答案】A 【详解】由于，解得，故D错误； 由于前三组累计频率为， 前四组累计频率为， 故中位数在第四组内，设中位数为， 则，解得，故A正确； 得分低于80分的频率为， 故样本中低于80分的人数大约为人，故B错误； 由直方图知，估计样本数据的众数值为，故C错误． 5．正四棱锥中，O为底面ABCD的中心，P为侧棱SD的中点，且，则异面直线BD与PC的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合正四棱锥的几何特征建系，再应用空间向量法求与的公垂线方向向量为，最后应用异面直线距离公式计算求解. 【详解】因为为正四棱锥且是在底面内的正投影，所以面， 连接，，则且交于． 因为，面，所以，，所以以，，为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系． 因为，则，，，，， 所以，． 设异面直线与的公垂线方向向量为， 则有，即，取． 又因为， 所以异面直线与的距离． 所以异面直线与的距离是． 故选：C. 6．已知函数，且在上单调递减，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令，判断其单调性，根据复合函数的单调性，可判断的单调性，结合对数的真数大于0，解不等式，即可得答案. 【详解】令，则，因为，所以在上是增函数， 根据复合函数的单调性知需为减函数，所以. 又在上需满足恒大于0，所以，即. 综上，实数的取值范围是. 故选：B 7．在三棱锥中，为边长为2的等边三角形，，，则三棱锥的外接球的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】取AB中点D，先证平面平面，再利用球心到两垂直平面的垂线与的重心 、的外心H的关系，通过勾股定理求出外接球半径的平方，进而得到球的表面积. 【详解】取AB中点D，连接PD，CD，由，得，且， 又为边长为2的等边三角形，所以，又， 所以，所以， 又，所以平面， 因为平面，所以平面平面， 设球心为O，的重心为G，等边三角形的重心与外心重合，的外心为H， 由球的性质可知平面，平面， 设外接圆的半径为，则， 在中，，即，得， 所以，，记球的半径为R， 则，球的表面积为． 8．在四棱锥中，底面是平行四边形，E是棱的中点，，D，E，F，G四点共面，则 （    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】结合图形，表示出相关向量，再利用四点共面时空间向量的基本定理列方程组求解即可. 【详解】 由题意可得， 因为所以，且，， 所以， 因为，所以，， 所以， 因为D，E，F，G四点共面，根据空间向量四点共面的性质，有， 所以， 所以，解得， 所以. 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是能利用空间向量的基本定理得到下列方程. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．随机事件A、B满足，，，下列说法正确的是（    ） A．事件与事件B相互独立 B． C． D． 【答案】AC 【分析】利用独立事件计算公式可判断A正确，易知，可得B错误，根据全概率公式可得C正确，计算可得D错误. 【详解】根据，可得； 又，可得； 即满足，因此事件与事件B相互独立，即A正确； 易知，因此B错误； 由可得，即可知C正确； 计算可得，所以，即D错误. 故选：AC 10．已知函数，则（    ） A．函数的最小正周期 B．函数在上单调递增 C．函数在上的值域为 D．函数的图像关于直线对称 【答案】BD 【分析】作出函数的大致图象，然后逐项分析即得. 【详解】因为， 作出函数的大致图象， 函数的最小正周期，故A错误； 由图象可知函数的增区间为，故函数在上单调递增，故B正确； 当时，，，故C错误； 因为，所以函数的图像关于直线对称，故D正确. 故选：BD. 11．如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，为线段上动点（包括端点），点在平面内，则下列说法中错误的是（     ） A．三棱锥的体积为定值 B．若，则点的轨迹长度为 C．的最小值为 D．三棱锥的外接球体积为 【答案】BCD 【分析】利用线面平行的判定及性质，结合三棱锥的体积公式判断A；利用球面的截面性质计算判断B；将与置于同一平面内，结合余弦定理求出最小值判断C；确定球心位置并求出球半径，进而求出球的体积判断D. 【详解】对于A：正方体的对角面为矩形，则， 而平面，平面，于是平面 ， 所以线段上点到平面的距离为定值，而面积为定值， 因此三棱锥的体积为定值，故A 正确； 对于B：四面体是正四面体，棱长，正 的外接圆半径， 则点到平面的距离， 由 ，得点的轨迹是以点为球心，为半径的球被平面所截得的圆， 该圆半径为，因此点的轨迹长度为，故B错误； 对于C：将与沿直线展开到同一平面内，如图所示： 易得，当且仅当为线段与交点时取等号， 由，，得，在正中，， 则， 由余弦定理得：， 因此的最小值为，故C错误； 对于D：在三棱锥中，，正的边长为 ， 取中点，连接，则，，，， 而，于是，， 由于，平面，则平面，同理平面， 令，的外心分别为 ，则 分别在线段 上， 由选项B知：， 在中，，由正弦定理得，则， 令三棱锥外接球球心为，连接，则 平面， 平面，因此，， 所以四边形 为矩形：, 三棱锥外接球半径， 所以三棱锥的外接球体积为，故D错误. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．若，是方程的两个根，则________. 【答案】 【详解】由题意得，得， 所以 13．某湿地公园正在修建一个云星塔，其主体工程现已完成，由于还没有完全完工，周围由一圈铁皮围栏围着，塔与道路之间的距离无法直接测得，有同学选取了与塔底同一水平面内共线的三个点，，，且在点，，处测得塔顶端的仰角分别为，，，同时测得，（如下图），则塔的高度为________. 【答案】60 【分析】设，则可由余弦定理构建关于的方程，求出其解即可. 【详解】由题设， 设，则， 在中，由余弦定理有， 故，同理， 而，故， 所以， 故. 14．在中，，，点在直线上，若的面积为，则的最小值是________. 【答案】 【分析】取的中点，连接，过点作于，是的高，由题意可得，，进而利用基本不等式可求得最小值. 【详解】在中，，，所以， 取的中点，连接，过点作于，是的高， 由的面积为，所以，所以， 由，所以可得，所以， 由题意可得， 所以， 所以 ， 当且仅当，即且与重合时取等号. 所以的最小值是. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15．（13分） 某中学举行了一次“垃圾分类知识竞赛”，为了了解本次竞赛的成绩情况，从中随机抽取了100名学生的竞赛成绩（单位：分，得分取正整数，满分为100分）作为样本进行统计，将成绩进行整理后，按，，，，分为5组，得到如图所示的频率分布直方图． (1)求图中a的值； (2)估计这100名学生这次竞赛成绩的众数与平均数；（同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表） (3)该校准备对本次竞赛成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则据此频率分布直方图估计受嘉奖的学生分数不低于多少？ 【答案】(1) (2)众数为85分，平均数为76.5分 (3)88分 【分析】（1）利用频率和为1列方程求参数值； （2）由众数的定义及频率直方图求众数、平均数即可； （3）由题意求第83百分位数即可得. 【详解】（1）由题意得，可得； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数为分， 估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为分； （3）∵，且， ∴第83百分位数在内，记为m，则， ∴估计受嘉奖的学生分数不低于88分. 16．（15分） 记的内角A、B、C的对边分别为a，b，c，已知， (1)求B； (2)若B的角平分线交AC于点D，且，求△ABC的面积. (3)若的面积为，求c. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）应用余弦定理结合同角三角函数关系计算； （2）应用正弦定理结合三角形面积公式计算求解； （3）应用两角和正弦公式，再应用正弦定理及面积公式计算. 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而，又因为，即， ，所以； （2）由角平分得，所以， 在△BCD中，由正弦定理得所以； （3）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 17．（15分） 如图，在四棱锥中，四边形为菱形，，为正三角形，，. (1)证明：平面平面； (2)求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】(1) 设中点为，连接， 因为四边形为菱形，，所以为正三角形， 又为正三角形，则，， 因为，所以， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) 【分析】（1）设中点为，连接，利用线面垂直和面面垂直的判定定理证明即可； （2）以为原点，所在直线分别为轴建立坐标系，分别求出平面与平面的法向量，利用坐标公式求解即可. 【详解】（1）略 （2）由（1）可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系， 则，，，，， 易知平面的一个法向量，设平面的法向量， 则，可得平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．（17分） 已知函数的图象关于点对称． (1)求； (2)若，求函数的最值及取最值时的的值； (3)若，且，求． 【答案】(1) (2)当时，函数取最大值1；当时，函数取最小值 (3) 【分析】（1）利用两角和的正弦公式进行化简，将代入即可求出答案； （2）求出，结合正弦函数的图象即可求出答案； （3）即，利用平方关系求出，再利用两角差的余弦公式可求出答案. 【详解】（1）， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，即，因为，所以. （2），因为，所以， 所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1， 当，即时，函数取最小值，且最小值为； （3）因为，即， 因为，所以， 若，则， 但，所以， 所以． 所以 ． 19．（17分） 双曲函数是一类在物理学上应用十分广泛的函数，与常见的三角函数类似，最基本的双曲函数是双曲正弦函数和双曲余弦函数，并且它具有与三角函数相似的一些性质.给出两种双曲函数定义：双曲正弦函数，双曲余弦函数： 根据定义，解决下列问题： (1)通过将双曲函数与我们已学习过的三角函数进行类比，得到下列性质； ① ② ③ 请在这三个性质中选择其中一个加以证明，你选择的是_____填入其中一个序号，多选只按第一个计分 (2)已知函数在区间上有两个不同的零点，求实数m的取值范围. 【答案】(1)证明：①； ②； ③ (2){或或} 【分析】（1）根据双曲函数定义代入计算证明； （2）使用换元法构造函数，原问题等价于在上有两个不同的零点，构造，求解即可． 【详解】（1）略 （2）由知，令， 由单调递增，单调递减， 易知单调递增； 又， 则，进而，可转化成， 故原问题等价于在上有两个不同的零点， 于是，进而，解得 即或或， 所以实数m的取值范围为{或或} 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年秋季高二开学学情自测卷 数学·答案及评分参考 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1 2 3 4 5 6 7 8 C D D A C B B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9 10 11 AC BD BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分，其中13题第一空2分，第二空3分． 12． 13．60 14． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 【答案】(1) (2)众数为85分，平均数为76.5分 (3)88分 【详解】（1）由题意得，可得； （2）估计这100名学生这次竞赛成绩的众数为分， 估计这100名学生这次竞赛成绩的平均数为分； （3）∵，且， ∴第83百分位数在内，记为m，则， ∴估计受嘉奖的学生分数不低于88分. 16．（15分） 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由余弦定理有，对比已知， 可得，因为，所以， 从而，又因为，即， ，所以； （2）由角平分得，所以， 在△BCD中，由正弦定理得所以； （3）由（1）可得，，，从而，， 而， 由正弦定理有， 从而， 由三角形面积公式可知，的面积可表示为 ， 由已知的面积为，可得， 所以. 17．（15分） 【答案】(1) 设中点为，连接， 因为四边形为菱形，，所以为正三角形， 又为正三角形，则，， 因为，所以， 所以，即， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以平面平面. (2) 【详解】（1）略 （2）由（1）可知两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立如图所示坐标系， 则，，，，， 易知平面的一个法向量，设平面的法向量， 则，可得平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18．（17分） 【答案】(1) (2)当时，函数取最大值1；当时，函数取最小值 (3) 【详解】（1）， 因为函数的图象关于点成中心对称， 所以，即，因为，所以. （2），因为，所以， 所以当，即时，函数取最大值，且最大值为1， 当，即时，函数取最小值，且最小值为； （3）因为，即， 因为，所以， 若，则， 但，所以， 所以． 所以 ． 19．（17分） 【答案】(1)证明：①； ②； ③ (2){或或} 【详解】（1）略 （2）由知，令， 由单调递增，单调递减， 易知单调递增； 又， 则，进而，可转化成， 故原问题等价于在上有两个不同的零点， 于是，进而，解得 即或或， 所以实数m的取值范围为{或或} ( 1 )原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 学校__________________班级__________________姓名__________________准考证号__________________ ﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍密﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍封﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍线﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍﹍ 2026年高二数学秋季开学学情自测卷01 数学·答题卡 准考证号： 姓 名：_________________________________________ 贴条形码区 此栏考生禁填 缺考 标记 1．答题前，考生先将自己的姓名，准考证号填写清楚，并认真检查监考员所粘贴的条形码。 2．选择题必须用2B铅笔填涂；非选择题必须用0.5mm黑色签字笔答题，不得用铅笔或圆珠笔答题；字体工整、笔迹清晰。 3．请按题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。 4．保持卡面清洁，不要折叠、不要弄破。 5．正确填涂 注意事项 一、选择题（每小题5分，共40分） 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 二、选择题（全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分，共18分） 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 三、填空题（每小题5分，共15分） 12．____________________ 13．____________________ 14．____________________ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 四、解答题（共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．（13分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 16．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 17．（15分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 18．（17分） 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 19．（17分） 数学 第4页（共6页） 数学 第5页（共6页） 数学 第6页（共6页） 数学 第1页（共6页） 数学 第2页（共6页） 数学 第3页（共6页） 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $